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《17.2勾股定理的逆定理》导学案
教学目标 1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
重点难点 重点：掌握勾股定理的逆定理及证明难点：勾股定理的逆定理的证明及应用.
教学过程
知识回顾 1.勾股定理的主要内容是什么？（用文字表述） 2.上述定理的题设和结论是什么？
自主学习 认真阅读课本第31至33页的内容，思考下列问题： 1.勾股定理的逆定理内容，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形； 2.理解原命题、逆命题和逆定理的概念及关系；
合作探究 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形． 画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），想一想：它们是直角三角形吗？ ①2.5，6，6.5； ②4，7.5，8.5． 猜想：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是__________． 勾股定理的逆命题 命题2、如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是________。 命题1、如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么__________你能证明命题2正确吗？ 已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形． 归纳:原命题成立时,逆命题有时成立, 有时不成立一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.（如命题1与命题2是互逆的定理）试一试，练习：说出下列命题的逆命题．并判断这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，内错角相等． (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等． (3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 (4)全等三角形的对应角相等． 例1：判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝15，b＝8，c＝17； （2）a＝13，b＝14，c＝15. 例2：某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile ．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
自主尝试 1、画△ABC，使①a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm；②a＝2.5cm，b＝6cm，c＝6.5cm；③a＝4cm，b＝7.5cm，c＝8.5cm. 以上a、b、c的关系都满足_______________；△ABC是________三角形.课本中命题1与命题2的题设和结论正好______.像这样的两个命题叫做______命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ____________. 3、一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是_______________，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.。
当堂检测 1.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？ (1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= (4) a:b: c=3:4:5 2. 如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数） 则△ABC是直角三角形 3.小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地.小明向东走80米后是向哪个方向走的？ 4.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC的形状。
小结反思 通过本节课的学习你学会了什么？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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《17.2勾股定理的逆定理》导学案
教学目标 1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
重点难点 重点：掌握勾股定理的逆定理及证明难点：勾股定理的逆定理的证明及应用.
教学过程
知识回顾 1.勾股定理的主要内容是什么？（用文字表述） 2.上述定理的题设和结论是什么？想一想：反过来，如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 .那么这个三角形的形状怎样？这句话是真命题还是假命题，有什么作用？本节课我们一起来学习.
自主学习 认真阅读课本第31至33页的内容，思考下列问题： 1.勾股定理的逆定理内容，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形； 2.理解原命题、逆命题和逆定理的概念及关系；
合作探究 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形． 相传，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角. 画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），想一想：它们是直角三角形吗？ ①2.5，6，6.5； ②4，7.5，8.5． 猜想：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理的逆命题 命题2、如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。 命题1、如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2 你能证明命题2正确吗？ 已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形． 分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。 ⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。 ⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。 ⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。 ⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。 证明略。 归纳: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立 一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题. 互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理.（如命题1与命题2是互逆的定理）试一试，练习：说出下列命题的逆命题．并判断这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，内错角相等． (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等． (3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 (4)全等三角形的对应角相等．答案：成立、不成立、成立、不成立 例1：判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a＝15，b＝8，c＝17； （2）a＝13，b＝14，c＝15. 让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 答案：是、不是 例2：某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile ．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？分析：⑴了解方位角，及方位名词； ⑵依题意画出图形； ⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30； ⑷因为242+182=302，PQ2+PR2=QR2，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。解：根据题意， PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，QR＝30. ∵242＋182＝302， 即PQ 2＋PR 2＝ QR2， ∴∠QPR＝ 90° 由“远航”号沿东北方向航行 可知,∠1＝45°,∴∠2＝ 45°， 即“海天”号沿西北方向航行.
自主尝试 1、画△ABC，使①a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm；②a＝2.5cm，b＝6cm，c＝6.5cm；③a＝4cm，b＝7.5cm，c＝8.5cm. 以上a、b、c的关系都满足_______________；△ABC是________三角形.答案：a2+b2=c2、直角2、课本中命题1与命题2的题设和结论正好______.像这样的两个命题叫做______命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ____________.答案：相反、互逆、逆命题3、一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是_______________，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.。答案：正确的
当堂检测 1.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？ (1) a=25 b=20 c=15 (2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= (4) a:b: c=3:4:5 2. 如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数） 则△ABC是直角三角形 解：∵ a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数） ∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2 ∴△ABC是直角三角形。3.小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地.小明向东走80米后是向哪个方向走的？ 解：根据题意得 ∵802+602=1002 ∴小明行走的轨迹， 是直角三角形. ∴小明向东走80米后 是向南或向北走的（右图所示） 4.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC的形状。 ∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c , ∴a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0 ∴(a-5)2+（b-12）2+（c-13）2=0 ∴a=5，b=12，c=13，是一组勾股数 ∴利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形
小结反思 通过本节课的学习你学会了什么？
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(共23张PPT)
17.2勾股定理的逆定理
人教版 八年级下
知识回顾
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：直角三角形的
两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：a2+b2=c2．
形
数
反过来，如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 .那么这个三角形的形状怎样？
自主学习
1.勾股定理的逆定理内容，并会用它判断一个三角形是不是直角三角形；
2.理解原命题、逆命题和逆定理的概念及关系；
自主尝试
1、画△ABC，使①a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm；②a＝2.5cm，b＝6cm，c＝6.5cm；③a＝4cm，b＝7.5cm，c＝8.5cm. 以上a、b、c的关系都满足_______________；△ABC是________三角形.
a2+b2=c2
直角
自主尝试
相反
互逆
正确的
逆命题
新知讲解
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．
相传，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角.
新知讲解
画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的 平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm）， 想一想：它们是直角三角形吗？
① 2.5，6，6.5； ② 4，7.5，8.5．
6
2.5
6.5
90°
7.5
4
8.5
猜想：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
新知讲解
勾股定理的逆命题
命题1、如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理
互逆命题
你能证明命题2正确吗？
新知讲解
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．
证明：画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，
A'C'＝b，∠C'＝90°，由勾股定理得：
即△ABC是直角三角形
新知讲解
归纳: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成立
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.
互逆定理:
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,
那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理,
其中一个叫做另一个的逆定理.
（如勾股定理与勾股定理的逆定理是互逆的定理）
巩固练习
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
(4)全等三角形的对应角相等．
说出下列命题的逆命题．并判断这些命题的
逆命题成立吗?
新知讲解
例1：判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a＝15，b＝8，c＝17；
解:(1)∵152＋82 ＝225＋64＝289，
172 ＝289，
∴152＋82 ＝172.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
像15，8，17
这样，能够成为
直角三角形三条
边长的三个正整
数，称为勾股数
新知讲解
解： (2)∵132＋142 ＝169＋196＝365，
152 ＝225，
∴132＋142 ≠152.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．
例1：判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（2） a＝13，b＝14，c＝15.
新知讲解
例2：某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．
它们离开港口一个半小时后
分别位于点Q，R处，且相距
30 n mile ．如果知道“远航”
号沿东北方向航行，能知道
“海天”号沿哪个方向航行吗？
新知讲解
解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，
QR＝30.
∵242＋182＝302，
即PQ 2＋PR 2＝ QR2，
∴∠QPR＝ 90°
由“远航”号沿东北方向航行
可知,∠1＝45°,
∴∠2＝ 45°，
即“海天”号沿西北方向航行.
当堂检测
1.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15
(2) a=13 b=14 c=15
(4) a:b: c=3:4:5
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
当堂检测
2. 如果△ABC的三边长分别为 a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）
则△ABC是直角三角形
解：∵ a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整数）
∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2
=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+n4
=(m2+n2)2
=c2
∴△ABC是直角三角形。
当堂检测
3.小明向东走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三个方向走100米回到原地.小明向东走80米后是向哪个方向走的？
解：根据题意得
∵802+602=1002
∴小明行走的轨迹，
是直角三角形.
∴小明向东走80米后
是向南或向北走的（右图所示）
当堂检测
4.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断△ABC的形状。
∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c ,
∴a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0
∴(a-5)2+（b-12）2+（c-13）2=0
∴a=5，b=12，c=13，是一组勾股数
∴利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形
课堂总结
1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题
3、什么称为互为逆定理。
作业布置
教材33页练习1、2、3题
谢谢
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