人教版数学八年级下册： 函数与正比例函数 学案（无答案）

函数与正比例函数

知识点一 函数的定义及图象
1.函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，如x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，称y是x的函数。
注：对函数概念的理解，主要抓住以下三点：
①有两个变量；
②一个变量的每一个数值随着另一个变量的数值的变化而变化；
③对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。
2.函数图象的定义：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
3. 函数的表示方法：解析法、列表法、图像法

题型一 列函数解析式并求函数值
例1.下列曲线中，不能表示变量y是x的函数的是（ ）

分析：判断两个变量是否有函数关系，不仅看他们之间是否有关系式存在，更重要的是看对于x的每个确定的值，y是否有唯一确定的值和他对应
练习1. 下列曲线中，反映了变量y是x的函数的是（ ）

例2.一个小球由静止开始在一个斜披上向下滚动，其速度每秒增加2m，到达坡底时，小球的速度达到40m/s。
（1）求小球速度v(m/s)与时间t(s)之间的函数关系式；
（2）求t的取值范围；
（3）求3.5s时小球的速度；
（4）当t为何值时，小球的速度为16m/s？





练习1. 某种化肥在县城里的甲、乙两个生产资料门市部均有销售，现了解到该种化肥在甲、乙两个门市部的标价均为600元/吨，但都有一定的优惠政策，甲门市部是第一吨按标价收费，超出部分每吨优惠25%；乙门市部每吨优惠20%出售．
（1）写出甲门市部每次交易的销售额y1（元）与销量x（吨）之间的函数关系式及乙门市部每次交易的销售额y2（元）与销量x（吨）之间的函数关系式；
（2）种粮大户张某想一次购买此种化肥4吨，李某想一次购买此种化肥8吨，他们到哪个门市部购买省钱，请给他们分别提出合理建议。







题型二 实际问题中的函数图象
例2. 有一个装有进、出水管的容器，单位时间内进、出的水量都是一定. 已知容器的容积为600升，又知单开进水管10分钟可把空容器注满. 若同时打开进、出水管，20分钟可把满容器的水放完. 现已知容器内有水200升，先打开进水管5分钟，再打开出水管，两管同时开放，直至把容器中的水放完，则正确反映这一过程中容器中的水量Q（升）随时间t（分）变化的图象是（ ）
?

?
例3.已知有两个人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地，下图反映的是这两个人行驶过程中时间和路程的关系，请根据图象回答下列问题：
（1）甲地与乙地相距多少千米？两个人分别用了几小时才到达乙地？谁先到达了乙地？早到多长时间？
（2）分别描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态．
（3）求摩托车行驶的平均速度．


练习1.小明某天放学后，17时从学校出发，回家途中离家的路程?s（百米）与所走的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，那么这天 小明到家的时间为（ ）
A. 17时15分 B. 17时14分
C. 17时12分 D. 17时11分
练习2.甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小时；
（3）乙比甲晚出发了0.5小时；
（4）相遇后，甲的速度小于乙的速度；
（5）甲、乙两人同时到达目的地
其中符合图象描述的说法有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
练习3.如图，在矩形中，动点从点出发，沿→→→方向运动至点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则当时，点应运动到（ ）
A．处 B．处 C．处 D．处
练习4.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）
A．12分钟 B．15分钟
C．25分钟 D．27分钟

练习5.如图，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△BCD的面积是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
练习6.如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的是（ ）
A、乙比甲先到终点
B、乙测试的速度随时间增加而增大
C、比赛进行到29.7秒时，两人出发后第一次相遇
D、比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快

练习7.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ）
(A)20kg (B)25kg (C)28kg (D)30kg

练习8.如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形的边上有一动点沿运动一周，则的纵坐标与点走过的路程之间的函数关系用图象表示大致是（ ）






知识点二 一次函数
1.正比例定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
2.一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。特别地，当b=0时，函数为正比例函数。
①k:当k>0时（一三象限），k越大，图像与y轴的距离越近。函数值y随着自变量x的增大而增大。
当k<0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。
②b:当b>0,直线与y轴的交点在x轴上方；
当b<0，直线与y轴的交点在x轴下方；
当b=0，直线与y轴交于原点。

题型一 一次函数的定义
例4.下列函数是正比例函数的是（ ）
① ② ③ y=1+5x ④ ⑤ y=2x
练习1. 已知y=（k-1）x+k2-1是正比例函数，则k=______．

题型二 正比例函数的图像与性质
例5. 下列函数图象中,不可能是关于x的一次函数y=mx-(m-3)的图像的是（ ）



练习1. (2016·雅安)若式子＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(1－k)x＋k－1的图象可能是( )


练习2.已知正比例函数y=kx(k≠0),当x=-1时，y=-3，则它的图像大致是（ ）

练习3.对于正比例函数y=(1-k)x,若y随x的增大而减小，则k的取值范围是
练习4.已知正比例函数y=kx（k＜0）的图象上两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，且x1A.y1+y2>0 B.y1+y2<0 C.y1-y2>0 D.y1-y2<0
练习5.已知正比例函数y=（2m-1）x的图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m的取值范围是

题型 一次函数的实际应用
例7.已知一次函数y=kx+b的图像经过点（3，-3），且与直线y=4x-3的交点在x轴上。（1）求一次函数的解析式；（2）求此函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积。





例6.某物流公司引进A，B两种机器人来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A?种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B?种机器人也开始搬运，如图，线段OG?表示A?种机器人的搬运量yA?（千克）与时间x?（时）的函数图像，线段EF?表示B?种机器人的搬运量yB?（千克）与时间x（时）的函数图像，根据图像提供的信息，解答下列问题：?
（1）求yB?关于x?的函数解析式；?
（2）如果A?、B?两种机器人各连续搬运5个小时，那么B?种机器人比A?种机器人多搬运了多少千克？?




课后练习
1．已知y与x+3成正比例，并且x=1时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（ ）
（A）y=8x （B）y=2x+6 （C）y=8x+6 （D）y=5x+3
2．若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（ ）
（A）m>- （B）m>5 （C）m=- （D）m=5
3. 已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是

4. 如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的距离为S，则S关于t的函数图象大致为（　　）

3．已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=-1．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果x的取值范围是1≤x≤4，求y的取值范围．





4．小明同学骑自行车去郊外春游，下图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时离家多远？（3）求小明出发多长时间距家12千米？







S（千米）

18

t（小时）

甲

乙

O

0.5

1

2

2.5

2

O

5

x

A

B

C

P

D

1

2

3

4

1

2

y

s

O

1

2

3

4

1

2

y

s

O

s

1

2

3

4

1

2

y

s

O

1

2

3

4

1

2

y

O

A.

B.

C.

D.