京改版九年级数学上册19．4．2《二次函数的应用（2）》教案

北京版九年级数学上册
第19章 二次函数和反比例函数
19.4《二次函数的应用（2）》教案
教学目标
一、知识与技能
1. 通过自主学习和合作探究，使学生能够通过探究几何图形的长度和面积之间的关系，列出函数关系式；并确定自变量的取值范围.
2. 通过巩固与运用，让学生会用二次函数顶点公式求实际问题中的极值,增强解决问题的能力．
二、知识与能力
采用自主、合作、探究的学习方法，引导学生学会探究几何图形的长度和面积之间的关系，解决面积问题抛物线问题，进一步体会应用用二次函数顶点公式求实际问题中的极值问题，增强解决实际问题的能力．
三、情感态度与价值观
通过学习、理解和运用，让学生从实际问题中认识到几何图形的长度和面积之间的关系，体会运用二次函数顶点公式求实际问题中的极值的便利性，促进学生综合素质的提高．
教学重点
能够学会运用二次函数顶点公式求实际问题中的极值，增强解决问题的能力．
教学难点
熟练运用出二次函数关系式，并解决几何图形的最大（小）值.
教学过程
一、知识回顾
1.二次函数y=a(x-h)?+k的图象是一条 ,它的对称轴是 ,顶点坐标是 .
2.二次函数y=ax?+bx+c的图象是一条 ,它的对称轴是 ,顶点坐标是 .
3.二次函数y=2(x-3)?+5的对称轴是 ,顶点坐标是 .
4.二次函数y=x?-4x+9的对称轴是 ,顶点坐标是 .
二、知识探究
1. 课件出示：
有一长为7.2米的木料，做成如图的“日”字形的窗框，当窗框的高和宽分别取多少米时，这个窗框的面积最大(不考虑木料加工时的损耗和木框本身所占的面积)?

解：设窗框的宽为x米，则窗框的高为米．
∴窗框的面积S＝x·＝－x2＋x.
当x＝－＝－＝1.2时，S有最大值．
此时，窗框的高为＝1.8.
答：当窗框的高为1.8米，宽为1.2米时，这个窗框的面积最大．
2．课件出示：
如图，在△ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠BAC＝90°.动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC的方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动．设点P的运动时间为t s，四边形APQC的面积为y cm2.
(1)求y与t的函数解析式，并写出t的取值范围．
(2)当t为何值时，y取得最小值？最小值为多少？


解：(1)过点P作PH⊥BC，垂足为H.
由题意可知，BP＝(4－t)cm，BH＝PH.
在Rt△PHB中，PH＝BP＝(4－t)(cm)．
∴S△BPQ＝BQ·PH＝(4－t)t＝－t2＋t.
∴y＝S△ABC－S△BPQ＝8－＝t2－t＋8.
∴y与t的函数解析式为y＝t2－t＋8，t的取值范围为0＜t＜4.
(2)y＝t2－t＋8＝(t－2)2＋8－.
∴当t＝2时，y取得最小值，最小值是8－.
四、例题精析
例 如下图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD.其中AB和AD分别在两直角边上．

(1)如果设矩形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
分析：(1)要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC.由△EBC∽△EAF，得＝，即＝.∴AD＝BC＝ (40－x)．
(2)要求面积的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x· (40－x)的最大值，就转化为数学问题了．
解：(1)∵BC//AD，
∴△EBC∽△EAF.∴＝.
又AB＝x，BE＝40－x，
∴＝.
∴BC＝ (40－x)．
∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x.
(2)y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x
＝－(x2－40x＋400－400)
＝－(x2－40x＋400)＋300
＝－(x －20)2＋300
∴当x＝20时，y最大＝300.
即当x取20 m时，y的值最大，最大值是300 m2.
师：下面我们换一个条件．设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？与同伴交流．
分析：要求面积需求AB的边长，∵AB＝DC，而DC是△FDC中的一边，∴可以利用三角形相似来求．
解：∵DC//AB，
∴△FDC∽△FAE.
∴＝.
∵AD＝x，FD＝30－x.
∴＝.
∴AB＝DC＝ (30－x)．
y＝AB·AD＝x·(30－x)
＝－ x2＋40x
＝－(x2－30x＋225－225)
＝－ (x－15)2＋300.
∴当x＝15时，y最大＝300.
即当AD的长为15 m时，矩形的面积最大，最大面积是300 m2.
师：把上面的问题中矩形ABCD改为如图所示位置，其他条件不变，那么矩形ABCD的最大面积是多少？

处理方式：学生讨论后形成结论，教师让一名学生根据形成的结论板书过程，然后引导学生评价过程的正确性．
解：由题意可求出斜边为50 m，斜边上的高为24 m，设矩形的长为x m，宽为a m，矩形ABCD的面积为y m2，则＝，得a＝24－x，∴y＝－x2＋24x，当x＝25时，y的最大值为300.
五、当堂训练
练习1 如图，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为y m2.
(1)求y与x的函数表达式．
(2)如果要围成面积为45 m2的花圃，那么AB的长是多少米？

练习2 为了响应 “创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m，另外三边由36 m长的栅栏围成．设在矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x m，面积为y m2(如图)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
(2)若矩形空地的面积为160 m2，求x的值．
(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问：丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．
甲 乙 丙
单价/(元/棵) 14 16 28
合理用地/(m2/棵) 0.4 1 0.4

七、课堂小结
1、分析题意，把实际问题转化为数学问题，根据已知条件建立适当的平面直角坐标系。
2、选用适当的解析式求解。
3、根据二次函数的解析式解决具体的实际问题。
八、布置作业
完成课本练习题.