28.2.2 第3课时 利用方位角、坡度角解直角三角形课件（27张PPT）

(共27张PPT)
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
28.1 锐角三角函数
第二十八章 锐角三角函数
第3课时 利用方位角、坡度解直角三角形
九年级数学下（RJ）
教学课件
1. 正确理解方向角、坡度的概念. (重点)
2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题；
能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的
数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解
决问题的综合能力. (重点、难点)
导入新课
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示：
方位角
北偏东30°
南偏西45°
复习引入
讲授新课
典例精析
例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？
解：如图 ，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°－65°）
=80×cos25°
≈80×0.91
=72.505.
在Rt△BPC中，∠B=34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P大约130n mile．
解：过A作AF⊥BC于点F，
则AF的长是A到BC的
最短距离.
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA=∠BAF=60°，
∠ACE=∠CAF=30°，
∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°.
例2 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
E
F
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA
= 90°－60°=30°=∠BAC，
∴BC=AC=12海里，
∴AF=AC · cos30°=6 (海里)，
6 ≈10.392＞8，
故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
练一练
解：过点P作PC⊥AB，C是垂足．
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.
∵AC＋BC＝AB，
∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200，
即 PC＋PC＝200，
解得 PC≈126.8km＞100km.
答：计划修筑的这条高速公
路不会穿越保护区．
C
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
观察与思考
α
i= h : l
1. 坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
2. 坡度 (或坡比)
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水
平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡
比)，记作i， 即 i = h : l .
坡面
水平面
3. 坡度与坡角的关系
即坡度等于坡角的正切值.
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α =___度.
2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____.
3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______.

30
1 : 1
练一练
例3 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，
沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多
少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长
度精确到0.1m）？
i=1:2
典例精析
在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，
AC=240m，
因此 α≈26.57°.
答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上
升了约107.3 m．
从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．
例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
(1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)；

i=1:3
解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4，
由计算器可算得α≈22°.
故斜坡CD的坡角α 为22°.
解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别
为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m.
在Rt△ABE中，
(2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m).
E
F
i=1:3
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m.
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 　　米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离．
练一练
30°
当堂练习
B
2. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方
向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方
向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M
在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯
塔距离最近的位置所需的时间是 ( )
A. 10分钟 B. 15分钟 C. 20分钟 D. 25分钟
B
3. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的
北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角
∠ACB等于 ．
90°
4. 如图，海上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方
向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北
方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南
偏东43°方向，则A、B两岛之间的距离为 ．
(结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68，
cos43°=0.73，tan43°=0.93)

33.5海里
解：作DE⊥AB，
CF⊥AB，
垂足分别为E、F．
由题意可知
　 DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)．
5. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是
12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，
求路基下底的宽 (精确到0.1米， ，
). ?
45°
30°
4米
12米
A
B
C
D
在Rt△ADE中，
E
F




在Rt△BCF中，同理可得

因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93 (米)．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
6. 如图有一个古镇建筑A，它周围800米内有古建筑，
乡村路要由西向东修筑，在B点处测得古建筑A在北
偏东60°方向上，向前直行1200米到达D点，这时
测得古建筑A在D点北偏东30°方向上，如果不改变
修筑的方向，你认为古建筑会不会遭到破坏？
D
B
A
E
课堂小结
解直角三角形的应用
坡度问题
方位角问题
坡角
坡度(或坡比)