第一章 整式的乘除
1.1 同底数幂的乘法
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1.经历探究同底数幂乘法运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.
2.了解同底数幂乘法的运算性质,运用性质熟练进行计算,并能解决一些实际问题.
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重点：理解并正确运用同底数幂的乘法法则.
难点：同底数幂的乘法法则的探究过程.
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一、情景导入
提问：
1.an中a叫什么？n叫什么？其结果叫什么？
2.一种电子计算机每秒可进行1012次运算,它工作103秒可进行多少次运算？你能用学过的知识来解决这个问题吗？
3.计算a2·a3·a4,你会计算吗？(同时展示学习目标)
二、新知探究
【探究一：同底数幂的乘法法则】
阅读教材P2,完成下列问题.
1.根据乘方的意义填空.
2.观察上面的计算结果,你能发现计算前后,底数和指数的变化规律吗？请用一句简洁的语言表示出来.
3.请仿照你得出的规律直接写出am·an(m,n为正整数)的结果.
学生回答并展示,教师归纳.
归纳结论：同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am·an＝am＋n(m,n为正整数).
4.学习教材P3例1,教师强调第(1)小题底数是－3,负数的偶次幂是正数.
【例1】计算：
(1)a2·a5·a7；(2)102×103×105；
(3)(b＋1)2·(b＋1)3；(4)xm·x2n＋1·xn.
解：(1)a14；(2)a10；(3)(b＋1)5；(4)xm＋3m＋1.
【例2】计算：
(1)(－a6)·(－a)3·(－a2)·(－a)4；
(2)(p－q)2·(q－p)3·(p－q)4；
(3)1000×100×10m.
【教师导引】可以先确定积的符号,或化为同底数幂.
解：(1)－a15；(2)(q－p)9；(3)105＋m.
【探究二：同底数幂的乘法法则的运用】
【例3】已知am＝2,an＝3,求am＋2n的值.
【教师导引】利用同底数幂的乘法运算法则,可将am＋2n变形为am·a2n,即am·an·an,结合已知条件即可求解.
解：∵am＝2,an＝3,∴am＋2n＝am·an·an＝2×3×3＝18.
巩固练习
1.结果a2·ax－3＝a6,那么x的值为(D)
A.－1 B.5 C.6 D.7
2.式子a2m＋3不能写成(C)
A.a2m·a3 B.am·am＋3
C.a2m＋3 D.am＋1·am＋2
3.已知xn＋1·xm＋n＝x6,且m＝2n＋1,求m3n的值.
解：m＝3,n＝1,m3n＝33＝27.
4.完成教材P3练习第1～3题.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)同底数幂的乘法法则.
(2)同底数幂的乘法法则的运用.
2.分层作业：
(1)教材P4习题第1～5题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
本课我采用探究合作教学法进行教学,充分发挥了学生的主体作用,积极为学生创设一个和谐宽松的情境,学生在自主的空间里自由奔放地想象,思维和学习取得较好的效果.在同底数幂乘法公式推导过程中学生思维经历了猜测、质疑、推理论证的科学发现过程,也渗透了转化和从特殊到一般的教学辩论思想,充分体现了自主探究的学习方式；而在巩固深化环节上精心设计开放式题目.通过学生独立思考,小组合作等手段,让学生个个动手,人人参与,充分调动学生学习数学的积极性.使各层次的学生有不同的收获,特别是学生的兴奋与激情完全出乎我的预料.
1.7 整式的除法
第1课时 单项式除以单项式
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1.复习单项式乘以单项式的运算,探究单项式除以单项式的运算规律.
2.能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题.
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重点：单项式除以单项式法则推导及应用.
难点：正确利用法则进行计算.
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一、情景导入
1.木星的质量约是1.90×1024吨,地球的质量约是5.98×1021吨,你知道木星的质量约是地球质量的多少倍吗？
2.一个长方形的面积为(am＋bm),宽为,n,长是多少？
列出式子：(1.90×1024)÷(5.98×1021)、(am＋bm)÷m,你会进行计算吗？(同时展示学习目标)
二、新知探究
【探究一：单项式除以单项式的法则】
阅读教材P28议一议前面内容,完成下列问题.
1.计算：
(1)x5y÷x2＝__x3y__.
(2)8m2n2÷2m2n＝__4n__.
(3)a4b2c÷3a2b＝__a2bc__.
2.观察上面等式中,被除式、除式,商式,①系数间有什么关系？②相同字母的指数之间有何关系？试归纳单项式除以单项式的规律.
归纳结论：单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.
4.巩固练习
(1)学习教材P28例1.
(2)8x6y4z÷( )＝4x2y2,括号内应填的代数式为(C)
A.2x3y2 B.2x3y2z
C.2x4y2z D.12x4y2z
(3)下列计算中,正确的是(D)
A.8x9÷4x3＝2x3 B.4a2b3÷4a2b3＝0
C.a2m÷am＝a2 D.2ab2c÷(－ab2)＝－4c
(4)若xmyn÷x3y＝4x2,则(B)
A.m＝6,n＝1 B.m＝5,n＝1
C.m＝5,n＝0 D.m＝6,n＝0
(5)在等式6a2·(－b3)2÷( )2＝中的括号内,应填入(D)
A.a2b6 B.ab3
C.±ab3 D.±3ab3
(6)计算：
①a3x3÷(－ax2)；
②－12(x4y3)3÷(x2y3)2；
③(3a2b3c)3÷(－6a5b3)；
④(3x2)3·(4y3)2÷(6xy)3.
解：①－4a2x；②－48x8y3；③－ab6c3；④2x3y3.
【探究二：单项式除以单项式的应用】
1.化简求值：(－2x3y4)÷(－x2y2)·(－x)－(－x－2y)(2y＋x)＋x(x－xy2),其中x＝－1,y＝－2.
解：原式＝－2x2y2－x2＋4y2＋x2－x2y2＝－3x2y2＋4y2,将x＝－1,y＝－2代入上式得,原式＝－12＋16＝4.
2.地球到太阳的距离约为1.5×108km,光的速度约为3×108m/s,求光从太阳到地球的时间.
解：∵1.5×108km＝1.5×1011m,∴(1.5×1011)÷(3×108)＝(1.5÷3)×(1011÷108)＝0.5×103＝500(s).
答：光从太阳到地球的时间为500秒.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)单项式除以单项式的法则.
(2)单项式除以单项式的应用.
2.分层作业：
(1)教材P29习题第1～3题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
在引导学生体会单项式乘法与单项式除法之间的联系与区别时,先让学生说出在两种运算中各单项式的身份,能帮助学生更好地理解和叙述.知识的总结尽可能地全部由学生完成,教师所起的作用是点拨,评价和指导,这样能更好地提高学生的综合能力.学生独立完成习题,学生板书,学生互批互改,找出重点关注的地方,能起到更好的效果,更好的调动学生的热情.
第2课时 多项式除以单项式
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1.复习单项式乘以单项式的运算,探究单项式除以单项式的运算规律.
2.能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题.
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重点：单项式除以单项式法则推导及应用.
难点：正确利用法则进行计算.
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一、情景导入
复习准备：
1.同底数幂的除法.am÷an＝am－n(a≠0,m,n都是正整数,且m>n),同底数幂相除,底数不变,指数相减.
2.单项式与单项式相除的法则：
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除后,作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式.
二、新知探究
【探究一：多项式除以单项式的法则】
1.计算下列各题,说说你的理由.
(1)(ad＋bd)÷d；
(2)(a2b＋3ab)÷a；
(3)(xy3－2xy)÷(xy).
2.类比有理数的除法
例如：(21＋0.14)÷7＝(21＋0.14)×＝3＋0.02＝3.02,类比得到
(1)(ad＋bd)÷d＝(ad＋bd)·＝a＋b；
(2)(a2b＋3ab)÷a＝(a2b＋3ab)·＝ab＋3b；
(3)(xy3－2xy)÷(xy)＝(xy3－2xy)·＝y2－2.
3.根据上面的探究,你能总结多项式除以单项式的法则吗？
归纳结论：多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.
4.巩固练习
(1)学习教材P30例2.
(2)下列各选项中,计算正确的是(D)
A.(－3xn＋1ynz)÷(－3xn＋1ynz)＝0
B.(3x2y－6xy)÷6xy＝y
C.(15x2y－10xy2)÷(－5xy)＝3x－2y
D.(3xn＋2＋xn＋1－xn)÷xn－1＝9x3＋3x2－x
(3)计算：
①(9x2y－6xy2－3xy)÷6xy；
解：原式＝9x2y÷6xy－6xy2÷6xy－3xy÷6xy
＝x－y－；
②(8x3－12x2＋4x)÷4x.
解：原式＝8x3÷4x－12x2÷4x＋4x÷4x
＝2x2－3x＋1.
【探究二：多项式除以单项式的应用】
【例】某天数学课上,学习了整式的除法运算,放学后,小明回到家拿出课堂笔记,认真地复习课上学习的内容,他突然发现一道三项式除法运算题：
(21x4y3－ INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\d4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\d4.TIF" \* MERGEFORMATINET ＋7x2y2)÷(－7x2y)＝ INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\d4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\d4.TIF" \* MERGEFORMATINET ＋5xy－y.被除式的第二项被钢笔水弄污了,商的第一项也被钢笔水弄污了,你能算出两处被污染的内容是什么吗？
解：商的第一项＝21x4y3÷(－7x2y)＝－3x2y2；被除式的第二项＝－(－7x2y)×5xy＝35x3y2.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)多项式除以单项式的法则.
(2)多项式除以单项式的应用.
2.分层作业：
(1)教材P31～P32习题第1～3题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
通过本节课的教学,发现在教学过程中仍有很多有待改进的地方.
1.给学生练习的时间比较合适,但让学生纠错的时间不够多,有些学生对解题方法与技巧没有得到及时地掌握与巩固.
2.在由乘法运算直接得出除法运算的结果时没有指明或让学生说明这一过程的根据是除法还是乘法的逆运算,这一环节不该少.
3.学生练习的过程中如果能让他们进行板演可能更能激发学生的学习热情.
4.在时间的把握上做得不够好,从而在总结时没能让学生小结,使学生少了一次锻炼的机会.
1.6 完全平方公式
第1课时 完全平方公式的认识
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1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号感和推理能力.
2.会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的计算.
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重点：对公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2的理解.
难点：对完全平方公式的运用.
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一、情景导入
同学们,前面我们学习了多项式乘以多项式法则和合并同类项法则,你会计算下列各题吗？
(x＋3)2＝__x2＋6x＋9__,(x－3)2＝__x2－6x＋9__.
这些式子的左边和右边有什么规律？再做几个试一试：
(2m＋3n)2＝__4m2＋12mn＋9n2__,(2m－3n)2＝__4m2－12mn＋9n2__.
二、新知探究
【探究一：完全平方公式的认识】
1.观察下列算式及其运算结果,你有什么发现？
(m＋3)2＝(m＋3)(m＋3)＝m2＋3m＋3m＋9＝m2＋6m＋9；
(2＋3x)2＝(2＋3x)(2＋3x)＝4＋2×3x＋2×3x＋9x2＝4＋12x＋9x2.
2.观察上面的计算结果,回答下列问题：
(1)原式的特点？两数和的平方.
(2)结果的项数特点？等于它们平方的和,加上它们乘积的两倍.
(3)三项系数的特点？(特别是符号的特点)
(4)三项与原式多项式中两个单项式的关系.
3.再举两例验证你的发现.
4.你能用自己的语言叙述这一公式吗？
归纳结论：两数和的平方,等于它们平方的和,加上它们乘积的两倍.即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
5.用不同的形式表示图形的总面积,并进行比较,你发现了什么？
6.议一议：(a－b)2＝？你是怎样做的？
7.你能自己设计一个图形解释这一公式吗？并用自己的语言叙述这一公式.
归纳结论：两数差的平方,等于它们平方的和,减去它们乘积的两倍.即(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
上面的两个公式称为完全平方公式.
8.分析完全平方公式的结构特点,并用语言来描述完全平方公式.
结构特点：左边是二项式[两数和(或差)]的平方；右边是两数的平方和加上(或减去)这两数乘积的两倍.
语言描述：两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数乘积的两倍.
【探究二：利用完全平方公式计算】
1.学习教材P24例1.
2.填空题：
(x＋3y)2＝__x2＋6xy＋9y2__；
__(y－)2__＝y2－y＋；
__3a－4b2__＝9a2－__24ab__＋16b2；
x2＋10x＋__25__＝(x＋__5__)2；
(－x－y)(－x－y)＝x2＋2xy＋y2.
3.下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算(D)
A.(a＋b)(a＋c) B.(x＋y)(－y＋x)
C.(ab－3x)(－3x＋ab) D.(－m＋n)(m＋n)
4.利用完全平方公式计算：
(1)(－1－2x)2；
解：原式＝1＋4x＋4x2；
(2)(－2x＋1)2.
解：原式＝4x2－4x＋1.
5.完成教材P24练习.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)完全平方公式的认识.
(2)利用完全平方公式计算.
2.分层作业：
(1)教材P26习题第1～4题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
本节课虽然算不上课本中的难点,但在整式一章中是个重点.它是多项式乘法特殊形式下的一种简便运算.学生需要熟练掌握公式两种形式的使用方法,以提高运算速度.授课过程中,应注重让学生总结公式的等号两边的特点,让学生用语言表达公式的内容,让学生说明运用公式过程中容易出现的问题和需要特别注意的细节.然后再通过逐层深入的练习,巩固完全平方公式两种形式的应用.为完全平方公式第二节课的实际应用和提高应用做好充分的准备.
第2课时 完全平方公式的应用
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1.熟记完全平方公式,能说出公式的结构特征,进一步发展学生的符号感.
2.能够运用完全平方公式进行简便运算,体会符号运算对解决问题的作用.
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重点：运用完全平方公式进行一些数的简便运算及综合运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算.
难点：灵活运用平方差和完全平分公式进行整式的简便运算.
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一、情景导入
复习已学过的完全平方公式
1.完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2.公式口诀：首平方,尾平方,两倍乘积放中央,加减看前方,同加异减.
3.想一想：
(1)两个公式中的字母都能表示什么？数或代数式.
(2)根据两数和或差的完全平方公式,能够计算多个数的和或差的平方吗？完全平方公式在计算化简中有些什么作用？
二、新知探究
【探究一：利用完全平方公式简便运算】
1.怎样计算1022、1972更简单呢？
(1)把1022改写成(a＋b)2还是(a－b)2？a、b怎样确定？
1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10000＋400＋4＝10404.
(2)把1972改写成(a＋b)2还是(a－b)2？a、b怎样确定？
1972＝(200－3)2＝2002－2×200×3＋32＝40000－1200＋9＝38809.
归纳总结：能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算,进一步体会完全平方公式在实际当中的应用,并通过练习加以巩固.需要注意的是,本题的目的是进一步巩固完全平方公式,体会符号运算对解决问题的作用,不要在简便运算上做过多练习.
2.巩固练习
用完全平方公式和平方差公式计算：
(1)9.8×10.2；
解：原式＝(10－0.2)×(10＋0.2)＝102－0.22＝100－0.04＝99.96.
(2)89.82.
解：原式＝(90－0.2)2＝902－2×0.2×90＋0.22＝8064.04.
【探究二：完全平方公式与平方差公式的灵活运用】
1.已知a＋b＝3,ab＝2,求a2＋b2.
解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab.
∵a＋b＝3,ab＝2,∴a2＋b2＝32－2×2＝5；
2.若已知a＋b＝10,a2＋b2＝4,ab的值呢？
解：∵a＋b＝10,∴(a＋b)2＝102,a2＋2ab＋b2＝100,∴2ab＝100－(a2＋b2).又∵a2＋b2＝4,∴2ab＝96,∴ab＝48.
3.已知x－＝3,求x4＋的值.
解：由x－＝3,得(x－)2＝9,即x2＋－2＝9,∴x2＋＝11,∴(x2＋)2＝121,即x4＋＋2＝121,∴x4＋＝119.
4.计算：(a－b－9)(a－b＋9).
解：原式＝[(a－b)－9][(a－b)＋9]＝(a－b)2－92＝a2－2ab＋b2－81.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)利用完全平方公式进行简便计算.
(2)完全平方公式与平方差公式的灵活运用.
2.分层作业：
(1)教材P27习题第1～4题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
在整个新课的教学中,主要是教给学生“动脑想,动手写,会观察,齐讨论,得结论”的学习方法.这样做,增加了学生的参与机会,增加了参与意识,教给了学生获取知识的途径,思考问题的方法,使学生真正成为教学的主体；这样做,使学生“学”有所“思”,“思”有所“得”.这样做,体现了素质教育下塑造“创新”型人才的优势.最后,结合本节课教学内容,选择具有典型性、由浅入深的例题,让学生认知内化,形成能力并通过发展提高,培养学生迁移创新精神,有助于智力的发展.
1.5 平方差公式
第1课时 平方差公式的认识
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1.经历探索平方差公式的过程,进一步发展学生的符号感和推论能力.
2.会运用公式进行简单的乘法运算.
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重点：会运用平方差公式进行简单的乘法运算.
难点：平方差公式的分辨及应用.
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一、情景导入
若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)·(28＋1)…(264＋1),则A－2005的末位数字是________.同学们想一想,这道题的关键是求A的值,而A的值又如何计算呢？要解决这个问题,必须先学好本节课内容——平方差公式.(展示学习目标)
二、新知探究
【探究一：平方差公式】
阅读教材P20内容,完成下列问题.
1.计算下列各题.
(1)(x＋1)(x－1)；
(2)(m＋2)(m－2)；
(3)(2x＋1)(2x－1)；
(4)(2x＋5y)(2x－5y).
2.观察上面算式,你发现它们有什么共同特征？得出运算结果后,你又有什么发现？
3.请再举几例验证一下你的发现是否正确？
4.你能用一个公式来表示你发现的规律吗？
归纳结论：两个数的和与差的积,等于这两个数的平方差,用公式表示为：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
【强调】公式中的字母a,b既可表示数,也可以表示单项式,多项式,甚至更复杂的代数式.
5.学习教材P20例1、例2.
【探究二：平方差公式的应用】
1.填空题：
(x＋6)(6－x)＝__36－x2__,
(－x＋)(－x－)＝__x2－__,
(－2a2－5b)(－2a2＋5b)＝4a4－25b2.
2.下列式中能用平方差公式计算的有(D)
①(x－y)(x＋y)；②(3a－bc)(－bc－3a)；③(3－x＋y)(3x＋y)；④(100＋1)(100－1).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列式中,运算正确的是(C)
①(22a)2＝4a2；②(－x＋1)(1＋x)＝1－x2；③(m－1)2(1－m)3＝(m－1)5；④2a×4b×8＝2a＋2b＋3.
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
4.计算：
(1)(2a－3b)(2a＋3b)；
解：原式＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2；
(2)(－p2＋q)(－p2－q)；
解：原式＝(－p2)2－(q2)＝p4－q2；
(3)(4a－7b)(4a＋7b)；
解：原式＝(4a2)－(7b)2＝16a2－49b2；
(4)(－2m－n)(2m－n)；
解：原式＝(－n)2－(2m)2＝n2－4m2；
(5)(a＋b)(a－b).
解：原式＝(a)2－(b)2＝a2－b2.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)平方差公式.
(2)平方差公式的应用.
2.分层作业：
(1)教材P29习题第1～第2题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
本课让学生经历自主探索平方差公式的推导过程,采用自学为主的教学设计,在教学方法上采用以问题的形式,引导学生独立思考、探索,再通过讨论、交流、发现平方差公式的特点,接着,教师适当的引导,使学生理解掌握平方差公式的推导过程,通过练习巩固,力求突出重点、突破难点,使学生运用平方差公式解决问题的能力得到进一步提高.在整个教学过程中,分层次地培养学生数学思想和方法,养成良好的思维习惯.
第2课时 平方差公式的应用
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1.探究平方差公式的应用,熟练应用于多项式乘法之中.
2.经历平方差公式的运用过程,理解其形式及运算方法.
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重点：运用平方差公式进行整式运算.
难点：准确把握运用平方差公式的特征.
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一、情景导入
1.什么是平方差公式？
2.判断正误：
(1)(a＋5)(a－5)＝a2－5；
(2)(3x＋2)(3x－2)＝3x2－22；
(3)(a－2b)(－a－2b)＝a2－4b2；
(4)(2a＋b)(2a－b)＝4a2－b2.
二、新知探究
【探究一：平方差公式的几何意义】
如图,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形.
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1.请表示图1中阴影部分的面积.
2.小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2),这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
3.比较1,2的结果,你能验证平方差公式吗？
4.(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；
(2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异.
归纳结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
5.想一想：
(1)计算下列各组算式,并观察它们的共同特点.
(2)从以上的过程中,你发现了什么规律？
(3)请用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗？
归纳结论：(a－1)(a＋1)＝a2－1.
【探究二：运用平方差公式简便计算】
1.学习教材P22例3、例4.
2.【例】计算：
(1)97×103；
(2)99×101×10001.
【教师导引】(1)(2)直接计算比较复杂；根据其特点可考虑将其变形,使之变为含有(a＋b)(a－b)的形式再计算.
解：(1)原式＝(100－3)(100＋3)＝1002－32＝10000－9＝9991；
(2)原式＝(100－1)(100＋1)(10000＋1)＝(10000－1)(10000＋1)＝100000000－1＝99999999.
3.计算：
(1)(2a－b)(2a＋b)(4a2＋b2)；
解：原式＝(4a2－b2)(4a2＋b2)＝(4a2)2－(b2)2＝16a4－b4；
(2)(x＋y－z)(x－y＋z)－(x＋y＋z)(x－y－z)；
解：原式＝[x＋(y－z)][x－(y－z)]－[x＋(y＋z)][x－(y＋z)]＝x2－(y－z)2－[x2－(y＋z)2]＝4yz；
(3)403×397；
解：原式＝(400＋3)(400－3)＝4002－32＝159991；
(4)20×19.
解：原式＝(20＋)(20－)＝202－()2＝.
4.计算：(1＋)(1＋)(1＋)(1＋)＋.
解：原式＝2(1－)(1＋)(1＋)(1＋)(1＋)＋＝2(1－)＋＝2.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)平方差公式的几何意义.
(2)运用平方差公式简便计算.
2.分层作业：
(1)教材P4习题第1～2题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
本节课经过对两个图形的面积的计算,使学生明白可以通过几何图形对平方差公式进行验证.同时利用平方差公式进行简便运算.通过练习的情况来看,学生对简单的题目,能够用平方差公式进行简便运算,但需要变形之后再利用公式进行计算,学生掌握得不够好,所以还需要加强练习.
1.4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式的乘法
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1.经历探索整式运算法则的过程,发展观察、归纳、猜测、验证等能力.
2.会进行单项式与单项式的乘法运算.
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重点：单项式的乘法运算.
难点：单项式乘法法则有关系数和指数在计算中的不同规定.
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一、情景导入
1.光的速度约为3×105km/s,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s,你知道地球与太阳的距离约是多少吗？
2.三家连锁店以相同的价格m(元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内的销售量(瓶)分别是a,b,c,你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？
二、新知探究
【探究一：单项式乘以单项式的法则】
1.学习教材P14～P15例1的解题过程.
2.注意单项式与单项式相乘中系数与相同字母的幂分别相乘的过程.
继续引导学生分析实例中出现的算式,教师提出以下三个问题：
问题1：对于课堂导入实际问题的结果x·nx,(nx)·x可以表达得更简单些吗？说说你的理由？
问题2：类似地,3a2b·2ab3和(xyz)·y2z可以表达得更简单一些吗？
问题3：如何进行单项式与单项式相乘的运算？
归纳结论：单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的因式.
问题4：在你探索单项式乘法运算法则的过程中,运用了哪些运算律和运算法则？
学生回答：运用了乘法的交换律、结合律和同底数幂乘法的运算法则.
3.完成教材P15练习.
【探究二：单项式乘以单项式的应用】
1.下列运算正确的是(D)
A.a4＋a2＝a6 B.5a－3a＝2
C.2a3×3a2＝6a6 D.(－2a)－2＝
2.若(anb·abm)5＝a10b15,则3m(n＋1)＝(C)
A.15 B.8
C.12 D.10
3.计算下列各式：
(1)3x2·2x3；
(2)(－3ab)·(－ab)；
(3)(2.5×104)×(1.6×103)；
(4)5a2b·(－2ab3)；
(5)－2x2y·(－2xy2)2＋(2xy)3·(xy2).
解：(1)原式＝3×2x2·x3＝6x5；
(2)原式＝3a2b2；
(3)原式＝4×107；
(4)原式＝－10a3b4；
(5)原式＝0.
4.已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项,求m2＋n的值.
解：∵－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项,∴解得∴m2＋n＝7.
5.已知(2x3y2)·(－3xmy3)·(5x2yn)＝－30x4y2,求m＋n的值.
解：∵(2x3y2)·(－3xmy3)·(5x2yn)＝－30xm＋5yn＋5＝－30x4y2,∴m＋5＝4,n＋5＝2,即m＝－1,n＝－3,则m＋n＝－4.
6.已知x2n＝3,求x4n＋(2xn)(－5x5n)的值.
解：∵x2n＝3,∴原式＝x4n－10x6n＝(x2n)2－10(x2n)3＝9－270＝－261.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)单项式乘以单项式的法则.
(2)单项式乘以单项式的应用.
2.分层作业：
(1)教材P15习题第1～2题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
新课程标准下,数学教育的根本任务是发展学生的思维,教材中的难点往往是数学思维迅速丰富、过程大步跳跃的地方,所以在本节课难点教学中既注意了化难为易的效果,又注意了化难为易的过程,在探究法则的过程中设置循序渐进的问题,不断启迪学生思考,发展学生的思维能力,在应用法则的过程中,又引导学生进行解题后的反思,这些将促使学生知识水平和能力水平同时提高.
第2课时 单项式与多项式的乘法
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1.理解整式乘法运算的算理,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理地思考及语言表达能力.
2.会进行单项式与多项式的乘法运算.
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重点：单项式与多项式相乘的法则.
难点：单项式的系数的符号是负时的情况.
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一、情景导入
【探究一：单项式乘以多项式的法则】
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探究：宁宁作了一幅画,所用纸的大小如图所示,她在纸的左、右两边各留了xm的空白,这幅画的画面面积是多少？
先让学生独立思考,之后全班交流.交流时引导学生呈现出自己的思考过程.
同学之中主要有两种做法：
方法一：先表示出画面的长和宽,由此得到画面的面积为x(mx－x)；
方法二：先求出纸的面积,再减去两块空白处的面积,由此得到画面的面积为mx2－x2.
教师启发学生：两种方法得到的答案不一样,到底哪种方法对？短暂的思考之后,学生回答都对,由此引出x(mx－x)＝mx2－x2这个等式.
引导学生观察这个算式,并思考两个问题：
式子的左边是什么运算？能不能用学过的法则说明这个等式成立的原因？
学生不难总结出：式子的左边是一个单项式与一个多项式相乘,利用乘法分配律可得x(mx－x)＝x·mx－x·x,再根据单项式乘单项式法则或同底数幂的乘法性质得到x·mx－x·x＝mx2－x2,即x(mx－x)＝mx2－x2.
归纳结论：单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
完成教材P16例2.
【探究二：单项式乘以多项式的应用】
1.计算：
(1)－6a·(－a2－a＋2)；
(2)－3x·(2x2－x＋4)；
(3)(3a2b－4ab2－5ab－1)·(－2ab2).
解：(1)原式＝3a3＋2a2－12a；
(2)原式＝－6x3＋3x2－12x；
(3)原式＝－6a3b3＋8a2b4＋10a2b3＋2ab2.
2.一条防洪堤坝,其横断面是梯形,上底宽a米,下底宽(a＋2b)米,坝高a米.
(1)求防洪堤坝的横断面积；
(2)如果防洪堤坝长100米,那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？
解：(1)防洪堤坝的横断面积S＝[a＋(a＋2b)]×a＝a2＋ab.故防洪堤坝的横断面积为(a2＋ab)平方米；
(2)堤坝的体积V＝Sh＝(a2＋ad)×100＝50a2＋50ab.
故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab)立方米.
3.某同学在计算一个多项式乘以－3x2时,因抄错运算符号,算成了加上－3x2,得到的结果是x2－4x＋1,那么正确的计算结果是多少？
解：这个多项式是(x2－4x＋1)－(－3x2)＝4x2－4x＋1.正确的计算结果是(4x2－4x＋1)·(－3x2)＝－12x4＋12x3－3x2.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)单项式乘以多项式的法则.
(2)单项式乘以多项式的应用.
2.分层作业：
(1)教材P17习题第1～3题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
这一章的教学是以习题训练为主的,知识前后联系紧密,层层递进,教学时注意选择了有层次的例题和练习,更主要的是渗透了类比、转化等重要的数学思想方法.课堂上充分利用学习小组,组织学生开展合作学习,教师通过对小组进行评价,激发学生的竞争意识,让课堂学习更高效。
第3课时 多项式与多项式相乘
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1.经历探索多项式乘法法则的过程,理解多项式乘法的法则,并会进行多项式乘法的运算.
2.进一步体会乘法分配律的作用和转化的思想,发展有条理地思考和语言表达能力.
INCLUDEPICTURE"教学重难点.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\教学重难点.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\教学重难点.TIF" \* MERGEFORMATINET
重点：多项式乘法法则的理解及应用.
难点：多项式乘法法则的推导.
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一、情景导入
如图,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长为m米,宽为a米的矩形绿地,增长了n米,加宽了b米,你能用几种方法求出扩大后的绿地的面积？
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学生以小组为单位,进行多角度思考、讨论、交流,最后展示结果.
教师点评归纳：四种方法：①(m＋n)(a＋b)；②m(a＋b)＋n(a＋b)；③a(m＋n)＋b(m＋n)；④ma＋mb＋an＋bn.
二、新知探究
【探究一：多项式乘以多项式的法则】
阅读教材P18内容,完成下列问题.
教师引导学生观察这个等式,并启发性的将等式板书为以下形式：
(m＋a)(n＋b)＝n(m＋a)＋b(m＋a)或(m＋a)(n＋b)＝m(b＋n)＋a(b＋n)或(m＋a)(n＋b)＝mn＋mb＋an＋ab.
观察上面的过程,回答下列问题：
(1)你能说出(m＋a)(n＋b)＝n(m＋a)＋b(m＋a)这一步运算的道理吗？
(2)结合这个算式(m＋a)(n＋b)＝mn＋mb＋an＋ab,你能说说如何进行多项式与多项式相乘的运算？
(3)归纳总结多项式与多项式相乘的运算法则.
归纳结论：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
1.学习教材P18～P19例3.
2.完成教材P19练习.
3.巩固练习.
计算：(1)(a－1)(a－2)－a(a－5)；
(2)(x＋3)(x＋4)－x(x－2)－5.
学生独立完成,教师强调注意运算中的符号错误.
解：(1)2a＋2；(2)9x＋7.
【探究二：多项式乘以多项式的运用】
【例】若多项式x2＋px＋8和多项式x2－3x＋q的乘积中不含x2和x3项,你能否求出p和q的值？
解：(x2＋px＋8)(x2－3x＋q)＝x4＋(p－3)x3＋(q－3p＋8)x2＋(pq－24)x＋8q,∵不含x2和x3的项,∴∴
对应练习：
1.先化简,再求值：(x－2y)(x＋3y)－(2x－y)(x－4y),其中：x＝－1,y＝2.
解：原式＝－x2＋10xy－10y2,将x＝－1,y＝2代入上式得,原式＝－61.
2.解下列方程或不等式：
(1)(x＋1)(x－4)－(x－5)(x－1)＝0；
解：(x2－3x－4)－(x2－6x＋5)＝0,
3x－9 ＝0,
x ＝3；
(2)(2x－3)(2x－5)≥(x＋1)(4x－5).
解：4x2－16x＋15≥4x2－x－5,
15x≤20,
x≤.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)多项式乘以多项式的法则.
(2)多项式乘以多项式的应用.
2.分层作业：
(1)教材P19习题第1～3题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
整式的乘法由三课时组成.这一板块的知识前后衔接紧密、环环相扣,因此在这三课时中都采用了先回顾,再呈现问题情景的引入方法实现“温故知新”.但是在教学过程中,我们不应仅仅让学生感受知识需要“温故知新”,更应该让他们体会到解决这些“新”都是用了同样的数学思想方法——转化.这三课时法则的探索在难度上是逐渐深入的,在方法和思路上却是统一的,通过这三课时的学习,应让学生体会：当他们遇到新问题时,可以效仿之前用到的数学思想方法来解决,从而真正掌握数学学习方法,提高数学学习能力.第一章 整式的乘除
1.1 同底数幂的乘法
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1.经历探究同底数幂乘法运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.
2.了解同底数幂乘法的运算性质,运用性质熟练进行计算,并能解决一些实际问题.
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重点：理解并正确运用同底数幂的乘法法则.
难点：同底数幂的乘法法则的探究过程.
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一、情景导入
提问：
1.an中a叫什么？n叫什么？其结果叫什么？
2.一种电子计算机每秒可进行1012次运算,它工作103秒可进行多少次运算？你能用学过的知识来解决这个问题吗？
3.计算a2·a3·a4,你会计算吗？(同时展示学习目标)
二、新知探究
【探究一：同底数幂的乘法法则】
阅读教材P2,完成下列问题.
1.根据乘方的意义填空.
2.观察上面的计算结果,你能发现计算前后,底数和指数的变化规律吗？请用一句简洁的语言表示出来.
3.请仿照你得出的规律直接写出am·an(m,n为正整数)的结果.
学生回答并展示,教师归纳.
归纳结论：同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即am·an＝am＋n(m,n为正整数).
4.学习教材P3例1,教师强调第(1)小题底数是－3,负数的偶次幂是正数.
【例1】计算：
(1)a2·a5·a7；(2)102×103×105；
(3)(b＋1)2·(b＋1)3；(4)xm·x2n＋1·xn.
解：(1)a14；(2)a10；(3)(b＋1)5；(4)xm＋3m＋1.
【例2】计算：
(1)(－a6)·(－a)3·(－a2)·(－a)4；
(2)(p－q)2·(q－p)3·(p－q)4；
(3)1000×100×10m.
【教师导引】可以先确定积的符号,或化为同底数幂.
解：(1)－a15；(2)(q－p)9；(3)105＋m.
【探究二：同底数幂的乘法法则的运用】
【例3】已知am＝2,an＝3,求am＋2n的值.
【教师导引】利用同底数幂的乘法运算法则,可将am＋2n变形为am·a2n,即am·an·an,结合已知条件即可求解.
解：∵am＝2,an＝3,∴am＋2n＝am·an·an＝2×3×3＝18.
巩固练习
1.结果a2·ax－3＝a6,那么x的值为(D)
A.－1 B.5 C.6 D.7
2.式子a2m＋3不能写成(C)
A.a2m·a3 B.am·am＋3
C.a2m＋3 D.am＋1·am＋2
3.已知xn＋1·xm＋n＝x6,且m＝2n＋1,求m3n的值.
解：m＝3,n＝1,m3n＝33＝27.
4.完成教材P3练习第1～3题.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)同底数幂的乘法法则.
(2)同底数幂的乘法法则的运用.
2.分层作业：
(1)教材P4习题第1～5题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
本课我采用探究合作教学法进行教学,充分发挥了学生的主体作用,积极为学生创设一个和谐宽松的情境,学生在自主的空间里自由奔放地想象,思维和学习取得较好的效果.在同底数幂乘法公式推导过程中学生思维经历了猜测、质疑、推理论证的科学发现过程,也渗透了转化和从特殊到一般的教学辩论思想,充分体现了自主探究的学习方式；而在巩固深化环节上精心设计开放式题目.通过学生独立思考,小组合作等手段,让学生个个动手,人人参与,充分调动学生学习数学的积极性.使各层次的学生有不同的收获,特别是学生的兴奋与激情完全出乎我的预料.
1.3 同底数幂的除法
第1课时 同底数幂的除法
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1.经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的运算性质,理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法.
2.了解同底数幂的除法的运算性质,并能解决一些问题.
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重点：对同底数幂除法法则的理解及应用.
难点：零次幂和负整数指数幂的引入.
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一、情景导入
1.前面我们学习了哪些幂的运算？在探索法则的过程中我们用到了哪些方法？
2.一种液体每升含有1012个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀虫剂可心杀死109个此种细菌,要将1升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？
二、新知探究
【探究一：同底数幂的除法法则】
阅读教材P9做一做,完成：
1.同底数幂的乘法法则
(1)符号语言：__am·an＝am＋n(m,n都是正整数)__.
(2)文字语言：同底数幂相乘,__底数__不变,指数__相加__.
2.填空：103×(103)＝106,a4×(a3)＝a7.
思考：零指数幂和负整数指数幂有没有限制条件？
3.计算下列各式,并说明理由.(m＞n)
(1)108÷105；(2)10m÷10n；(3)(－3)m÷(－3)n.
解：(1)103；(2)10m＋n；(3)(－3)m－n.
你能从中归纳出同底数幂除法的法则吗？
归纳结论：am÷an＝am－n(a≠0,m,n都是正整数,且m＞n).同底数幂相除,底数不变,指数相减.
4.完成教材P11练习.
【探究二：零指数与负整数指数幂】
1.猜一猜：下面的括号内该填入什么数？你是怎么想的？与同伴交流.
10(1)＝10；10(0)＝1；10(－1)＝0.1；10(－2)＝0.01.
2(1)＝2; 2(0)＝1; 2(－1)＝；2(－2)＝
2.你有什么发现？能用符号表示你的发现吗？
3.你认为这个规定合理吗？为什么？
归纳结论：a0＝1(a≠0),a－p＝(a≠0,p是正整数).
【例1】计算：
(1)a7÷a4；
(2)(－x)6÷(－x)3；
(3)(xy)4÷(xy)；
(4)b2m＋2÷b2；
(5)(m－n)8÷(n－m)3；
(6)(－m)4÷(－m)2.
解：(1)a3；(2)－x3；(3)x3y3；(4)b2m；(5)(n－m)5；(6)m2.
【例2】地震的强度通常用里克特震级表示,描绘地震级数的数字表示地震的强度是10的若干次幂.例如用里克特震级表示地震是8级,说明地震的强度是107.1992年4月荷兰发生了5级地震,12天后,加利福尼亚发生了7级地震.加利福尼亚地震强度是荷兰地震强度的多少倍？
解：106÷104＝102.
【例3】计算：用小数或分数分别表示下列各数：
(1)10－3；(2)70×8－2；(3)1.6×10－4.
解：(1)原式＝0.001；(2)原式＝1×＝；(3)原式＝0.00016.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)am÷an＝am－n(a≠0,m,n都是正整数,且m＞n).
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
(2)a0＝1(a≠0),a－p＝(a≠0,p是正整数).
2.分层作业：
(1)教材P11习题第1～3题,P12习题第4题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
在同底数幂的除法这节教学活动中,通过组织学生从具体到一般,从生活到课堂,从未知到已知,一步步的探索,学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步的发展,同时,也加深了我对新教材的理解,从而更好的完善新的教学模式.
第2课时 用科学记数法表示较小的数
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1.理解并掌握科学记数法表示小于1的数的方法.
2.能将用科学记数法表示的数还原为原数.
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重点：学会用科学记数法表示小于1的数,并会比较大小.
难点：将科学记数法表示的数还原为原数时小数位数的确定.
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一、情景导入
生活中存在许多微小的数据,比如计算机在我们生活中应用非常广泛,你知道计算机存储器完成一次存储时间是多少吗？人的头发丝的直径大约为多少？生活中还有哪些微小数据的例子？这些数据怎么表示会更方便？
二、新知探究
【探究一：用科学记数法表示较小的数】
1.自学教材P12内容.
2.1纳米＝(0.000000001)米这个结果还能用科学记数法表示吗？
3.细胞的直径只有1微米,即0.000001米.
某种计算机完成一次运算的时间为1纳秒,即0.000000001s.
一个氧原子的质量为0.00000000000000000000000002657千克.那么为了书写方便,能不能用科学记数法表示这些较小的数呢？
0.000001＝＝1×10－6；
0.000000001＝＝1×10－9；
0.00000000000000000000000002657＝2.657×＝2.657×10－26.
归纳结论：一般地,一个小于1的正数可以表示为a×10n,其中1≤a＜10,n是负整数.
方法规律：绝对值小于1的数写成a×10－n(n为正整数,1≤a＜10),n为该数第一个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零).
【探究二：科学记数法表示较小数的应用】
1.用科学记数法表示下列各数.
(1)30920000；
(2)0.00003092；
(3)－309200；
(4)－0.000003092.
分析：用科学记数法表示数时,关键是确定a和n的值.
解：(1)原式＝3.092×107；
(2)原式＝3.092×10－5；
(3)原式＝－3.092×105；
(4)原式＝－3.092×10－6.
2.用小数表示下列各数.
(1)－6.23×10－5； (2)(－2)3×10－8.
分析：本题对科学记数法进行了逆向考查,同样,关键是弄清楚n的值与小数点之间的变化关系.
解：(1)原式＝－0.0000623；
(2)原式＝－8×10－8＝－0.00000008.
3.(1)原子弹的原料——铀,每克含有2.56×1021个原子核,一个原子核裂变时能放出3.2×10－11J的热量,那么每克铀全部裂变时能放出多少热量？
(2)1块900mm2的芯片上能集成10亿个元件,每一个这样的元件约占多少平方毫米？约多少平方米？(用科学记数法表示)
分析：第(1)题直接列式计算；(2)题要弄清m2和mm2之间的换算关系,即1m＝1000mm＝103mm,1m2＝106mm2,再根据题意计算.
解：(1)由题意得2.56×1021×3.2×10－11＝2.56×3.2×1021×10－11＝8.192×1010J.
答：每克铀全部裂变时能放出8.192×1010J热量.
(2)＝900×10－9＝9×102×10－9＝9×10－7(mm2)；
9×10－7÷106＝9×10－7－6＝9×10－13(m2).
答：每一个这样的元件约占9×10－7mm2,约9×10－13m2.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
用科学记数法表示小于1的数.
2.分层作业：
(1)教材P13习题第1～4题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
在这节课中,课前先布置了预习作业让学生在自己熟悉的生活场景中查找绝对值较小的数据,在记录的时候学生会充分感受到这些数据书写的复杂性,从而自己产生寻求简便表示方法的强烈愿望,这时课上再引入科学记数法就顺理成章了.这样的设计巧妙地把科学记数法这一数学知识的学习与学生自己的需求紧密的结合起来,提高了他们的学习兴趣,使学生了解了数学的价值,体会了数学与生活之间的密切联系.
1.2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
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1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.
2.了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.
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重点：理解并正确运用幂的乘方的运算性质.
难点：幂的乘方的运算性质的探究过程及应用.
INCLUDEPICTURE"教学过程.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\教学过程.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\教学过程.TIF" \* MERGEFORMATINET
一、情景导入
1.回顾同底数幂的乘法法则并计算下列各题.
(1)x3·(－x)2；(2)(x＋1)2·[－(x＋1)]3；(3)a2·a3＋a·a4.
解：(1)x5；(2)－(x＋1)5；(3)2a5.
教师强调：(1)底数不同时应将底数变成相同；(2)能合并的要合并同类项.
2.一个正方体的棱长为1010mm,你能计算出它的体积吗？
解：体积＝(1010)3mm3.
式子(1010)3如何算,你能由立方的意义对它进行计算吗？试试看.(同时展示学习目标)
二、新知探究
【探究一：幂的乘方法则】
阅读教材P5做一做内容,完成下列问题.
1.根据乘方的意义填空.
(1)(33)4＝33×…×33＝312；__4__个33相乘.
(2)(a2)5＝a2×…×a2＝a10；__5__个a2相乘.
(3)(am)3＝am·am·am＝a(3m)(m为正整数).
2.观察上面的计算结果,你能发现计算前后,底数和指数的变化规律吗？请用一句简洁的语言表示出来.
3.请仿照你得出的规律,直接写出(am)n(m,n为正整数)的结果.
归纳结论：幂的乘方,底数不变,指数相乘.即(am)n＝amn(m,n为正整数).
4.学习教材P6例1,然后完成教材P6练习.
【例1】计算：(1)(x3)2；(2)[(－x)3]4；(3)(－24)3；
(4)(－23)4；(5)[(x－y)2]4.
【教师导引】(1)(2)的底数是单项式；(5)的底数是多项式；(3)(4)应用幂的乘方时应注意符号.
解：(1)x6；(2)x12；(3)－212；(4)212；(5)(x－y)8.
【探究二：幂的乘方法则的应用】
【例2】(1)已知xn＝2,ym＝3,求(x3)n·(y2)m的值；
(2)已知2m＝a,2n＝b,计算：①8m＋n；②2m＋n＋23m＋2n.
【教师导引】观察已知条件和要求的式子,可考虑逆用幂的乘方.
解：(1)(x3)n·(y2)m＝x3n·y2m＝(xn)3·(ym)2＝23×32＝72.
(2)①8m＋n＝(23)m＋n＝23m＋3n＝(2m)3·(2n)3＝a3b3；②2m＋n＋23m＋2n＝2m·2n＋(2m)3·(2n)2＝ab＋a3b2.
教师强调：amn＝(am)n＝(an)m.(m,n为正整数)
巩固练习
1.若am＝2,则a3m＝__8__.
2.在下列各式的括号内,应填入b4的是(C)
A.b12＝( )8 B.b12＝( )6
C.b12＝( )3 D.b12＝( )2
3.若3x＝a,3y＝b,则32x＋y等于(A)
A.a2b B.a2＋b C.2a＋b D.2ab
4.计算：
(1)－p2·[(－p)3]5；
解：原式＝－p2·(－p3)5
＝－p2·(－p15)
＝p17；
(2)(n－m)3·[(m－n)2]5.
解：原式＝(n－m)3·(m－n)10
＝－(m－n)3·(m－n)10
＝－(m－n)13.
5.求值：已知x2n＝3,求(x3n)4的值.
解：(x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)幂的乘方的运算法则.
(2)幂的乘方的运用.
2.分层作业：
(1)教材P6习题第1～3题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
本节课的设计意图是让学生以“观察——归纳——概括”为主要线索,在自主探索与合作交流中获得知识,使不同层次的学生都能有所收获与发展.从本节课的教学反馈来看,创设的问题情境激发了学生浓厚的学习兴趣,在老师的引导下,学生时而轻松愉快,进而再观察、计算、思考、交流、总结,思维能力和有条理的语言表达能力得到培养.在亲身体验和探索中认识数学、解决问题,在小结中找出两者的区别,从本质上理解幂的乘方,合作精神得以培养,较好地完成了本节课的教学目标.
第2课时 积的乘方
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1.经历探索积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.
2.了解积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.
INCLUDEPICTURE"教学重难点.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\教学重难点.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\教学重难点.TIF" \* MERGEFORMATINET
重点：理解并正确运用积的乘方的运算性质.
难点：积的乘方的运算性质的探究过程及应用方法.
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一、情景导入
若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm,你能计算出它的体积是多少吗？
解：体积＝(1.1×103)3cm3.
式子(1.1×103)是幂的乘方形式吗？你能对其进行运算吗？其底数有什么特征？(同时展示学习目标)
二、新知探究
【探究一：积的乘方法则】
阅读教材P7做一做内容,完成下列问题.
1.填空,看看运算过程用到哪些运算律,从运算结果看能发现什么规律？
(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)(b·b)＝a(2)b(2)；
(2)(ab)3＝__(ab)·(ab)·(ab)__＝__(a·a·a)(b·b·b)__＝a(3)b(3)；
(3)(ab)n＝__(ab)·(ab)…(ab)__＝__(a…a)(b…b)__＝a(n)b(n)(n是正整数).
2.把你发现的规律先用文字语言表述,再用符号语言表达.
3.解决前面提到的正方体体积计算问题.
归纳结论：积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,即(ab)n＝anbn(n为正整数).
4.学习教材P7例2,完成教材P8练习.
5.巩固练习.
计算：
(1)(－xy)4；(2)(－2a2b3)3；
(3)(－3×102)3；(4)[－3a2(m＋n)3]2.
【教师导引】运用积的乘方法则进行计算,学生独立完成.
解：(1)x4y4；(2)－8a6b9；(3)－2.7×107；(4)9a4(m＋n)6.
【探究二：积的乘方法则的运用】
积的乘方法则可以进行逆运算,即：an·bn＝(ab)n(n为正整数).
分析这个等式：左边是幂的乘积,而且幂指数相同,右边积的乘方,且指数与左边指数相等,那么可以总结为：同指数幂相乘,底数相乘,指数不变.看来这也是降级运算了,即将幂的乘积转化为底数的乘法运算.
【例2】计算：
(1)(－)100·3100；
(2)()2018·()2019；
(3)(－0.125)15×(23)15.
【教师导引】注意到底数的积,－×3＝－1,×＝1,－0.125×8＝－1,可考虑逆用积的乘方,即anbn＝(ab)n(n为正整数).
解：(1)1；(2)；(3)－1.
巩固练习
1.已知x－y＝t,那么(3x－3y)3＝__27t3__.
2.若an＝,bn＝3,则(ab)2n＝____.
3.现规定一种运算“*”：a*b＝(ab)b,如3*2＝(3×2)2＝36,则*3的结果为____.
4.计算：
(1)(－0.25)2018×(－4)2019；
(2)－2100×0.5100×(－1)2019－.
解：(1)－4；(2).
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)积的乘方的运算法则.
(2)积的乘方的运用.
2.分层作业：
(1)教材P8习题第1～7题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
通过本节课的学习,发现学生分不清各种运算.对此,没有什么好的方法,只有多练,这是一个熟悉的过程.培养学生把解题思路应用到整个数学学习过程中,养成检验、反思的习惯,是提高学习效果、培养能力的行之有效的方法.因此,在不增加学生负担的前提下,要求的作业是每节课后必须进行巩固练习,利用作业的巩固练习给老师提出问题,结合作业做一些合适的反思,对学生来说是培养思维能力的一项有效的活动.
