2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系（36张PPT）

(共36张PPT)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
新课导入
同一平面内的直线有哪些位置关系？


a
b
o



a
b


相交

平行
回顾旧知


a
b
o

如何判断两直线相交？
两直线有公共交点。
如何判断两直线平行？
两直线在同一平面，且无公共交点。


a
b




在正方体的面ABCD中，AB与AD相交，AB与CD平行.AB和CC'的位置关系是平行还是相交还是两者都不是？
两者都不是
黑板两侧所在的直线与课桌边沿所在直线是什么位置关系？


既非平行
又非相交


旗杆所在的直线与其正后方跑道所在直线是什么位置关系？
既非平行
又非相交
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skew lines）
空间两条直线的位置关系：

共面直线
异面直线

相交直线
平行直线
不同在任何一个平面内，没有公共点。
同一平面内，有且只有一个公共点
同一平面内，没有公共点；












a
b


异面直线的画法
为表示异面直线不共面得特点，常以平面衬托。
下图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有 对。










D
B
A
C
E
F
H
G













3
直线EF和直线HG
直线AB和直线HG
直线AB和直线CD
探究
如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'//AA',DD'//AA',那么BB'与DD'平行吗？
平行




观察
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线相互平行．在空间中，如果两条直线都与第三条直线平行，是否也有类似的规律？
思考
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
———平行线的传递性
在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行。
公理４：
推广：
如图 ，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形。

B








C
A
D
E
F
H
G
所以EH//BD,且
证明：连接BD，
因为 EH是 的中位线，
同理FG//BD,且
因为EH//FG，且EH//FG
所以，四边形EFGH是平行四边形。
例三
在例三中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
四边形EFGH是菱形。
探究

B








C
A
D
E
F
H
G






A
O
B
C
P
D
E
F
Q

在平面上，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
思考
空间中，该结论是否仍然成立？
在长方体 中， ，
，的两对边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？




空间中如果有两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
定理
———等角定理












夹角
在平面内两直线相交成四个角，不大于90°的角成为夹角。


a
b

夹角刻画了一条直线对另一条直线的倾斜程度，异面直线通过异面直线所称的角来刻画。




O








O

异面直线所成的角
已知两条异面直线a, b,经过空间任一点O作直线a`//a, b`//b，我们把a`与b`所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。
为简便，O点常取
在某一直线上
如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线相互垂直．




记作：
思想方法：
异面直线

相交直线
平移
异面直线所成的角

空间图形问题
平面图形问题

（1）在长方体 ABCD-A'B'C'D'中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？
探究




有，如AB和CC‘，AB和DD’。
垂直
（2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线是否也与这条直线垂直？
垂直分为两种：

相交直线的垂直
异面直线的垂直









（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？





如图，若c⊥α，则c垂直于α内所有直线，而α内任意两条直线的关系可能是平行，也可能是相交。
不一定
A
B
G
F
H
E
D
C














例四
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求（1）哪些棱所在直线与直线BE是异面直线(2)BE与CG所成的角(3)FO与BD所成的角。
解: (1)棱CG,DH,CD,HG,AD,FG所在直线与直线BD是异面直线。
(2)∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，又 ? BEF中∠EBF =45°，所以BE与CG所成的角是45°。
A
B
G
F
H
E
D
C
















∵AH=HF=FA
∴△AFH为等边三角形，
依题意知O为AH中点， ∴∠HFO=30,
∴FO与BD所成的夹角是30°.
(2)连接FH
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD
∵HD EA，EA FB ∴HD FB
∥
=
∥
=
∥
=
A
B
G
F
H
E
D
C



















O
连接HA、AF
课堂小结
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
异面直线的定义:
相交直线
平行直线
异面直线

空间两直线的位置关系
公理４：
在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行。
空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。
等角定理：
异面直线所成的角:
平移，转化为相交直线所成的角。
高考链接
1（2017 湖南） 如图1，在正四棱柱
中， 分别是 ， 的中点，则下列结论中不成立的是（ ）
















A
B
C







F
图1
A. 与 垂直
B. 与 垂直
C. 与 异面
D. 与 异面
D
2.（2008 四川） 设直线 ，过平面 外一点A与 ， 都成30°角的直线有且只有 （ ）
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
B
随堂练习




一、下图长方体中
平行
相交
异面
②BD和FH是 直线
①EC和BH是 直线
③BH和DC是 直线
B
A
C
D
E
F
H
G




㈡与棱AB所在直线异面的棱共有 条?
4

分别是 ：CG、HD、GF、HE
㈠说出以下各对线段的位置关系?






1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。
3）a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线。
4）a与b是共面，b与c是共面，则a与c共面。
错
错
错
错
2）a α,b α,则a,b一定异面。
二、判断
1. 两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是( )
A. 一定是异面直线
B. 一定是相交直线
C. 可能是平行直线
D. 可能是异面直线，也可能是相交直线

2. 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.相交或异面
三、选择
B
D
3. 分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）A.异面 B.平行
C.相交 D.以上都有可能

4. 异面直线a，b满足a??，b??，?∩?=l，则l与a，b的位置关系一定是（ ）
A. l与a，b都相交
B .l至少与a，b中的一条相交
C. l至多与a，b中的一条相交
D. l至少与a，b中的一条平行
B
D
解答：


A
B
G
F
H
E
D
C












2




5. 已知长方体ABCD-EFGH中,AB =AD= ,AE = 2
(1)求BC和EG所成的角是多少度?
(2)求AE和BG所成的角是多少度?
(1)∵GF∥BC
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45。
(2) ∵BF∥AE ∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60°