2020版高中数学阶段质量检测（三）新人教A版必修3（word版含答案解析）

阶段质量检测(三)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某人在打靶中连续射击两次，与事件“至少有一次中靶”互斥的事件是(　　)
A．至多有一次中靶　B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
2．盘子里有肉馅、芹菜馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若它是肉馅包子的概率为，它不是豆沙馅包子的概率为，则芹菜馅包子的个数为(　　)
A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4
3．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为(　　)
A. B.
C. D.
4．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3,5，第三组有3个数为7,9,11，…，以此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5．一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率为(　　)
A. B.
C. D.

6．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“熟能生巧”．若铜钱是直径为1.5 cm的圆，中间有边长为0.5 cm的正方形孔，随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
7．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出1个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出1个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是(　　)
A. B.
C. D.

8．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)．设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷1 000颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为(　　)
A．134 B．866
C．300 D．500
9．A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于或等于半径长度的概率为(　　)
A. B.
C. D.

10．甲、乙两人在5次体育测试中的成绩(成绩为整数，满分为100分)如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损，用x代替，

第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 91 86 88 92 93
乙 87 85 86 99 9x
则乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是(　　)
A. B.
C. D.
11．设a∈[0,10)且a≠1，则函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上为增函数且g(x)＝在(0，＋∞)上也为增函数的概率为(　　)
A. B.
12．在如图所示的程序框图中，若输入的x∈[－1,4]，则输出的y∈(0,1]的概率为(　　)

A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球}，则P(A)＝__________；P(B)＝__________；P(C∪D)＝________.
14．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
15．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4?：5?：1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况．则每位老年教师被抽到的概率为________．
16．在区间[－π，π]内随机地取两个实数，分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1,2,3,4.现从盒子中随机抽取卡片．
(1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上的数字之和大于7的概率；
(2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求至少有一次抽到数字3的概率．
18.(12分)抛掷一个质地均匀的正方体玩具，它的六个面中有两个面上标有数字0，两个面上标有数字2，两个面上标有数字4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；
(2)在(1)的条件下，若以落在区域C上的所有点P为顶点作多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M内的概率．
19．(12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
20．(12分)“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某组织进行了一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：

年龄/岁 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
调查人数 4 6 14 12 8 6
参与的人数 3 4 12 6 3 2
(1)补全如图所示有关调查人数的频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计这50名居民年龄的中位数和平均数(结果精确到0.1)；

(2)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20)，[20,30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率．

21．(12分)工厂生产每台冰箱获得的利润与该冰箱首次出现故障的时间有关，某冰箱生产厂生产甲、乙两种品牌的冰箱，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌的冰箱中分别随机抽取50台，统计冰箱首次出现故障的时间，数据如下(将频率视为概率)：

品牌 甲 乙
首次出现故 障时间x/年 0＜x≤1 1＜x≤2 x＞2 0＜x≤2 x＞2
冰箱数量/台 2 3 45 5 45
(1)从该厂生产的乙品牌冰箱中随机抽取1台，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)从首次出现故障在保修期内的甲品牌冰箱中随机抽取2台，求抽取的2台冰箱中有1台首次出现故障时间在0＜x≤1年内，1台在1＜x≤2年内的概率．
22．(12分)在测试中，客观题难度的计算公式为Pi＝，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：

题号 1 2 3 4 5
考前预估难度Pi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对，“×”表示答错)：

　　　题号 学生编号　　　 1 2 3 4 5
1 × √ √ √ √
2 √ √ √ √ ×
3 √ √ √ √ ×
4 √ √ √ × ×
5 √ √ √ √ √
6 √ × × √ ×
7 × √ √ √ ×
8 √ × × × ×
9 √ √ × × ×
10 √ √ √ √ ×
(1)根据题中数据，将抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数．

题号 1 2 3 4 5
实测答对人数
实测难度
(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．
(3)定义统计量S＝[(P′1－P1)2＋(P′2－P2)2＋…＋(P′n－Pn)2]，其中P′i为第i(i＝1,2，…，n)题的实测难度．规定：若S＜0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．


阶段质量检测(三)（解析版）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某人在打靶中连续射击两次，与事件“至少有一次中靶”互斥的事件是(　　)
A．至多有一次中靶　B．两次都中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
解析：连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”．
答案：C
2．盘子里有肉馅、芹菜馅和豆沙馅的包子共10个，从中随机取出1个，若它是肉馅包子的概率为，它不是豆沙馅包子的概率为，则芹菜馅包子的个数为(　　)
A．1　　　　B．2 C．3　　　　D．4
解析：由题意，可知这个包子是肉馅或芹菜馅的概率为，所以它是芹菜馅包子的概率为－＝，故芹菜馅包子的个数为10×＝3.
答案：C
3．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：要使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根，需Δ＝1－4a＜0，解得a＞，由几何概型的定义，可知所求概率P＝＝.
答案：C
4．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3,5，第三组有3个数为7,9,11，…，以此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由已知可得前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中恰为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P＝.
答案：B
5．一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率为(　　)
A. B.
C. D.

解析：如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均不小于1的长度为1＋2＋3＝6，故所求概率P＝＝.
答案：C
6．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“熟能生巧”．若铜钱是直径为1.5 cm的圆，中间有边长为0.5 cm的正方形孔，随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题意，知所求的概率为P＝＝.
答案：A
7．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出1个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出1个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：记甲、乙各摸一次所得球的编号为(x，y)，则共有36个不同的结果，其中甲、乙摸出球的编号相同的结果有6个，故所求概率P＝1－＝.故选C.
答案：C

8．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)．设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷1 000颗米粒(大小忽略不计)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为(　　)
A．134 B．866
C．300 D．500
解析：设大正方形的边长为2a，则根据直角三角形其中一角为30°，可得直角三角形较短的直角边长为a，较长的直角边长为a，所以小正方形的边长为a－a，大正方形的面积为4a2，小正方形的面积为(－1)2a2＝(4－2)a2.米粒落在小正方形内的概率为＝，所以落在小正方形内的米粒数大约为1 000×≈134.故选A.
答案：A
9．A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度大于或等于半径长度的概率为(　　)
A. B.
C. D.

解析：如图，当A′位于B或C点时，AA′长度等于半径，此时∠BOC＝120°，
则优弧长度为πR.
故所求概率P＝＝.
答案：B
10．甲、乙两人在5次体育测试中的成绩(成绩为整数，满分为100分)如下表，其中乙的第5次成绩的个位数被污损，用x代替，

第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 91 86 88 92 93
乙 87 85 86 99 9x
则乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题可知甲的平均成绩为＝90，被污损前乙的第5次成绩可能是90,91,92,93,94,95,96,97,98,99，共10种可能．又当乙的第5次成绩为90,91,92时，乙的平均成绩低于甲的平均成绩，所以乙的平均成绩低于甲的平均成绩的概率是.
答案：D
11．设a∈[0,10)且a≠1，则函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上为增函数且g(x)＝在(0，＋∞)上也为增函数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：由题目条件，知a的所有可能取值为a∈[0,10)且a≠1.因为函数f(x)，g(x)在(0，＋∞)上都为增函数，所以，所以1＜a＜2，所以由几何概型的概率公式，知P＝＝.
答案：B
12．在如图所示的程序框图中，若输入的x∈[－1,4]，则输出的y∈(0,1]的概率为(　　)

A. B.
C. D.
解析：根据框图，可知当x∈[－1,0]时，y＝x∈[1,2]，当x∈(0,4]时，y＝∈(0,2]，∴使y∈(0,1]的x的取值范围是(0,1]，∴所求概率为＝.
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上)
13．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球}，则P(A)＝__________；P(B)＝__________；P(C∪D)＝________.
解析：由古典概型的算法可得P(A)＝＝，
P(B)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.
答案：　　
14．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为________．
解析：满足log2xy＝1的x，y有(1,2)，(2,4)，(3,6)这3种情况，而总的可能数为36种，所以P＝＝.
答案：
15．某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4?：5?：1，其中青年教师有120人．现采用分层抽样的方法从这所学校抽取一个容量为30的教师样本以了解教师的工作压力情况．则每位老年教师被抽到的概率为________．
解析：由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为4?：5?：1，知该校共有教师120÷＝300(人)．
采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为30的教师样本，因为在分层抽样中，每一层所抽取的比例相等，所以不同层中每位教师被抽到的概率相等．则每位老年教师被抽到的概率为P＝＝.
答案：
16．在区间[－π，π]内随机地取两个实数，分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为________．

解析：由题意知，点(a，b)在边长为2π的正方形内部(包括边界)．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，需满足4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，a2＋b2≥π表示以原点为圆心，为半径的圆及其外部，如图中阴影部分所示，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以函数f(x)有零点的概率为＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1,2,3,4.现从盒子中随机抽取卡片．
(1)若一次抽取3张卡片，求3张卡片上的数字之和大于7的概率；
(2)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求至少有一次抽到数字3的概率．
解析：(1)设A表示事件“抽取的3张卡片上的数字之和大于7”，任取3张卡片，3张卡片上的数字的全部可能结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共4个，
其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，共2个，
故P(A)＝.
(2)设B表示事件“至少有一次抽到数字3”，
第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片的全部可能结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．至少有一次抽到数字3的结果有(1,3)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，共7个．
故所求事件的概率为P(B)＝.
18.(12分)抛掷一个质地均匀的正方体玩具，它的六个面中有两个面上标有数字0，两个面上标有数字2，两个面上标有数字4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标．
(1)求点P落在区域C：x2＋y2≤10内的概率；
(2)在(1)的条件下，若以落在区域C上的所有点P为顶点作多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M内的概率．
解析：(1)以0,2,4为横、纵坐标的点P有(0,0)，(0,2)，(0,4)，(2,0)，(2,2)，(2,4)，(4,0)，(4,2)，(4,4)，共9个，

其中落在区域C内的点P有(0,0)，(0,2)，(2,0)，(2,2)，共4个，
所以所求概率为.
(2)根据题意，作出区域C和区域M，如图所示．
易求得区域M的面积为4，区域C的面积为10π，
所以所求概率为＝.
19．(12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．
解析：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．
②编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种．
因此，事件A发生的概率P(A)＝＝.
20．(12分)“抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某组织进行了一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，在几个大型小区随机抽取50名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：

年龄/岁 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
调查人数 4 6 14 12 8 6
参与的人数 3 4 12 6 3 2
(1)补全如图所示有关调查人数的频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计这50名居民年龄的中位数和平均数(结果精确到0.1)；

(2)在被调查的居民中，若从年龄在[10,20)，[20,30)内的居民中各随机选取1人参加抽奖活动，求选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率．

解析：(1)补全频率分布直方图，如图所示：
这50名居民年龄的平均数约为(15×0.008＋25×0.012＋35×0.028＋45×0.024＋55×0.016＋65×0.012)×10＝41.4.
设中位数为x，则0.08＋0.12＋0.28＋0.024(x－40)＝0.5，解得x≈40.8，
所以这50名居民年龄的中位数约为40.8.
(2)记年龄在[10,20)内的居民为a1，A2，A3，A4(其中居民a1没有参与抢红包活动)，年龄在[20,30)内的居民为b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民b1，b2没有参与抢红包活动)．
从年龄在[10,20)，[20,30)内的居民中各选取1人的情形有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，共24种．
其中仅有1人没有参与抢红包活动的情形有10种，所以选中的2人中仅有1人没有参与抢红包活动的概率P＝＝.
21．(12分)工厂生产每台冰箱获得的利润与该冰箱首次出现故障的时间有关，某冰箱生产厂生产甲、乙两种品牌的冰箱，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌的冰箱中分别随机抽取50台，统计冰箱首次出现故障的时间，数据如下(将频率视为概率)：

品牌 甲 乙
首次出现故 障时间x/年 0＜x≤1 1＜x≤2 x＞2 0＜x≤2 x＞2
冰箱数量/台 2 3 45 5 45
(1)从该厂生产的乙品牌冰箱中随机抽取1台，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)从首次出现故障在保修期内的甲品牌冰箱中随机抽取2台，求抽取的2台冰箱中有1台首次出现故障时间在0＜x≤1年内，1台在1＜x≤2年内的概率．
解析：(1)由题中表格可得，在乙品牌中，首次出现故障发生在保修期内的概率为P1＝＝.
(2)在甲品牌中，记首次出现故障时间在0＜x≤1年内的2台冰箱为A1，A2，首次出现故障时间在1＜x≤2年内的3台冰箱为B1，B2，B3，从中随机抽取2台，可能的结果为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10种，
其中有1台首次出现故障时间在0＜x≤1年内，1台在1＜x≤2年内的结果为(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共6种，
所以抽取的2台冰箱有1台首次出现故障时间在0＜x≤1年内，1台在1＜x≤2年内的概率为P2＝＝.
22．(12分)在测试中，客观题难度的计算公式为Pi＝，其中Pi为第i题的难度，Ri为答对该题的人数，N为参加测试的总人数．现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：

题号 1 2 3 4 5
考前预估难度Pi 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示(“√”表示答对，“×”表示答错)：

　　　题号 学生编号　　　 1 2 3 4 5
1 × √ √ √ √
2 √ √ √ √ ×
3 √ √ √ √ ×
4 √ √ √ × ×
5 √ √ √ √ √
6 √ × × √ ×
7 × √ √ √ ×
8 √ × × × ×
9 √ √ × × ×
10 √ √ √ √ ×
(1)根据题中数据，将抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数．

题号 1 2 3 4 5
实测答对人数
实测难度
(2)从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率．
(3)定义统计量S＝[(P′1－P1)2＋(P′2－P2)2＋…＋(P′n－Pn)2]，其中P′i为第i(i＝1,2，…，n)题的实测难度．规定：若S＜0.05，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理．判断本次测试的难度预估是否合理．
解析：(1)根据题中数据，可得抽取的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表所示：

题号 1 2 3 4 5
实测答对人数 8 8 7 7 2
实测难度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2
所以估计这120人中有120×0.2＝24人答对第5题．
(2)记编号为i的学生为Ai(i＝1,2,3,4,5)，
从这5人中随机抽取2人，所有的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A4，A5)，共10种，
其中恰好有1人答对第5题的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A5)，(A3，A5)，(A4，A5)，共6种．
故恰好有1人答对第5题的概率P＝＝.
(3)根据题意得：S＝[(0.8－0.9)2＋(0.8－0.8)2＋(0.7－0.7)2＋(0.7－0.6)2＋(0.2－0.4)2]＝0.012＜0.05，
故本次测试的难度预估合理．





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