人教版数学中考复习教学讲义——圆综合复习(提高，含知识讲解，巩固练习，附答案)

中考总复习：圆综合复习—知识讲解（提高）

【考纲要求】
1.圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明定会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；
2.今后的中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．
【知识网络】
【典型例题】
类型一、圆的有关概念及性质
1． BC为的弦，∠BOC=130°，△ABC为的内接三角形，求∠A的度数.
【思路点拨】依题意知为△ABC的外心，由外心O的位置可知应分两种情况进行解答.
【答案与解析】
应分两种情况，当O在△ABC内部时，

当O在△ABC外部时，由∠BOC=130°，得劣弧BC的度数为130，则的度数为
360－130＝230,故∠A=115°.
综合以上得∠A=65°或∠A=115°.
【总结升华】
转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决.
举一反三：
【变式】如图，∠AOB＝100°，点C在⊙O上，且点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为（ ）
A．　　 B．或 　　C．　　 D． 或
【答案】
解：当点C在优弧上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，
当点C在劣弧上时，∠ACB＝（360°－∠AOB）＝×（360°－100°）＝130°．
故选D．
类型二、与圆有关的位置关系
2．如图，已知正方形的边长是4cm，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．（答案保留π）

【思路点拨】
设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r，根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可．
【答案与解析】
解：设正方形外接圆，内切圆的半径分别为R，r，
如图，连接OE、OA，
则OA2-OE2=AE2，即R2-r2=（）2=（）2=4，
S圆环=S大圆-S小圆=πR2-πr2，（2分）
=π（R2-r2），（3分）
∵R2-r2=（）2=4，
∴S=4π（cm2）．

【总结升华】
此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，找出两圆半径之间的关系，根据圆的面积公式列出关系式即可．
3．如图，已知⊙O的半径为6cm，射线PM经过点O，，射线PN与⊙O相切于点Q．A,B两点同时从点P出发，点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动，点以4cm/s的速度沿射线方向运动．设运动时间为s．
（1）求PQ的长；
（2）当为何值时，直线与⊙O相切？

【思路点拨】
(1)连OQ,则OQ⊥PN,由勾股定理可以求得PQ的长；(2)由直线AB与⊙O相切,先找出结论成立的条件,当BQ等于⊙O的半径时,直线AB与⊙O相切,再根据直线AB与⊙O相切时的不同位置,分类求出的值.
【答案与解析】
解 （1）连接OQ．
∵PN与⊙O相切于点Q，∴OQ⊥PN, 即．
，，∴
（2）过点作，垂足为．
点的运动速度为5cm/s，点的运动速度为4cm/s，运动时间为s，
∴，．，，∴
，∴△PAB∽△POQ, ∴∠PBA=∠PQO=900
，
∴四边形为矩形．∴BQ=OC
∵⊙O的半径为6，∴BQ=OC=6时，直线与⊙O相切．

①当运动到如图1所示的位置时．
．
由，得．解得．
②当运动到如图2所示的位置时．
．
由，得．解得．
所以，当为0.5s或3.5s时,直线与⊙O相切．
【总结升华】
本例是一道双动点几何动态题.是近年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大，对学生获取信息和处理信息的能力要求较高；解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系，动中取静，静中求动.
举一反三：

【变式】已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长．

【答案】
（1）证明：连结.
与⊙相切，为切点.

直线是线段的垂直平分线.

是⊙的直径.
与⊙相切.
（2）解：过点作于点，则∥.
在中，

由勾股定理得
在中，同理得

是的中点，

∥，
∴△AMD∽△ABF

类型三、与圆有关的计算
4．如图，有一个圆O和两个正六边形T1，T2． T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．
（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求r：a及r：b的值；
（2）求正六边形T1，T2的面积比S1：S2的值．

【思路点拨】
（1）根据圆内接正六边形的半径等于它的边长，则r：a=1：1；在由圆的半径和正六边形的半边以及正六边形的半径组成的直角三角形中，根据锐角三角函数即可求得其比值；
（2）根据相似多边形的面积比是相似比的平方．由（1）可以求得其相似比，再进一步求得其面积比．
【答案与解析】
解：（1）连接圆心O和T1的6个顶点可得6个全等的正三角形．
所以r：a=1：1；
连接圆心O和T2相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，
所以r：b=AO：BO=sin60°=：2；

（2）T1：T2的边长比是：2，所以S1：S2=（a：b）2=3：4．
【总结升华】
计算正多边形中的有关量的时候，可以构造到由正多边形的半径、边心距、半边组成的直角三角形中，根据锐角三角函数进行计算．注意：相似多边形的面积比即是其相似比的平方．
举一反三：
【变式】有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的周长和面积．（结果保留根号）
【答案】
解：连接OB、OC；∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC==60°，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=8m，∴正六边形ABCDEF的周长=6×8=48m．
过O作OG⊥BC于G，∵△OBC是等边三角形，OB=8m，∴∠OBC=60°，∴OG=OB?sin∠OBC=8×=4m，∴S△OBC=BC?OG=×8×4=16，∴S六边形ABCDEF=6S△OBC=6×16=96m2．
类型四、与圆有关的综合应用
5．（2019?孝感模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，交AB、AC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若sin∠ABC=，CF=1，求⊙O的半径及EF的长．
　　　　　　　　　【思路点拨】
（1）连接OD，只要证明OD⊥EF即可．
（2）连接BD，CD，根据相似三角形的判定可得到△CDF∽△ABD∽△ADF，根据相似比及勾股定理即可求得半径及EF的值．
【答案与解析】
（1）证明：连接OD；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°；
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA；
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AF，
∴∠ODE=∠AFD=90°，
即OD⊥EF；
又∵EF过点D，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：连接BD，CD；
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠AFD；
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴BD=CD；
设BD=CD=a；
又∵EF是⊙O的切线，
∴∠CDF=∠DAC，
∴∠CDF=∠OAD=∠DAC，
∴△CDF∽△ABD∽△ADF，
∴=，=；
∵sin∠ABC==，
∴设AC=3x，AB=4x，
∴=，则a2=4x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得 DF2=CD2﹣CF2=4x﹣1；
又∵=，
∴4x﹣1=1×（1+3x），
∴x=2，
∴AB=4x=8，AC=3x=6；
∵EF∥BC，
∴△ABC∽△AEF，
∴=，=，AE=，
∴在Rt△AEF中，EF===．
综上所述，⊙O的半径及EF的长分别是4和．
【总结升华】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点的综合运用．
举一反三：

【变式】（2019?宁波模拟）已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且BD=BA，过点B画AD的垂线交AC于点O，以O为圆心，AO为半径画圆．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，tan∠C=，求线段AB的长，sin∠ADB的值．
【答案】
解：（1）连接OD，
∵BA=BD，BO⊥AD，
∴∠ABO=∠DBO，
在△ABO和△DBO中
，
∴△ABO≌△DBO（SAS），
∴OD=OA．∠ODB=∠OAB=90°，
∴BD⊥OD，
∴BC是⊙O的切线；
（2）∵在RT△ODC中，CD===6，
∴OC=10，
∴AC=18
在RT△ABC中，AB=AC?tan∠C=18×=24，
∵∠ADB=∠DAB=∠AOB，
∴sin∠ADB=sin∠AOB==，
6． （1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，
求证：PA=PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，
求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．

【思路点拨】
（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE，证明△PCE是等边三角形．利用CE=PC，∠E=60°，
∠EBC=∠PAC，得到△BEC≌△APC，所以PA=BE=PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，证明△ABE≌△CBP，所以PC=AE，可得PA=PC+PB．（3）在AP上截取AQ=PC，连接BQ可证△ABQ≌△CBP，所以BQ=BP．又因为∠APB=30°．
所以PQ=PB，PA=PQ+AQ=PB+PC．
【答案与解析】
证明：（1）延长BP至E，使PE=PC，连接CE．∵∠BAC=∠CPE=60°，PE=PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE=PC，∠E=60°；又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE=PC，AC=BC，∴△BEC≌△APC（SAS），∴PA=BE=PB+PC．
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3，
又∵∠APB=45°，
∴BP=BE，∴；
又∵AB=BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC=AE．
∴．
（3）答：；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ=PC，
连接BQ，∵∠BAP=∠BCP，AB=BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ=BP．
∴MP=QM，
又∵∠APB=30°，
∴cos30°=，
∴PM=PB，
∴
∴
【总结升华】
本题考查三角形全等的性质和判定方法以及正多边形和圆的有关知识．要熟悉这些基本性质才能灵活运用解决综合性的习题．
举一反三：
【变式】（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点且BM=CN，连接OM、ON，
求∠MON的度数；
（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…
正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，则图②中∠MON的度数是 ，图③中∠MON的度数是 ；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是 ；
（3）若3≤n≤8，各自有一个正多边形，则从中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是 .

【答案】
解：（1）连接OB、OC；∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴OB=OC∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°；又∵BM=CN，∴△OBM≌△OCN， ∴∠MOB=∠NOC，∴∠MON=∠BOC=120°；
（2）90°；72°；．
（3）.
中考总复习：圆综合复习—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题1．（2019?杨浦区三模）已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d的取值范围是（　　）
A．d＞8 B．d＞2 C．0≤d＜2 D．d＞8或d＜2
2．如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB＝1，BC＝2，则OA＝( )
A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交

第2题 第3题 第5题
4．已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1＝3，则圆O1与圆O2的位置关系是( )
A．相交或相切 B．相切或相离 C．相交或内含 D．相切或内含
5．如图所示，在圆O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝2，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )
A．19 B．16 C．18 D．20
6．如图，MN是半径为0.5的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为( )
A． B． C．1 D．2
二、填空题
7．如图，分别以A，B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C，D两点，则∠CAD的度数为_______．
8．如图，现有圆心角为90°的一个扇形纸片，该扇形的半径是50cm．小红同学为了在圣诞节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么被剪去的扇形纸片的圆心角应该是________度．

第7题 第8题 第9题
9．如图，AB⊥BC，AB＝BC＝2 cm，与关于点O中心对称，则AB、BC、、所围成的面积是________cm2．
10．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3 cm和5 cm，则AB的长为________cm．
11．将半径为4 cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱(如图所示)，当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是________cm．

第10题 第11题
12．（2019?安徽模拟）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：
①∠BOC=90°+∠A；②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn； ④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是　 　．
三、解答题
13．（2019?滕州市校级模拟）如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．
（1）证明：BC是⊙O的切线；
（2）若DC=4，AC=6，求圆心O到AD的距离；
（3）若，求的值．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．
(1)若BE是△DEC外接圆的切线，求∠C的大小；
(2)当AB＝1，BC＝2时，求△DEC外接圆的半径．

15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连接AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连接BF．
(1)证明：AF平分∠BAC；
(2)证明：BF＝FD；
(3)若EF＝4，DE＝3，求AD的长．

16. 如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD＝2PA．
(1)证明：直线PB是⊙O的切线；
(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；
(3)求sin∠OPA的值．

【答案与解析】
一、选择题1.【答案】D ；
【解析】没有公共点的两个圆的位置关系，应该是内含和外离，
当内含时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＜R﹣r，即d＜2；
当外离时，这两个圆的圆心距d的取值范围是d＞R+r，即d＞8．
故选D．
2.【答案】A ；
【解析】作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别是E，F，连接BD，
则AE＝DF，∠ABD＝90°，EF＝BC＝2，
设AE＝x，则AD＝2+2x．
由△ABE∽△ADB可得，
即，解得．
∴ AD＝2+2x＝1+，则．
3.【答案】B ；
【解析】如图，过C作CD⊥AB于D，

在Rt△CBD中，BC＝4cm，∠B＝30°，
∴ CD＝BC＝(cm)．
又⊙C的半径为2cm，
∴ d＝r．
∴ 直线AB与⊙C相似．
4.【答案】A ；
【解析】因为AO1＝3，所以点A在圆O1上，又因为点A在圆O2上，
所以圆O1与圆O2的位置关系是相交或相切．
5.【答案】D ；
【解析】延长AO交BC于D点，过O作OE⊥BD于E．
∵ ∠A＝∠B＝60°，∴ ∠ADB＝60°．
∴ △DAB是等边三角形，BD＝AB＝12．
在Rt△ODE中，OD＝12-8＝4，∠ODE＝60°，
∴ DE＝OD·cos 60°＝，∴ BE＝10，故BC＝2BE＝2×10＝20．
6.【答案】A；
【解析】过B作BB′⊥MN交⊙O于B′，连接AB′交MN于P，此时PA+PB＝AB′最小．
连AO并延长交⊙O于C，连接CB′，在Rt△ACB′中，AC＝1，∠C＝，
∴ ．

二、填空题
7．【答案】120°；
【解析】连接BC，BD，则△ABC与△ABD都是等边三角形，故∠CAB＝∠DAB＝60°，
所以∠CAD＝60°+60°＝120°．
8．【答案】18 ；
【解析】设被剪去的扇形纸片的圆心角为θ度，
则由题意．
∴ θ＝18．
9．【答案】2 ；
【解析】连接AC，因为与关于点O中心对称，所以A，O，C三点共线，，
所以所求圆形的面积＝△ABC的面积(cm2)．
10．【答案】8 ；
【解析】连接OC，OA，则OC垂直平分AB，由勾股定理知，
所以AB＝2AC＝8．
11．【答案】1 ；
【解析】如图是几何体的轴截面，由题意得OD＝OA＝4，2πCD＝4π，
∴ CD＝2．
则．
设EF＝x，EC＝y，由△OEF∽△OCD得，
∴ ．
∴ ．
∴ 当x＝1时，S有最大值．
12．【答案】①②；
【解析】如图
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
而∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠1+2∠2+∠A=180°，
∴∠1+∠2=90°﹣∠A，
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴180°﹣∠BOC=90°﹣∠A，
∴∠BOC=90°∠A，所以①正确；
∵EF∥BC，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
而∠1=∠EBO，∠2=∠FCO，
∴∠EBO=∠3，∠4=∠FCO，
∴EB=EO，FC=FO，
∴BE+FC=EF，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，所以②正确；
连OA，过O作OG⊥AE于G，如图，
∵点O为△ABC的内心，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m，
∴S△AEF=S△OAE+S△OAF=AE?m+AF?m=（AE+AF）?m=mn，所以③不正确；
∵EB=EO，FC=FO，
若EF是△ABC的中位线，则EB=AE，FC=AF，
∴AE=EO，AF=FO，
∴AE+AF=EO+FO=EF，这不符合三角形三边的关系，所以④不正确．
故答案为：①②．
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠DAC，
∴AC∥OD，
∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，
即BC是⊙O的切线．
（2）在Rt△ADC中，∠ACD=90°，由勾股定理，
得：，
作OF⊥AD于F，根据垂径定理得
可证△AOF∽△ADC
∴∴
∴；
（3）连接ED，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∴在Rt△AED中，tan∠EAD==tan∠DAC=，
∵∠AED=90°，
∴∠EDB+∠ADC=90°，
∵∠DAC+∠ADC=90°，
∴∠EDB=∠DAC=∠EAD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BDA，
∴．
14.【答案与解析】
(1)∵ DE垂直平分AC，∴ ∠DEC＝90°．
∴ DC为△DEC外接圆的直径．
∴ DC的中点O即为圆心．
连接OE，又知BE是⊙O的切线，
∴ ∠EBO+∠BOE＝90°．
在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，
∴ BE＝EC．
∴ ∠EBC＝∠C．
又∵ ∠BOE＝2∠C，∴ ∠C+2∠C＝90°．
∴ ∠C＝30°．
(2)在Rt△ABC中，，
∴ ．
∵ ∠ABC＝∠DEC＝90°，∴ △ABC∽△DEC．
∴ ．∴ ．
∴ △DEC外接圆的半径为．
15.【答案与解析】
(1)证明：连接OF ．
∵ FH是⊙O的切线，
∴ OF⊥FH．
∵ FH∥BC，
∴ OF垂直平分BC．
∴ ．
∴ AF平分∠BAC．

(2)证明：由(1)及题设条件可知
∠1＝∠2，∠4＝∠3，∠5＝∠2，
∴ ∠1+∠4＝∠2+∠3．
∴ ∠1+∠4＝∠5+∠3，即∠FDB＝FBD．
∴ BF＝FD．
(3)解：在△BFE和△AFB中，
∵ ∠5＝∠2＝∠1，∠BFE＝∠AFB，
∴ △BFE∽△AFB．
∴ ，
∴ ，
∴ ．
16.【答案与解析】
(1)证明：连接OB．
∵ BC∥OP，
∴ ∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠POB．
又∵ OC＝OB，∴ ∠BCO＝∠CBO．
∴ ∠POB＝∠POA．
又∵ PO＝PO，OB＝OA，
∴ △POB≌△POA．
∴ ∠PBO＝∠PAO＝90°．
∴ PB是⊙O的切线．
(2)解：2PO＝3BC．(写PO＝BC亦可)
证明：∵ △POB≌△POA，∴ PB＝PA．
∵ BD＝2PA，∴ BD＝2PB．
∵ BC∥PO，∴ △DBC∽△DPO．
∴ ，
∴ 2PO＝3BC．
(3)解：∵ △DBC∽△DPO，
∴ ，即，
∴ DC＝2OC．
设OA＝x，PA＝y，则OD＝3x，OB＝x，BD＝2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理，得(3x)2＝x2+(2y)2，即2x2＝y2．
∵ x＞0，y＞0，
∴ ，．
∴ ．