2019-2020学年苏科新版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元测试卷（解析版）

2020年苏科新版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．一个三角形三边的长是6，8，10，同时平分这个三角形周长和面积的直线有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长是下列哪一个关于x的方程的根（　　）

A．x2+ax＝b2 B．x2+2ax＝b2 C．x2﹣ax＝b2 D．x2﹣2ax＝b2
3．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域面积记为S1，黑色部分面积记为S2，其余部分面积记为S3，则（　　）

A．S1＝S2 B．S1＝S3 C．S2＝S3 D．S1＝S2+S3
4．如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则AC边上的高是（　　）

A．3 B． C． D．
5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④2xy+4＝49；其中说法正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
6．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13．则小正方形的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
7．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（　　）
A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
8．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．，， B．7，24，25 C．6，8，10 D．32，42，52
9．如图，将一根长为8cm（AB＝8cm）的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3cm至D点，则拉长后橡皮筋的长度为（　　）

A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
10．如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是（　　）

A．2米 B．2.2米 C．2.5米 D．2.7米
二．填空题（共8小题）
11．∠α＝24°24'＝　 　°，若∠α是一个直角三角形的其中一个锐角，则另一个锐角是　 　°．
12．如图△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AN平分∠BAC，AN⊥CN，则MN＝　 　．

13．在直角三角形中若勾为3，弦为5，则股为　 　．
14．△ABC为直角三角形，分别以三边向形外作三个正方形，且S1＝7，S2＝2，则S3＝　 　．

15．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为　 　．

16．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝5，AE＝4，则正方形EFGH的面积为　 　．

17．如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝　 　°．

18．已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝　 　．
三．解答题（共8小题）
19．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．
（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC　 　BO（填“＞”“＝”“＜”）；
（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；

（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．
20．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．

（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；
（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足△BCP的周长为14cm，求此时t的值；
（2）若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

22．在△ABC中，AB＝30，BC＝28，AC＝26．求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

23．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下
如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣a
S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+ab
S四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明
如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2

24．（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2，称为勾股定理．
证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝4×ab+（b﹣a）2，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2．
∴　 　
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
（3）如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2+b2＝c2．

25．△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．
26．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝12，BC＝9，∠ABC＝90°，且CD＝39，DA＝36．求四边形ABCD的面积．




2020年苏科新版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．一个三角形三边的长是6，8，10，同时平分这个三角形周长和面积的直线有（　　）条．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据勾股定理的逆定理知此三角形是直角三角形．应分情况讨论：
（1）若直线过△ABC的某个顶点；
（2）若直线交△ABC的某两条边．
【解答】解：（1）若直线过△ABC的某个顶点．如图，
假设直线过点A．如果直线平分△ABC的面积，则有BN＝NC，此时，AC＞AB，
所以周长相等不可能．同理直线过B、C也不存在；


（2）若直线交AB、BC于点M、N．如图，
设BN＝x，则BM＝12﹣x，作MD⊥BC，
由Rt△MBD∽Rt△ABC，可得MD＝；
根据S△MBN＝MD?BN＝S△ABC，
得BN＝6+，BM＝6﹣，即这样的直线存在，且只有一条，
综上，同时平分这个三角形周长和面积的直线有1条．
故选：A．


【点评】此题主要分情况考虑．分析的时候，首先保证符合其中一个条件，再进一步看是否满足另一个条件．
2．如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取，则AD的长是下列哪一个关于x的方程的根（　　）

A．x2+ax＝b2 B．x2+2ax＝b2 C．x2﹣ax＝b2 D．x2﹣2ax＝b2
【分析】设AD＝x，利用勾股定理得出答案．
【解答】解：设AD＝x，
根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，
整理得：x2+ax＝b2
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，利用勾股定理列出式子是解题的关键．
3．如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域面积记为S1，黑色部分面积记为S2，其余部分面积记为S3，则（　　）

A．S1＝S2 B．S1＝S3 C．S2＝S3 D．S1＝S2+S3
【分析】由勾股定理，由整个图形的面积减去以BC为直径的半圆的面积，即可得出结论．
【解答】解：Rt△ABC中，∵AB2+AC2＝BC2
∴S2＝π（AB）2+π（AC）2﹣π（BC）2+S△ABC＝π（AB2+AC2﹣BC2）+S△ABC＝S1．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理、圆面积公式以及数学常识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4．如图是边长为1的3×3的正方形网格，已知△ABC的三个顶点均在正方形格点上，则AC边上的高是（　　）

A．3 B． C． D．
【分析】由勾股定理求出AC的长，再由矩形的面积减去三个直角三角形的面积得出△ABC的面积，即可得出AC边上的高．
【解答】解：∵AC＝＝，△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×2×1﹣×3×1＝，
∴则AC边上的高＝＝；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，求出△ABC的面积是解题的关键．
5．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③x+y＝9；④2xy+4＝49；其中说法正确的是（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．
【解答】解：①∵△ABC为直角三角形，
∴根据勾股定理：x2+y2＝AB2＝49，
故本选项正确；
②由图可知，x﹣y＝CE＝＝2，
故本选项正确；
③由2xy+4＝49可得2xy＝45①，
又∵x2+y2＝49②，
∴①+②得，x2+2xy+y2＝49+45，
整理得，（x+y）2＝94，
x+y＝≠9，
故本选项错误；
④由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为4××xy+4＝49，
即2xy+4＝49；
故本选项正确．
∴正确结论有①②④．
故选：C．

【点评】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
6．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13．则小正方形的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【解答】解：∵（a+b）2＝21，
∴a2+2ab+b2＝21，
∵大正方形的面积为13，
∴2ab＝21﹣13＝8，
∴小正方形的面积为13﹣8＝5．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
7．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（　　）
A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理即可作出判断．
【解答】解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；
B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；
C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；
D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理，由三边满足的关系确定斜边、直角是解决问题的关键．
8．下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（　　）
A．，， B．7，24，25 C．6，8，10 D．32，42，52
【分析】先求出两小边的平方和，再求出大边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A、∵（）2+（）2＝（）2，
∴以、、为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵72+242＝252，
∴以7、24、25为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵62+82＝102，
∴以6、8、10为边的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵（32）2+（42）2≠（52）2，
∴以32、42、52为边的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
9．如图，将一根长为8cm（AB＝8cm）的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3cm至D点，则拉长后橡皮筋的长度为（　　）

A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD即为橡皮筋拉长后的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5cm；
同理可得BD＝5cm，
∴AD+BD＝10cm；
故拉长后橡皮筋的长度为10cm．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
10．如图，小明（视为小黑点）站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是（　　）

A．2米 B．2.2米 C．2.5米 D．2.7米
【分析】首先得出△AOE≌△OBF（AAS），得出OE＝BF，AE＝OF，求出OE+OF＝AE+BF＝CD＝17米，得出EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝7米，求出BF＝OE＝5米，OF＝12米，得出CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝12米，OM＝OF+FM＝15米，由勾股定理求出ON＝OA＝13米，进而求出MN的长即可．
【解答】解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：
则∠OEA＝∠BFO＝90°，
∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°
∴∠AOE＝∠OBF
在△AOE和△OBF中，，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE＝BF，AE＝OF，
∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（米）
∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（米），
∵OE+OF＝2EO+EF＝17米，
∴2OE＝17﹣7＝10（米），
∴BF＝OE＝5米，OF＝12米，
∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12（米），OM＝OF+FM＝12+3＝15（米），
由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13（米），
∴MN＝OM﹣OF＝15﹣13＝2（米）．
故选：A．

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理，证明△AOE≌△OBF是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．∠α＝24°24'＝　24.4　°，若∠α是一个直角三角形的其中一个锐角，则另一个锐角是　65.6　°．
【分析】根据度、分、秒之间的关系换算即可，根据三角形内角和定理求出另一个锐角．
【解答】解：∠α＝24°24'＝24.4°，
90°﹣24.4°＝65.6°，
故答案为24.4°，65.6°．
【点评】本题考查直角三角形的性质，度、分、秒的换算等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．如图△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，AN平分∠BAC，AN⊥CN，则MN＝　4　．

【分析】依据AN平分∠BAC，AN⊥CN，即可得到CN＝DN，即N是CD的中点，再根据点M是BC的中点，即可得出MN是△BCD的中位线，依据MN＝BD＝（AB﹣AD）进行计算即可．
【解答】解：如图所示，延长CN，交AB于点D，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝13，
∵AN平分∠BAC，AN⊥CN，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AC＝AD＝5，
∴CN＝DN，即N是CD的中点，
又∵点M是BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴MN＝BD＝（AB﹣AD）＝（13﹣5）＝4，
故答案为：4．

【点评】本题主要考查了三角形中位线定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰三角形ACD，利用三角形中位线定理得到MN的长．
13．在直角三角形中若勾为3，弦为5，则股为　4　．
【分析】由勾股定理即可得出结果．
【解答】解：由勾股定理得：＝4；
故答案为：4．
【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解题的关键．
14．△ABC为直角三角形，分别以三边向形外作三个正方形，且S1＝7，S2＝2，则S3＝　5　．

【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据正方形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，
由题意得：S1＝AB2＝7，S2＝BC2＝2，
∴S3＝AC2＝AB2﹣BC2＝7﹣2＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键．
15．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为　24　．

【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积．
【解答】解：设小正方形的边长为x，
∵a＝3，b＝4，
∴AB＝3+4＝7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（3+x）2+（x+4）2＝72，
整理得，x2+7x﹣12＝0，
∴x2+7x＝12，
∴该矩形的面积＝（3+x）（x+4）＝x2+7x+12＝12+12＝24．
故答案为：24．

【点评】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，得到关于x的方程是解题的关键．
16．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝5，AE＝4，则正方形EFGH的面积为　1　．

【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积＝大正方形面积﹣4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积．
【解答】解：直角三角形直角边的较短边为＝3，
正方形EFGH的面积＝5×5﹣4×3÷2×4＝25﹣24＝1．
故答案为：1．
【点评】此题考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．
17．如图所示的网格是正方形网格，∠APB＝　135　°．

【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝45°，
∴∠APB＝135°．
故答案为：135．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，平面内有一点D，连接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，则∠BCD＝　135°或45°　．
【分析】根据勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，求出∠ACD＝90°，再求出∠ACB＝45°问题即可解决．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴AC2＝42+42＝32，而CD2＝4，AD2＝62＝36，
∴AD2＝AC2+CD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD＝90°；
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝45°，
∴①∠BCD＝90°+45°＝135°；
②∠BCD＝90°﹣45°＝45°．
故∠BCD＝135°或45°．
故答案为：135°或45°．

【点评】该题主要考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
三．解答题（共8小题）
19．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．
（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC　＝　BO（填“＞”“＝”“＜”）；
（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；

（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．
【分析】（1）由直角三角形两锐角互余及等角的余角相等得∠BOC＝∠BCO＝60°，可得△BOC是等边三角形，即可证明；
（2）由直角三角形两锐角互余、等量代换求得∠DOE；然后由角平分线表示∠BOE，最后利用角的和可得结论；
（3）由角平分线的性质知∠FOM＝∠RON的度数，从而表示∠COR的度数，根据角平分线得∠OCR的度数，最后利用三角形的内角和定理可得结论．
【解答】解：（1）∵△AOB是直角三角形，
∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，
∵∠A＝∠AOC＝30°，
∴∠B＝∠BOC＝60°
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝BO
故答案为：＝；

（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，
∴∠DOE＝90°﹣α，
∵∠DOB＝∠BOE，
∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；

（3）∠P的度数不变，∠P＝27°．理由如下：
设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，
∵OF平分∠AOM，
∴∠FOM＝∠RON＝，
∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，
∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，
∵CR平分∠BCO，
∴∠OCR＝＝63°﹣，
∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，
∴∠R的度数不变，∠R＝27°．
【点评】本题综合考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．解答时，需注意，△ABO旋转后的形状与大小均无变化．
20．已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG与BG交于点G．

（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度数；
（2）如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若FE∥AD，求证：∠DFE＝∠ABC+∠G．
【分析】（1）先根据三角形的内角和得∠ABC＝40°，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数；
（2）根据三角形外角的性质分别表示∠BCD和∠DFC的度数，可得∠A和∠G的关系；
（3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠ABC＝40°，
∵BG平分∠ABC，
∴∠CBG＝20°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝90°，
∵DG平分∠ADE，
∴∠CDF＝45°，
∴∠CFD＝45°，
∵∠CFD＝∠FBG+∠G，
∴∠G＝45°﹣20°＝25°；
（2）如图2，∠A＝2∠G，理由是：
由（1）知：∠ABC＝2∠FBG，∠CDF＝∠CFD，
∵BC∥DE，
∴∠BCD＝∠CDE，
∵∠BCD＝∠A+∠ABC＝∠A+2∠FBG，
∴2∠FBG+∠A＝2∠CDF，
∴∠A＝2（∠CDF﹣∠FBG），
∵∠CFD＝∠FBG+∠G，
∴∠G＝∠CFD﹣∠FBG＝∠CDF﹣∠FBG，
∴∠A＝2∠G；
（3）如图3，∵EF∥AD，
∴∠DFE＝∠CDF，
由（2）得：∠CFD＝∠CDF，
∴∠DFE＝∠CFD＝∠FBG+∠G＝+∠G．
【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．
21．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足△BCP的周长为14cm，求此时t的值；
（2）若点P在∠BAC的平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．

【分析】（1）设存在点P，满足△BCP的周长为14cm，根据勾股定理列方程即可得到t的值；
（2）过P作PE⊥AB，设CP＝x，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程式进行解答即可；
（3）分类讨论：当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，若点P在AC上，根据AP的长即可得到t的值，若点P在AB上，根据P移动的路程易得t的值；当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD＝CD，则可判断PD为△ABC的中位线，则AP＝AB＝5，易得t的值；当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，易得t的值
【解答】解：（1）如图1所示：
由题意得：AP＝4t，∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝8，则CP＝8﹣4t，
∵△BCP的周长为14，
∴BP＝14﹣6﹣（8﹣4t）＝4t，
在Rt△BCP中，由勾股定理得：62+（8﹣4t）2＝（4t）2，
解得：t＝，
即t的值为秒；
（2）如图2，过P作PE⊥AB，
∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴CP＝EP，
在Rt△ACP和Rt△AEP中，，
∴△ACP≌△AEP（HL），
∴AC＝8cm＝AE，BE＝2，
设CP＝x，则BP＝6﹣x，PE＝x，
∴Rt△BEP中，BE2+PE2＝BP2，
即22+x2＝（6﹣x）2
解得x＝，
∴CP＝，
∴CA+CP＝8+＝，
∴t＝÷4＝（s）；
当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，
此时，t＝（10+8+6）÷4＝6（s）；
综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为s或6s；
（3）①如图2，当CP＝CB时，△BCP为等腰三角形，
若点P在CA上，则4t＝8﹣6，
解得t＝（s）；
②如图3，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，
∴t＝20÷4＝5（s）；
③如图4，若点P在AB上，CP＝CB＝6，作CD⊥AB于D，则根据面积法求得CD＝4.8，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝3.6，
∴PB＝2BD＝7.2，
∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，
此时t＝21.2÷4＝5.3（s）；
④如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，
∴PD为△ABC的中位线，
∴AP＝BP＝AB＝5，
∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，
∴t＝19÷4＝（s）；
综上所述，t为s或5.3s或5s或s时，△BCP为等腰三角形






【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形面积的计算以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键．解题时需要作辅助线构造直角三角形以及等腰三角形．
22．在△ABC中，AB＝30，BC＝28，AC＝26．求△ABC的面积．
某学习小组经过合作交流给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．

【分析】根据题意利用勾股定理表示出AD2的值，进而得出等式求出答案．
【解答】解：过点D作AD⊥BC，垂足为点D．
设BD＝x，则CD＝28﹣x．
在Rt△ABD中，AB＝30，BD＝x，
由勾股定理可得AD2＝AB2﹣BD2＝302﹣x2，
在Rt△ACD中，AC＝26，CD＝28﹣x，
由勾股定理可得AD2＝AC2﹣CD2＝262﹣（28﹣x）2，
∴302﹣x2＝262﹣（28﹣x）2，
解得：x＝18，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝302﹣x2＝302﹣182＝576，
∴AD＝24，
S△ABC＝BC?AD＝×28×24＝336
则△ABC的面积为336．

【点评】此题主要考查了勾股定理，根据题意正确表示出AD2的值是解题关键．
23．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下
如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣a
S四边形ADCB＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+ab
S四边形ADCB＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2
请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明
如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2

【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．
【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b﹣a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab＝ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2．

【点评】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键．
24．（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图1），这个矩形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2，称为勾股定理．
证明：∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝4×ab+（b﹣a）2，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2．
∴　a2+b2＝c2　
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
（3）如图3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，请你添加适当的辅助线，证明结论a2+b2＝c2．

【分析】（1）化简可得结论；
（2）根据四个全等的直角三角形的面积+中间小正方形的面积＝大正方形的面积，即可证明；
（3）如图3，作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论．
【解答】证明：（1）∵大正方形面积表示为S＝c2，又可表示为S＝4×ab+（b﹣a）2，
∴4×ab+（b﹣a）2＝c2．
∴2ab+b2﹣2ab+a2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
故答案为：a2+b2＝c2；
（2）证明：由图得，大正方形面积＝×ab×4+c2＝（a+b）×（a+b），
整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，
即a2+b2＝c2；
（3）如图3，过A作AF⊥AB，过E作EF⊥AF于F，交BC的延长线于D，则四边形ABDF是矩形，

∵△ACE是等腰直角三角形，
∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB+∠ECD，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠ECD，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，
S矩形ABDF＝b（a+b）＝2×ab++，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，矩形和正方形的面积，三角形的面积，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
25．△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．
【分析】由已知条件变形得出a（2+b）＝c（2+b），进一步得出a＝c即可．
【解答】解：△ABC是等腰三角形；理由如下：
∵2a+ab＝2c+bc，
∴a（2+b）＝c（2+b），
∴a（2+b）﹣c（2+b）＝0，
∴（2+b）（a﹣c）＝0，
∵2+b≠0，
∴a﹣c＝0，
∴a＝c，即△ABC是等腰三角形．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定以及因式分解的应用；关键是对已知式子进行整理得出a＝c．
26．如图，在四边形ABCD中，已知AB＝12，BC＝9，∠ABC＝90°，且CD＝39，DA＝36．求四边形ABCD的面积．

【分析】连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差．
【解答】解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝9，
∴AC＝15，
∵CD＝39，DA＝36，
AC2+DA2＝152+362＝1521，
CD2＝392＝1521，
∴△ADC为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABC
＝AC×AD﹣AB×BC
＝×15×36﹣×12×9
＝270﹣54
＝216．
故四边形ABCD的面积为216．

【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACD的形状是解答此题的关键．