第二章DIERZHANG空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
课后训练案巩固提升
1.下面几个命题:①向量的模是一个正实数;②所有的单位向量相等;③所有的零向量相等;④一条直线的方向向量是相等的.其中错误的命题个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:0的模为0,故①错;所有单位向量的模相等,但方向不一定相同,故②错,③对;一条直线的方向向量不唯一,故④错.
答案:B
2.在四边形ABCD中,若,且||=||,则四边形ABCD为( )
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不确定
解析:若,则AB=DC,且AB∥DC,所以四边形ABCD为平行四边形.又||=||,即AC=BD,
所以四边形ABCD为矩形.
答案:B
3.把空间所有单位向量归结到一个共同的始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一个圆 B.两个孤立的点
C.一个球面 D.一个平面
解析:半径为1的球面上所有点到球心的距离为1.
答案:C
4.在正三棱锥A-BCD中,E,F分别为棱AB,CD的中点,设<>=α,<>=β,则α+β=( )
A. B. C. D.
解析:如图,取BC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AC,FG∥BD,故∠FEG=α,∠EFG=β.∵三棱锥A-BCD是正三棱锥,∴AC⊥BD,∴EG⊥FG,即∠EGF=.
∴α+β=∠FEG+∠EFG=.
答案:D
5.导学号90074018下列命题:
①两个相反向量必是共线向量;
②温度含有零上温度和零下温度,所以温度是向量;
③已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB,BC,CD,DA分别确定的四个向量之和为零向量;
④不相等的两个空间向量的模必不相等.
其中,真命题的序号为 .?
答案:①
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AB,AD,BC,CC1的中点,则<>= .?
解析:连接DB,BC1,DC1.
∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴△BDC1为等边三角形.∵E,F,G,H分别是AB,AD,BC,CC1的中点,
∴EF∥BD,GH∥BC1.
∴<>=<>=.
答案:
7.如图,已知ABCD-A1B1C1D1为平行六面体,若以此平行六面体的顶点为向量的始点、终点,求:
(1)与相等的向量;
(2)的相反向量;
(3)与平行的向量.
解如图,连接AD1,CD1.
(1)与相等的向量为.
(2)的相反向量为.
(3)与平行的向量为.
8.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求:
(1)<>,<>,<>;
(2)<>,<>.
解(1)∵ABCD-A'B'C'D'为正方体,
∴AB∥A'B',AD⊥D'C',AB∥C'D'.
∴<>=0,<>=,<>=π.
(2)∵在正方体ABCD-A'B'C'D'中AD∥BC,
∴<>=<>=.连接AC,
则△ACD'为等边三角形,∴<>=.
9.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,且PD=CD,E,F分别是PC,PB的中点.
(1)试求以F为起点的直线DE的一个方向向量;
(2)试求以F为起点的平面PBC的一个法向量.
解(1)如图,取AD的中点M,连接MF,EF,
∵E,F分别是PC,PB的中点,∴EF????BC.
又BC????AD,∴EF????AD,∴EF????DM,
∴四边形DEFM是平行四边形,
∴MF∥DE,∴是以F为起点的直线DE的一个方向向量.
(2)∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥BC.
又BC⊥CD,且PD∩DC=D,
∴BC⊥平面PCD.
∵DE?平面PCD,∴DE⊥BC.
又PD=CD,E为PC的中点,∴DE⊥PC.
又BC∩PC=C,∴DE⊥平面PBC,
∴是平面PBC的一个法向量,
由(1),可知,∴就是以F为起点的平面PBC的一个法向量.
1
(共27张PPT)
第二章 空间向量与立体几何
§1 从平面向量到空间向量
一
二
思考辨析
一、向量概念
一
二
思考辨析
名师点拨1.空间向量是平面向量概念的拓展,只有大小和方向两个要素,用有向线段表示向量时,它的起点可以是空间内的任意一点,只要保证它的大小和方向不变,它是可以自由平移的,与起点无关.
2.数量可以比较大小,但向量不可以比较大小,向量的模是个非负实数,可以比较大小.
3.平行向量方向不一定相同,共线向量也不是向量必须在同一条直线上.
4.两个非零向量的夹角是唯一确定的,因此有
=,并且=<-a,b>=π-.
一
二
思考辨析
【做一做1】 “两个向量(非零向量)的模相等”是“两个向量相等”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:模相等方向不相同的两个向量不相等,两个相等向量的模一定相等.
答案:B
一
二
思考辨析
【做一做2】 给出下列命题:①若两个空间向量相等,则它们的起点相同,终点也相同;②若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;③在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有 ;④若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p.其中正确的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:当两个空间向量起点相同,终点也相同时,这两个向量必相等;但两个向量相等,不一定有起点相同、终点相同,故①错.根据向量相等的定义,要保证两个向量相等,不仅模要相等,而且方向还要相同,但②中向量a与b的方向不一定相同,故②错.根据正方体的性
答案:C
一
二
思考辨析
【做一做3】如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求下列各对向量的夹角:
答案:(1)45° (2)135° (3)90°
一
二
思考辨析
二、向量、直线、平面
一
二
思考辨析
特别提醒1.在空间中,一个向量成为直线的方向向量的条件包含两个方面:一是该向量为非零向量;二是该向量与直线平行或重合,二者缺一不可.
2.表示平面的法向量的有向线段所在的直线与该平面垂直,这是寻找已知平面的法向量的依据.
一
二
思考辨析
【做一做4】 一条直线的方向向量是( )
A.唯一的 B.相等的 C.平行的 D.相反的
解析:与直线平行的任何非零向量都是直线的方向向量.
答案:C
【做一做5】 下列说法不正确的是( )
A.平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B.一个平面的所有法向量互相平行
C.如果两个平面的法向量互相垂直,那么这两个平面也互相垂直
D.如果a,b与平面α共面,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量
解析:A,B,C正确,而D中,若a∥b,虽然n⊥a,n⊥b,但n不一定是平面的法向量.
答案:D
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)有向线段可用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示的向量的模就越大. ( )
(2)零向量是长度为0,没有方向的向量. ( )
(3)若|a|=|b|,则a=b或a=-b. ( )
(5)向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反. ( )
√
×
×
√
×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量的有关概念
【例1】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
思维点拨:根据长方体的性质及空间向量的有关概念写出即可.
反思感悟1.只要两个向量的方向相同,模相等,这两个向量就相等,与起点和终点位置无关.
2.熟练掌握空间向量的有关概念是解决这类问题的关键.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AC,A1C1的中点.
解析:(1)由题意得AE=CE=A1F=C1F,
答案:(1)4 (2)7
探究一
探究二
探究三
思维辨析
直线的方向向量与直线
【例2】 如图,若直线l平行于正方体的棱AA1,则在正方体中可以作为直线l的方向向量的有 .?
反思感悟表示一条直线的方向向量的有向线段所在的直线与该直线平行或重合,这是寻找已知直线方向向量的依据.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点为向量端点的所有向量中,直线AB的方向向量有( )
A.8个
B.7个
C.6个
D.5个
解析:寻找直线AB的方向向量,先找出与直线AB平行或重合的直线,以直线上任意两点分别为起点和终点的向量即为所求.直线AB
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
【例3】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,用顶点表示的向量是平面A1B1C1D1的法向量的有( )
A.1个 B.4个
C.12个 D.8个
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟平面的法向量的判别:
(1)表示平面的法向量的有向线段所在的直线与该平面垂直,这是寻找已知平面的法向量的依据.
(2)平面的法向量不唯一,但它们都是平行的.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°.在所有棱所在直线的方向向量中,平面BB1C1C的法向量有( )
A.0个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:由于三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ACB=90°,∴A1C1⊥平面BB1C1C,AC⊥平面BB1C1C,
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对空间向量的有关概念理解不清致误
【典例】 下列说法中,错误的个数为( )
(1)两个有共同起点且相等的非零空间向量,其终点可能不同.
A.1 B.2 C.3 D.4
易错分析:对空间向量的有关概念模糊不清,容易把向量与数量混淆,搞清向量的有关概念是解这类题目的关键.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
正解:(1)错误,两个空间向量相等,若起点相同,则终点也相同.
(2)错误,向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.
故一共有3个错误命题,正确答案为C.
纠错心得在理解空间向量相关概念时,注意以下几点:
(1)对于向量,其两个特征是“大小”与“方向”,注意向量与实数的关系.
(2)对于相反向量,两向量方向相反,模相等,但不一定在同一条直线上.
(3)对于相等向量,方向相同、大小相等,但并不一定重合.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练下列命题中,正确的是( )
A.“两个向量平行”是“两个向量相等”的充分不必要条件
B.“两个向量是相反向量”是“两个向量的模相等”的必要不充分条件
C.两个有公共点的向量一定是共线向量
D.若两个向量不共线,则这两个向量中没有零向量
解析:因为零向量和任一向量共线,所以D项正确.
答案:D
1 2 3 4 5
1.在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,可作为平面ADD1A1的法向量的向量为 ( )
答案:B
1 2 3 4 5
答案:相等 相反
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,在以两个顶点分别为始点和终点的向量中:
(1)模为1的向量共有多少个?
(2)试写出模为 的所有向量.
解:(1)因为长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量
量的模均不为1,故模为1的向量共有8个.
1 2 3 4 5
5.已知正四面体A-BCD.
(2)过点A,作出平面BCD的一个法向量.
解: (1)如图,过点A作直线AE∥BC,由直线的方向向量的定义可知,
(2)如图,取平面BCD的中心O,由正四面体的性质可知AO垂直于
§2 空间向量的运算
第1课时 空间向量的加、减法及数乘运算
课后训练案巩固提升
A组
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量表达式化简后的结果是( )
A. B. C. D.
解析: +()=.
答案:A
2.设a,b是两个不共线的向量,λ,μ∈R,若λa+μb=0,则 ( )
A.a=b=0 B.λ=μ=0
C.λ=0,b=0 D.μ=0,a=0
解析:∵a,b是两个不共线的向量,∴a≠0,b≠0,∴只有B正确.
答案:B
3.设空间四点O,A,B,P满足+t,其中0A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段BA的延长线上
D.点P不一定在直线AB上
解析:∵0答案:A
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,有下列结论:
①是一对相反向量;
②是一对相反向量;
③是一对相反向量;
④是一对相反向量.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:∵O为正方体的中心,
∴=-=-,
故=-(),
同理可得=-(),
故=-(),
∴①③正确;
∵,
∴是两个相等的向量,
∴②不正确;
∵=-,
∴=-(),
∴④正确.
答案:C
5.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E是A'C'的中点,点F是AE的三等分点,且AF=EF,则=( )
A.
B.
C.
D.
解析:由条件AF=EF,知EF=2AF,
∴AE=AF+EF=3AF,∴)=)=.
答案:D
6.在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则的关系是 (填平行、相等或相反).?
解析:设G是AC的中点,则),
∴2,∴∥().故填平行.
答案:平行
7.若非零向量e1,e2不共线,则使ke1+e2与e1+ke2共线的k值为 .?
解析:若ke1+e2与e1+ke2共线,则存在实数λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),又e1,e2不共线,所以所以
答案:1或-1
8.导学号90074020如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=2.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
解如图,连接AN,则)=)-)=c+(b-c)-(a+b)=-a+b+c.
B组
1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是CC1的中点,F是A1B的中点,且=α+β,则( )
A.α=,β=-1
B.α=-,β=1
C.α=1,β=-
D.α=-1,β=
解析:因为+()+)=,所以α=,β=-1.
答案:A
2.已知空间向量满足||=||+||,则( )
A. B.=-
C.同向 D.同向
解析:由||=||+||=||+||,知C点在线段AB上,否则与三角形两边之和大于第三边矛盾,
所以同向.
答案:D
3.如图,已知四面体O-ABC中,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且=2.若=x+y+z,则x+y+z=( )
A.1 B.0
C. D.
解析: ,所以x=,y=,z=,所以x+y+z=.
答案:C
4.如图,在三棱锥A-BCD中,若△BCD是正三角形,E为其中心,则化简的结果为 .?
解析:延长DE交BC于点F,连接AF,则F为BC的中点,,故=0.
答案:0
5.如图,已知正四棱锥P-ABCD,点O是正方形ABCD的中心,Q是CD的中点.
(1)若+x+y,求x,y的值;
(2)若=m+n,求m,n的值.
解(1)因为)=,所以x=y=-.
(2)因为O为AC的中点,Q为CD的中点,所以=2=2,所以=2=2,所以=2-2,所以m=2,n=-2.
6.
导学号90074021如图,在空间四边形ABCD中,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且.求证:四边形EFGH是梯形.
证明因为E,H分别是边AB,AD的中点,
所以)=)=)=.
所以,且||=|≠||.
又因为点F不在EH上,
所以四边形EFGH是梯形.
1
(共31张PPT)
§2 空间向量的运算
第1课时 空间向量的加、减法及数乘运算
一
二
三
思考辨析
一、空间向量的加、减法
一
二
三
思考辨析
名师点拨空间向量的加、减法运算满足平行四边形法则和三角形法则,并且空间向量的加法满足交换律和结合律.
一
二
三
思考辨析
A.a+b+c B.a+b-c
C.a-b-c D.-a+b+c
答案:C
一
二
三
思考辨析
二、空间向量的数乘
一
二
三
思考辨析
特别提醒1.实数与空间向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,如λ±a等无法运算.
2.任何实数与向量的积仍是一个向量.空间向量的数乘运算可以把向量a的模扩大(当|λ|>1时),也可以缩小(当|λ|<1时);可以不改变向量a的方向(当λ>0时),也可以改变向量a的方向(当λ<0时).
3.当λ=0时,λa=0;当λ≠0时,若a=0,则λa=0.
一
二
三
思考辨析
【做一做2】 如图,已知在四面体A-BCD中,点G是CD的中点,
答案:B
一
二
三
思考辨析
三、共线向量定理
一
二
三
思考辨析
特别提醒对向量共线的充要条件的理解,应从以下几个方面正确把握:
(1)在此充要条件中,要特别注意b≠0,若不加b≠0,则该充要性不一定成立.例如,若a≠0,b=0,则a∥b,但λ不存在,该充要性也就不成立了.
(2)该充要条件包含两个命题:
①a∥b?存在唯一的实数λ,使a=λb;
②存在唯一的实数λ,使a=λb?a∥b.
(3)向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据,但必须注意在向量a(或b)上存在一点不在向量b(或a)上.
一
二
三
思考辨析
【做一做3】 已知O是平面内任意一点,α是任意角,下列等式一定可以判定A,B,C三点共线的是( )
解析:因为sin2α+cos2α=1,故选B.
答案:B
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)不论λ取什么实数,λa与a一定共线. ( )
(2)若λa=0,则必有λ=0. ( )
(3)若a,b共线,则a与b所在直线平行. ( )
√
×
×
√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
向量的加、减法运算
【例1】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算的结果为向量 的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:根据空间向量的加法法则以及正方体的性质逐一进行判断:
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟空间向量加、减法运算的两个技巧
巧用相反向量:灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接,从而便于运算.
巧用平移:利用平行四边形法则和三角形法则进行向量的运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
A.a+b-c B.-a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b-c
=b-a+c=-a+b+c,所以选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量的数乘运算
【例2】 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
证明:∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,P,Q分别是AB,BC,CC1,C1D1,D1A1,A1A的中点,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟先用a,b,c分别表示各向量,再进行向量的代数运算,用空间向量的方法处理立体几何问题,使复杂的问题代数化.正确运用向量的运算律,在向量的运算中要注意向量的方向.对向量算式的化简或证明,要结合图形,充分利用图形的性质.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2
如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
向量共线问题
【例3】如图,ABCD,ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:∵M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,
反思感悟判定两向量共线就是找实数x使a=xb(b≠0).要充分运用空间向量的运算法则并结合空间图形,化简得出a=xb(b≠0),从而得出a∥b.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3设e1,e2是空间中两个不共线的向量,已知
A.2 B.3 C.-8 D.8
∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2,
∵e1,e2是空间中两个不共线的向量,
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
混淆平行向量与平行直线的概念致误
A.平行 B.相交
C.重合 D.平行或重合
所以A,B,C,D四点共线,所以直线AD与BC重合.
故选C.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得注意辨析平行直线与平行向量:平行向量所在的直线既可以平行也可以重合;平行直线一定不重合.因此,两条平行直线的方向向量一定是平行向量,非零的平行向量所在的直线若不重合,则一定是平行直线.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练已知两个非零且不共线的向量e1,e2,若
A.A,B,C B.A,B,D
C.B,C,D D.A,C,D
答案:B
1 2 3 4 5
答案:B
1 2 3 4 5
2.下面给出了四个式子,其中值为0的有( )
A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③
答案:C
1 2 3 4 5
线的三点是( )
A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D
∴A,B,D三点共线,故选A.
答案:A
1 2 3 4 5
答案:B
1 2 3 4 5
5.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若
第2课时 空间向量的数量积
课后训练案巩固提升
A组
1.下列命题中正确的是( )
A.(a·b)2=a2·b2
B.|a·b|≤|a||b|
C.(a·b)·c=a·(b·c)
D.若a⊥(b-c),则a·b=a·c=0
解析:对于A项,左边=|a|2|b|2cos2,
右边=|a|2|b|2,
∴左边≤右边,故A错误.
对于C项,数量积不满足结合律,∴C错误.
在D中,∵a·(b-c)=0,∴a·b-a·c=0,
∴a·b=a·c,但a·b与a·c不一定等于零,故D错误.
对于B项,∵a·b=|a||b|cos,-1≤cos≤1,∴|a·b|≤|a||b|,故B正确.
答案:B
2.如图,已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是( )
A.2
B.2
C.2
D.2
解析:2=-a2,故A错;2=-a2,故B错;2=-a2,故D错;2=a2,故只有C正确.
答案:C
3.
如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=1,则PC等于( )
A. B.1
C.2 D.4
解析:∵,∴+2=1+1+1+2×1×cos 60°=4,
∴||=2.
答案:C
4.已知a,b是两个非零向量,现给出以下命题:
①a·b>0?∈;
②a·b=0?=;
③a·b<0?∈;
④|a·b|=|a||b|?=π.
其中正确的命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:利用向量数量积公式可对以上四个命题的真假作出判断.
∵a,b为非零向量,∴|a|≠0,|b|≠0.
又∵a·b=|a||b|cos,且0≤≤π,
于是a·b>0?cos>0?∈;
a·b=0?cos=0?=;
a·b<0?cos<0?∈.
因此,命题①②③均为真命题.
∵|a·b|=|a||b|?|cos|=1?=0或π,
∴|a·b|=|a||b|?=π不正确,即命题④为假命题.故选C.
答案:C
5.若|a|=|b|,且非零向量a,b不平行,则a+b与a-b所在直线所形成的角的大小是 .?
解析:如图,作=a,=b,以为邻边作?OACB,则=a+b,=a-b.
又∵|a|=|b|,∴四边形OACB为菱形,
∴,故a+b与a-b的夹角为.
答案:
6.导学号90074024已知|a+b|=2,|a-b|=3,且cos=,则|a|= ,|b|= .?
解析:由|a+b|=2,知a2+2a·b+b2=4.
由|a-b|=3,知a2-2a·b+b2=9.
故2a2+2b2=13,则|a|2+|b|2=. ①
由cos=,
得|a|2-|b|2=. ②
由①②,得|a|=2,|b|=.
答案:2
7.已知a,b,c中每两个的夹角都是,且|a|=4,|b|=6,|c|=2,试计算|a+b+c|.
解∵|a|=4,|b|=6,|c|=2,且===,∴|a+b+c|2=(a+b+c)·(a+b+c)
=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c
=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos+2|a||c|·cos+2|b||c|cos=42+62+22+4×6+4×2+6×2=100,∴|a+b+c|=10.
8.
如图,在四面体A-BCD中,AB=2,BC=3,BD=2,CD=3,∠ABD=30°,∠ABC=60°,求AB与CD的夹角的余弦值.
解∵,
∴=||·||·cos<>-||·||·cos<>=2×2×cos 150°-2×3×cos 120°=-6+3=-3,
∴cos<>==-,
∴AB与CD的夹角的余弦值为.
9.
如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若侧面对角线AB1⊥BC1,求证:A1C⊥AB1.
证明由题意,设=a,=b,=c,|a|=|b|=m,|c|=n,则a·b=m2cos 60°=,a·c=b·c=0.
∵AB1⊥BC1,且=-a+c,=b+c,∴=(-a+c)·(b+c)
=-a·b+c2=n2-m2=0,即m2=2n2,
∴=(-a+c)·()
=(-a+c)·(-c-a+b)=a2-c2-a·b
=m2-n2-m2=0,∴A1C⊥AB1.
B组
1.设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,下列命题:
①(a·b)·c-(c·a)·b=0;
②|a|-|b|<|a-b|;
③(b·a)·c-(a·c)·b不与c垂直;
④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正确的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解析:根据向量的数量积运算,结合模及向量垂直的性质知①③不正确,②④正确.
答案:D
2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为( )
A. B. C. D.
解析:∵,
∴||==
.
∵AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,
∴<>=90°,<>=<>=60°.
∴||=
.
答案:B
3.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,则△BCD为( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.不确定
解析: ,
∴cos<>=>0,∴<>为锐角,
同理cos <>>0,∴∠BCD为锐角,cos<>>0,∴∠BDC为锐角,即△BCD为锐角三角形.
答案:B
4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD的交点,G为CC1的中点,用向量法证明:A1O⊥平面GBD.
证明设=a,=b,=c,则a·b=0,b·c=0,a·c=0.而)=c+(a+b),=b-a,)+(a+b)-c,
所以·(b-a)
=c·(b-a)+(a+b)·(b-a)
=c·b-c·a+(|b|2-|a|2)=(|b|2-|a|2)=0.
所以.所以A1O⊥BD.
同理可证,所以A1O⊥OG.又因为OG∩BD=O,且A1O?平面GBD,所以A1O⊥平面GBD.
5.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,AA1=AB=AD=.
(1)求||;
(2)求证:AC1⊥平面A1BD;
(3)求的夹角.
(1)解令=a,=b,=c,则=a+b+c,
∴||=|a+b+c|=
=(a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a
=+2×+2×=3.
(2)证明 =a-c,∴=(a+b+c)·(a-c)=a2-a·c+b·a-b·c+c·a-c2=0.
∴,又=b-c,同理,
∴AC1垂直于平面A1BD内的两条相交直线A1D,A1B,∴AC1⊥平面A1BD.
(3)解cos<>=
==-.
∴的夹角为π-arccos.
6.导学号90074025如图,正方形ABCD与正方形ABEF的边长均为1,且平面ABCD⊥平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动.若CM=BN=a(0
(1)求MN的长度;
(2)求当a为何值时,MN的长最小.
解(1)由题意,得AC=,BF=,CM=BN=a,
∴.
∴
=
=)+)
=)-(-)
=.
∴||=
=
=(0(2)由(1),知当a=时,||有最小值为,即M,N分别为AC,BF的中点时,MN的长最小,且最小值为.
1
(共28张PPT)
第2课时 空间向量的数量积
一
二
思考辨析
一、空间向量的数量积
一
二
思考辨析
名师点拨对于空间向量的数量积,我们可以从以下几个方面理解:
(1)向量a,b的数量积记为a·b,而不能表示为a×b或ab.
(2)向量的数量积的结果为实数,而不是向量,其符号由夹角θ的余弦值的符号决定.当θ为锐角时,a·b>0,但当a·b>0时,θ不一定是锐角,因为θ也可能为0;当θ为钝角时,a·b<0,但当a·b<0时,θ不一定是钝角,因为θ也可能为π.
一
二
思考辨析
【做一做】 (1)已知两空间向量a,b的夹角为30°,且|a|=3,|b|=4,则a·b= .?
一
二
思考辨析
二、空间向量数量积的运算律与几个结论
特别提醒当a≠0时,由a·b=0不能推出b一定是零向量,这是因为对于任意一个与a垂直的非零向量b,都有a·b=0.
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)两个向量a,b的数量积的结果仍为向量. ( )
(3)若a,b,c是空间向量,则(a·b)c=a(b·c). ( )
(4)若a,b,c是空间向量,且a·b=a·c,则b=c. ( )
×
×
×
×
探究一
探究二
探究三
空间向量的数量积
【例1】 如图,已知四面体A-BCD的每条棱长都等于a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点.
求下列向量的数量积:
思维点拨:因为四面体A-BCD的每条棱长都等于a,所以△ABC,
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
解:(1)在四面体A-BCD中,
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
反思感悟求两个向量的数量积时,一般要先保证向量之间的夹角已知或可求,最好是特殊角,再利用定义求解.
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
变式训练1已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,AC1与BD1交于点O,则有( )
答案:C
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
利用数量积求距离问题
【例2】如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将△ACD沿对角线AC折起,使AB与CD成60°,求B,D间的距离.
思维点拨:画出立体图,结合已知条件用长度与夹角均已知的向
角及其模均易知.
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
解:如图,∵∠ACD=90°,
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
反思感悟求两点间的距离或线段长度的方法:
(1)将此线段用向量表示;
(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
变式训练2如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
利用数量积求夹角问题
【例3】 如图,在四面体O-ABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求直线OA与BC夹角的余弦值.
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
反思感悟两个非零向量夹角求法的两个途径
1.转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解;
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
变式训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线A1B与AC所成角的大小.
∴异面直线A1B与AC成60°角.
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
判断或证明垂直
【例4】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.证明:PA⊥BD.
证明:由底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD知,DA⊥BD,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟利用向量数量积判断或证明线面垂直的思路
1.由数量积的性质a⊥b?a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量(a,b是非零向量),只要证明这两个向量的数量积为0即可.
2.用向量法证明线面垂直,离不开线面垂直的判定定理,需将线面垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明线线垂直即可.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练4如图,已知在四面体A-BCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
因对两向量夹角的定义理解不透彻而致误
【典例】 如图,在四面体A-BCD中,每条边的长度和两条对角线的长度都等于1,M,N分别为AB,AD的中点,求
纠错心得向量的夹角定义中,必须把两向量移至共起点,如图所示,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解析:由勾股定理,知AB⊥BC,
答案:-25
1 2 3 4 5
1.如图,已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中数量积可能不为零的是( )
解析:结合图分析可知,选项B,C,D中两向量的夹角均为90°,
∴数量积都为0.
答案:A
1 2 3 4 5
2.已知向量a,b,c两两之间的夹角都为60°,其模都为1,则|a-b+2c|等于( )
解析:(a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c=1+1+4-2cos 60°=5,∴|a-b+2c|= .
答案:A
1 2 3 4 5
=0,则△ABC是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等边三角形
答案:B
1 2 3 4 5
4.如图,在四面体S- ABC中,各棱长均为a,E,F分别是SC和AB的中点,则异面直线EF与SA所成的角等于 .?
1 2 3 4 5
5.在四面体O-ABC中,OB=OC,AB=AC,求证:OA⊥BC.
证明:∵OB=OC,AB=AC,OA=OA,
∴△AOC≌△AOB,
∴∠AOC=∠AOB.
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
课后训练案巩固提升
1.在空间直角坐标系O-xyz中,下列说法正确的是( )
A.向量的坐标与点B的坐标相同
B.向量的坐标与点A的坐标相同
C.向量的坐标与向量的坐标相同
D.向量的坐标与向量的坐标相同
解析:空间向量的坐标用两种方法可以得到:(1)将向量的起点移到原点,终点坐标就是向量的坐标;(2)向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
答案:D
2.已知动点P的竖坐标为0,则动点P的轨迹是( )
A.平面 B.直线
C.不是平面,也不是直线 D.以上都不正确
解析:竖坐标为0,横坐标、纵坐标为任意实数,这样的点都在xOy平面内.
答案:A
3.点M(-1,3,-4)在坐标平面xOy,xOz,yOz内的投影的坐标分别是( )
A.(-1,3,0),(-1,0,-4),(0,3,-4)
B.(0,3,-4),(-1,0,-4),(0,3,-4)
C.(-1,3,0),(-1,3,-4),(0,3,-4)
D.(0,0,0),(-1,0,0),(0,3,0)
解析:自点M向坐标平面xOy引垂线,垂足为M0,则M0就是点M在坐标平面xOy内的投影,竖坐标=0.所以可得M0(-1,3,0),其他情况同理.
答案:A
4.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),则下列叙述正确的个数是( )
①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x,-y,z);
②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x,-y,-z);
③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x,-y,z);
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z).
A.3 B.2 C.1 D.0
解析:只有④正确.①中P1(x,-y,-z),②中P2(-x,y,z),③中P3(-x,y,-z).
答案:C
5.已知i,j,k为标准正交基,a=i+2j+3k,则a在i方向上的投影为( )
A.1 B.-1 C. D.-
解析:a·i=|a|·|i|·cos,
则|a|·cos==(i+2j+3k)·i=i2=1,故选A.
答案:A
6.如图,若正方体的棱长为1,则的坐标为 ,的坐标为 .?
答案:(1,1,-1) (-1,0,1)
7.已知|a|=,a与单位向量e的夹角为π,则a在e上的投影为 .?
答案:-
8.
已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,建立如图所示的空间直角坐标系,试写出A,B,C,D,A1,B1,C1,D1的坐标,并写出的坐标.
解A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).
=(1,0,0),=(1,1,0),=(0,1,0),=(0,1,1),=(0,0,1),=(1,0,1),=(1,1,1).
9.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4的正三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=2,M为A1B1的中点.以O为原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(其中O为AB的中点),试求向量的坐标.
解依题意O(0,0,0),A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(0,0,2).
∴=(0,2,-2),=(4,0,0).
10.导学号90074027如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=1,CC1=1,求:
(1)上的投影;
(2)上的投影.
解(1)由题易知D1D⊥平面ABCD,
所以上的投影为||cos∠D1BD=||=.
(2)由题易知D1C1⊥平面BCC1B1,所以上的投影为||cos∠D1BC1=||=.
1
(共25张PPT)
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
一
二
思考辨析
一、空间向量的标准正交分解与坐标表示
一
二
思考辨析
名师点拨1.在空间选一点O和一组单位正交基i,j,k.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫坐标轴.这样我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz,其中点O叫原点,向量i,j,k都叫坐标向量,经过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,它们分别是xOy平面,xOz平面,yOz平面.
2.在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任一点A,对应一个向量 ,若 =xi+yj+zk,则有序数组(x,y,z)叫作点A在此空间直角坐标系中的坐标,记为A(x,y,z),其中x叫点A的横坐标,y叫点A的纵坐标,z叫点A的竖坐标.写点的坐标时,三个坐标之间的顺序不能颠倒.
一
二
思考辨析
【做一做1】如图,建立空间直角坐标系,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点,则 的坐标分别为 , .?
一
二
思考辨析
二、投影
一
二
思考辨析
名师点拨a·b0=|a|cos是一个可正可负的实数,它的符号代表向量a与b的方向相对关系,大小代表在b上投影的长度.
一
二
思考辨析
【做一做2】 已知a=(1,0,-1),b=(1, ,0),则向量a在向量b上的投影为 .?
解析:向量a在向量b上的投影为
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)写向量的坐标时,三个实数之间的顺序可以颠倒. ( )
(2)在同一空间直角坐标系中,某一向量的坐标是唯一确定的. ( )
(3)在同一空间直角坐标系中,随着向量a的平移,坐标也随之发生变化. ( )
(4)向量a在向量b上的投影是一个正数. ( )
×
√
×
×
探究一
探究二
思维辨析
向量的坐标表示
【例1】 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=3,AD=4,AA'=6.
(1)写出点C'的坐标,给出 关于i,j,k的分解式(其中i,j,k分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量);
思维点拨:点C'的坐标的确定方法:过点C'作平面xOy的垂线,垂足为C,过点C分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为点D,B,则x=|CB|,y=|DC|,z=|CC'|.
所以C'(x,y,z).
探究一
探究二
思维辨析
解:(1)因为AB=3,AD=4,AA'=6,
所以点C'的坐标为(4,3,6).
反思感悟空间向量的坐标表示的方法与步骤
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1已知在正四棱锥P-ABCD中,O为底面中心,底面边长和高都是2,E,F分别是侧棱PA,PB的中点,分别按照下列要求建立空间直角坐标系,写出点A,B,C,D,P,E,F的坐标.
(1)如图①,以O为坐标原点,分别以射线DA,DC,OP的指向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系;
(2)如图②,以O为坐标原点,分别以射线OA,OB,OP的指向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.
探究一
探究二
思维辨析
解:设i,j,k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相同的单位向量.
(1)因为点B在坐标平面xOy内,且底面正方形的中心为O,边长为2,
故所求各点的坐标分别为A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,2),E
探究一
探究二
思维辨析
(2)因为底面正方形ABCD的中心为O,边长为2,
探究一
探究二
思维辨析
向量a在向量b上的投影
【例2】如图,已知单位正方体ABCD-A'B'C'D'.求:
思维点拨:|a|cos就是向量a在向量b上的投影.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟求一个向量在另一个向量上的投影,一定要用好投影的定义,同时要找对两个向量的夹角,这也是容易出错的地方.
探究一
探究二
思维辨析
探究一
探究二
思维辨析
建立空间直角坐标系不当致误
【典例】 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立适当的空间直角坐标系,则 的坐标分别为 , .?
易错分析:写向量的坐标前,应先建立空间直角坐标系,本题若以A为原点,分别以 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系是错误的,因为AB与AC是不垂直的.
正解:分别取BC,B1C1的中点D,D1,以D为原点,分别以 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).
探究一
探究二
思维辨析
纠错心得在解题时,建立空间直角坐标系是关键,解题中建立的坐标系可以不同,但都必须符合空间直角坐标系的要求.
1 2 3 4 5
1.下列命题中,正确的命题是( )
①在空间直角坐标系中,i,j,k分别为x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,则i,j,k叫标准正交基;
②在空间直角坐标系O-xyz中,点P的坐标为(x,y,z),则 =(x,y,z);
③a·b的几何意义是a在b方向上的投影与|b|的乘积;
④a·b的几何意义是b在a方向上的投影与|a|的乘积.
A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④
答案:D
1 2 3 4 5
A.相等 B.互为倒数
C.互为相反数 D.不能确定
答案:C
1 2 3 4 5
3.如图,在直角坐标系中的正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,则点C'的
解析:∵AB=2,∴点C'的坐标为(2,2,2).
1 2 3 4 5
解析:∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=A1A=2,
1 2 3 4 5
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的中心,若正方体的棱长为1,以O为坐标原点建立
解:以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵正方体的棱长为1,
3.2 空间向量基本定理
课后训练案巩固提升
A组
1.下列命题是真命题的有( )
①空间中的任何一个向量都可用a,b,c表示;②空间中的任何一个向量都可用基底a,b,c表示;③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示;④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示.
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析:根据基底的含义可知②③是真命题.
答案:C
2.设命题p:a,b,c是三个非零向量;命题q:a,b,c为空间的一个基底,则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析:若a,b,c为非零向量,则a,b,c不一定为空间的一个基底,但若a,b,c为空间的一个基底,则a,b,c肯定为非零向量,所以p是q的必要不充分条件.
答案:B
3.已知a,b,c是不共面的三个向量,则下列选项中能构成空间一个基底的一组向量是( )
A.2a,a-b,a+2b B.2b,b-a,b+2a
C.a,2b,b-c D.c,a+c,a-c
解析:设a+2b=λ(2a)+μ(a-b),得λ=,μ=-2,
所以2a,a-b,a+2b共面.同理可得B,D选项中的三个向量分别共面,均不能构成空间的一个基底.
答案:C
4.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是四边形BB1C1C的中心,且=a,=b,=c,则=( )
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.-a+b+c
解析: )=c+(-)=c-a+(-c)+b=-a+b+c.
答案:D
5.已知平行六面体OABC-O'A'B'C'中,=a,=b,=c.若D是四边形OABC的中心,则( )
A.=-a+b+c
B.=-b+a+c
C.a-b-c
D.a+c-b
解析: =-b+)
=-b+a+c.
答案:B
6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,且f=-a+b+c,k=a+b+c,h=a-b+c,则在f,k,h中与相等的向量是 .?
解析:求与相等的向量,就是用基向量a,b,c线性表示)=-=-a+b+c=f.
答案:f
7.如图,已知四面体O-ABC,M是OA的中点,G是△ABC的重心,用基底表示向量的表达式为 .?
解析: )==-.
答案:-
8.如图,已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,设M是底面ABCD的对角线的交点,N是侧面BCC'B'对角线BC'上的点,且分的比是3∶1,设=α+β+γ,则α,β,γ的值分别为 , , .?
解析:∵
=)+)
=(-)+)
=,
∴α=,β=,γ=.
答案:
9.导学号90074030如图,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,G为△PDC的重心,=i,=j,=k,试用基底i,j,k表示向量.
解
=)
=
=i+j-k.
=
=
=
=-i+j+k.
B组
1.在以下3个命题中,真命题的个数是( )
①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面.
②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线.
③若a,b是两个不共线向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:①②是真命题,③是假命题.
答案:C
2.
如图,在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OA=2OM,N为BC中点,则等于( )
A.a-b+c
B.-a+b+c
C.a+b-c
D.-a+b-c
解析: )-=-a+b+c.
答案:B
3.已知A-BCD是四面体,O为△BCD内一点,则)是O为△BCD的重心的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
解析:若O为△BCD的重心,则),反之也成立.
答案:C
4.
如图,若P为平行四边形ABCD所在平面外的一点,且G为△PCD的重心,若=x+y+z,试求x+y+z的值.
解取CD的中点H,连接PH(图略).∵G为△PCD的重心,
∴.
∴
=)=
=)+)
=
=.
∴x=,y=,z=,∴x+y+z=.
5.在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF.若M是线段AD的中点,求证:GM∥平面ABFE.
证明∵EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,
∴∠EGF=90°,△ABC∽△EFG.
∵AB=2EF,
∴AC=2EG.
∵M为AD的中点,∴MA=DA.
∴.
∴.
又AF?平面ABFE,GM?平面ABFE,
∴GM∥平面ABFE.
6.
导学号90074031如图,在平行六面体ABCD-EFGH中,已知M,N,R分别是AB,AD,AE上的点,且AM=MB,AN=ND,AR=2RE,求平面MNR分对角线AG所得的线段AP与AG的比.
解设=m,由=2+3,得=2m+3m.
∵P,M,R,N四点共面,
∴2m+m+3m=1,解得m=,即.
1
(共26张PPT)
3.2 空间向量基本定理
空间向量基本定理
名师点拨理解空间向量基本定理应注意:
(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底,同时一个基底是一个向量组,而不是单指一个向量.
(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面就隐含着它们都不是0.
(3)空间向量基本定理说明,用空间不共面的三个已知向量a,b,c可以线性表示空间的任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.
【做一做】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1
答案:C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)已知A,B,M,N是空间四点,若 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面. ( )
(2)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则x=y=z=0. ( )
(3)选用不同的基底,同一向量的表达式不同. ( )
(4)基底中的三个向量可以有零向量. ( )
√
√
√
×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
基底的判断
∴e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3,
∵e1,e2,e3是空间的一个基底,∴e1,e2,e3不共面,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3)
=(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3,
∵e1,e2,e3为空间的一个基底,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟判断三个向量能否作为基底,关键是判断它们是否共面,若从正面判断难以入手,可以用反证法结合共面向量定理或利用常见的几何图形帮助进行判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一组基底,给出下列向量组:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间的基底的向量组有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
用基底表示向量
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟对于基底e1,e2,e3除了知道它们不共面外,还应明确:
(1)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一向量,二者是相关联的不同概念;
(2)基底一旦确定,所有向量的表示就唯一确定了.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, ,P是CA'的中点,M是CD'的中点,N是C'D'的中点,点Q在CA'上,且CQ∶QA'=4∶1,用a,b,c表示下列向量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量基本定理的应用
【例3】设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点,求证M,N,P,Q四点共面.
证明:因为M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟证明空间四点共面的方法:对空间四点P,M,A,B,可通过证明下列结论成立来证明四点共面.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,N∈AC,且AN∶NC=2∶1,求证A1,B,N,M四点共面.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对基底的概念理解不透彻而致误
【典例】 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD
易错分析:在用基底表示向量时,其结果中有时还会出现基底以外的其他向量,应对基底以外的向量继续分解,最后都转化为用基向量表示.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得基底可以表示空间内任一向量,用基底表示向量时,最后结果应只含基向量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
答案:B
1 2 3 4
( )
A.O,A,B,C四点共线
B.O,A,B,C四点共面
C.O,A,B,C四点中任意三点共线
D.O,A,B,C四点不共面
答案:D
1 2 3 4
答案:D
1 2 3 4
3.如图,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM=2MC,PN=ND,则满足
1 2 3 4
解析:如图所示,取PC的中点E,连接NE,AC,
1 2 3 4
4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,
(1)求证:A,E,C1,F四点共面;
3.3 空间向量运算的坐标表示
课后训练案巩固提升
A组
1.已知a=(1,-5,6),b=(0,6,5),则a与b( )
A.垂直 B.不垂直也不平行
C.平行且同向 D.平行且反向
解析:0+(-5)×6+6×5=0,故a⊥b.
答案:A
2.下列各组向量中,不平行的是( )
A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)
B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)
C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)
D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)
解析:选项A中,b=-2a,所以a∥b;选项B中,d=-3c,所以c∥d;选项C中,0与任何向量平行.
答案:D
3.已知向量a=(1,3,3),b=(5,0,1),则|a-b|等于( )
A.7 B.
C.3 D.
解析:|a-b|=|(1,3,3)-(5,0,1)|=|(-4,3,2)|=.
答案:B
4.若向量a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为,则λ=( )
A.1 B.-1 C.±1 D.2
解析:∵a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为,又a·b=|a||b|·cos,
∴-2+λ+2=.∴λ=±1.∵a·b=λ>0,∴λ=1.
答案:A
5.已知三个力F1=(1,2,1),F2=(-1,-2,3),F3=(2,2,-1),则这三个力的合力的坐标为( )
A.(2,2,3) B.(0,0,0)
C. D.0
解析:F1+F2+F3=(1,2,1)+(-1,-2,3)+(2,2,-1)=(2,2,3).
答案:A
6.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析: =(5,1,-7),=(2,-3,1).
因为=2×5-3×1-7×1=0,
所以.所以∠ACB=90°.
又因为||=5,||=,
即||≠||,所以△ABC为直角三角形.
答案:C
7.已知向量a=(4-2m,m-1,m-1)与b=(4,2-2m,2-2m)平行,则m的值等于 .?
解析:当m=1时,a=(2,0,0),b=(4,0,0),显然满足a∥b;当m≠1时,则依a∥b则有=-,解得m=3.综上可知m=1或m=3.
答案:1或3
8.导学号90074033若=(-4,6,-1),=(4,3,-2),|a|=1,且a⊥,a⊥,则a= .?
解析:设a=(x,y,z),则有
解此方程组得
答案:
9.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2a+b|.
(2)在直线AB上是否存在一点E,使⊥b(O为原点)?若存在,求出点E坐标;若不存在,说明理由.
解(1)∵2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),
∴|2a+b|==5.
(2)假设存在这样的点E,则+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)
=(-3+t,-1-t,4-2t).
若⊥b,则·b=0,即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,故存在点E,使⊥b,此时E点坐标为.
10.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:
(1)a,b,c;
(2)a+c与b+c所成角的余弦值.
解(1)∵a∥b,∴,解得x=2,y=-4,
故a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).
又b⊥c,∴b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,
故c=(3,-2,2).
(2)由(1)可得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),
设向量a+c与b+c所成的角为θ,
则cos θ==-.
B组
1.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则向量所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
解析:建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).所以=(-1,0,2),=(-1,2,1),
故cos<>=.
所以向量所成角的余弦值为.
答案:B
2.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x,y的值分别为 .?
解析:由题意知a∥b,所以,
即
把①代入②得x2+x-2=0,(x+2)(x-1)=0,
解得x=-2,或x=1,
当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.
当时,b=(-2,-4,-6)=-2a,
两向量a,b反向,不符合题意,所以舍去.
当时,b=(1,2,3)=a,a与b同向,
所以
答案:1,3
3.已知向量a=(0,-1,1),b=(2,2,1),计算:
(1)|2a-b|;
(2)cos????a,b????;
(3)2a-b在a上的投影.
解(1)∵a=(0,-1,1),b=(2,2,1),
∴2a-b=2(0,-1,1)-(2,2,1)=(-2,-4,1),
∴|2a-b|=.
(2)∵a=(0,-1,1),b=(2,2,1),
∴a·b=(0,-1,1)·(2,2,1)=-2+1=-1,
|a|=,|b|==3,
∴cos????a,b????==-.
(3)∵(2a-b)·a=(-2,-4,1)·(0,-1,1)=5,
∴2a-b在a上的投影为.
4.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),求以为邻边的平行四边形面积.
解∵A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),
∴=(-2,1,6)-(0,2,3)=(-2,-1,3),
=(1,-1,5)-(0,2,3)=(1,-3,2).
∴||=,
||=,
=(-2,-1,3)·(1,-3,2)=-2+3+6=7.∴cos<>=,
∴sin<>=.
以为邻边的平行四边形的面积
S=||||sin<>=7.
5.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.
(1)若|c|=3,c∥,求c;
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
解(1)∵=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2)且c∥,
∴设c=λ=λ(-2,-1,2)=(-2λ,-λ,2λ).
∴|c|==3|λ|=3.
解得λ=±1,∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
(2)∵a==(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),
b==(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2),
∴ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
ka-2b=k(1,1,0)-2(-1,0,2)=(k+2,k,-4).
∵(ka+b)⊥(ka-2b),
∴(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.
解得k=2或k=-.
6.导学号90074034在Rt△ABC中,AC=BC=1,∠BCA=90°.现将△ABC沿着与平面ABC的垂直的方向平移到△A1B1C1的位置,已知AA1=2,分别取A1B1,A1A的中点P,Q.
(1)求的模;
(2)求cos????????,cos????????,并比较????????与????????的大小;
(3)求证:AB1⊥C1P.
解以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知得C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C'(0,0,2),P,Q(1,0,1),B1(0,1,2),A1(1,0,2),
则=(1,-1,1),=(0,1,2),=(1,-1,2),
=(-1,1,2),.
(1)||=.
(2)∵=0-1+2=1,||=,
||=,
∴cos????????=.
又∵=0-1+4=3,,||=,∴cos????????=.
∵0<<1,∴????????∈,????????∈.又y=cos x在内递减,
∴????????>????????.
(3)证明:∵=(-1,1,2)·=0,
∴,即AB1⊥C1P.
1
(共29张PPT)
3.3 空间向量运算的坐标表示
一
二
三
思考辨析
一、向量加减法和数乘的坐标表示
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
(1)a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2),即空间两个向量和的坐标等于它们对应坐标的和.
(2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2),即空间两个向量差的坐标等于它们对应坐标的差.
(3)λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R),即实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积.
(4)若b≠0,则a∥b?a=λb?x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).
(5)设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 =(x2-x1,y2-y1,z2-z1),空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标的差.
一
二
三
思考辨析
名师点拨1.空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,只是由二维变成了三维,所以空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似.
2.理解共线向量定理的条件和结论,在用坐标表示时,要注意等价变形.
3.已知a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若b1,b2,b3都不为0,则a∥b?
一
二
三
思考辨析
【做一做1】 已知向量a=(3,2,-1),b=(2,1,5),则a+b= ,a-b= ,2a-3b= .?
解析:a+b=(3,2,-1)+(2,1,5)=(5,3,4),
a-b=(3,2,-1)-(2,1,5)=(1,1,-6),
2a-3b=2(3,2,-1)-3(2,1,5)=(6,4,-2)-(6,3,15)=(0,1,-17).
答案:(5,3,4) (1,1,-6) (0,1,-17)
【做一做2】 已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),则使(ka+b)∥(a-3b)成立的k的值为 .?
解析:ka+b=(k-2,5k+3,-k+5),
a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16).
∵(ka+b)∥(a-3b),
一
二
三
思考辨析
二、数量积的坐标表示
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2,空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和.
【做一做3】 已知a=(-2,5,3),b=(-4,2,x),且a·b=0,则x=( )
A.-4 B.-6
C.-8 D.6
解析:a·b=-2×(-4)+5×2+3x=0?x=-6.
答案:B
一
二
三
思考辨析
三、空间向量长度与夹角的坐标表示
设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则
(3)a⊥b?x1x2+y1y2+z1z2=0.
一
二
三
思考辨析
【做一做4】 若a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为 ,则λ等于( )
解析:因为a·b=1×2+λ×(-1)+2×2=6-λ,
答案:C
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(3)空间向量a=(1,1,1)是一个单位向量. ( )
(4)若a,b为空间向量,则(a+b)·(a-b)=a2-b2. ( )
×
×
×
√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
向量运算的坐标表示
【例1】 已知a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),求a+b,a-b,3a+2b,a·b.
解:因为a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),
所以a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)
=(2+0,-1+(-1),-2+4)=(2,-2,2);
a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)
=(2-0,-1-(-1),-2-4)=(2,0,-6);
3a+2b=3(2,-1,-2)+2(0,-1,4)
=(3×2,3×(-1),3×(-2))+(2×0,2×(-1),2×4)
=(6,-3,-6)+(0,-2,8)=(6,-5,2);
a·b=(2,-1,-2)·(0,-1,4)=2×0+(-1)×(-1)+(-2)×4=0+1-8=-7.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟空间向量的坐标运算方法
1.在运算中注意相关公式的灵活运用,如(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,(a+b)·(a+b)=(a+b)2等;
2.进行向量坐标运算时,可以先代入坐标再运算,也可先进行向量式的化简再代入坐标运算,如计算(2a)·(-b),既可以利用运算律把它化成-2(a·b),也可以先求出2a,-b后,再求数量积.计算(a+b)·(a-b),既可以先求出a+b,a-b后,再求数量积,也可以把(a+b)·(a-b)写成a2-b2后计算.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1已知在空间直角坐标系中,A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5).
解:(1)因为A(1,-2,4),B(-2,3,0),C(2,-2,-5),
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量的平行与垂直
【例2】设向量a=(1,x,1-x),b=(1-x2,-3x,x+1),求满足下列条件时,实数x的值.
(1)a∥b;(2)a⊥b.
解:(1)①当x=0时,a=(1,0,1),b=(1,0,1),a=b,满足a∥b.
②当x=1时,a=(1,1,0),b=(0,-3,2),不满足a∥b,
∴x≠1.
③当x≠0,且x≠1时,
综上所述,当x=0或x=2时,a∥b.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)a⊥b?a·b=0,∴(1,x,1-x)·(1-x2,-3x,x+1)=0?1-x2-3x2+1-x2=0,
反思感悟要熟练掌握向量平行和垂直的条件,借助此条件可将立体几何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算.在应用坐标形式下的平行条件时,一定注意结论成立的前提条件,在条件不明确时要分类讨论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),若a∥b,求x,y的值.
解:∵a∥b,∴a=λb.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间向量长度与夹角的坐标表示
【例3】 在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中点,建立空间直角坐标系,用向量方法解决下列问题:
(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值;
(2)作O1D⊥AC于点D,求点O1到点D的距离.
解:建立如图所示的空间直角坐标系.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)由题意得A(2,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟当题中的几何体为正方体、长方体、直三棱柱等时,常选择建立空间直角坐标系,利用向量的坐标运算来解决有关长度、夹角、平行或垂直等问题;有时也可以不建系,利用基底来求解,但比较麻烦.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G在棱CD上,且CG= CD,H为C1G的中点,求解下列问题:
(1)求证:EF⊥B1C;
(3)求FH的长.
解:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,D为坐标原点,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视两个向量夹角为锐角(钝角)的条件致误
【典例】 已知a=(5,3,-1),b= ,若a与b的夹角为锐角,求实数t的取值范围.
易错分析:由a与b的夹角为锐角,得到a·b>0,但当a·b>0时,a与b的夹角不一定为锐角,还可能是共线同向,夹角为0°,解题时容易忽视这个条件,导致扩大了参数的范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得空间向量a,b夹角为锐角的充要条件是“a·b>0,且a,b不同向”;a,b夹角为钝角的充要条件是“a·b<0,且a,b不反向”.如果在求解过程中,忽视两个向量共线的情况,就有可能扩大参数的取值范围,导致错误.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是 .?
解析:∵a与b的夹角为钝角,∴a·b<0,
∴3×(-1)+(-2)×(x-1)+(-3)×1<0.
1 2 3 4
1.已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1),那么向量a-b+2c=( )
A.(0,1,2) B.(4,-5,5)
C.(-4,8,-5) D.(2,-5,4)
解析:a-b+2c=(1,0,-1)-(1,-2,2)+2(-2,3,-1)=(-4,8,-5).
答案:C
1 2 3 4
2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值为 .?
解析:因为a∥b,所以b=ka,即k(λ+1,0,2)=(6,2μ-1,2λ),所以
1 2 3 4
3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是 .?
解析:∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,∴(ka+b)·(2a-b)=0,即(k-1,k,2)·(3,2,-2)=0,∴3k-3+2k-4=0,∴k= .
1 2 3 4
4.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
1 2 3 4
向,建立空间直角坐标系C-xyz.
(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1).
§4 用向量讨论垂直与平行
课后训练案巩固提升
A组
1.已知a,b,c分别为直线a,b,c的方向向量,且a=λb(λ≠0),b·c=0,则a与c的位置关系是( )
A.垂直 B.平行 C.相交 D.异面
解析:由a=λb(λ≠0),知a∥b.
由b·c=0,知b⊥c,所以a⊥c.故选A.
答案:A
2.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的一个单位法向量是( )
A. B.
C. D.
解析: =(-1,1,0),=(-1,0,1),=(0,-1,1).
设平面ABC的一个单位法向量为u=(x,y,z),
则u·=0,u·=0,可得x,y,z间的关系,且x2+y2+z2=1,再求出x,y,z的值.
答案:D
3.若平面α的法向量为u=(1,-3,-1),平面β的法向量为v=(8,2,2),则( )
A.α∥β B.α与β相交
C.α⊥β D.不确定
解析:∵平面α的法向量为u=(1,-3,-1),平面β的法向量为v=(8,2,2),
∴u·v=(1,-3,-1)·(8,2,2)=8-6-2=0.
∴u⊥v,∴α⊥β.
答案:C
4.给出下列命题:
①若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则n1∥n2?α∥β;
②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β?n1·n2=0;
③若n是平面α的法向量,且向量a与平面α共面,则a·n=0;
④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①②不正确.
答案:B
5.导学号90074037如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则
①A1M∥D1P;
②A1M∥B1Q;
③A1M∥平面DCC1D1;
④A1M∥平面D1PQB1.
以上结论正确的是 .(填序号)?
解析:∵,
∴A1M∥D1P.
又∵D1P?平面D1PQB1,∴A1M∥平面D1PQB1.
又D1P?平面DCC1D1,∴A1M∥平面DCC1D1.
∵D1B1与PQ平行不相等,
∴B1Q与D1P不平行.
∴A1M与B1Q不平行.
答案:①③④
6.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),=(x-1,y,-3).若,且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z的值分别为 .?
解析:∵=(1,5,-2),=(3,1,z),,
∴(1,5,-2)·(3,1,z)=0,即3+5-2z=0,∴z=4. ①
又∵=(x-1,y,-3),⊥平面ABC,
∴=0,即(x-1,y,-3)·(1,5,-2)=0,x-1+5y+6=0. ②
=0,即(x-1,y,-3)·(3,1,4)=0,
3x-3+y-12=0. ③
由①②③得x=,y=-,z=4.
答案:,-,4
7.如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当BF⊥PE时,AF∶FD的值为 .?
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方形边长为1,PA=a.则B(1,0,0),E,P(0,0,a).
设点F的坐标为(0,y,0),
则=(-1,y,0),.
∵BF⊥PE,∴=0,解得y=,则点F的坐标为,∴F为AD的中点,∴AF∶FD=1.
答案:1
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上,且EB1=1,D,F,G分别为CC1,C1B1,C1A1的中点.求证:平面EGF∥平面ABD.
证明如图所示,由条件知BA,BC,BB1两两互相垂直,以B为坐标原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由条件知B(0,0,0),D(0,2,2),B1(0,0,4),E(0,0,3),F(0,1,4),设BA=a,则A(a,0,0),G.
所以=(a,0,0),=(0,2,2),=(0,2,-2),=(0,1,1).
(方法一)因为=0,=0+4-4=0,
所以B1D⊥BA,B1D⊥BD.因为BA∩BD=B,所以B1D⊥平面ABD.
又=0+2-2=0,=0+2-2=0.
所以B1D⊥EG,B1D⊥EF.又EG∩EF=E,
所以B1D⊥平面EFG,可知平面EGF∥平面ABD.
(方法二)设平面EGF的法向量为n1=(x1,y1,z1),
则
令y1=1,则n1=(0,1,-1).
设平面ABD的法向量为n2=(x2,y2,z2),
则 即
令y2=1,则n2=(0,1,-1).
所以n1=n2,
所以平面EGF∥平面ABD.
9.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1⊥平面A1BD.
证明如图所示,取BC的中点O,连接AO.
因为△ABC为正三角形,所以AO⊥BC.
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,所以AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点O1,以O为原点,以为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),=(-1,2,),=(-2,1,0).
因为n⊥,n⊥,
故
令x=1,则y=2,z=-,
故n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量,
而=(1,2,-),
所以=n,
所以∥n,故AB1⊥平面A1BD.
B组
1.设平面α的一个法向量为(1,2,-2),平面β的一个法向量为(-2,-4,k),若α∥β,则k=( )
A.2 B.-4 C.4 D.-2
解析:∵α∥β,∴存在实数λ,使(1,2,-2)=λ(-2,-4,k),∴k=4.
答案:C
2.
如图,AB是☉O的直径,VA垂直☉O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是( )
A.MN∥AB
B.MN与BC所成的角为45°
C.OC⊥平面VAC
D.平面VAC⊥平面VBC
解析:因为M,N分别为VA,VC的中点,所以MN∥AC.
因为AB∩AC=A,所以A选项不正确.
因为AC⊥BC,所以MN与BC所成的角为90°,B选项不正确.又因为OC不垂直于AC,所以选项C不正确.
因为VA垂直☉O所在的平面,依题意可得平面VAC⊥平面VBC.
答案:D
3.
如图,定点A和B都在平面内,定点P?α,PB⊥α,C是α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,那么C在平面α内的轨迹是( )
A.一条线段,但要去掉两个点
B.一个圆,但要去掉两个点
C.一个椭圆,但要去掉两个点
D.半圆,但要去掉两个点
解析:连接BC(图略),根据题意BC为PC在平面α内的射影.
∵PC⊥AC,根据三垂线定理的逆定理知AC⊥BC,
∴点C在以AB为直径的圆上.又C是不同于点A和B的动点,因此应去掉端点A和B.
答案:B
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.若在棱AA1上取一点P,使得DP∥平面B1AE,此时AP的长为 .?
解析:以A为原点,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示).
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故=(0,1,1),=(a,0,1),.再设P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE.此时=(0,-1,z0).
又设平面B1AE的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,得n=.
要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,有-az0=0,解得z0=.又DP?平面B1AE,
∴存在点P,满足DP∥平面B1AE,此时AP=.
答案:
5.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.
求证:(1)AF∥平面BDE;
(2)CF⊥平面BDE.
证明(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,
所以四边形AGEF为平行四边形,所以AF∥EG.
因为EG?平面BDE,AF?平面BDE,
所以AF∥平面BDE.
(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,
所以CE⊥平面ABCD.
如图,以C为原点,建立空间直角坐标系C-xyz,
则C(0,0,0),A(,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F.
所以=(0,-,1),=(-,0,1).所以=0-1+1=0,=-1+0+1=0.
所以CF⊥BE,CF⊥DE.
又BE∩DE=E,所以CF⊥平面BDE.
6.导学号90074038如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC.
(1)求证:AC⊥PB;
(2)设O,D分别为AC,AP的中点,点G为△OAB内一点,且满足),求证:DG∥平面PBC.
证明(1)因为PA⊥平面ABC,AC?平面ABC,
所以PA⊥AC.又因为AB⊥AC,且PA∩AB=A,
所以AC⊥平面PAB.
又因为PB?平面PAB,所以AC⊥PB.
(2)证法一:因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥AB,PA⊥AC.又因为AB⊥AC,
所以建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
设AC=2a,AB=b,PA=2c,
则A(0,0,0),B(0,b,0),C(2a,0,0),P(0,0,2c),D(0,0,c),O(a,0,0),又因为),
所以G.于是=(2a,-b,0),=(0,b,-2c).
设平面PBC的一个法向量n=(x0,y0,z0),则有不妨设z0=1,则有y0=,x0=,所以n=.
因为n·+1·(-c)=0,所以n⊥.
又因为DG?平面PBC,所以DG∥平面PBC.
证法二:取AB中点E,连接OE,则).由已知)可得,
则点G在OE上.
连接AG并延长交CB于点F,连接PF.
因为O,E分别为AC,AB的中点,所以OE∥BC,即G为AF的中点.又因为D为线段PA的中点,
所以DG∥PF.
又DG?平面PBC,PF?平面PBC,
所以DG∥平面PBC.
2
(共40张PPT)
§4 用向量讨论垂直与平行
一
二
三
思考辨析
一、空间中的垂直关系
1.线面垂直判定定理
若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂直.
2.面面垂直判定定理
若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直.
3.三垂线定理
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影,则这两条直线垂直.
4.三垂线定理的逆定理
如果平面内的一条直线a垂直于平面外的一条直线b,那么a垂直于直线b在平面上的投影.
一
二
三
思考辨析
名师点拨1.三垂线定理及其逆定理中的“平面内”这个条件不能省略,否则不一定成立,需要进一步证明.
2.三垂线定理及其逆定理的区别:
(1)从两个定理的条件和结论上区分,三垂线定理是“线与投影垂直?线与斜线垂直”,逆定理相反.
(2)从两个定理的作用上区分,三垂线定理解决已知“共面直线垂直?异面直线垂直”,逆定理相反.
一
二
三
思考辨析
【做一做1】 下列命题中,正确的命题是( )
A.若a是平面α的斜线,直线b垂直于a在α内的投影,则a⊥b
B.若a是平面α的斜线,平面β内的直线b垂直于a在α内的投影,则a⊥b
C.若a是平面α的斜线,b是平面α内的一条直线,且b垂直于a在α内的投影,则a⊥b
D.若a是平面α的斜线,直线b平行于平面α,且b垂直于a在另一平面β内的投影,则a⊥b
解析:A错,直线b可能不在平面α内;B错,直线b在平面α内时才成立;C对;D错,射影应为在平面α内的射影,故选C.
答案:C
一
二
三
思考辨析
二、空间中的平行关系
1.线线平行判定定理
若平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行.
2.线面平行判定定理
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线和这个平面平行.
3.面面平行判定定理
若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.
一
二
三
思考辨析
【做一做2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能确定
答案:B
一
二
三
思考辨析
三、利用方向向量、法向量判断线面的位置关系
设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为u,v,则有:
名师点拨1.用向量法判定(或证明)线面平行与垂直,实质就是转化为证明直线的方向向量与平面的法向量的垂直与共线.
2.直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的,在运用时应以运算简便为标准进行选择.
一
二
三
思考辨析
【做一做3】 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为b,若a·b=0,则( )
A.l∥α B.l?α
C.l⊥α D.l?α或l∥α
答案:D
【做一做4】 若平面α,β的法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则( )
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均错
解析:∵平面α,β的法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),∴v=-3u,∴u∥v,∴α∥β.
答案:A
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)一个平面的法向量都是同向的. ( )
(2)平面的法向量与该平面内的所有向量都是垂直的.( )
(3)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行,则这条直线与这个平面平行. ( )
(4)若两个平面的法向量的坐标分别为n1=(0,-2,3),n2=(1,a,b),则这两个平面不可能平行. ( )
(5)若两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直. ( )
(6)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直. ( )
×
√
×
√
×
√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求平面的法向量
【例1】 已知四棱锥S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立空间直角坐标系,求平面SAB,平面SDC的一个法向量.
思维点拨:由题意知AD⊥平面SAB,可直接写出坐标,求平面SDC的法向量可用待定系数法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:取A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵SA⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,∴SA⊥AD.
又∵四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=90°,∴AD⊥AB,
令x=-2,则y=1,z=-1,∴n=(-2,1,-1),
即平面SDC的一个法向量为n=(-2,1,-1).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟平面法向量的确定通常有两种方法:
(1)直接寻找:若能根据已知条件找出该平面的一条垂线,则可直接写出法向量.
(2)待定系数法:当平面的垂线不易确定时,可以利用待定系数法求解,具体步骤如下:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1已知平面α经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面α的一个法向量.
解:∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用向量方法证明空间中的平行关系
【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为BB1,DD1的中点,求证:
(1)FC1∥平面ADE;
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
思维点拨:画出示意图后用常规的方法也能将问题得以解决,但不如用向量法处理直接简单,因此本题可以通过建立空间直角坐标系,借助法向量来处理.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),
设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面ADE和平面B1C1F的法向量,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
取y1=1,则n1=(0,1,-2).同理可求n2=(0,1,-2).
又FC1?平面ADE,∴FC1∥平面ADE.
(2)∵n1∥n2,∴平面ADE∥平面B1C1F.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟运用空间向量解答立体几何问题应注意处理和把握好以下两大关系:一是向量法和纯几何法在解题中相互融合渗透的关系.大多数立体几何解答题,既可以用向量法求解,也可以用几何法求解.二是用向量法解题时,是选用基底向量(不建立空间直角坐标系),还是通过建立空间直角坐标系,选用坐标向量的关系,根据题目含义而定.对于出现垂直关系的特殊几何体,如正方体、长方体、直棱柱、有一条侧棱垂直于底面的棱锥等,往往通过建立空间直角坐标系解答较为方便.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是正方体六个面的中心.求证:平面EFG∥平面HMN.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证法一以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图.不妨设正方体的棱长为2,则E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,2,1),M(1,1,2),N(0,1,1).
∵HM?平面HMN,NH?平面HMN,
∴EF∥平面HMN,FG∥平面HMN.
∵EF?平面EFG,FG?平面EFG,EF∩FG=F,
∴平面EFG∥平面HMN.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证法二建立空间直角坐标系如证法一,设平面EFG的法向量为m=(x1,y1,z1).
从而得x1=-y1=-z1,
设x1=-1,则m=(-1,1,1).
设平面HMN的法向量为n=(x2,y2,z2),
从而得x2=-y2=-z2,设x2=-1,则n=(-1,1,1),
∴m∥n,∴平面EFG∥平面HMN.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
利用向量方法证明空间中的垂直关系
【例3】在正棱锥P-ABC中,三条侧棱两两互相垂直,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.
求证:(1)平面GEF⊥平面PBC;
(2)EG是PG与BC的公垂线段.
思维点拨:证明面面垂直通常有两种方法,一是利用面面垂直的判定定理,转化为线面垂直、线线垂直证明;二是证明两个平面的法向量互相垂直.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证明:(1)(方法一)如图,以三棱锥的顶点P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
令PA=PB=PC=3,则A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,0,3),E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0),P(0,0,0).
∴PA∥FG.而PA⊥平面PBC,∴FG⊥平面PBC.
又FG?平面EFG,∴平面EFG⊥平面PBC.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(方法二)同方法一,建立空间直角坐标系,
则E(0,2,1),F(0,1,0),G(1,1,0).
∴平面EFG⊥平面PBC.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
∴EG⊥PG,EG⊥BC,∴EG是PG与BC的公垂线段.
反思感悟用空间向量法证明立体几何中的垂直问题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于垂直的定理.此种类型的题主要考查数形结合的思想,以及转化与化归的思想.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC.
证法一如图,取A1B1的中点G,连接EG,FG,A1B,
则FG∥A1D1,EG∥A1B.
∵A1D1⊥平面A1ABB1,
∴FG⊥平面A1ABB1.
∵A1B⊥AB1,∴EG⊥AB1.
由三垂线定理,得EF⊥AB1.同理EF⊥B1C.
又∵AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
同理,EF⊥B1C.又∵AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
证法三设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2).
=(-1)×0+(-1)×2+1×2=0,
∴EF⊥AB1,EF⊥AC.
又∵AB1∩AC=A,∴EF⊥平面B1AC.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视直线与平面平行的条件致误
【典例】 已知A(1,0,0),B(0,1,1),C(1,1,0),D(1,2,0),E(0,0,1),则直线DE与平面ABC( )
A.直线DE与平面ABC平行
B.DE?平面ABC
C.直线DE与平面ABC相交
D.直线DE与平面ABC平行或DE?平面ABC
探究一
探究二
探究三
思维辨析
所以A,B,C,D四点共面,
即点D在平面ABC内,所以DE?平面ABC.选B.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得当直线的方向向量与平面的法向量垂直时,直线与平面的位置关系有两种:一是直线与平面平行;二是直线在平面内.具体是哪一种,应进一步考查.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练若直线l的方向向量为a=(3,-1,4),平面α的法向量为n= ,则直线l与平面α的位置关系是 .?
所以a⊥n.所以l∥α或l?α,即直线与平面平行,或直线在平面内.
答案:l∥α或l?α
1 2 3 4 5
1.下列说法不正确的是( )
A.平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B.一个平面的所有法向量互相平行
C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直
D.如果a,b与平面α共面,且n⊥a,n⊥b,那么n就是平面α的一个法向量
解析:对于选项D,若a与b共线,则n就不一定是平面α的法向量.
答案:D
1 2 3 4 5
2.在三棱锥P-ABC中,CP,CA,CB两两垂直,AC=CB=1,PC=2,在如图所示的空间直角坐标系下,下列向量是平面PAB的法向量的是( )
面PAB的一个法向量为n=(x,y,1),则x-2=0,-x+y=0,即y=x=2.
答案:A
1 2 3 4 5
则( )
A.l∥β B.l⊥β
C.l?β D.l与β斜交
解析:∵b=-2a,∴a∥b,∴l⊥β.
答案:B
1 2 3 4 5
4.正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.
求证:平面AMN∥平面EFBD.
证明:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则A(4,0,0),M(2,0,4),N(4,2,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4).
取MN的中点G及EF的中点K,BD的中点Q,连接AG,QK,
则G(3,1,4),K(1,3,4),Q(2,2,0).
1 2 3 4 5
所以MN∥EF,AG∥QK.
又MN,AG?平面EFBD,EF,QK?平面EFBD,
所以MN∥平面EFBD,AG∥平面EFBD.
又MN∩AG=G,
所以平面AMN∥平面EFBD.
1 2 3 4 5
5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.
求证:(1)PA∥平面EDB;
(2)PB⊥平面EFD.
1 2 3 4 5
证明:如图所示,建立空间直角坐标系,D是坐标原点,设DC=a.
(1)连接AC,AC交BD于点G,连接EG.依题意,得
∵底面ABCD是正方形,
∴G是正方形ABCD的中心.
∴PA∥EG.
而EG?平面EDB,且PA?平面EDB,
∴PA∥平面EDB.
1 2 3 4 5
又∵EF⊥PB,且EF∩DE=E,
∴PB⊥平面EFD.
§5 夹角的计算
5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角
课后训练案巩固提升
A组
1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为( )
A.45° B.135°
C.45°或135° D.90°
解析:本题考查利用平面的法向量求两平面夹角的方法.cos=,即=45°,
∴两平面的夹角为45°.
答案:A
2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BB1,DC的中点,则异面直线AE与D1F的夹角为( )
A. B. C. D.
解析:设正方体的棱长为2,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则D1(0,0,0),A(2,0,2),E(2,2,1),F(0,1,2).
∴=(0,2,-1),=(0,1,2),
∴=0,∴.
答案:D
3.如图,
在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC的中点,则平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值是( )
A.- B. C.- D.
解法一 取SC的中点M,
连接AM,OM,OA,由题意知SO=OC,SA=AC,得OM⊥SC,AM⊥SC.
所以∠OMA为平面ASC与平面BSC的夹角.
由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,得AO⊥平面SBC.
所以AO⊥OM.又AM=SA,AO=SA,
故sin∠AMO=,cos∠AMO=.
故平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值为.
解法二连接OA,由题易知AO,BO,SO两两垂直,则以O为坐标原点,射线OB,OA,OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.取SC的中点M,连接AM,OM,
设B(1,0,0),则C(-1,0,0),A(0,1,0),S(0,0,1).
SC的中点M,
所以=(-1,0,-1),所以=0,=0.故MO⊥SC,MA⊥SC,<>等于二面角A-SC-B的平面角.
cos<>=,
所以平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值为.
答案:B
4.把正方形ABCD沿对角线AC翻折,使平面ACD⊥平面ABC,点E,F分别是AD,BC的中点,O是正方形的中心,则折起后,直线OE与OF的夹角的大小是( )
A. B. C. D.
解析:如图,
建立空间直角坐标系,设正方形的边长为2.
则F,E,
∴,
∴cos∠EOF=cos<>
==-,
设直线OE与OF的夹角为θ,则cos θ=|cos∠EOF|=,即θ=.故直线OE与OF的夹角为.
答案:A
5.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,则平面SCD和平面SAB夹角的余弦值是 .?
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),D,C(1,1,0),S(0,0,1),平面SAB的一个法向量是.
设n=(x,y,z)是平面SCD的法向量,则n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0.
又,
∴x+y=0,且-x+z=0,
令x=1,得n=.
∴cos<,n>=.
故平面SCD和平面SAB的夹角的余弦值为.
答案:
6.正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D与BC1夹角的大小是 ,若E,F分别为AB,CC1的中点,则异面直线EF与A1C1夹角的大小是 .?
解析:以点D为原点,
建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则易得D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),C1(0,2,2),A1(2,0,2),E(2,1,0),F(0,2,1),所以=(-2,0,2),=(-2,-2,-2).因为=0,所以B1D与BC1夹角的大小是90°.
又=(-2,2,0),=(-2,1,1),设异面直线EF与A1C1夹角为θ,则cos θ=,所以θ=30°.
答案:90° 30°
7.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都是1,且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=,E,F分别为A1B1与BB1的中点,求异面直线BE与CF夹角的余弦值.
解如图,设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,===.
∴a·b=b·c=a·c=.
而=-a+c,
=-b+c,
∴||=,||=.
∴
=a·b-a·c-b·c+c2=.
cos<>=.
∴异面直线BE与CF的夹角的余弦值为.
8.
导学号90074040如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.
(1)求证:PC⊥AB;
(2)求平面ABP与平面APC夹角的余弦值.
(1)证明∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.
又PC⊥AC,∴PC⊥BC.
∵AC∩BC=C,
∴PC⊥平面ABC.∵AB?平面ABC,∴PC⊥AB.
(2)解如图,以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,
则C(0,0,0),A(0,2,0),B(2,0,0).设P(0,0,t).
∵PB=AB=2,
∴t=2,
∴点P的坐标为(0,0,2).
=(-2,2,0),=(-2,0,2),
设平面ABP的法向量n=(x,y,z),
则
令x=1,则n=(1,1,1).
由题易知平面APC的法向量m=(1,0,0),
cos????n,m????=.
∴平面ABP与平面APC的夹角的余弦值为.
B组
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin<>的值等于( )
A. B. C. D.
解析:如图,
以D为原点建立空间直角坐标系.设棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M,
∴=(1,1,1),.
∴cos<>=.
∴sin<>=.
答案:B
2.如图,已知E,F分别是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1的中点,则截面AEFD1与底面ABCD所成的夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
解析:以D为坐标原点,
以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则A(1,0,0),E,D1(0,0,1),∴=(-1,0,1),.设平面AEFD1的法向量为n=(x,y,z),则
∴x=2y=z.取y=1,则n=(2,1,2).
又平面ABCD的一个法向量为u=(0,0,1),
∴cos=,
∴sin=.
答案:C
3.
导学号90074041如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,且∠BCA=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,若BC=CA=CC1,则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
解析:设向量=a,=b,=c,|a|=|b|=|c|=1,根据题意,得a·b=b·c=c·a=0.又a-b+c,=-a+c,∴||2=,∴||=,同理,||=.又,∴cos<>=,故选B.
答案:B
4.已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的夹角,则异面直线AD与BF所成角θ的余弦值是 .?
解析:建立如图所示的
空间直角坐标系,设AB=1,则A(0,0,0),D,F(1,0,0),B(0,1,0),∴=(1,-1,0),∴cos θ=cos<>=.
答案:
5.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2,A1A=4,点D是BC的中点.求:
(1)异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值.
解(1)以A为坐标原点,
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
则B(2,0,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),
所以=(2,0,-4),=(1,-1,-4).
因为cos<>=,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1=(x,y,z),因为=(1,1,0),=(0,2,4),所以取z=1,得x=2,y=-2,所以n1=(2,-2,1)是平面ADC1的一个法向量.取平面ABA1的一个法向量为n2=(0,1,0),设平面ADC1与平面ABA1夹角的大小为θ.由cos θ=,得sin θ=.因此平面ADC1与平面ABA1夹角的正弦值为.
6.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,点N是BC的中点,点M在CC1上.设平面DA1N与平面DMN的夹角为θ.
(1)当θ=90°时,求AM的长;
(2)当cos θ=时,求CM的长.
解以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设CM=t(0≤t≤2),则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,2),N,M(0,1,t),
所以=(0,1,t),=(1,0,2).
设平面DMN的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1·=0,n1·=0,即x1+2y1=0,y1+tz1=0.令z1=1,则y1=-t,x1=2t,所以n1=(2t,-t,1)是平面DMN的一个法向量.设平面A1DN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2·=0,n2·=0,即x2+2z2=0,x2+2y2=0.令z2=1,则x2=-2,y2=1,所以n2=(-2,1,1)是平面A1DN的一个法向量.
(1)因为θ=90°,所以n1·n2=-5t+1=0,
解得t=.
从而M.
所以|AM|=.
(2)因为|n1|=,|n2|=,
所以cos=.
因为=θ或π-θ,
所以,解得t=0或t=.根据图形可知t=,从而CM的长为.
1
(共31张PPT)
§5 夹角的计算
5.1 直线间的夹角 5.2 平面间的夹角
一
二
思考辨析
一、直线间的夹角
一
二
思考辨析
【做一做1】 设直线l1的方向向量为s1=(1,1,1),直线l2的方向向量为s2=(-2,2,-2),则l1,l2夹角的余弦值cos θ= .?
3.利用直线的方向向量求两条直线的夹角时,要注意两条直线的方向向量所成角与两条直线的夹角的关系,这两者不一定相等,还可能互补.
一
二
思考辨析
二、平面间的夹角
一
二
思考辨析
3.两个平面的夹角与其法向量所成角不一定相等,还可能互补.
一
二
思考辨析
【做一做2】 已知平面π1的法向量n1=(1,-1,3),平面π2的法向量n2=(-1,0,-1),则这两个平面夹角的余弦值为 .?
解析:n1=(1,-1,3),n2=(-1,0,-1),
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)两条异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等. ( )
(3)平面间夹角的大小就是这两个平面的法向量的夹角. ( )
×
×
×
×
探究一
探究二
思想方法
直线间的夹角
【例1】如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线BA1和AC的夹角.
探究一
探究二
思想方法
探究一
探究二
思想方法
解法二以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a).
探究一
探究二
思想方法
反思感悟求异面直线的夹角,用向量法比较简单,若用基向量求解,则必须选好空间的一组基向量,若用坐标系求解,一定要将每个点的坐标写正确.
探究一
探究二
思想方法
变式训练1如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 .?
∴异面直线A1M与DN所成的角为90°.
答案:90°
探究一
探究二
思想方法
平面间的夹角
【例2】 等边三角形ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E,F分别是AC和BC边上的中点(如图①),现将△ABC沿CD翻折,使平面ACD⊥平面BCD(如图②).求平面ABD与平面EFD夹角的余弦值.
探究一
探究二
思想方法
解:由已知CD⊥AD,CD⊥BD,
∴∠ADB就是平面ACD与平面BCD的夹角的平面角,
∴AD⊥BD.
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2 ,0),
∵E,F分别是AC,BC的中点,
探究一
探究二
思想方法
反思感悟利用向量方法求平面间夹角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到平面间夹角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定平面间夹角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与平面间夹角的大小完全等同起来.
探究一
探究二
思想方法
变式训练2如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1的中点,求平面AA1D与平面A1DB夹角的余弦值.
解:如图,取BC的中点O,连接AO.
∵△ABC是等边三角形,
∴AO⊥BC.
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1.
取B1C1的中点为O1,以O为原点,以直线OB,OO1,OA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
探究一
探究二
思想方法
设平面A1AD的一个法向量为n=(x,y,z),
探究一
探究二
思想方法
函数与方程思想
利用空间向量的坐标运算解决已知夹角的问题时,常需要建立方程求解,或利用函数求最值.
【典例】 如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在直线A1B1上,且A1P=λA1B1.问:是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC的夹角为30°?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由.
探究一
探究二
思想方法
解:以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
令x=3,得y=1+2λ,z=2-2λ,
∴n=(3,1+2λ,2-2λ).
又AA1⊥平面ABC,
探究一
探究二
思想方法
化简得4λ2+10λ+13=0. (*)
∵Δ=100-4×4×13=-108<0,
∴方程(*)无解,
∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC的夹角为30°.
方法点睛利用向量法解决有关夹角的存在性问题时,常先假设存在,然后根据条件建立方程(组),根据方程(组)解的情况,以及已知条件的限制得出结论.
探究一
探究二
思想方法
变式训练在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱的长度都是2,M是BC边的中点.试问:侧棱CC1上是否存在一点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°?
解:以A为坐标原点,
建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
因为所有棱的长都是2,
探究一
探究二
思想方法
假设侧棱CC1上存在一点N(0,2,m)(0≤m≤2),使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°,
所以侧棱CC1上不存在点N,使得异面直线AB1和MN所成的角等于45°.
1 2 3 4
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2,E,F分别是线段AB,BC上的点,且EB=FB=1,则直线EC1与FD1夹角的余弦值是( )
方向建立空间直角坐标系,
则E(3,3,0),F(2,4,0),D1(0,0,2),C1(0,4,2).
答案:A
1 2 3 4
2.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,如果PA=AB,那么平面ABP与平面CDP的夹角的大小为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
解析:根据题设条件,将图形恢复为一个正方体ABCD-PRNM,则平面ABP即平面ABRP,平面CDP即平面CDPR,二者的交线为PR,显然∠DPA为平面DPR与平面APR的夹角的平面角,且∠DPA=45°.
答案:B
1 2 3 4
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 .?
解析:因为AC∥A1C1,所以∠BA1C1(或其补角)就是所求异面直线所
1 2 3 4
4.如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面
(1)求PO的长;
(2)求平面APM与平面CPM夹角的正弦值.
1 2 3 4
解:(1)如图,连接AC,BD,则AC∩BD=O,
因为ABCD为菱形,所以AC⊥BD.
1 2 3 4
1 2 3 4
5.3 直线与平面的夹角
课后训练案巩固提升
1.下列有关角的说法正确的是( )
A.异面直线所成的角的范围是
B.两平面的夹角可以是钝角
C.斜线和平面所成角的范围是
D.直线与平面的夹角的取值范围是
解析:异面直线所成的角的范围是,A错;两平面的夹角的范围是,B错;斜线与平面所成角就是斜线与平面的夹角,规定斜线和平面所成角的范围是,C错;而直线与平面的夹角的取值范围是,D对.
答案:D
2.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B. C. D.
解析:以D为坐标原点,
建立空间直角坐标系,如图.设AA1=2AB=2,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则=(0,1,0),=(1,1,0),=(0,1,2).设平面BDC1的法向量为n=(x,y,z),则n⊥,n⊥,所以有令y=-2,得平面BDC1的一个法向量为n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成的角为θ,则sin θ=|cos|=.
答案:A
3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C夹角的大小是( )
A. B. C. D.
解析:如图,取BC的中点E,连接DE,AE,AD,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE为AD与平面BB1C1C的夹角.设各棱长为1,则AE=,DE=,所以tan∠ADE=,所以∠ADE=,故选C.
答案:C
4.
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PD=AB=1,G为△ABC的重心,则PG与底面ABCD所成的角θ满足( )
A.θ=
B.cos θ=
C.tan θ=
D.sin θ=
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),所以G.又平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),则cos<,n>==-,所以PG与平面ABCD所成角的余弦值为.
答案:B
5.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的方向向量为a=(-2,-3,3),则l与α夹角的余弦值为 .?
解析:∵cos=,
∴l与α夹角的余弦值为.
答案:
6.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD的夹角为,则平面FBE与平面DBE夹角的余弦值是 .?
解析:因为DA,DC,DE两两垂直,
所以建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示.
因为BE与平面ABCD的夹角为,即∠DBE=,
所以.由AD=3可知DE=3,AF=,
则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0).
所以=(0,-3,),=(3,0,-2).
设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),
则
令z=,则n=(4,2,).由题意知AC⊥平面BDE,
所以为平面BDE的法向量,=(3,-3,0).
所以cos=.
故由题意知平面FBE与平面DBE夹角的余弦值为.
答案:
7.
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.
(1)求证:SA⊥BC;
(2)求直线SD与平面SAB夹角的正弦值.
(提示:用向量法求解)
(1)证明如图,作SO⊥BC,垂足为O,连接AO.
由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.
因为SA=SB,
所以AO=BO.
又∠ABC=45°,
故△AOB为等腰直角三角形,且AO⊥OB.
如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,OB为y轴正向,OS为z轴正向,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(,0,0),B(0,,0),C(0,-,0),S(0,0,1),
所以=(,0,-1),=(0,2,0).
所以=0.所以SA⊥BC.
(2)解如上图,取AB的中点E.
连接SE,取SE的中点G,连接OG,
则.
所以=0,=0,
即OG与平面SAB内两条相交直线SE,AB垂直,
所以OG⊥平面SAB.
将的夹角记为α,SD与平面SAB的夹角记为β,则α与β互余.
因为D(,-2,0),所以=(-,2,1),
所以cos α=,所以sin β=.
所以直线SD与平面SAB夹角的正弦值为.
8.
导学号90074044如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=AB,求PB与平面PAC所成角的余弦值;
(3)若PA=4,求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值.
解(1)因为底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC.
又PA⊥平面ABCD,所以BD⊥PA.
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.
(2)设BD∩AC=O,连接PO,由(1)可知∠BPO即为PB与平面PAC所成的角.
因为PA=AB=2,所以PB=2.又∠BAD=60°,
所以OB=BD=1,所以cos∠BPO=,所以PB与平面PAC所成角的余弦值为.
(3)
以BD与AC的交点O为坐标原点,OB为x轴,OC为y轴,过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得,AO=OC=,OD=OB=1,所以P(0,-,4),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),=(0,2,-4),=(-1,,0),=(-1,-,0).
设平面PBC的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面PDC的法向量为n2=(x2,y2,z2),
由可得令x1=,可得n1=.同理,由可得n2=,所以cos==-,所以平面PBC与平面PDC所成角的余弦值为.
3
(共34张PPT)
5.3 直线与平面的夹角
直线与平面的夹角
名师点拨1.直线与平面所成的角用向量来求时,得到的不是线面角,而是它的余角(或补角的余角).应注意到线面角为锐角(或直角).
2.直线与平面所成角θ的范围是 .可通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,关系式:sin θ=|cos φ|或cos θ=sin φ.
【做一做1】 已知线段AB=8,AB在平面α内的射影长为4,则直线AB与平面α所成的角θ为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
答案:B
【做一做2】 已知直线l的方向向量为s=(1,0,0),平面π的法向量为n=(2,1,1),则直线与平面夹角的正弦值为 .?
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)直线与平面的夹角都是锐角. ( )
(2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角. ( )
(3)当直线与平面的夹角为0°时,说明直线与平面平行. ( )
×
×
×
探究一
探究二
一题多解
直线与平面的夹角
【例1】在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.
探究一
探究二
一题多解
思维点拨:在第(1)问中,考查线线垂直问题,要寻求线线垂直的条件,可以是线面垂直或面面垂直.结合具体条件,利用面面垂直去证明线线垂直,只需在其中一个平面内的一条直线垂直于交线就可以了.在第(2)问中,欲求直线与平面所成角的正弦值,自然联想到借助于向量解决,建立合适的坐标系之后,求得平面的法向量n,再在直线上确定一个方向向量,求得这两个向量夹角的余弦值,其绝对值即为线面角的正弦值.
(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD,AB⊥BD,
∴AB⊥平面BCD.
又CD?平面BCD,∴AB⊥CD.
探究一
探究二
一题多解
(2)解:过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.
由(1)知AB⊥平面BCD,BE?平面BCD,BD?平面BCD,
∴AB⊥BE,AB⊥BD.
设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),
探究一
探究二
一题多解
取z0=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).
设直线AD与平面MBC所成角为θ,
反思感悟本题属于点、线、面的位置关系的判定与空间角的求解的综合性问题.针对第(1)问,涉及线线垂直的证明一般直接用判定或性质定理即可.针对第(2)问,涉及线面角的解决要侧重于建系,用向量的方法解决.
探究一
探究二
一题多解
变式训练1已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的正方形,长方体的高AA1=3,则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于( )
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
∵底面是边长为4的正方形,AA1=3,
∴A1(4,0,0),B(4,4,3),C1(0,4,0).
答案:C
探究一
探究二
一题多解
夹角的综合计算
【例2】如图,在三棱锥P-ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.
(1)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值;
(2)平面APC与平面PAB夹角的余弦值.
思维点拨:先利用面面垂直关系,建立空间直角坐标系,再利用线面角、面面角的向量方法求解.
探究一
探究二
一题多解
解:设AB的中点为D,连接CD,作PO⊥AB于点O.
因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以PO⊥平面ABC.所以PO⊥CD.
由AB=BC=CA,知CD⊥AB.
设E为AC中点,连接OE,则EO∥CD,
从而OE⊥PO,OE⊥AB.
如图,以O为坐标原点,OB,OE,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
探究一
探究二
一题多解
探究一
探究二
一题多解
反思感悟求空间角的两种思路:
(1)几何法:利用定义找出空间角,一般都放在某个三角形中,然后解三角形即可.
(2)向量法:一般用向量的坐标法解决,先根据条件建立空间直角坐标系,再利用线线角、线面角、面面角的向量法夹角公式求解.
探究一
探究二
一题多解
变式训练2如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为AA1,B1C的中点,DE⊥平面BCC1B1.
(1)证明:AB=AC;
(2)设平面ABD与平面BCD的夹角为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小.
探究一
探究二
一题多解
(1)证明:以A为坐标原点,
射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),
探究一
探究二
一题多解
探究一
探究二
一题多解
线面角的求法
【典例】 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 a,求AC1与侧面ABB1A1的夹角.
思路点拨:
探究一
探究二
一题多解
解:方法一:如图所示,取A1B1的中点M,
则C1M⊥A1B1,又因为平面A1B1C1⊥平面ABB1A1,且交线为A1B1,所以C1M⊥平面ABB1A1,故AM为AC1在平面ABB1A1上的投影,即∠C1AM为直线AC1与侧面ABB1A1的夹角.在Rt△AC1M中,
即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°.
探究一
探究二
一题多解
方法二:建立如图所示的空间直角坐标系,
取A1B1的中点M,由方法一知∠C1AM是直线AC1与侧面ABB1A1的夹角.
探究一
探究二
一题多解
∴θ=30°,即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°.
探究一
探究二
一题多解
通题通法求线面角的三个思路:
(1)几何法:利用定义在图中作出线面角,然后证明,放在直角三角形中求角.
(2)几何与向量结合法:利用定义在图中找(作)出线面角,然后证明,转化为向量的夹角计算.
(3)向量法:利用线面角θ和直线的方向向量s与平面的法向量n的夹角之间的公式sin θ=|cos|计算.
探究一
探究二
一题多解
变式训练在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A1B与平面A1B1CD所成的角.
解:(方法一)如图,连接BC1,与B1C交于点O,连接A1O.由题意可知A1B1⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,所以A1B1⊥BC1,因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1⊥B1C,且B1C∩A1B1=B1,所以BC1⊥平面A1B1CD,故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影,即∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,
探究一
探究二
一题多解
所以∠BA1O=30°,即A1B与平面A1B1CD所成的角是30°.
探究一
探究二
一题多解
(方法二)如图,建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1,则由题意可知A1(1,0,1),B(1,1,0).连接BC1,与B1C交于点O,
探究一
探究二
一题多解
(方法三)如图,建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1,
1 2 3 4
1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于( )
A.120° B.60°
C.30° D.以上均错
解析:直线l与平面α所成的角θ=120°-90°=30°.
答案:C
1 2 3 4
2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1夹角的正弦值等于( )
解析:如图,
作B1D⊥A1C1,垂足为D,连接AD.
∵ABC-A1B1C1为正三棱柱,
∴B1D⊥平面ACC1A1,
∴∠B1AD为所求的AB1与侧面ACC1A1的夹角.
答案:A
1 2 3 4
3.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC= ,则PA与底面ABC的夹角为 .?
解析:取BC的中点O,
因为PO⊥BC,且AO∩BC=O,
所以PO⊥平面ABC,即∠PAO为PA与底面ABC的夹角.
1 2 3 4
4.如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC= PA,点O,D分别是AC,PC的中点,OP⊥底面ABC.
(1)求证:OD∥平面PAB.
(2)求直线OD与平面PBC夹角的正弦值.
1 2 3 4
解:∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,
∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.
以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
则P(0,0,h).
1 2 3 4
∵OD?平面PAB,PA?平面PAB,
∴OD∥平面PAB.
1 2 3 4
§6 距离的计算
课后训练案巩固提升
A组
1.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到l的距离为( )
A. B. C. D.
解析:∵n=(1,0,-1)与直线l垂直,
∴n的单位向量n0=.
又∵l经过点A(2,3,1),
∴=(2,0,1),
∴在n上的投影·n0=(2,0,1)·.∴点P到l的距离为.
答案:B
2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为( )
A.10 B.3 C. D.
解析:∵α的一个法向量为n=(-2,-2,1),
∴n0=.
又点A(-1,3,0)在α内,∴=(-1,-2,4),
∴点P到平面α的距离为|·n0|=.
答案:D
3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为( )
A.a B.a C.a D.
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).
∴=(0,a,-a),=(-a,0,a).
∴||=a,||=a.
∴点A1到BC1的距离
d=a.
答案:A
4.
导学号90074046如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是( )
A. B. C. D.
解析:如图,
建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0).
所以=(-1,0,1),.
所以.又直线AD1与MN不重合,
所以MN∥AD1.又MN?平面ACD1,
所以MN∥平面ACD1.
因为=(-1,0,1),=(0,1,-1),
设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),
则所以
所以x=y=z.令x=1,则n=(1,1,1).
又因为-(1,0,0)=,所以点M到平面ACD1的距离d=.
故直线MN与平面ACD1间的距离为.
答案:D
5.
如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,BC=3,AA'=4,则点B到直线A'C的距离为 .?
解析:∵AB=2,BC=3,AA'=4,则B(2,0,0),C(2,3,0),A'(0,0,4),
∴=(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4),
∴=(2,0,0)-(2,3,0)=(0,-3,0),
∴上的投影为
=.
∴点B到直线A'C的距离
d=
=.
答案:
6.
如图,已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点,则点A到平面SND的距离为 .?
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),∴=(0,-2,2),=(-1,4,-2).设平面SND的法向量为n=(x,y,1).
∴n·=0,n·=0,
∴
∴n=(2,1,1).∵=(0,0,2),
∴点A到平面SND的距离为.
答案:
7.
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并分别求出点N到AB和AP的距离.
解建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意有
A(0,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E.
所以=(,1,0),=(0,0,2).
因为点N在侧面PAB内,故可设点N的坐标为(x,0,z),则.
由NE⊥平面PAC,可得
即
化简,得所以
即点N的坐标为,从而点N到AB和AP的距离分别为1,.
8.已知三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求点C到平面AB1D的距离.
解
(方法一)如图,连接A1B,交AB1于点M,连接DM,则DM⊥平面AA1B1B,所以A1B⊥DM.又=()·()=||2-||2=0,
∴A1B⊥AB1.
∴A1B⊥平面AB1D.
即是平面AB1D的一个法向量.
故点C到平面AB1D的距离
d=
=a.
(方法二)如图,以B为原点,过点B与BC垂直的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,BB1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A,A1,B1(0,0,a),D,C(0,a,0).
可知.
取AB1的中点M,则M.
∴,
∴a×+0×(-a)=0.
∴DM⊥A1B.又a2+-a2=0,
∴A1B⊥AB1.
∴A1B⊥平面AB1D.
即是平面AB1D的一个法向量,
故点C到平面AB1D的距离d=
=a.
B组
1.已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若点P在正方体内部且满足,则点P到AB的距离为( )
A. B. C. D.
解析:
建立如图所示的空间直角坐标系,则(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=.又=(1,0,0),∴上的投影为,∴点P到AB的距离为.
答案:A
2.
如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为( )
A. B.
C. D.2
解析:
取AB的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),从而=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,则x=-1,z=-1,∴n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量.故点D到平面ACE的距离d=.
答案:B
3.
如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2,则点A到平面MBC的距离为 .?
解析:取CD的中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.
又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD.
以O为原点,建立空间直角坐标系如图,
由题意得OB=OM=,AB=2,
所以C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2).
设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量,
则=(1,,0),=(0,),
由取n=(,-1,1).
又=(0,0,2),则点A到平面MBC的距离d=.
答案:
4.
如图,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为 .?
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(1,0,0),B1(1,1,0),E,F,D1(0,0,0),M,N.
∵E,F,M,N分别是所在棱的中点,∴MN∥EF,A1E∥B1N.∴平面A1EF∥平面B1NMD1.
∴平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为A1到平面B1NMD1的距离.
设平面B1NMD1的法向量为n=(x,y,z),
∵=(1,1,0),,
∴n·=0,且n·=0.
即(x,y,z)·(1,1,0)=0,且(x,y,z)·=0.∴x+y=0,且-x+z=0,
令x=2,则y=-2,z=1.
∴n=(2,-2,1),n0=.
∵=(0,1,0),
∴A1到平面B1NMD1的距离为d=|·n0|=.
答案:
5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求点B1到平面A1BD的距离.
(1)证明连接AB1交A1B于E,连接DE.
?B1C∥平面A1BD.
(2)解建立如图所示的坐标系,
则B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),
所以=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
所以
即取n=(3,0,1).
所以所求距离为d=.
6.
导学号90074047如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,PD的中点.问:线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.
解由题意知PA,AD,AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
则A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1).
假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件.
令CQ=m(0≤m≤2),则DQ=2-m.
∴点Q的坐标为(2-m,2,0),∴=(2-m,2,-1).
而=(0,1,0),设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,则n=(1,0,2-m)是平面EFQ的一个法向量.
又=(0,0,1),
∴点A到平面EFQ的距离d=,即(2-m)2=,
∴m=>2,不合题意,舍去.
故存在点Q,且CQ=时,点A到平面EFQ的距离为.
2
习题课——空间向量在空间问题中的综合应用
课后训练案巩固提升
1.在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到△ABC重心G的距离为 ( )
A.2 B.
C.1 D.
解析:以P为原点,以PA,PB,PC所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),于是G,
故||=.
答案:D
2.
如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:
①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D;④A1M∥平面D1PQB1,则以上正确说法的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:因为,
所以,所以A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1,故①③④正确.
答案:C
3.
如图,在四面体A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD中点,则AE的长为 ( )
A. B.
C.2 D.
解析:因为,||=||=1=||,且=0.又=()2,所以=3,即AE的长为.
答案:B
4.已知AB,BC,CD为两两垂直的三条线段,且它们的长都为2,则AD的长为( )
A.4 B.2 C.3 D.2
解析:因为,
所以||2=||2
=||2+||2+||2+2()=22+22+22+2(0+0+0)=12,故||=2.
答案:D
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:①()2=3;②·()=0;③的夹角为60°;④正方体的体积为||.其中正确命题的序号是 .?
解析:()2=()2+()2+()2+2()=3()2,故①正确;设正方体棱长为a,则·()=()·()=a2-0+0-0+0-a2=0,故②正确;的夹角应为120°,故③错误;正方体的体积应为||·||·||,故④错误.
答案:①②
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和等于 .?
解析:以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E(x,1,1),B1(1,1,0),∴=(x-1,0,1).
又F(0,0,1-y),B(1,1,1),
∴=(1,1,y).
∵AB⊥B1E,∴若B1E⊥平面ABF,只需=(1,1,y)·(x-1,0,1)=0,即x+y=1.
答案:1
7.
如图,矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直,且∠BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分别为BE,AE,BC的中点.
(1)求证:直线DE与平面FGH平行;
(2)若点P在直线GF上,且平面ABP与平面BDP夹角的大小为,试确定点P的位置.
(1)证明取AD的中点M,连接MH,MG.
∵G,H分别是AE,BC的中点,
∴MH∥AB,GF∥AB,∴M∈平面FGH.
又MG∥DE,且DE?平面FGH,MG?平面FGH,
∴DE∥平面FGH.
(2)解在平面ABE内,过点A作AB的垂线,记为AP(图略),则AP⊥平面ABCD.
以A为原点,AP,AB,AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz.
所以A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(2,-2,0),G(,-1,0),F(,1,0).
则=(0,2,0),=(0,-4,2),=(,-5,0).
设=λ=(0,2λ,0),
则=(,2λ-5,0).
设平面PBD的法向量为n1=(x,y,z),
则
取y=,得z=2,x=5-2λ,
故n1=(5-2λ,,2).
又平面ABP的法向量为n2=(0,0,1),
因此cos=,解得λ=1或λ=4.
故=4(P(,1,0)或P(,7,0)).
8.
如图,在四棱锥A-BCDE中,底面BCDE是等腰梯形,BC∥DE,∠DCB=45°,O是BC中点,AO=,且BC=6,AD=AE=2CD=2.
(1)证明:AO⊥平面BCD;
(2)求平面ACD与平面BCD夹角的正切值.
(1)证明易得OC=3,连接OD,OE,在△OCD中,由余弦定理可得OD=,
因为AD=2,所以AO2+OD2=AD2,
所以AO⊥OD.同理可证AO⊥OE,又OD∩OE=O,
所以AO⊥平面BCD.
(2)解以O点为原点,建立空间直角坐标系O-xyz(如图),
则A(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),
所以=(0,3,),=(-1,2,).
设n=(x,y,z)为平面ACD的法向量,
则
即
解得令x=1,得n=(1,-1,),
由(1)知,=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,所以cos=,
故平面ACD与平面BCD夹角的正切值为.
9.
导学号90074050如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,∠CDA=45°.
(1)求证:平面PAB⊥平面PAD.
(2)设AB=AP.
①若直线PB与平面PCD所成的角为30°,求线段AB的长.
②在线段AD上是否存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?若存在,确定点G的位置;若不存在,请说明理由.
(1)证明因为PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,所以PA⊥AB.
又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)解
①以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz(如图).
在平面ABCD内,作CE∥AB交AD于点E,则CE⊥AD.
在Rt△CED中,DE=CD·cos 45°=1,CE=CD·sin 45°=1.
设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t).
由AB+AD=4,得AD=4-t,
所以C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),=(-1,1,0),=(0,4-t,-t).
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),由n⊥,n⊥,得
取x=t,得平面PCD的一个法向量为n=(t,t,4-t).
又=(t,0,-t),故由直线PB与平面PCD所成的角为30°,得cos 60°=,
即,解得t=或t=4(舍去,因为AD=4-t>0),所以AB=.
②(方法一)如图,假设在线段AD上存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.
设G(0,m,0)(0≤m≤4-t),则=(1,3-t-m,0),=(0,4-t-m,0),=(0,-m,t).
由||=||,得12+(3-t-m)2=(4-t-m)2,
即t=3-m; ①
由||=||,得(4-t-m)2=m2+t2. ②
由①②消去t,化简得m2-3m+4=0. ③
由于方程③没有实数根,所以在线段AD上不存在一点,使得点G到点P,C,D的距离都相等.
从而在线段AD上不存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.
(方法二)如图,
假设在线段AD上存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.
由GC=GD,得∠GCD=∠GDC=45°,
从而∠CGD=90°,即CG⊥AD,
所以GD=CD·cos 45°=1.
因为AB=t,AD=4-t,
所以AG=AD-GD=3-t.
在Rt△BAG中,GB=>1,这与GB=GD矛盾.
所以在线段AD上不存在一点G,使得点G到点B,C,D的距离都相等.
从而在线段AD上不存在一点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等.
4
(共39张PPT)
习题课——空间向量在空间问题中的综合应用
1.利用空间向量求两点间距离
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)为空间中任意两点,
2.利用空间向量解决探索性问题
立体几何探索性问题是近几年高考和各地模拟考试中的热点题型.空间向量作为一种工具,在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性,运用空间向量法解题,可使几何问题代数化,大大简化思维程序,使解题思路直观明了.
空间中的探索性问题一般有以下两种类型:
(1)“条件探索型”,就是指给出了问题的明确结论,但条件不足或未知,需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题,这类问题的常用解法是逆推法,利用结论探求条件.
(2)“存在型”,是指结论不确定的问题,即在数学命题中,结论常以“是否存在”的形式出现,其结果可能存在,需要找出来;可能不存在,则需要说明理由.解答这一类问题时,先假设结论存在,若推证无矛盾,则结论存在;若推证出矛盾,则结论不存在.
【做一做1】 已知空间两点A,B的坐标分别为(1,-1,1),(2,2,-2),则A,B两点的距离为 .?
【做一做2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面结论错误的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
解析:以D为原点,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).
答案:D
【做一做3】 如图,设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记 =λ,则当∠APC为钝角时,实数λ的取值范围是 .?
解析:由题意,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),
探究一
探究二
规范解答
利用空间向量求空间中两点间距离
【例1】 如图,已知矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,求点B,D间的距离.
思维点拨:本题可利用向量法求解,两种思路,一种是用基向量表示,另一种用坐标表示.
探究一
探究二
规范解答
解:(方法一)过点D和B分别作DE⊥AC于E,BF⊥AC于F.
则由已知条件可知AC=5,
探究一
探究二
规范解答
(方法二)过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F,过点E作FB的平行线EP,以E为坐标原点,EP,EC,ED所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
探究一
探究二
规范解答
反思感悟利用空间向量求空间两点距离的基本方法
(1)坐标法:建立空间直角坐标系,得出两个点的坐标,然后根据两点距离公式求解.
(2)向量分解法:将两点所对应向量用基向量表示,然后利用公式|a|= 求解.
探究一
探究二
规范解答
变式训练1
如图,60°的二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在两个半平面内,且都垂直于AB.若|AB|=1,|AC|=2,|BD|=3,求CD的长度.
分析:本题中的图形不适合建立空间直角坐标系,因此可通过向量分解的方法,利用公式|a|= 求解.
探究一
探究二
规范解答
探究一
探究二
规范解答
利用空间向量解决空间中的探索性问题
【例2】在四棱锥P-ABCD中,ABCD是菱形,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD= a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1.在PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?并证明你的结论.
思维点拨:首先假设存在,然后再根据BF∥平面AEC,结合线面平行的条件进行推理.
探究一
探究二
规范解答
解:∵PA=AC=a,∠ABC=60°,∴AB=AD=a.
又∵PB=PD= a,∴PA⊥AB,PA⊥AD,∴PA⊥平面ABCD.如图,以A为坐标原点,AD,AP所在直线分别为y轴、z轴,过点A垂直于平面PAD的直线为x轴,建立空间直角坐标系.
探究一
探究二
规范解答
探究一
探究二
规范解答
反思感悟解决这类探索性问题的基本策略是:假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分结论,然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设;否则,给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.
探究一
探究二
规范解答
变式训练2如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,AF=AB=BC=FE= AD.
(1)求异面直线BF与DE所成角的余弦值.
(2)在线段CE上是否存在点M,使得直线AM与平面CDE所成角的正弦值为 ?若存在,试确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
探究一
探究二
规范解答
解:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设AB=1,则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,3,0),F(0,0,1),E(0,1,1).
探究一
探究二
规范解答
(2)设平面CDE的法向量为n=(x,y,z),
探究一
探究二
规范解答
利用空间向量解决空间的综合问题
【典例】如图,直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB= AB.
(1)证明:BC1∥平面A1CD.
(2)求平面A1CD与平面A1CE的夹角的正弦值.
审题策略第一问可借助线面平行的判定定理证明;第二问应建立直角坐标系,利用向量方法进行求解.
探究一
探究二
规范解答
【规范展示】
(1)连接AC1,交A1C于点F,连接DF,
则F为AC1的中点.
又因为D是AB的中点,所以DF∥BC1.
又因为DF?平面A1CD,BC1?平面A1CD,
故BC1∥平面A1CD.
所以AC⊥BC.
又因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,故可建立如图所示的空间直角坐标系.
探究一
探究二
规范解答
探究一
探究二
规范解答
答题模板
第1步:证明线线平行
?
第2步:证得线面平行
?
第3步:建立空间直角坐标系
?
第4步:设点,求出向量坐标
?
第5步:用待定系数法求法向量坐标
?
第6步:利用向量的夹角公式求两个法向量的夹角的余弦值,进而求得正弦值.
探究一
探究二
规范解答
失误警示通过阅卷统计分析,失分主要出现在第(2)问,造成失分的原因是:
(1)不能利用三角形中的边长关系找到垂直的条件,从而不能恰当地建立空间直角坐标系.
(2)不能利用中点公式正确地求出相关点的坐标.
(3)待定系数法求法向量的方法与步骤不熟练,导致法向量坐标求错.
(4)不能利用三角函数的知识把向量夹角的余弦值转化为两平面夹角的正弦值.
探究一
探究二
规范解答
变式训练如图,在多面体ABCDEF中,正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直,AB∥CD,AD⊥CD,AB=AD=1,CD=2,M,N分别为EC和BD的中点.
(1)求证:BC⊥平面BDE;
(2)求直线MN与平面BMC所成的角的正弦值.
(1)证明:在梯形ABCD中,取CD中点H,连接BH,
因为AD=AB,AB∥CD,AD⊥CD,
所以四边形ADHB为正方形.
又BD2=AD2+AB2=2,BC2=HC2+HB2=2,
所以CD2=BD2+BC2,所以BC⊥BD.
又平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,DE⊥AD,所以DE⊥平面ABCD,
所以BC⊥DE.又BD∩DE=D,故BC⊥平面BDE.
探究一
探究二
规范解答
(2)解:由(1)知CD⊥平面ABCD,AD⊥CD,
所以DE,DA,DC两两垂直.
以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系D-xyz,
1 2 3 4 5
1.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,M是面ABC内一点,且M到其他三面的距离分别是2,3,6,则M到顶点P的距离是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析:以P为原点,PA,PB,PC所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,由已知M(2,3,6),所以|MP|= =7.
答案:A
1 2 3 4 5
2.在如图所示的几何体中,三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,则下列说法正确的是( )
A.OA,OB,OC的长度可以不相等
B.直线OB∥平面ACD
C.直线OD与BC所成的角是45°
D.直线AD与OB所成的角是45°
1 2 3 4 5
解析:三棱锥D-ABC的各条棱长均为2,OA,OB,OC两两垂直,所以OA=OB=OC= ,排除A;如图,建立空间直角坐标系.
答案:D
1 2 3 4 5
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE= .?
1 2 3 4 5
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
解得z=a或z=2a,即AE=a或AE=2a.
答案:a或2a
1 2 3 4 5
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1.
求证:(1)AD1∥平面BDC1;
(2)A1C⊥平面BDC1.
证明:以D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz.
设正方体的棱长为1,
则有D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),
令x=1,则n=(1,-1,1).
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
5.导学号90074049如图,在几何体ABCDE中,正方形ABCD的边长为2,AE⊥平面CDE,AE=1.
(1)求证:平面ABCD⊥平面ADE;
(2)设点F是棱BC上一点,若平面ADE与平面DEF的夹角的余弦值为
解:(1)∵AE⊥平面CDE,∴AE⊥CD.
又AD⊥CD,AE∩AD=A,∴CD⊥平面ADE.
又CD?平面ABCD,∴平面ABCD⊥平面ADE.
1 2 3 4 5
(2)∵AE⊥平面CDE,
由(1),知CD⊥DE,以D为坐标原点,DE,DC所在的直线分别为x轴、y轴,以过点D且垂直于平面CDE的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
∴n=(0,λ,-2)为平面FDE的一个法向量.
又平面ADE的一个法向量为m=(0,1,0),
1 2 3 4 5
(共37张PPT)
§6 距离的计算
一
二
三
思考辨析
一、 点到直线的距离
1.因为直线和直线外一点确定一个平面,所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内的点到直线的距离问题.
2.设l是过点P平行于向量s的直线,A是直线l外一定点.如图,作AA'⊥l,垂足为A',则点A到直线l的距离d等于线段AA'的长度,
一
二
三
思考辨析
3.空间一点A到直线l的距离的算法框图:
4.平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离.
温馨提示求点A到直线l的距离d,要过该点A引直线l的垂线段AA',再在直线l上取垂足A'以外的任一点P和直线l的方向向量s,构造出Rt△PA'A,计算 ,利用勾股定理,求出点A到直线l的距离d.
一
二
三
思考辨析
【做一做1】 把边长为a的等边三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角,则点A到BC的距离是( )
答案:D
一
二
三
思考辨析
二、点到平面的距离
1.如图,设π是过点P垂直于向量n的平面,A是平面π外一定点.作AA'⊥π,垂足为A',则点A到平面π的距离d等于线段AA'的长度.
一
二
三
思考辨析
2.空间一点A到平面π的距离的算法框图:
温馨提示求平面π外一点A到平面π的距离d,利用平面π外的一点A与平面π内异于点A的投影的任一点P,找出斜线段PA所在的向量在平面法向量上的投影,就是所求点A到平面π的距离d.
一
二
三
思考辨析
【做一做2】 在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离为 ( )
答案:D
一
二
三
思考辨析
三、线面距离与面面距离
1.求直线与平面间的距离时,往往转化为点到平面的距离求解,且这个点要适当选取,以易于求解为准则.
2.在求点到平面的距离时,有时用直线到平面的距离进行过渡.
3.求两平行平面间的距离可转化为求点到平面的距离,即面面距
线面距 点面距.
一
二
三
思考辨析
【做一做3】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平行平面A1BD与平面B1CD1间的距离是 .?
解析:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),D(0,0,0),
一
二
三
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)线面距离、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离的方法进行求解. ( )
(2)点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段对应的向量的数量积. ( )
√
×
√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求点到直线的距离
【例1】已知四边形ABCD,EADM和MDCF都是边长为a的正方形,如图所示,点Q是AC的中点,求点M到FQ的距离.
思维点拨:由于MD,DA,DC两两互相垂直,故可考虑建立空间直角坐标系,利用向量法求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:依题意,以D为原点,DA,DC,DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),M(0,0,a),F(0,a,a),
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,求点P到直线BD的距离.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(方法一)如图,作AH⊥BD,垂足为H,连接PH.
∵PA⊥平面ABCD,
∴AH为PH在平面ABCD上的投影,
由三垂线定理得PH⊥BD,
∴PH即为点P到BD的距离.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(方法二)分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建系,则P(0,0,1),B(3,0,0),D(0,4,0),
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求点到平面的距离
【例2】如图,多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(1)求BF的长;
(2)求点C到平面AEC1F的距离.
思维点拨:由于DA,DC,DF两两互相垂直,故可考虑建立空间直角坐标系,利用向量法求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:依题意,以D为原点,DA,DC,DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).
(1)设F(0,0,z).易知截面AEC1F为平行四边形,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)设n1=(x,y,z)为平面AEC1F的法向量,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟用向量法求点到平面距离的方法与步骤
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E,F分别是AB,PD的中点,若PA=AD=3,CD= .求点F到平面PCE的距离.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:如图,建立空间直角坐标系A-xyz,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求直线到平面、平面到平面的距离
【例3】在棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别是BB',CC'的中点,求直线AD到平面A'EFD'的距离.
思维点拨:求直线到平面的距离可转化为求直线上一点到平面的距离,但本题向平面作垂线不易确定垂足,可考虑用向量的方法进行解题.
解:以D为坐标原点建立空间直角坐标系,
如图所示.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
∴DA∥D'A'.
∵D'A'?平面A'EFD'.
∴AD∥平面A'EFD'.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求线面距离和面面距离,实质就是转化为点到平面的距离来求.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1D1C的距离.
解:以D为原点,
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),D1(0,0,1),
探究一
探究二
探究三
思维辨析
考虑问题不全面而致误
【典例】 线段AB在平面α内,AC⊥α,BD⊥AB,且BD与α所成角是30°,如果AB=a,AC=BD=b,求C,D间的距离.
易错分析:因C,D两点相对平面的位置不同,会出现点C,D在平面α的同侧和异侧两种情况,在解题的过程中易忽略分类讨论而导致出错.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
正解:当C,D在平面α的同侧时,
由AC⊥α,AB?α可知AC⊥AB.
纠错心得本题容易出现只考虑点C,D在平面α的同侧的情况,而忽略两点位于平面α异侧的情况,出现漏解.对于此类问题,应注意考虑全面.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练如图,在直二面角α-l-β中,A,B∈l,AC?α,AC⊥l,BD?β,BD⊥l,AC=6,AB=8,BD=24,则线段CD的长为 .?
解析:∵AC⊥AB,BD⊥AB,AC⊥BD,
答案:26
1 2 3 4
1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,E是CC1的中点,则E到A1B的距离为( )
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
连接A1E,BE,作EH⊥A1B于H.则A1(4,0,4),B(4,4,0),E(0,4,2),
答案:D
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2.已知不共面的四点A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点D到平面ABC的距离d为( )
解析:∵A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),
即(x,y,z)·(2,-2,1)=0,(x,y,z)·(2,2,5)=0.
∴2x-2y+z=0,且2x+2y+5z=0,令z=2,得n=(-3,-2,2),
答案:B
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3.Rt△ABC的两条直角边BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC= ,则点P到斜边AB的距离是 .?
解析:以C为坐标原点,CA,CB,CP所在直线为x轴、y轴、z轴建立
答案:3
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4.如图,已知在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD,且∠ADC=90°,AD=1,CD= ,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点.
(1)求直线A1B1与平面ABE之间的距离;
(2)求平面ABE与平面BEC夹角的余弦值的大小.
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∵A1B1∥AB,A1B1?平面ABE,
∴A1B1∥平面ABE.
