2.3.3直线与平面垂直的性质(共21张PPT)

(共21张PPT)
2.3.3 直线与平面垂直的性质
新课导入
如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线垂直于该平面。
在上图中直线a,b都垂直于平面α，那么直线a与直线b之间有什么位置关系呢？

a

b



α




(1)在长方体ABCD- A'B'C'D'中，AA'⊥面AC，BB'⊥面AC，CC'⊥面AC，DD'⊥面AC，那上述四侧棱之间有什么位置关系呢？
观察

a

b



α
(2)直线a，b都垂直于平面α，那直线a，b之间有什么位置关系呢？
通过观察，大家可以大胆猜测直线a,b平行。下面我们来证明a,b平行。
O

b’
证明：（反证法）
假设a与b不平行
∵b⊥ ，设求b∩ =O,过点O做b'// ,
∵a⊥ ，∴b'⊥
则过一点O有两条直线b与b'⊥
这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾。
故假设不成立。
∴a//b

a

b



α
已知a⊥ ,b⊥ ,求证a//b。
直线和平面垂直的性质定理
符号表示：
垂直于同一平面的两直线互相平行。
线面垂直
线线平行


a

b

α
设直线a,b分别在正方体ABCD-A'B'C'D'中两个不同的平面内，欲使a∥b,a,b应满足什么条件？




探究

若a,b分别在正方体的两个相对面内，此时直线a，b必为这两个必为这两个面与第三个平面的交线。








a
b
若a,b分别在正方体的两个相邻面内，此时直线a，b必与这两个面的交线平行。









a
b









A

B
C
α
β
l
a



例六
如图，已知α∩β=l,CA⊥ 于点A，CB⊥β于点B,a ,a⊥AB,求证：a//l。
证明：
∵CA⊥面 ,∴CA ⊥a，
又∵a⊥ AB,∴ a⊥面ABC

∵CA⊥面 ∴CA ⊥ l，
同理CB⊥ l，
∴l⊥面ABC
∴a//l。


a

b


l



A
B

c
例七
已知l⊥α,l⊥β,求证α//β。
课堂小结
直线和平面垂直的性质定理：(用来判断两直线平行)
垂直于同一平面的两直线互相平行。

a

b



α
高考链接
1.（2019 广东，14分）如图，已知正方形
的棱长为2，点E是正方形
的中心，点F,G分别是棱 ， 的中点。设点
分别是点E,G在平面 内的正投影。
（Ⅰ）求以E为顶点，以四边形FGAR在平面
内的正投影为底面边界的棱锥的体积;
（Ⅱ）证明 ⊥平面 ;

（Ⅲ）求异面直线 与EA所成角的正弦值。


。
。
随堂练习
2)在空间中，垂直于同一直线的两条直线互相平行( )
3)垂直于同一平面的两直线互相平行( )
1)在平面中，垂直于同一直线的两条直线互相平行( )
4)垂直于同一直线的两平面互相平行( )
×
√
√
√
1.判断
2.如图，已知
求证：








α
a

A
B
b




β
l
提示：做b的平行线交a于点A，交α于点B，由直线a和AB做平面β，易知AB⊥两面交线，又由AB⊥a，得出a//两面交线，进而a//α。
（2）若∠PDA=45°，求证：MN⊥面PCD

3.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点求证：（1）MN⊥CD，









P
A
B
C
D
M
N


E





E
A
B
C
D