（新教材）2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：9.1　随机抽样Word版含答案

9.1　随机抽样
考点
学习目标
核心素养
抽样调查
理解全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据等概念
数学抽象
简单随机抽样
理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机抽样的两种方法：抽签法和随机数法
数学抽象、逻辑推理
分层随机抽样
理解分层随机抽样的概念，并会解决相关问题
数学抽象、逻辑推理
问题导学
预习教材P173－P187的内容，思考以下问题：
1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？
2.什么叫简单随机抽样？
3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种？
4.抽签法是如何操作的？
5.随机数法是如何操作的？
6.什么叫分层随机抽样？
7.分层随机抽样适用于什么情况？
8.分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？
9.获取数据的途径有哪些？
1.全面调查与抽样调查
（1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ.
（2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ.
（3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ.
（4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ.
（5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ.
（6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据.
2.简单随机抽样
（1）有放回简单随机抽样
一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n（2）不放回简单随机抽样
如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.
（3）简单随机抽样
放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.
（4）简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
（5）简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
■名师点拨
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（1）从总体中，逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本，一次性批量随机抽取n个个体作为样本，两种方法是等价的.
（2）简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?
3.总体平均数与样本平均数
（1）总体平均数
①一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝Yi为总体均值，又称总体平均数.
②如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i＝1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYiＷ.
（2）样本平均数
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.
4.分层随机抽样
（1）分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层Ｗ.
（2）比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
5.分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数
（1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：①第1层的总体平均数和样本平均数分别为＝＝Xi，＝＝xi.
②第2层的总体平均数和样本平均数分别为＝＝Yi，＝＝yi.
③总体平均数和样本平均数分别为＝，＝Ｗ.
（2）由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数.因此我们可以用eq
\f(M×＋N×,M＋N)＝＋估计总体平均数.
（3）在比例分配的分层随机抽样中，＝＝，可得＋＝＋＝.因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
6.获取数据的途径
获取数据的基本途径有：（1）通过调查获取数据；（2）通过试验获取数据；（3）通过观察获取数据；（4）通过查询获取数据
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）高考考生的身体检查，是抽样调查.（　　）
（2）某养鱼专业户要了解鱼塘中鱼的平均质量，是抽样调查.（　　）
（3）在简单随机抽样中，一次可以抽取多个个体.（　　）
（4）抽签法和随机数法都是简单随机抽样.（　　）
（5）无论是抽签法还是随机数法，每一个个体被抽到的机会都是均等的.（　　）
（6）在分层随机抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层有关.（　　）
答案：（1）×　（2）√　（3）×　（4）√　（5）√　（6）×
抽签法中确保样本代表性的关键是（　　）
A.制签　　　　　　　
B.搅拌均匀
C.逐一抽取
D.抽取不放回
解析：选B.逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保代表性的关键，一次抽取与有放回抽取（个体被重复取出可不算再放回）也不影响样本的代表性，制签也一样.
为了保证分层随机抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求（　　）
A.每层等可能抽取
B.每层抽取的个体数相等
C.每层抽取的个体数可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n·（i＝1，2，…，k）个个体（其中i是层的序号，k是总层数，n为抽取的样本容量，Ni是第i层中的个体数，N是总体容量）
D.只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制
解析：选C.分层随机抽样时，在各层中按层中所含个体在总体中所占的比例进行抽样.
A中，虽然每层等可能地抽样，但是没有指明各层中应抽取几个个体，故A不正确；
B中，由于每层的个体数不一定相等，每层抽取同样多的个体数，显然从总体来看，各层的个体被抽取的可能性就不相等了，因此B也不正确；
C中，对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每个个体来说，被抽取为样本的可能性是相同的，故C正确；D显然不正确.
从一批零件中抽取10个，测得它们的长度（单位：cm）如下：
22.36　22.35　22.33　22.35　22.37　22.34　22.38
22.36　22.32　22.35
由此估计这批零件的平均长度.
在此统计活动中：
（1）总体为　　　　　　　；
（2）个体为　　　　　　　；
（3）样本为　　　　　　　；
（4）样本量为　　　　　　　Ｗ.
答案：（1）这批零件的长度　（2）每个零件的长度　（3）抽取的10个零件的长度　（4）10
一个班共有54人，其中男同学、女同学之比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为　　　　，每个女同学被抽取的可能性为　　　　Ｗ.
解析：男、女每人被抽取的可能性是相同的，因为男同学共有54×＝30（人），女同学共有54×＝24（人），
所以每个男同学被抽取的可能性为＝，每个女同学被抽取的可能性为＝.
答案：　
　　　　　　　　总体、样本等概念辨析题
　为了调查参加运动会的1
000名运动员的平均年龄，从中抽取了100名运动员进行调查，下面说法正确的是（　　）
A.1
000名运动员是总体
B.每个运动员是个体
C.抽取的100名运动员是样本
D.样本量是100
【解析】　根据调查的目的可知，总体是这1
000名运动员的年龄，个体是每个运动员的年龄，样本是抽取的100名运动员的年龄，样本量为100.故答案为D.
【答案】　D
此类题目要正确理解总体与个体的概念，要弄明白概念的实质，并注意样本与样本容量的不同，其中样本量为数目，无单位.　
　为了了解全年级240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，下列说法正确的是（　　）
A.总体是240　　　　　　　　
B.个体是每一个学生
C.样本容量是40名学生
D.样本量为40
解析：选D.本题调查的对象是“学生的身高”这一项指标，故A、B不正确.而样本量是数量，故C不正确.由此可见，研究此类问题首先要弄清楚所要调查的对象是什么.
　　　　　　　　简单随机抽样的概念
　下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；
（2）仓库中有1万支奥运火炬，从中一次抽取100支火炬进行质量检查；
（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作.
【解】　（1）不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.（2）不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.（3）不是简单随机抽样.因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.
要判断所给的抽样方法是否为简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点.　
　下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
（1）某工厂的质检员从一袋30个螺母中一次性取出5个进行质量检测；
（2）某商品的市场调查员为了了解该商品在某日某超市的销售情况，在超市出口处随机向10个顾客询问是否购买了该商品；
（3）某班级有4个小组，每组共有12个同学.班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部；
（4）中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码.
解：简单随机抽样要求：被抽取的样本的总体个数确定且较少，抽取样本时要求逐个抽取，每个个体被抽取的可能性一样.所以（1）不是，因为是一次性抽取不是逐个抽取；（2）不是，被抽取的样本的总体个数不确定；（3）不是，班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样；（4）是，它属于简单随机抽样中的随机数法.
　　　　　　　　抽签法及随机数法的应用
　某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程.
【解】　（1）利用抽签法步骤如下：
第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03，…，50.
第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签.
第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀.
第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码.
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.
（2）利用随机数法步骤如下：
第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3，…，50.
第二步：用随机数工具产生1～50范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本.
第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数.
对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.
（1）利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：
①编号时，如果已有编号（如学号、标号等）可不必重新编号.（例如该题中50名同学，可以直接利用学号）
②号签要求大小、形状完全相同.
③号签要搅拌均匀.
④抽取号签时要逐一、不放回抽取.
（2）利用随机数法抽取样本时应注意的问题：如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，应剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需的人数.　
　从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请选用合适的方法确定这5架钢琴.
解：第一步，将20架钢琴编号，号码是0，1，…，19.
第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签.
第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀.
第四步，从袋子中逐个不放回地抽取5个号签，并记录上面的编号.
第五步，所得号码对应的5架钢琴就是要抽取的对象.
　　　　　　　　分层随机抽样中的有关计算
　（1）某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工的人数为　　　　Ｗ.
（2）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
a
b
c
剪纸
x
y
z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取　　　　人.
【解析】　（1）设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×＝18.
（2）法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的，
故“剪纸”社团的人数占总人数的，
所以“剪纸”社团的人数为800×＝320；
因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，
所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96.
由题意知，抽样比为＝，
所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×＝6.
法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的，
故“剪纸”社团的人数占总人数的，
所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×＝20.
又“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，
所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×＝6.
【答案】　（1）18　（2）6
分层随机抽样中有关计算的方法
（1）抽样比＝＝.
（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比.
对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解.　
1.为了调查城市PM2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层随机抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为（　　）
A.3　　　　　　　　
B.4
C.5
D.6
解析：选B.根据分层随机抽样的特点可知，抽样比为＝，则应抽取的中型城市数为16×＝4.
2.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，则应抽取超过45岁的职工　　　　人.
解析：抽样比为25∶200＝1∶8，而超过45岁的职工有80人，则从中应抽取的个体数为80×＝10.
答案：10
　　　　　　　　样本平均数的求法
　（1）甲在本次飞镖游戏中的成绩为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8.求甲在本次游戏中的平均成绩.
（2）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值.
【解】　（1）甲在本次游戏中的平均成绩为＝7.8.
（2）合在一起后的样本均值为＝＝.
在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为.　
　某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙3个班中，按分层随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间（单位：h），数据如下.
甲
6
6.5
7
7.5
8
乙
6
7
8
9
10
11
12
丙
3
4.5
6
7.5
9
10.5
12
13.5
（1）求三个班中学生人数之比；
（2）估计这个学校高一的学生中，一周的锻炼时间超过10个小时的百分比；
（3）估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间.
解：（1）由题干中的表格可知，按分层随机抽样的方法从甲、乙、丙3个班中分别抽取5个，7个，8个学生.故三个班学生人数之比为5∶7∶8.
（2）由题意知，抽取的20个学生中，一周的锻炼时间超过10小时的有5人，故一周的锻炼时间超过10个小时的百分比为＝25%.
（3）从甲班抽取的5名学生的总时间为6＋6.5＋7＋7.5＋8＝35.
从乙班抽取的7名学生的总时间为6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝63.
从丙班抽取的8名学生的总时间为3＋4.5＋6＋7.5＋9＋10.5＋12＋13.5＝66.
则＝＝8.2.
即这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2小时.
1.在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性（　　）
A.与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些
B.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等
C.与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些
D.每个个体被抽中的可能性无法确定
解析：选B.在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关.
2.若对某校1
200名学生的耐力做调查，抽取其中120名学生，测试他们1
500米跑的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（　　）
A.120名学生　　　　　　　
B.1
200名学生
C.120名学生的成绩
D.1
200名学生的成绩
解析：选C.本题抽取的是120名学生的成绩，因此每个学生的成绩是个体，这120名学生的成绩构成一个样本.
3.（2019·广西钦州市期末考试）某中学共有1
000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为（　　）
A.20
B.25
C.30
D.35
解析：选D.高一年级抽取的人数为×100＝35.故选D.
4.在调查某中学的学生身高时，利用分层抽样的方法抽取男生20人，女生15人，得到了男生身高的平均值为170，女生身高的平均值为165.试估计该中学所有学生的平均身高是多少？
解：＝＝167.即该中学所有学生的平均身高为167.
[A　基础达标]
1.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5
000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5
000名居民的阅读时间的全体是（　　）
A.总体　　　　　　　
B.个体
C.样本量
D.从总体中抽取的一个样本
解析：选A.根据题意，结合总体、样本、个体、样本量的定义可知，5
000名居民的阅读时间的全体是总体.
2.下列调查的样本合理的是（　　）
①在校内发出一千张印有全校各班级的选票，要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”，以了解最受欢迎的教师是谁；
②从一万多名工人中，经过选举，确定100名代表，然后投票表决，了解工人们对厂长的信任情况；
③到老年公寓进行调查，了解全市老年人的健康状况；
④为了了解全班同学每天的睡眠时间，在每个小组中各随机抽取3名学生进行调查.
A.①②
B.②④
C.①④
D.③④
解析：选B.①中样本不具有代表性、有效性，在班级前画“√”与了解最受欢迎的老师没有关系；③中样本缺乏代表性；而②④是合理的样本.
3.从一群玩游戏的小孩中随机抽出k人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏.过了一会儿，再从中任取m人，发现其中有n个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（　　）
A.
B.k＋m－n
C.
D.不能估计
解析：选C.设参加游戏的小孩有x人，则＝，x＝.
4.（2019·河北省枣强中学期末考试）某中学高二年级共有学生2
400人，为了解他们的身体状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生为（　　）
A.1
260人
B.1
230人
C.1
200人
D.1
140人
解析：选D.设女生总人数为x人，由分层随机抽样的方法，可得抽取女生人数为80－42＝38（人），所以＝，解得x＝1
140.故选D.
5.（2019·河北省石家庄市期末考试）某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人依次抽取的人数是（　　）
A.7，11，19
B.7，12，17
C.6，13，17
D.6，12，18
解析：选D.由题意，老年人27人，中年人54人，青年人81人的比例为1∶2∶3，所以抽取人数：
老年人：×36＝6，
中年人：×36＝12，
青年人：×36＝18.
故选D.
6.为了考察某地6月份最高气温的情况，随机抽取了5天，所得数据约为29，29，31，30，31，则该地6月份最高气温的平均值约为　　　　Ｗ.
解析：＝30.
答案：30
7.（2019·四川省遂宁市期末考试）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层随机抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为　　　　Ｗ.
解析：用分层随机抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为200×＝40.
答案：40
8.（2019·福建省三明市期末质量检测）某校为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层随机抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为k∶5∶4，抽取的样本中高一学生为120人，则k的值为　　　　Ｗ.
解析：由题意可得，＝，解得k＝6.
答案：6
9.某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序.
解：第一步：先确定艺人：（1）将30名内地艺人从1到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明的箱子中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出.（2）运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人.
第二步：确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可.
10.某单位有2
000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各岗位中的人数情况如下表所示：
管理
技术开发
营销
生产
合计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1
200
合计
160
320
480
1
040
2
000
（1）若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
（2）若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪金调整方案的座谈会，则应怎样抽选出席人？
解：（1）用分层随机抽样法，并按老年职工4人，中年职工12人，青年职工24人抽取.
（2）用分层随机抽样法，并按管理岗位2人，技术开发岗位4人，营销岗位6人，生产岗位13人抽取.
[B　能力提升]
11.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（　　）
A.4
B.5
C.6
D.7
解析：选C.四类食品的种数比为4∶1∶3∶2，则抽取的植物油类的种数为20×＝2，抽取的果蔬类的种数为20×＝4，二者之和为6种，故选C.
12.（2019·湖南省张家界市期末）我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题“今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣　　　　　　人”.
解析：今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣487×＝145（人）.
答案：145
13.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作为样本.
若用分层随机抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取　　　　名.
解析：由题意知，40岁以下年龄段的职工人数为200×50%＝100.若用分层随机抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取×100＝20（名）.
答案：20
14.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定：
（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.
解：（1）设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a、b、c，
则有＝47.5%，＝10%，
解得b＝50%，c＝10%，
故a＝100%－50%－10%＝40%，
即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%.
（2）游泳组中，
抽取的青年人人数为200××40%＝60（人）；
抽取的中年人人数为200××50%＝75（人）；
抽取的老年人人数为200××10%＝15（人）.
即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60人，75人，15人.
[C　拓展探究]
15.为了对某课题进行讨论研究，用分层随机抽样的方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）.
高校
相关人数
抽取人数
A
x
1
B
36
y
C
54
3
（1）求x，y；
（2）若从高校B相关人员中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程.
解：（1）分层随机抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有＝ x＝18，＝ y＝2.故x＝18，y＝2.
（2）总体和样本量较小，所以应采用抽签法，过程如下：
第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36；
第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；
第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次不放回地抽取2个号码，并记录上面的编号；
第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本.
PAGE