人教版数学八年级下册：18.2.3 正方形的性质与判定 学案

正方形的性质与判定
一、知识点梳理
1、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系

二、典型例题
类型一、正方形的判定
方法一：矩形+一组邻边相等=正方形
例1、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：四边形AEDF是正方形。




方法二：矩形+对角线互相垂直=正方形
例2. 如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD=1.AB= ，求证：四边形ABCD是正方形。




方法三：菱形+一个内角是直角=正方形
例3：如图，在菱形ABCD中，E，F是BC边上的两个点，且BE=CF，AF=DE，求证：四边形ABCD是正方形。


方法四：菱形+对角线相等=正方形
例4：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知点E是BD延长线上一点，且EA=EC，∠DAC=∠EAD+AED，求证：四边形ABCD是正方形。




变式练习
1.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN，试判断四边形EFMN是什么特殊的四边形，并说明理由。




类型二、正方形的性质
类型一：角度的计算
例5.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠ABE= 。∠BFC= 。

类型二：求线段的长度
例6..如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH= 。



变式练习
1、如图，在正方形ABCD的内侧，作等边三角形CDE，连接AE，则∠DAE= 。

2、如图，将正方形ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处，连接A'C，则∠BA'C= 。
3、正方形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示，已知点A的坐标为（0,4），点B的坐标为（-3,0），则点C的坐标是 ；点D的坐标是 。
4、如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是 。

类型三、正方形的性质与判定综合
例7、如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G事BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长。





例8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE=CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M，求证：AM⊥DF。



变式练习
1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．


2、如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F。
（1）求证：OE=OF
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由