2019-2020学年苏科新版九年级上册数学《第1章 一元二次方程》单元测试卷（解析版）

2020年苏科新版九年级上册数学《第1章 一元二次方程》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（　　）
A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2
2．方程3x2＝1的解为（　　）
A．± B．± C． D．±
3．若方程x2﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m＝5可以配成（　　）
A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1
C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝11
4．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（　　）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9
5．已知菱形的两条对角线长是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根，则此菱形的边长是（　　）
A． B． C． D．
6．若实数x满足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
7．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，则下面说法正确的是（　　）
A．1一定不是方程x2+bx+a＝0的根
B．0一定不是方程x2+bx+a＝0的根
C．﹣1可能是方程x2+bx+a＝0的根
D．1和﹣1都是方程x2+bx+a＝0的根
8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为﹣1和4，那么：＝（　　）
A．3 B．﹣6 C．9 D．12
9．某超市1月份的营业额为200万元，到三月底营业额累计为1000万元．如果设平均每月的增长率为x，依题意得，可列出方程为（　　）
A．200（1+x）2＝1000
B．200（1+x）3＝1000
C．200（1+x）2＝800
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
10．某型号手机原来销售单价是4000元，经过两次降价促销，现在的销售单价是2560元，若两次降价的百分率相同，则平均每次降价（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
二．填空题（共8小题）
11．（m﹣1）x+x﹣＝0是一个一元二次方程，则m＝　 　．
12．一元二次方程（3x﹣1）（x+2）＝4化成一般形式是　 　．
13．关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则m的值为　 　．
14．对于实数p、q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若max{（x﹣1）2，x2}＝9，则x＝　 　．
15．已知k为整数，若关于x的二次方程kx2+（2k+3）x+1＝0有有理根，则k的值是　 　．
16．求满足0＜x＜y，且＝+的不同整数对（x，y）的对数　 　对．
17．两个质数p，q恰是整系数方程x2﹣99x+m＝0的两根，则＝　 　．
18．使代数式的值为整数的全体自然数x的和是　 　．
三．解答题（共8小题）
19．关于x的方程（k2+2k﹣2）x2+（k+1）x﹣3＝0（k为常数）
（1）该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由，如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时k的值；
（2）求k＝1时方程的解；
（3）求出一个k（k≠1）的值，使这个k的值代入原方程后，所得的方程中有一个解与（2）中方程的其中一个解相同．（本小题只需要求一个k的值就可以了）
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
21．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：x2+x＝0；
第2个方程：x2﹣1＝0；
第3个方程：x2﹣x﹣2＝0；
第4个方程：x2﹣2x﹣3＝0；
…
（1）第2015个方程是　 　；
（2）直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；
（3）说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．
22．（x﹣1）2＝2．
23．设a、b、c是互不相等的自然数，a?b2?c3＝540，则a+b+c的值是多少？
24．如果f（x）＝x2+x，证明方程4f（a）＝f（b）无正整数解a，b．
25．求这样的正整数a，使得方程ax2+2（2a﹣1）x+4a﹣7＝0至少有一个整数解．
26．试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1＝0有根且只有整数根．



2020年苏科新版九年级上册数学《第1章 一元二次方程》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，那么（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的根是（　　）
A．0，﹣ B．0， C．﹣1，2 D．1，﹣2
【分析】根据一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，可得关于a的方程，解方程可求a的值，将a的值代入方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0求解即可．
【解答】解：∵一元二次方程（a+1）x2﹣ax+a2﹣a﹣2＝0的一个根与方程（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0的一个根互为相反数，
∴，
a2﹣2a＝0，
a（a﹣2）＝0，
解得a1＝0（舍去），a2＝2，
把a＝2代入（a+1）x2+ax﹣a2+a+2＝0得3x2+2x﹣4+2+2＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣．
故选：A．
【点评】考查了相反数、一元二次方程的解，关键是根据相反数的定义得到关于a的方程，解方程求得a的值．
2．方程3x2＝1的解为（　　）
A．± B．± C． D．±
【分析】先把系数化1，再直接开平方．
【解答】解：先把系数化1，x2＝，
再直接开平方，x＝±＝±．
故选：D．
【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
3．若方程x2﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m＝5可以配成（　　）
A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1
C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝11
【分析】已知方程x2﹣8x+m＝0可以配方成（x﹣n）2＝6的形式，把x2﹣8x+m＝0配方即可得到一个关于m的方程，求得m的值，再利用配方法即可确定x2+8x+m＝5配方后的形式．
【解答】解：∵x2﹣8x+m＝0，
∴x2﹣8x＝﹣m，
∴x2﹣8x+16＝﹣m+16，
∴（x﹣4）2＝﹣m+16，
依题意有n＝4，﹣m+16＝6，
∴n＝4，m＝10，
∴x2+8x+m＝5是x2+8x+5＝0，
∴x2+8x+16＝﹣5+16，
∴（x+4）2＝11，
即（x+n）2＝11．
故选：D．
【点评】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（　　）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9
【分析】根据公式法求出方程的解，进一步根据2.2＜＜2.4，依此即可求出一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围．
【解答】解：x2﹣x＝1.1，
x2﹣x﹣1.1＝0，
△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4，
x＝，
x1＝，x2＝，
∵2.2＜＜2.4，
∴3.2＜1+＜3.4，
∴1.6＜＜1.7，
即一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是1.6＜x＜1.7．
故选：B．
【点评】考查了解一元二次方程﹣公式法，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
5．已知菱形的两条对角线长是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根，则此菱形的边长是（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出一元二次方程的解确定出两条对角线长，根据勾股定理即可求出菱形的边长．
【解答】解：方程x2﹣3x+2＝0，
分解得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得：x＝1或x＝2，
∵菱形的对角线互相垂直
∴根据勾股定理得：＝，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣因式分解法，同时本题还考查了菱形的对角线互相垂直的性质及勾股定理在计算中的应用，本题难度不大，属于中档题．
6．若实数x满足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（　　）
A．﹣2或4 B．4 C．﹣2 D．2或﹣4
【分析】设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，求出y，即可得出选项．
【解答】解：设x2+2x＝y，则原方程化为y（y﹣2）﹣8＝0，
解得：y＝4或﹣2，
当y＝4时，x2+2x＝4，此时方程有解，
当y＝﹣2时，x2+2x＝﹣2，此时方程无解，舍去，
所以x2+2x＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
7．已知关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，则下面说法正确的是（　　）
A．1一定不是方程x2+bx+a＝0的根
B．0一定不是方程x2+bx+a＝0的根
C．﹣1可能是方程x2+bx+a＝0的根
D．1和﹣1都是方程x2+bx+a＝0的根
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出b＝a+1或b＝﹣（a+1），当b＝a+1时，﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；当b＝﹣（a+1）时，1是方程x2+bx+a＝0的根．再结合a+1≠﹣（a+1），可得出1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2+2bx+（a+1）＝0有两个相等的实数根，
∴，
∴b＝a+1或b＝﹣（a+1）．
当b＝a+1时，有a﹣b+1＝0，此时﹣1是方程x2+bx+a＝0的根；
当b＝﹣（a+1）时，有a+b+1＝0，此时1是方程x2+bx+a＝0的根．
∵a+1≠0，
∴a+1≠﹣（a+1），
∴1和﹣1不都是关于x的方程x2+bx+a＝0的根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4；乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为﹣1和4，那么：＝（　　）
A．3 B．﹣6 C．9 D．12
【分析】由于乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为﹣1和4，所以设一元二次方程为：ax2﹣bx+c＝0，可得＝﹣1+4＝3，＝1×4＝﹣4，从而求解．
【解答】解：由于乙由于看错了一次项系数的符号，误求得两根为﹣1和4，
所以设一元二次方程为：ax2﹣bx+c＝0，则＝﹣1+4＝3，＝1×4＝﹣4，
所以＝+＝2×3+3×（﹣4）＝﹣6；
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的特点，以及方程之间的关系，难度不小．
9．某超市1月份的营业额为200万元，到三月底营业额累计为1000万元．如果设平均每月的增长率为x，依题意得，可列出方程为（　　）
A．200（1+x）2＝1000
B．200（1+x）3＝1000
C．200（1+x）2＝800
D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000
【分析】根据增长率问题，一般增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），关系式为：一月份月营业额+二月份月营业额+三月份月营业额＝1000，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，根据题意：二月份的月营业额为200×（1+x），
三月份的月销售额在二月份月销售额的基础上增加x，
为200×（1+x）×（1+x），则列出的方程是：200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000．
故选：D．
【点评】本题考查了增长率问题，关键是知道一月份的钱数和增长两个月后三月份的钱数，列出方程．
10．某型号手机原来销售单价是4000元，经过两次降价促销，现在的销售单价是2560元，若两次降价的百分率相同，则平均每次降价（　　）
A．10% B．15% C．20% D．25%
【分析】设两次降价的百分率为x，由题意得关于x的一元二次方程，求解方程，并求解作出取舍，问题得解．
【解答】解：设两次降价的百分率为x，由题意得：
4000（1﹣x）2＝2560
∴（1﹣x）2＝
∴1﹣x＝±0.8
∴x1＝1.8（舍），x2＝0.2＝20%
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，明确题目中的数量关系，是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．（m﹣1）x+x﹣＝0是一个一元二次方程，则m＝　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数计算即可．
【解答】解：由题意得，m2+1＝2，m﹣1≠0，
解得，m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
12．一元二次方程（3x﹣1）（x+2）＝4化成一般形式是　3x2+5x﹣6＝0　．
【分析】去括号、移项（使方程的右边是0）、合并同类项，即可得出答案．
【解答】解：（3x﹣1）（x+2）＝4，
3x2+6x﹣x﹣2﹣4＝0，
3x2+5x﹣6＝0，
故答案为：3x2+5x﹣6＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c是已知数，且a≠0）．
13．关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则m的值为　﹣4　．
【分析】把x＝1代入方程得到一个关于m的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝1代入得：4+m＝0
解得：m＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能得到方程4+m＝0是解此题的关键．
14．对于实数p、q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{1，2}＝2，若max{（x﹣1）2，x2}＝9，则x＝　3或﹣2　．
【分析】首先理解题意，进而可得max{（x﹣1）2，x2}＝9时分情况讨论，当x＝0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．
【解答】解：∵max{（x﹣1）2，x2}＝9，
当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出最大值为9，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则x2＝9，
解得：x1＝﹣3（不合题意，舍去），x2＝3，
（x﹣1）2＜x2，
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
x﹣1＝3，x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝﹣2，x2＝4（不合题意，舍去），
则综上所述：x的值为3或﹣2．
故答案为：3或﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的比较大小，以及解一元二次方程﹣直接开平方法，关键是正确理解题意．
15．已知k为整数，若关于x的二次方程kx2+（2k+3）x+1＝0有有理根，则k的值是　﹣2　．
【分析】先根据原方程有有理根可得出此方程的判别式为完全平方数即＝（2k+3）2﹣4k为完全平方数，设（2k+3）2﹣4k＝m2（m为正整数），即4k2+8k+9﹣m2＝0，再把此式看作关于k的二次方程，由题设可知此方程有整数根，再根据此方程的判别式为完全平方数即可得到关于n、m的方程组，求出m、n的值，进而可求出k的值．
【解答】解：∵关于x的二次方程kx2+（2k+3）x+1＝0有有理根，
∴△1＝（2k+3）2﹣4k为完全平方数，
设（2k+3）2﹣4k＝m2（m为正整数），即4k2+8k+9﹣m2＝0①，
将①式看作关于k的二次方程，由题设可知此方程有整数根，故①式的判别式△2＝64﹣16（9﹣m2）＝16（m2﹣5）应为完全平方数，
令m2﹣5＝n2（n为正整数，且m＞n），则有（m+n）（m﹣n）＝5，
∴，解得，
将m＝3代入①式得k＝﹣2或k＝0（舍去），
∴k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的整数根与有理根，解答此题的关键是熟知若方程有有理根，则此方程的判别式必为完全平方数这一关键知识点．
16．求满足0＜x＜y，且＝+的不同整数对（x，y）的对数　4　对．
【分析】先把化为最简根式的形式，再根据0＜x＜y把原根式分解成几个根式和的形式，即可进行解答．
【解答】解：∵＝10＝+9＝2+8＝3+7＝4+6，
又∵0＜x＜y，
∴x＝2时y＝162；x＝8时y＝128；x＝18时y＝98；x＝32时y＝72，
∴满足不同整数对（x，y）的对数为4对．
故答案为4．
【点评】本题考查的是无理方程的实数根，根据题意把化为最简根式的形式是解答此题的关键．
17．两个质数p，q恰是整系数方程x2﹣99x+m＝0的两根，则＝　　．
【分析】由于两个质数p，q恰是整系数方程x2﹣99x+m＝0的两根，根据根与系数的关系得到p+q＝99，由此即可确定故p，q中必有一个为2，而计算的代数式是对称的，所以可以设p＝2，从而q＝97，从而可以求出则的值．
【解答】解：依题意 由韦达定理，p+q＝99，
∵p，q是质数，
∴p，q中必有一个为2，
而要计算的代数式关于p，q是对称的，
不妨设p＝2，从而q＝97，
∴．
故答案为：
【点评】此题主要考查了一元二次方程的有理根与整数根，也考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时首先利用根与系数的关系得到p+q＝99，然后利用偶质数2即可解决问题．
18．使代数式的值为整数的全体自然数x的和是　22　．
【分析】将原式分解为x﹣1+，得到使得原式的值为整数的自然数分别为0、1、2、3、5、11，求的其和即可．
【解答】解：∵原式＝＝x﹣1+，
∴使得代数式的值为整数的全体自然数x分别为0、1、2、3、5、11，
∴全体自然数x的和是0+1+2+3+5+11＝22．
故答案为22．
【点评】本题考查了分式的化简与变形的知识，解决本题的关键是对原分式进行正确的分解与变形．
三．解答题（共8小题）
19．关于x的方程（k2+2k﹣2）x2+（k+1）x﹣3＝0（k为常数）
（1）该方程一定是一元二次方程吗？如果一定是，请说明理由，如果不一定是，请求出当方程不是一元二次方程时k的值；
（2）求k＝1时方程的解；
（3）求出一个k（k≠1）的值，使这个k的值代入原方程后，所得的方程中有一个解与（2）中方程的其中一个解相同．（本小题只需要求一个k的值就可以了）
【分析】（1）不一定，当k2+2k﹣2＝0时该方程为一元一次方程，解得k的值即可；
（2）把k＝1代入方程计算即可；
（3）把（2）中解得的x的值代入原方程解得k的值即可．
【解答】解：（1）不一定是．
当k2+2k﹣2＝0时该方程为一元一次方程，
解得，
答：方程不一定是一元二次方程，当方程不是一元二次方程时k的值为；
（2）k＝1代入得：x2+2x﹣3＝0
解得x1＝1，x2＝﹣3；
（3）x＝1代入得k＝﹣4，
或x＝﹣3代入得，
答：k的值为﹣4或．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义、以及解一元二次方程，掌握定义与解法是解题的关键．
20．已知关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
（1）求m的值；
（2）求方程的解．
【分析】（1）首先利用关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0得出m2﹣3m+2＝0，进而得出即可；
（2）分别将m的值代入原式求出即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0，
∴m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴m的值为1或2；

（2）当m＝1时，5x＝0，
解得x＝0．
当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0得出：
x2+5x＝0，
x（x+5）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解一元二次方程是解题关键．
21．观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：x2+x＝0；
第2个方程：x2﹣1＝0；
第3个方程：x2﹣x﹣2＝0；
第4个方程：x2﹣2x﹣3＝0；
…
（1）第2015个方程是　x2﹣2013x﹣2014＝0　；
（2）直接写出第n个方程，并求出第n个方程的解；
（3）说出这列一元二次方程的解的一个共同特点．
【分析】（1）根据前几个方程各项系数的特点可以写出第2015个方程；
（2）根据规律写出第n个方程，并用因式分解法求出第n个方程的解；
（3）根据一次项系数和常数项的特点进行解答即可．
【解答】解：（1）第2015个方程是：x2﹣2013x﹣2014＝0；
（2）第n个方程是：x2﹣（n﹣2）x﹣（n﹣1）＝0，
解得，x1＝﹣1，x2＝n﹣1；
（3）这列一元二次方程的解的一个共同特点是：有一根是﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义，能够找出各项系数的规律是解题的关键．
22．（x﹣1）2＝2．
【分析】利用直接开平方法求一元二次方程的解即可．
【解答】解：两边开平方得：x﹣1＝±，
方程的解是：x1＝1+，x2＝1﹣
【点评】本题考查了直接开平方解一元二次方程的方法，解题的关键是在进行开平方的时候注意有正负两个结果．
23．设a、b、c是互不相等的自然数，a?b2?c3＝540，则a+b+c的值是多少？
【分析】因为a?b2?c3＝540是积的形式，所以首先可将540分解质因数；再利用分类讨论的方法即可求得．注意此题易得a＝5，b＝2，c＝3，不过要注意c取1的情况，小心不要漏解．
【解答】解：∵a、b、c是互不相等的自然数，a?b2?c3＝540，
又∵540＝2×2×3×3×3×5，
∴可能为：a＝5，b＝2，c＝3，可得a+b+c＝10；
也可能为：c＝1，b＝2，a＝135，可得a+b+c＝138；
也可能为：c＝1，b＝3，a＝60，可得a+b+c＝64；
也可能为a＝15，b＝6，c＝1，可得a+b+c＝15+6+1＝22；
也可能为a＝20，b＝1，c＝3，可得a+b+c＝20+1+3＝24．
∴a+b+c的值是：10或138或64或22或24．
【点评】解此题要注意a?b2?c3＝540是积的形式，找到将540分解质因数的方法求解是关键．还要注意分析问题要全面，不要漏解．
24．如果f（x）＝x2+x，证明方程4f（a）＝f（b）无正整数解a，b．
【分析】首先根据已知得到：4a2+4a＝b2+b，然后分别将方程左右两边配方，即可知有一个为正整数时，另一个为无理数，则问题得证．
【解答】解：∵f（x）＝x2+x，
又∵4f（a）＝f（b），
∴4（a2+a）＝b2+b，
∴4a2+4a＝b2+b，
∴（2a+1）2＝b2+b+1，
∴2a+1＝±，
若b是正整数，
∵b2+b+1不是完全平方式，
∴是无理数，
同理：b+＝±，
若a是正整数，
∵4a2+4a+不是完全平方数，
∴是无理数，
∴方程4f（a）＝f（b）无正整数解a，b．
【点评】此题考查了一元二次方程的整数根与无理根的知识．解题的关键是配方知识的应用．
25．求这样的正整数a，使得方程ax2+2（2a﹣1）x+4a﹣7＝0至少有一个整数解．
【分析】此题求a，可以首先将x看作已知数，利用一元一次方程的求解方法求得a的值（用含有x的式子表示），然后利用a的取值要求可求得a的值．
【解答】解：把原方程改为关于a的一次方程（x+2）2a＝2x+7（x≠﹣2），
解得，a＝，
∵a≥1，
∴≥0，
解得：﹣3≤x≤1，
∴x＝﹣3，﹣1，0，1，
把x＝﹣3，﹣1，0，1分别代入，得a＝1，a＝5，a＝，a＝1．
∵a是正整数，
∴当a＝1或a＝5时，方程ax2+2（2a﹣1）x+4a﹣7＝0至少有一个整数解．
【点评】此题考查了学生对一元一次方程的求解．解题的关键是抓住a的取值要求，根据要求分析求解即可，注意分类讨论思想的应用．
26．试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1＝0有根且只有整数根．
【分析】由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当r≠0时，由根与系数关系得到关于r的两个等式，消去r，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．
【解答】解：（1）若r＝0，x＝，原方程无整数根；
（2）当r≠0时，x1+x2＝﹣，x1x2＝；
消去r得：4x1x2﹣2（x1+x2）+1＝7，
即（2x1﹣1）（2x2﹣1）＝7，
∵7＝1×7＝（﹣1）×（﹣7），
∴①，解得，
∴1×4＝，解得r＝﹣；
②，解得；
同理得：r＝﹣，
③，解得，r＝1，
④，解得，r＝1．
∴使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1＝0有根且只有整数根的r值是﹣或1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．