第三章DISANZHANG圆锥曲线与方程
§1 椭圆
1.1 椭圆及其标准方程
课后训练案巩固提升
A组
1.F1,F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆
答案:C
2.已知椭圆C上任意一点P(x,y)都满足关系式=4,则椭圆C的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.+y2=1
解析:由题设可知椭圆C的焦点在x轴上,其坐标分别为(1,0),(-1,0),2a=4,故a=2,c=1,b2=3,所以椭圆C的标准方程为=1.
答案:B
3.椭圆的两个焦点的坐标分别为(0,-4),(0,4),并且经过点(,-),则椭圆的标准方程是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:因为椭圆的焦点在y轴上,可设它的标准方程为
=1(a>b>0).
由已知得c=4,又c2=a2-b2,故a2=16+b2. ①
因为点(,-)在椭圆上,
所以=1,即=1. ②
将①代入②,解得b2=4(b2=-12舍去),a2=20.
所以所求椭圆的方程为=1.
答案:A
4.椭圆=1上一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于( )
A.2 B.4 C.6 D.
解析:设椭圆的另一个焦点为F2,因为椭圆=1上一点M到焦点F1的距离为2,即|MF1|=2,又|MF1|+|MF2|=2a=10,所以|MF2|=8.因为N是MF1的中点,O是F1F2的中点,所以|ON|=|MF2|=4.
答案:B
5.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若△PF1F2的面积为9,则b=( )
A.3 B.9 C. D.12
解析:由题意,得
解得a2-c2=9,即b2=9,所以b=3.
答案:A
6.经过点(2,-3)且与椭圆9x2+4y2=36有共同焦点的椭圆的标准方程为 .?
解析:椭圆9x2+4y2=36的焦点为(0,±),则可设所求椭圆的方程为=1(λ>0).
把x=2,y=-3代入,得=1,
解得λ=10或λ=-2(舍去).
∴所求椭圆的方程为=1.
答案:=1
7.=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|= ,∠F1PF2的大小为 .?
解析:∵|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴|PF2|=6-|PF1|=2.
在△F1PF2中,cos∠F1PF2=
==-,
∴∠F1PF2=120°.
答案:2 120°
8.已知动圆M过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切,则动圆圆心M的轨迹方程是 .?
解析:设动圆M和定圆B内切于点C,动圆圆心M到两定点A(-3,0),B(3,0)的距离之和恰好又等于定圆B的半径,即|MA|+|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=8,且8>|AB|=6,
所以动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,并且2a=8,2c=6,所以b=.
所以动圆圆心M的轨迹方程是=1.
答案:=1
9.求符合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(-3,0)和(3,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)过点(-3,2)且与=1有公共焦点.
解(1)∵椭圆的焦点在x轴上,
∴设它的标准方程为=1(a>b>0).
∴2a==10.
∴a=5.
又c=3,∴b2=a2-c2=25-9=16.
故所求椭圆的方程为=1.
(2)解法一:由已知得c=,椭圆焦点为(-,0)和(,0),由椭圆定义知,2a==2,
∴a=,b2=a2-c2=10,∴所求方程为=1.
解法二:由已知得c=,设所求方程为=1(a>),
把x=-3,y=2代入得=1,
∴a4-18a2+45=0,
∴a2=15或a2=3(舍去),
∴所求方程为=1.
10.
导学号90074055如图,F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,点P在椭圆上,若△POF2为面积是的正三角形,试求椭圆的标准方程.
解由△POF2为面积是的正三角形,得|PO|=|PF2|=|OF2|=2,∴c=2.连接PF1,在△POF1中,|PO|=|OF1|=2,∠POF1=120°,
∴|PF1|=2.
∴2a=|PF1|+|PF2|=2+2,
∴a=1+,∴b2=a2-c2=4+2-4=2.
∴所求椭圆的标准方程为=1.
B组
1.设0≤α<2π,若方程x2sin α-y2cos α=1表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:原方程可化为=1,
∴->0,故选C.
答案:C
2.设P为椭圆=1上的任意一点,F1,F2为其上、下焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值是 .?
解析:由已知a=3,|PF1|+|PF2|=2a=6,
∴|PF1|·|PF2|≤=9.
当且仅当|PF1|=|PF2|=3时取等号.
故|PF1|·|PF2|的最大值为9.
答案:9
3.已知A点的坐标为,B是圆F:+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为 .?
解析:
如图所示,由题意知,
|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,
所以|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|>|AF|,
即动点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,a=1,c=,b2=,所以动点P的轨迹方程为x2+=1,即x2+y2=1.
答案:x2+y2=1
4.已知椭圆的焦距是2,且过点P(-,0),求其标准方程.
解(1)若椭圆的焦点在x轴上,设其标准方程为=1(a>b>0),由已知得c=1,且椭圆过点P(-,0),
∴解得
∴椭圆的标准方程为=1.
(2)若椭圆的焦点在y轴上,设其标准方程为=1(a>b>0),则有解得
∴椭圆的标准方程为=1.
综上所述,椭圆的标准方程为=1或=1.
5.
如图,已知椭圆的方程为=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积.
解由已知,得a=2,b=,
所以c==1.
所以|F1F2|=2c=2.
在△PF1F2中,由余弦定理,得
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos 120°,
即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|. ①
由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,
即|PF2|=4-|PF1|. ②
②代入①,解得|PF1|=.
所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°=×2×,即△PF1F2的面积是.
6.
导学号90074056给出如下定义:把由半椭圆=1(x≥0)与半椭圆=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中a2=b2+c2,a>0,b>c>0,如图,点F0,F1,F2是相应椭圆的焦点,A1,A2和B1,B2分别是“果圆”与x,y轴的交点.
(1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;
(2)当|A1A2|>|B1B2|时,求的取值范围.
解(1)由
∴“果圆”的方程为
(2)∵a+c>2b,
∴>2b-a,
∴a2-b2>(2b-a)2,∴.
又b2>c2=a2-b2,
∴,
∴.
1
(共32张PPT)
第三章 圆锥曲线与方程
§1 椭圆
1.1 椭圆及其标准方程
一
二
思考辨析
一、椭圆的定义
我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两个焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距.
特别提醒1.当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时,动点M的轨迹为椭圆;
2.当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时,动点M的轨迹为以F1,F2为两端点的线段;
3.当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时,动点M的轨迹不存在.
一
二
思考辨析
【做一做1】 下列说法正确的是( )
A.已知F1(-6,0),F2(6,0),到F1,F2两点的距离之和为12的点的轨迹是椭圆
B.已知F1(-6,0),F2(6,0),到F1,F2两点的距离之和为8的点的轨迹是椭圆
C.到点F1(-6,0),F2(6,0)两点的距离之和等于点M(10,0)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D.到F1(-6,0),F2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
解析:A,B,D三个选项中,都不满足椭圆定义中2a>|F1F2|的条件,只有C选项满足,因此选C.
答案:C
一
二
思考辨析
二、椭圆的标准方程
一
二
思考辨析
名师点拨1.椭圆的标准方程中的“标准”指的是椭圆的中心必须在原点,且以两定点所在直线为x轴(或y轴),两定点所连线段的垂直平分线为y轴(或x轴).
2.椭圆标准方程的形式:等号左边是“平方+平方”,右边是“1”.
3.焦点在x轴上?标准方程中x2项的分母较大,焦点在y轴上?标准方程中y2项的分母较大,因此由椭圆的标准方程判断焦点位置时要根据方程中分母的大小来判断,简记为“焦点位置看大小,焦点随着大的跑.”
一
二
思考辨析
A.4 B.5 C.7 D.8
解析:由已知得,a2=m-2,b2=10-m,又焦距为4,
∴c=2,∴m-2-(10-m)=4,解得m=8.
答案:D
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:由椭圆的标准方程可知,a2=25,∴a=5.
∵由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10,又|PF1|=6,∴|PF2|=4.
答案:B
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹就是椭圆. ( )
(2)椭圆的焦点只能在坐标轴上. ( )
(4)两种椭圆方程中,有时a>b>0,有时b>a>0.( )
×
×
√
×
探究一
探究二
探究三
探究四
椭圆定义的应用
【例1】 已知B,C是两个定点,|BC|=6,且△ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程.
思维点拨:选取线段BC的中点为坐标原点,建立适当的直角坐标系,由B,C为两定点,A为动点,研究|AB|+|AC|是否为定值,并比较与|BC|的大小关系,从而判断点A的轨迹图形形状,进而得到轨迹方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:如图,建立平面直角坐标系,使x轴经过点B,C,原点O与BC的中点重合.
由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有|AB|+|AC|=10>6,即点A的轨迹是椭圆,且2c=6,2a=16-6=10.
∴c=3,a=5,b2=52-32=16.
但当点A在直线BC上,即y=0时,A,B,C三点不能构成三角形,
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟找出点A的轨迹满足|AB|+|AC|=10>6后,知A的轨迹是椭圆,用定义法求出其方程,但要注意去掉不符合题意的点(5,0),(-5,0).
探究一
探究二
探究三
探究四
变式训练1过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B两点,F2是椭圆的另一个焦点,求△ABF2的周长.
解:根据题意画出图形如图所示,
∵A,B在椭圆4x2+y2=1上,a2=1,
∴2a=2.
∴|AF1|+|AF2|=2a=2,
|BF1|+|BF2|=2a=2.
∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4,
即|AB|+|AF2|+|BF2|=4.
∴△ABF2的周长为4.
探究一
探究二
探究三
探究四
求椭圆的标准方程
【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点P到两焦点的距离的和等于10;
思维点拨:根据题意,先判断椭圆的焦点位置,再设出椭圆的标准方程,从而确定a,b的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,
∵c=4,2a=10,
∴b2=a2-c2=9.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上,
探究一
探究二
探究三
探究四
(3)方法一
探究一
探究二
探究三
探究四
方法二 设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
反思感悟待定系数法求椭圆的标准方程的思路:
首先要“定位”,即确定焦点所在的坐标轴,从而确定椭圆方程的类型;其次是“定量”,即利用条件确定方程中a,b的值.若不能确定焦点的位置,可分类设出方程或设两种标准方程的统一形式.统一形式:mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)或 =1(m>0,n>0,m≠n).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
椭圆标准方程的应用
A.3 B.5 C.3或5 D.-3
思维点拨:椭圆的标准方程有两种,由于题目所给条件不能确定焦点所在坐标轴,因此需要分类讨论.
解析:当焦点在x轴上时,
∵a2=4,b2=m,由2c=2得c=1,
∴4-m=1,∴m=3;
当焦点在y轴上时,
∵a2=m,b2=4,由2c=2得c=1,
∴m-4=1,∴m=5.
综上可知,m=3或m=5.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟已知椭圆方程求焦点坐标时,先确定所给方程是否为标准方程,若不是,需化为标准方程,再根据椭圆的标准方程确定a,b,c的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)求椭圆mx2+y2=m(m>0)的焦点坐标.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一
探究二
探究三
探究四
焦点三角形问题
【例4】 已知椭圆 (a>b>0)上一点P,F1,F2为椭圆的焦点,若∠F1PF2=θ,求△PF1F2的面积.
思维点拨:根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,两边平方可得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4a2.在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=4c2,两式相减可求
探究一
探究二
探究三
探究四
解:如图,
由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a.而在△PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos θ=|F1F2|2=4c2.
∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos θ=4c2,
即4(a2-c2)=2|PF1|·|PF2|(1+cos θ).
反思感悟与焦点三角形有关的计算或证明,应考虑用椭圆的定义及三角形中边与角的关系(应用余弦定理或正弦定理)来解决.
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)求|PF1||PF2|的最大值.
解:(1)设|PF1|=m,|PF2|=n,
由题意知a2=100,b2=64,
则c2=a2-b2=36,故a=10,c=6.
根据椭圆的定义,有m+n=20,
即(m+n)2-3mn=144.
探究一
探究二
探究三
探究四
(2)∵a=10,根据椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=20,
当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立.
∴|PF1||PF2|的最大值是100.
1 2 3 4 5
1.椭圆 上一点P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2的形状为( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
解析:由|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2,
解得|PF1|=5,|PF2|=3.
又|F1F2|=4,故满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,
∴△PF1F2为直角三角形.
答案:A
1 2 3 4 5
2.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为( )
解析:设出椭圆的方程,依据题目条件用待定系数法求参数.
由题意知椭圆焦点在x轴上,且2c=|F1F2|=2,
答案:C
1 2 3 4 5
直线l与椭圆相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|= .?
∵|AF1|+|AF2|=2a=2,|BF1|+|BF2|=2,相加得|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4,|AF2|+|BF2|=4-|AF1|-|BF1|=4-|AB|.
∵|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,∴2|AB|=|AF2|+|BF2|,
1 2 3 4 5
F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为 .?
解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a,由4c2=m2+n2-2mncos∠F1PF2,
1 2 3 4 5
5.在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC= ,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变,求曲线E的方程.
解:如图,以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.
在Rt△ABC中,
1.2 椭圆的简单性质
课后训练案巩固提升
A组
1.设椭圆=1(a>b>0)的离心率为e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)( )
A.必在圆x2+y2=2内
B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外
D.以上三种情形都有
解析:∵e=,∴.∵a2=b2+c2,∴b2=a2.
∵x1+x2=-,x1·x2=-,
∴=(x1+x2)2-2x1x2=+1=<2.
∴P点在圆x2+y2=2内.
答案:A
2.已知对k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围是( )
A.(0,1) B.(5,+∞)
C.[1,5)∪(5,+∞) D.[1,5)
解析:直线y-kx-1=0恒过点(0,1),仅当点(0,1)在椭圆上或椭圆内时,此直线才恒与椭圆有公共点,∴≤1,且m>0,得m≥1.又m≠5,故选C.
答案:C
3.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若△ABF2是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )
A. B. C.-1 D.
解析:由题意得|AF1|=,|AF2|=|BF2|.
∵△ABF2是等腰直角三角形,
∴|AF1|=|F1F2|,即=2c.
∴b2=a2-c2=2ac.
整理得e2+2e-1=0,∴e=-1.
答案:C
4.焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )
A.=1 B.+y2=1
C.=1 D.x2+=1
解析:依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b=,故所求椭圆的标准方程是=1.
答案:A
5.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为 ( )
A.2 B.3 C.6 D.8
解析:由椭圆方程得F(-1,0),设P(x0,y0),
则=(x0,y0)·(x0+1,y0)=+x0+.
∵P为椭圆上一点,∴=1.
∴+x0+3+x0+3=(x0+2)2+2.
∵-2≤x0≤2,∴的最大值在x0=2时取得,且最大值等于6.
答案:C
6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 .?
解析:由已知,得a=2b,c=2,又a2-b2=c2,
故b2=4,a2=16,又焦点在x轴上,
故椭圆方程为=1.
答案:=1
7.导学号90074059已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为 .?
解析:如图所示,
e=-1.
∵|PF2|
∴e=-1>-1,即e>-1,
∴e2+2e-1>0.
又∵0答案:(-1,1)
8.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为 .?
解析:由题设,知2a=12,,∴a=6,c=3.∴b=3.
答案:=1
9.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6);
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6.
解(1)设椭圆的标准方程为=1或=1(a>b>0).由已知a=2b, ①
且椭圆过点(2,-6),
从而有=1或=1. ②
由①②,得a2=148,b2=37,或a2=52,b2=13.
故所求椭圆的方程为=1或=1.
(2)如图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且OF=c,A1A2=2b,
∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18.
故所求椭圆的方程为=1.
10.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率.
解(方法一)由题意,直线AB的方程为=1,
即bx-ay+ab=0.
∵焦点F1到直线AB的距离d=,
∴.
两边平方、整理,得8c2-14ac+5a2=0,
两边同时除以a2,得8e2-14e+5=0,
解得e=或e=(舍去).
(方法二)在△AF1B中,由面积公式可得=(a-c)·b,将b2=a2-c2代入上式,整理得8c2-14ac+5a2=0.(以下解法同解法一)
B组
1.已知椭圆的长轴长为20,短轴长为16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )
A.[6,10] B.[6,8] C.[8,10] D.[16,20]
解析:不妨设焦点在x轴上,由题意知a=10,b=8,设椭圆上的点M(x0,y0),由椭圆的范围知,|x0|≤a=10,|y0|≤b=8,点M到椭圆中心的距离d=.又因为=1,所以=64=64-,则d=.因为0≤≤100,所以64≤+64≤100,所以8≤d≤10.故选C.
答案:C
2.已知c是椭圆=1(a>b>0)的半焦距,则的取值范围是( )
A.(1,+∞) B.(,+∞)
C.(1,) D.(1,]
解析:如图,在△AFO中,令∠AFO=θ,其中θ为锐角,则=sin θ+cos θ=sin∈(1,].
答案:D
3.
如图,把椭圆=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= .?
解析:设F1是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a.
又|P4F|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35.
答案:35
4.已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的直线与椭圆相交于A,B两点.若线段AB中点的横坐标是-,求直线AB的方程.
解依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),将y=k(x+1)代入x2+3y2=5,消去y整理,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
由线段AB中点的横坐标是-,得=-=-,解得k=±,适合①.
所以直线AB的方程为x-y+1=0或x+y+1=0.
5.已知椭圆长轴|A1A2|=6,焦距|F1F2|=4,过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M,N两点,设∠MF1F2=α(0≤α≤180°),问α取何值时,|MN|等于椭圆短轴长?
解(方法一)如图,
建立平面直角坐标系,则a=3,c=2,b=1,
∴椭圆方程为+y2=1.
当直线MN斜率不存在时,得|MN|=,不合题意.
故可设过F1的直线方程为y=k(x+2).
∴
①代入②,整理可得
(1+9k2)x2+36k2x+72k2-9=0,
∴x1+x2=,x1·x2=.
代入|MN|=,可得
|MN|=.
∵=2,∴k=±,
即tan α=±,∴α=或α=π.
(方法二)如图所示建立平面直角坐标系,由已知可得a=3,c=2,b=1.
令|F1M|=x,则|F2M|=6-x,|F1F2|=4,
在△MF1F2中利用余弦定理得x=,
若令|F1N|=y,则|F2N|=6-y,|F1F2|=4,
在△NF1F2中利用余弦定理得y=,
∴|MN|=x+y=,∴=2,cos α=±,
∴α=或α=π.
6.导学号90074060有一椭圆形溜冰场,长轴长100 m,短轴长60 m,现要在这个溜冰场上规定一个各顶点都在溜冰边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?这时矩形的周长是多少?
解分别以
椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x轴和y轴,以长轴的中点为坐标原点O,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,设矩形ABCD的各顶点都在椭圆上.
易知矩形ABCD关于原点O及x轴、y轴都是对称的.已知椭圆的长轴长2a=100 m,短轴长2b=60 m,则椭圆的方程为=1.
设顶点A的坐标为(x0,y0),x0>0,y0>0,
则=1,得(502-)=(502-).
根据矩形ABCD的对称性,可知它的面积S=4x0y0.
由于(502-)
=.
∴当时,取得最大值,此时S也取得最大值.此时x0=25,y0=15,
矩形ABCD的周长为4(x0+y0)=4(25+15)=160(m).
因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距25 m的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点;这个矩形区域的周长为160 m.
1
(共34张PPT)
1.2 椭圆的简单性质
一
二
思考辨析
一
二
思考辨析
【做一做1】 已知椭圆的方程为9x2+y2=81,则它的长轴长为 ,短轴长为 ,焦点坐标为 ,顶点坐标为 ,离心率为 .?
一
二
思考辨析
一
二
思考辨析
名师点拨椭圆的焦半径公式:若r1,r2分别表示椭圆 (a>b>0)上一点P(x0,y0)与两个焦点F1(-c,0),F2(c,0)间的距离,则r1=a+ex0,r2=a-ex0.这个椭圆上所有的点与焦点F1(-c,0)的最近距离与最远距离分别是a-c,a+c.
一
二
思考辨析
A.长轴长 B.焦点 C.离心率 D.顶点
答案:C
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率等都与椭圆焦点所在的坐标轴有关. ( )
(2)椭圆的焦点一定在长轴上. ( )
×
√
√
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
椭圆的几何性质
【例1】 已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e= ,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标和顶点坐标.
思维点拨:先将椭圆方程化为标准形式,用m表示a,b,c,再由e= 求出m的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟对原方程化为标准方程后一定要注意对椭圆焦点所在坐标轴的判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1已知点 在椭圆y2+(m+3)x2=m(m>0)上,求椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
由椭圆的性质求椭圆方程
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长和短轴长分别为8和6,焦点在x轴上;
(2)长轴和短轴分别在y轴、x轴上,经过P(-2,0)和Q(0,-3)两点;
(3)一个焦点为(-3,0),一个顶点为(0,5);
(4)两个顶点为(0,±6)且过点(5,4);
(5)焦距为12,离心率为0.6,焦点在x轴上;
(6)长轴长是短轴长的5倍,过P(6,2)点;
(7)短轴的一个端点与两个焦点构成等边三角形,短半轴长为 ,焦点在x轴上.
思维点拨:解决这类问题时首先看焦点的位置,根据焦点的位置设标准方程,其次根据条件求a,b的值,最后写出标准方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟已知椭圆的几何性质,求其标准方程主要采用待定系数法,解题步骤如下:
(1)确定焦点所在的位置,以确定椭圆标准方程的形式;
(2)确立关于a,b,c的方程(组),求出参数a,b,c;
(3)写出标准方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练2已知椭圆的离心率为 ,经过点(2,0),求出椭圆的标准方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
求椭圆的离心率
【例3】 椭圆 (a>b>0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为 .?
思维点拨:利用椭圆的定义和正三角形中的边角关系,列出关系式求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解析:∵△DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,∴F1N⊥F2N,
∵|NF2|=c,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟求椭圆的离心率的基本方法:
(2)根据条件及几何图形建立a,b,c,e的关系式,先化为a,c的齐次方程,列式时常用b2=a2-c2代替式子中的b2,再将等式两边同时除以a的n次方,利用e= 转化为含e的方程,解方程即可,此时要注意0探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练3若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 .?
解析:由题意知2a+2c=2×2b,即a+c=2b,又c2=a2-b2,消去b整理得5c2+2ac-3a2=0,即5e2+2e-3=0,∴e= 或e=-1(舍去).
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
直线与椭圆的位置关系
【例4】已知直线l:y=2x+m,椭圆C: =1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个公共点;
(2)有且只有一个公共点;
(3)没有公共点.
思维点拨:将直线方程与椭圆方程联立,利用判别式判断一元二次方程解的个数,从而得出结论.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
消去y,得9x2+8mx+2m2-4=0.①
方程①的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
(1)当Δ>0,即-3 (2)当Δ=0,即m=±3 时,方程①有两个相同的实数解,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)当Δ<0,即m<-3 或m>3 时,方程①没有实数解,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.
反思感悟直线与椭圆的位置关系的判断:
判断直线与椭圆的交点情况就是要联立方程组,消去x(或y),转化为关于y(或x)的一元二次方程,利用判别式求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练4已知椭圆 =1,直线l:4x-5y+40=0,椭圆上是否存在一点到直线l的距离最小?最小距离是多少?
解:设直线m平行于l,则m可以为4x-5y+k=0,
得25x2+8kx+k2-225=0.由Δ=0,得64k2-4×25(k2-225)=0,
解得k1=25,k2=-25.由图可知k=25.
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解决椭圆问题时忽视分类讨论致误
易错分析:椭圆的离心率的大小只反映了a与c的数量关系,并不能确定焦点的位置,所以需分类讨论.
解:(1)若焦点在x轴上,即k+8>9时,a2=k+8,b2=9,
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
纠错心得本题错解在于默认为椭圆焦点在x轴上,从而导致漏解.事实上,当已知椭圆的离心率时,椭圆的焦点位置是不确定的,焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,因此在求解时应分类讨论.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,离心率e= ,且过点P(2,3),求此椭圆的标准方程.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
1 2 3 4 5
A.点(-3,-2)不在椭圆上
B.点(3,-2)不在椭圆上
C.点(-3,2)在椭圆上
D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上
解析:由椭圆关于坐标轴对称,关于原点中心对称可知,点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)都在椭圆上.
答案:C
1 2 3 4 5
2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )
解析:由题意知2a=2×2b,即a2=4b2=b2+c2,
答案:D
1 2 3 4 5
直线与椭圆有两个公共点.
答案:C
1 2 3 4 5
4.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为 ,长轴长为12,则椭圆的标准方程为 .?
∴c=2,∴b2=a2-c2=32.
又∵椭圆焦点的位置不确定,
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
§2 抛物线
2.1 抛物线及其标准方程
课后训练案巩固提升
A组
1.抛物线y2=4x的焦点坐标为( )
A.(0,1) B.(1,0)
C.(0,2) D.(2,0)
解析:(直接计算法)因为p=2,所以抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),应选B.
答案:B
2.抛物线y2=24ax(a>0)上有一点M,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( )
A.y2=8x B.y2=12x
C.y2=16x D.y2=20x
解析:由题意知,3+6a=5,∴a=,∴抛物线方程为y2=8x.
答案:A
3.抛物线x2=y上的一点M到焦点的距离为1,则点M到x轴的距离是( )
A. B. C.1 D.
解析:由准线方程为y=-,可知M到准线的距离为1,
∴点M到x轴的距离等于1-.
答案:D
4.若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,点P在抛物线上移动,为使|PA|+|PF|取得最小值,则点P的坐标是( )
A. B.(2,2) C.(1,) D.(0,0)
解析:如图,作PH⊥y轴,交抛物线准线于H,则|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH|,∴当H,P,A三点共线时,|PA|+|PF|最小,此时,点P的纵坐标为2,故选B.
答案:B
5.抛物线y2=2px(p>0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点,F是焦点,|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,则( )
A.x1,x2,x3成等差数列 B.x1,x3,x2成等差数列
C.y1,y2,y3成等差数列 D.y1,y3,y2成等差数列
解析:由定义,知|AF|=x1+,|BF|=x2+,|CF|=x3+.∵|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,
∴2,
即2x2=x1+x3.故选A.
答案:A
6.设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )
A.y2=±4x B.y2=±8x
C.y2=4x D.y2=8x
解析:由已知可得抛物线y2=ax的焦点F的坐标为.过焦点且斜率为2的直线方程为y=2,
令x=0得y=-,故点A的坐标为.
由题意可得=4,∴a2=64,∴a=±8.
答案:B
7.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|= .?
解析:设点A的坐标为(x,y).
因为|AF|=2,所以x-(-1)=2,
所以x=1.所以A(1,±2).
又点F的坐标为(1,0),所以|BF|=|AF|=2.
答案:2
8.在平面直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1).若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是 .?
解析:OA的垂直平分线交x轴于点,此为抛物线的焦点,故准线方程为x=-.
答案:x=-
9.导学号90074066若点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,则点P的轨迹方程是 .?
解析:(方法1)设点P的坐标为(x,y),由题意得+1=|x+2|,
∴=|x+2|-1=x+1.
两边平方得(x-1)2+y2=(x+1)2,
∴x2-2x+1+y2=x2+2x+1,∴y2=4x,∴点P的轨迹方程为y2=4x.
(方法2)由题意可知,点P到点(1,0)的距离比到直线x+2=0的距离小1,
∴点P到点(1,0)与到x+1=0的距离相等.
故点P的轨迹是以(1,0)为焦点,x+1=0为准线的抛物线,其方程为y2=4x.
答案:y2=4x
10.求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点在直线3x+4y-12=0上;
(2)焦点是(-2,0);
(3)准线是y=-;
(4)焦点到准线的距离是2;
(5)焦点到直线x=-5的距离是8.
解(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3),故抛物线有两种情况:
焦点为(4,0)时,=4,∴p=8,
∴方程为y2=16x;
焦点为(0,3)时,=3,∴p=6,
∴方程为x2=12y.
故所求方程为y2=16x或x2=12y.
(2)焦点为(-2,0),∴=2,∴p=4,
∴方程为y2=-8x.
(3)准线为y=-,∴,∴p=3,开口向上,∴方程为x2=6y.
(4)由于p=2,开口方向不确定,故有四种情况.
∴方程为y2=4x或y2=-4x或x2=4y或x2=-4y.
(5)焦点在x轴上,设为(x0,0),∴|x0+5|=8,
∴x0=3或x0=-13,
∴焦点为(3,0)或(-13,0),∴=3或-13,
∴p=6或-26.
∴方程为y2=12x或y2=-52x.
B组
1.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值为( )
A. B.+1 C.-1 D.1
解析:
如图所示,设已知圆圆心为C,则|PQ|min=|PC|min-1.
设P(x,y),则有|PC|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+x=x2-5x+9=,
∴|PC|min=,即|PQ|min=-1.
答案:C
2.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若x≥0,则动点P(x,)的轨迹方程是 .?
解析:由y=,得y2=x*a=(x+a)2-(x-a)2=4ax(y≥0).
答案:y2=4ax(y≥0)
3.已知点M(-2,4)及焦点为F的抛物线y=x2,在抛物线上求一点P,使得|PM|+|PF|的值最小,并求出最小值.
解抛物线的方程可化为x2=8y,其焦点为F(0,2),准线为y=-2,将x=-2代入抛物线方程,得y=,因为点M的纵坐标4>,所以点M在抛物线的上侧,如图所示,
设点P到准线的距离为d,则由抛物线的定义,得|PF|=d,所以|PM|+|PF|=|PM|+d,通过观察易得,当点P和点M的横坐标相同时,|PM|+d最小,此时点P的坐标为,最小值为4-(-2)=6.
4.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽8 m,一木船宽4 m,高2 m,载货后此船露在水面上的部分高为 m,问:水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?
解以拱桥的拱顶为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意知,点A(4,-5)在抛物线上(设AA'为水面宽,且AA'=8 m),所以16=-2p×(-5),2p=,所以抛物线方程为x2=-y(-4≤x≤4),设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于B,B'(B'与B关于y轴对称)时,船开始不能通航,设B点坐标为(2,y),由22=-y,得y=-,此时水面与抛物线拱顶相距|y|+=2(m).
故水面上涨到与拱顶相距2 m时,船开始不能通航.
5.导学号90074067如图,AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数,且a≥1),求弦AB的中点M与x轴的最近距离.
解设点A,M,B的纵坐标分别为y1,y2,y3.A,M,B三点在抛物线准线上的射影分别为A',M',B'(如图).
由抛物线的定义,得
|AF|=|AA'|=y1+=y1+,
|BF|=|BB'|=y3+=y3+,
∴y1=|AF|-,y3=|BF|-.
又M是线段AB的中点,
∴y2=(y1+y3)=.等号在AB过焦点F时成立,即当定长为a的弦AB过焦点F时,M点与x轴的距离最小,最小值为.
2
(共30张PPT)
§2 抛物线
2.1 抛物线及其标准方程
一
二
思考辨析
一、抛物线
定义—平面内与一个定点F和一条直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点,定直线l叫作抛物线的准线.
名师点拨1.抛物线的定义可归纳为“一动三定”:一个动点,设为点M;一个定点F(即抛物线的焦点);一条定直线(即抛物线的准线);一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线的距离之比等于常数1).
2.注意定点F不在定直线l上,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F与l垂直的一条直线.
一
二
思考辨析
【做一做1】 过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.直线 D.抛物线
解析:如图,设P为满足条件的一点,不难得出结论:P到A点的距离等于到y轴的距离,故P在以A为焦点,y轴为准线的抛物线上,故P的轨迹为抛物线,故选D.
答案:D
一
二
思考辨析
二、抛物线的标准方程
一
二
思考辨析
名师点拨1.“p”的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离,所以p的值恒大于0.
2.只有顶点在坐标原点,焦点在坐标轴上的抛物线方程才是标准方程.
一
二
思考辨析
【做一做2】 抛物线y= x2的准线方程是( )
A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2
解析:抛物线x2=4y的准线方程为y=-1.
答案:A
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( )
(2)抛物线y=-8x2的准线方程是y=2. ( )
(3)若抛物线的方程为y2=-4x,则其中的焦参数p=-2. ( )
(4)抛物线y=6x2的焦点在x轴的正半轴上. ( )
×
×
×
×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求抛物线方程
【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)过点(-3,2);
(2)以坐标轴为对称轴,焦点在直线x-2y-4=0上.
思维点拨:求抛物线的标准方程,要根据所给的条件确定其类型,设出相应的标准方程形式,然后求出参数p.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)直线x-2y-4=0与x轴的交点为(4,0),与y轴的交点为(0,-2),
故抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).
所以p=8.所以抛物线方程为y2=16x.
所以p=4.
所以抛物线方程为x2=-8y.
反思感悟求抛物线的标准方程一般采用待定系数法,即先定位(确定抛物线的开口方向),再定量(确定参数p的值),若已知抛物线的焦点坐标或准线方程,则可设出抛物线的标准方程,求出p值即可,若无法定位,则需分类讨论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1根据下列条件分别求出抛物线的标准方程:
(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5.
(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
抛物线定义的应用
【例2】 设点P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值;
(2)若点B的坐标为(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.
思维点拨:(1)中将点P到直线x=-1的距离转化为到焦点的距离;(2)中将点P到点B的距离转化为点P到准线的距离.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)如图①所示,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程是x=-1,由抛物线的定义知:点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离.于是问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF,AF与抛物线的交点即为点P,
图① 图②
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)如图②所示,把点B的横坐标代入y2=4x中,得y=±2 .因为2 >2,所以点B在抛物线内部,过点B作BQ垂直于准线,垂足为点Q,交抛物线于点P1,连接P1F.此时,由抛物线定义知:|P1Q|=|P1F|.
所以|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=3+1=4,
即|PB|+|PF|的最小值为4.
反思感悟本题是将抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离进行相互转化,从而构造出“两点之间线段最短”或“垂线段最短”使问题解决.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=-8y
解析:由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,因此点P到点F(0,2)的距离与到直线y+2=0的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准线的抛物线,
∴P的轨迹方程为x2=8y.选C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
抛物线的实际应用问题
【例3】一辆卡车高3 m,宽1.6 m,欲通过断面为抛物线形的隧道,如图所示,已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍,若拱宽为a m,求能使卡车通过的a的最小整数值.
思维点拨:要求拱宽a的最小值,需先建立适当的坐标系,写出抛物线的方程,再利用方程求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:以拱顶为原点,拱高所在直线为y轴,建立直角坐标系,如图,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),则点B的坐标为 ,又点B在抛物线上,
解得a>12.21.因为a取整数,所以a的最小值为13.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟解决与抛物线有关的实际应用问题时,一般可根据题意(或图形)建立平面直角坐标系,设出抛物线的标准方程,依据题意得到抛物线上一点的坐标,从而可求出抛物线的方程,继而利用其几何性质进行推理、运算.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3下图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m,水位下降1 m后,水面宽 m.?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点O的坐标为(0,0),
设l与抛物线的交点为A,B,根据题意,知A(-2,-2),B(2,-2).
设抛物线的解析式为y=ax2,
则有-2=a×(-2)2,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因对抛物线的标准方程理解不正确而致误
【典例】 设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.
易错分析:对抛物线的标准方程的特征没有理解清楚,受二次函数的影响,以为y=mx2就是抛物线的标准方程,从而得到准线为y=-的错误结论.
所以所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.
纠错心得抛物线的标准方程有四种形式,要找准抛物线的焦点的位置及它的开口方向,最好画出示意图,就不会出错了.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练抛物线y= x2的准线方程是( )
A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2
解析:因为抛物线y= x2的标准方程为x2=4y,所以准线方程为y=-1.
答案:A
1 2 3 4 5
1.抛物线y2=-8x的焦点到准线的距离是( )
A.1 B.2 C.4 D.8
解析:∵抛物线y2=-8x,∴-2p=-8,即p=4,∴焦点到准线的距离为4.
答案:C
1 2 3 4 5
2.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
解析:如图所示,
抛物线的焦点坐标为F(2,0),准线方程为x=-2,由抛物线的定义知:|PF|=|PE|=4+2=6.
答案:B
1 2 3 4 5
3.已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 .?
解析:将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离.
过点P作准线的垂线l交准线于点R,由抛物线的定义知,|PQ|+|PF|=|PQ|+|PR|(F为焦点),当P,Q,R三点共线时,|PQ|+|PR|取得最小值,最小值为点Q到准线的距离.因为准线方程为x=-1,故最小值为3.
答案:3
1 2 3 4 5
4.已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上,抛物线上的点M(3,m)到焦点的距离等于5,则抛物线的标准方程和m的值分别为 和 .?
1 2 3 4 5
因此抛物线方程为y2=8x.
又点M(3,m)在抛物线上,
1 2 3 4 5
5.某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3 m,车与箱共高4.5 m,问此车能否通过该隧道?说明理由.
1 2 3 4 5
解:在以抛物线的顶点为坐标原点,以过顶点的水平直线为x轴建立的直角坐标系中,点A的坐标为(3,-3),
设抛物线方程为x2=-2py,∴抛物线方程为x2=-3y(-3≤x≤3).
如果此车能通过隧道,卡车和集装箱应处于以y轴为对称轴的对称位置,
∴把点(x,-0.5)代入x2=-3y,得x2=-3×(-0.5),∴x≈±1.22.
因此,高度为4.5 m处,允许的宽度约为2×1.22=2.44<3.
∴此车不能通过该隧道.
2.2 抛物线的简单性质
课后训练案巩固提升
A组
1.已知抛物线y2=ax(a≠0)的准线是x=-1,则它的焦点坐标是( )
A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(-1,0)
解析:∵准线为x=-=-1,∴a=4,即y2=4x.
∴焦点坐标为(1,0).
答案:A
2.如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若=0,则||+||+||等于 ( )
A.6 B.4 C.3 D.2
解析:由=0,知F为△ABC的重心,由抛物线方程知,F(1,0).
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),∴x1+x2+x3=3.
又||+||+||=x1+x2+x3+p=3+3=6.
答案:A
3.已知直线l过抛物线y2=8x的焦点且与它交于A,B两点,若AB中点的横坐标为3,则|AB|等于( )
A.7 B.5 C.8 D.10
解析:焦点为F(2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2×3=6,所以|AB|=|FA|+|FB|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10.
答案:D
4.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于( )
A.4 B.8 C.8 D.16
解析:直线AF的方程为y=-(x-2),联立得y=4,所以点P的坐标为(6,4).由抛物线的性质,得|PF|=|PA|=6+2=8.
答案:B
5.过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A,B两点,若点A,B在抛物线的准线上的射影分别为A1,B1,则∠A1FB1为( )
A.45° B.60° C.90° D.120°
解析:设抛物线的方程为y2=2px(p>0).
如图,∵|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,
∴∠AA1F=∠AFA1,
∠BFB1=∠FB1B.
又AA1∥Ox∥B1B,
∴∠A1FO=∠FA1A,∠B1FO=∠FB1B.
∴∠A1FB1=∠AFB=90°.
答案:C
6.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;
②焦点在x轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;
④抛物线的通径的长为5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
能使这条抛物线的方程为y2=10x的条件是 (要求填写适合条件的序号).?
解析:由抛物线的方程为y2=10x,知它的焦点在x轴上,
∴②适合.
又∵抛物线的焦点坐标为F,原点O(0,0),
设点P(2,1),可得kPO·kPF=-1,∴⑤也适合.
而①显然不适合,通过计算可知③④不合题意.
∴应填序号为②⑤.
答案:②⑤
7.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=2x上,另一个顶点在原点,则这个三角形的边长是 .?
解析:有两个顶点关于x轴对称,进而得到两边所在直线的倾斜角是.
可设三角形的边长为a,x轴上方的顶点为,代入抛物线方程,得x0=6.
由a=6,得边长a=12.
答案:12
8.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是 .?
解析:∵点(x,y)在抛物线y2=4x上,∴x≥0.
∵z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∴当x=0时,z最小,其最小值为3.
答案:3
9.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,求当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?
解将l和C的方程联立,得
消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0. (*)
(1)当k=0时,方程(*)只有一个解x=,y=1.
∴直线l与C只有一个公共点,此时直线l平行于x轴.
(2)当k≠0时,方程(*)是一个一元二次方程.
①当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点,此时直线l与C相交;
②当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;
③当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.
综上所述,当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点;当k<1,且k≠0时,直线l与C有两个公共点;当k>1时,直线l与C没有公共点.
10.导学号90074069已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点K(-1,0)的直线l与C相交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D.
(1)求证:点F在直线BD上;
(2)设,求直线l的方程.
解设直线l与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则点D的坐标为(x1,-y1).
由题意,得l的方程为x=my-1(m≠0).
(1)证明:将x=my-1代入y2=4x,
并整理,得y2-4my+4=0.
从而y1+y2=4m,y1y2=4. ①
直线BD的方程为y-y2=·(x-x2),
即y-y2=.
令y=0,得x==1.
所以点F(1,0)在直线BD上.
(2)由①知,x1+x2=(my1-1)+(my2-1)=4m2-2,x1x2=(my1-1)(my2-1)=1.
因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),
所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+4=8-4m2,
故8-4m2=,解得m=±.
所以l的方程为3x+4y+3=0,3x-4y+3=0.
B组
1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则为( )
A.4 B.-4 C.p2 D.-p2
解析:(方法一)特例法:当直线垂直于x轴时,A,B=-4.
(方法二)①当直线斜率不存在时,直线方程为x=.由得交点坐标.
∴x1x2=,y1y2=-p2,=-4.
②当直线斜率存在时,直线方程为y=k.
由得y2-y-p2=0.
∴y1y2=-p2,x1x2=,
则=-4.
答案:B
2.导学号90074070如图,
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l,交抛物线于A,B两点,且|FA|=3,则抛物线的方程是 .?
解析:过点A,B向准线x=-作垂线,垂足分别为C,D,过B点向AC作垂线,垂足为E.
∵A,B两点在抛物线y2=2px上,
∴|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.
∵BE⊥AC,∴|AE|=|AF|-|BF|.
∵直线AB的倾斜角为60°,
∴在Rt△ABE中,2|AE|=|AB|=|AF|+|BF|,
即2(|AF|-|BF|)=|AF|+|BF|,
∴|AF|=3|BF|.
∵|AF|=3,∴|BF|=1,∴|AB|=|AF|+|BF|=4.
设直线AB方程为y=,代入y2=2px,得3x2-5px+=0,
∴x1+x2=,∴|AB|=x1+x2+p=4.
∴p=,∴抛物线方程为y2=3x.
答案:y2=3x
3.已知抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=-kx+对称,求k的取值范围.
解(方法一)由题意,知k≠0,设M(x1,y1),N(x2,y2)是关于直线对称的两点,
则MN的方程可设为y=x+b,代入y=x2,得x2-x-b=0,且Δ=+4b>0. ①
又x1+x2=,中点x0=,y0=+b,(x0,y0)在直线l:y=-kx+上,
∴+b=-k·,∴b=4-. ②
②代入①,得+16->0.
∴<16,即k2>,
∴k>或k<-.
(方法二)设M(x1,),N(x2,),关于直线l对称,则MN⊥l.
∴,即x1+x2=.又MN的中点在l上,
∴=-k·=-k·=4,由于弦的中点必在抛物线开口内,有,即4>,∴k2>,即k>或k<-.
4.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.求证:
(1)x1x2为定值;
(2)为定值.
证明(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,当直线的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(k≠0).
由消去y,整理,得k2x2-p(k2+2)x+=0.由根与系数的关系,得x1x2=为定值.
当直线的斜率不存在,即AB⊥x轴时,x1=x2=,x1x2=也成立.∴x1x2为定值.
(2)当直线的斜率存在时,由抛物线的定义知,|FA|=x1+,|FB|=x2+.∴为定值.
当直线的斜率不存在,即AB⊥x轴时,|FA|=|FB|=p,上式也成立.
∴为定值.
1
(共31张PPT)
2.2 抛物线的简单性质
抛物线的简单性质
【做一做1】 抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是( )
答案:C
【做一做2】 等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△ABO的面积是( )
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
答案:B
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)抛物线既是轴对称图形也是中心对称图形. ( )
(2)抛物线的顶点一定在过焦点且与准线垂直的直线上. ( )
(3)直线与抛物线相交时,直线与抛物线不一定有两个公共点. ( )
×
√
√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
直线与抛物线的位置关系
【例1】 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k.当k为何值时,直线l与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?
思维点拨:用解析法解决这个问题,只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系.
解:由题意,设直线l的方程为y-1=k(x+2).
得ky2-4y+4(2k+1)=0.①
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).
1°由Δ=0,即2k2+k-1=0,
从而方程组(*)只有一个解.
这时,直线l与抛物线只有一个公共点.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
于是,当k<-1或k> 时,方程①没有实数解,从而方程组(*)没有解.这时,直线l与抛物线没有公共点.
综上,我们可得
反思感悟解决直线与圆锥曲线的交点问题时,主要方法是构建一元二次方程,判断其解的个数,确定斜率或直线的倾斜角时,应特别注意斜率为0和斜率不存在两种情形,还应注意在抛物线中,直线和曲线有一个公共点并不一定相切.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1
如图,已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)(k≠0)相交于A,B两点,且直线与x轴交于点N.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于 时,求k的值.
思维点拨:利用根与系数的关系、弦长公式或应用向量解题.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求抛物线方程
【例2】 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2 ,求这条抛物线的方程.
思维点拨:因为圆和抛物线都关于x轴对称,所以它们的交点也关于x轴对称,即公共弦被x轴垂直平分,于是由弦长等于2 ,可知交点纵坐标为± .
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:设所求抛物线方程为y2=2px或y2=-2px,p>0.
设交点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),
∴所求抛物线方程为y2=3x或y2=-3x.
反思感悟因为抛物线是轴对称图形,所以与对称轴垂直的弦一定被对称轴平分.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程.
解:如图,依题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则经过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=-x+ p.
设直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线的定义,
又点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
∴x1+x2=3p.将其代入①,得p=2.
∴所求抛物线的方程为y2=4x.
当抛物线的方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线的方程为y2=-4x.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
与抛物线有关的最值问题
【例3】如图所示,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.
思维点拨:通过联立方程组求得A,B坐标,从而可得|AB|的大小;设出P点坐标,利用点到直线的距离公式表示出AB边上的高,从而表示出△PAB的面积;考虑P点坐标变量的范围求得目标函数的最大值即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为P点到直线AB的距离,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟解决本题的关键是弦AB为定值,将点P到直线AB的距离的最值转化为二次函数问题求解.在应用配方法求最值时,一定要注意自变量的取值范围.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3在抛物线y2=2x上求一点P,使P到直线x-y+3=0的距离最短,并求出距离的最小值.
解:(方法一)设P(x0,y0)是y2=2x上任一点,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(方法二)设与抛物线相切且与直线x-y+3=0平行的直线方程为x-y+m=0,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因忽视斜率不存在及二次项系数而致误
【典例】 求过点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.
易错分析:当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线只有一个公共点.另外,设直线方程时要讨论斜率是否存在.
解:(1)若直线斜率不存在,则过点P(0,1)的直线方程为x=0.
∴直线x=0与抛物线只有一个公共点.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)若直线斜率存在,设为k,则过点P的直线方程为y=kx+1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
纠错心得错误之一是遗漏直线斜率不存在的情况,仅考虑斜率存在的直线.错误之二是方程组消元后的方程k2x2+2(k-1)x+1=0被认定为二次方程,因而由直线与抛物线只有一个公共点,得出Δ=0.事实上方程的二次项系数为含字母的k2,方程不一定是二次方程.当k=0时,方程是一次方程-2x+1=0,此时方程组只有一解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
解析:设直线方程为y=k(x+2),与抛物线联立方程组整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点;当k≠0时,由Δ=64-64k2≥0,解得-1≤k≤1,所以-1≤k≤1.
答案:C
1 2 3 4 5
1.抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,其通径的两端与顶点连成的三角形的面积为4,则此抛物线的方程是 ( )
答案:B
1 2 3 4 5
2.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点,则A,B两点所在的直线方程为( )
解析:因为|OA|=|OB|,所以A,B两点关于x轴对称,设A,B两点的坐标分别为(x0,y0),(x0,-y0)(x0>0).由于△AOB的垂心是焦点,焦点坐标为
答案:D
1 2 3 4 5
3.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 .?
由线段AB的中点的纵坐标为2,得y1+y2=2p=4.
所以p=2,故准线方程为x=-1.
答案:x=-1
1 2 3 4 5
4.如图所示,过抛物线y2=4x的焦点F,作倾斜角为60°的直线与抛物线交于A,B两点,设AB的中点为M,则|FM|= .?
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
5.求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.
解:(方法一)设A(t,-t2)为抛物线上的点,
1 2 3 4 5
(方法二)如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为
§3 双曲线
3.1 双曲线及其标准方程
课后训练案巩固提升
A组
1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是( )
A.双曲线 B.双曲线的一支
C.直线 D.一条射线
解析:由于两点间的距离为10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.在应用双曲线的定义时一定要注意其定义中的绝对值以及2c>2a.
答案:D
2.在双曲线中,,且双曲线与椭圆4x2+9y2=36有公共焦点,则双曲线的方程是( )
A.-x2=1 B.-y2=1
C.x2-=1 D.y2-=1
解析:椭圆的标准方程为=1,故焦点坐标为(±,0),
∴c=.由,得a=2,又双曲线中c2=a2+b2,则b2=1.
答案:B
3.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2)2=22+|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=4.
答案:B
4.已知圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:由题意,知圆C仅与x轴有交点,
由
得x2-6x+8=0.
∴x=2或x=4,即c=4,a=2.
∴双曲线方程为=1.
答案:A
5.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:∵kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),
则=1.
整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为=1.
答案:B
6.已知双曲线=1的两个焦点分别为F1,F2,若双曲线上的点P到点F1的距离为12,则点P到点F2的距离为 .?
解析:设F1为左焦点,F2为右焦点,当点P在双曲线左支上时,|PF2|-|PF1|=10,|PF2|=22;当点P在双曲线右支上时,|PF1|-|PF2|=10,|PF2|=2.
答案:22或2
7.已知F是双曲线=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .?
解析:设双曲线的右焦点为F1,则由双曲线的定义,知|PF|=2a+|PF1|=4+|PF1|,故|PF|+|PA|=4+|PF1|+|PA|,当|PF1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小.当点A,P,F1共线时,|PF1|+|PA|最小,最小值为|AF1|=5,故所求最小值为9.
答案:9
8.双曲线=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为 .?
解析:设|PF1|=m,|PF2|=n.
①当m>n时,由=1,知a=3,b=4,
∴c=5.
由双曲线的定义,知m-n=2a=6.
∵PF1⊥PF2,∴△PF1F2为直角三角形,
即m2+n2=(2c)2=100.
由m-n=6,得m2+n2-2mn=36,
∴2mn=m2+n2-36=64.∴mn=32.
设点P到x轴的距离为d,则
d|F1F2|=|PF1||PF2|,
即d·2c=mn.
∴d=,
即点P到x轴的距离为.
②当m答案:
9.求与双曲线=1共焦点,且过点(3,2)的双曲线方程.
解由于所求的双曲线与已知的双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为=1.
由于点(3,2)在所求的双曲线上,
从而有=1.
整理,得k2+10k-56=0,
∴k=4或k=-14.
又16-k>0,4+k>0,∴-4从而得k=4.
故所求双曲线的方程为=1.
10.导学号90074075一动圆与☉A:(x+5)2+y2=49和☉B:(x-5)2+y2=1都外切,求动圆圆心P的轨迹方程.
解设动圆的半径为r,
依题意得|PA|=r+7,|PB|=1+r,如图,
∴|PA|-|PB|=6.而A,B为定点,且|AB|=10,由双曲线的定义知P点的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,
又A(-5,0),B(5,0),∴|AB|=10=2c.∴c=5.
又2a=6,∴a=3,∴b2=c2-a2=16.
故其轨迹方程为=1(x≥3).
B组
1.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),P是此双曲线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1||PF2|=2,则该双曲线的方程是( )
A.=1 B.=1
C.-y2=1 D.x2-=1
解析:由题意知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2)2=20.又|PF1||PF2|=2,
由双曲线定义,得||PF1|-|PF2||=2a,
∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|=20,
即4a2+2×2=20,∴a2=4.∴b2=c2-a2=1.
∴双曲线的方程是-y2=1.
答案:C
2.P是双曲线=1右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是( )
A.a B.b C.c D.a+b-c
解析:如图,
内切圆圆心M到各边的距离分别为MA,MB,MC,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质则有:|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|,
∴|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,
又|AF1|+|AF2|=2c,
∴|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a.
∵M的横坐标和A的横坐标相同,答案为A.
答案:A
3.若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为( )
A.[3-2,+∞) B.[3+2,+∞)
C. D.
解析:如图所示,
由c=2得a2+1=4,∴a2=3,
∴双曲线方程为-y2=1.
设P点坐标为(x,y)(x≥),
则=(x,y)·(x+2,y)
=x2+2x+y2=x2+2x+-1
=x2+2x-1(x≥).
令g(x)=x2+2x-1(x≥),则g(x)在[,+∞)上是增加的,g(x)min=g()=3+2,
∴的取值范围为[3+2,+∞).
答案:B
4.如图,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解由题意得,
F1:(x+5)2+y2=1,F2:(x-5)2+y2=16.
设动圆M的半径为r,
则|MF1|=r+1,|MF2|=r+4,
∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|,
可知点M(x,y)的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,而a=,c=5,
∴b2=c2-a2=,
∴动圆圆心M的轨迹方程是=1.
5.导学号90074076某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图所示),|PA|=100 m,|PB|=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工.
解如图,以AB所在的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.设M是分界线上的点,
则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50.这说明这条分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支.
在△APB中,由余弦定理,得|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|·|PB|cos 60°=17 500.
从而a=25,c2==4 375,
所以b2=c2-a2=3 750.
所以所求分界线的方程为=1(x≥25).
于是运土时,将此双曲线左侧的土沿AP运到P处,右侧的土沿BP运到P处最省工.
2
(共31张PPT)
§3 双曲线
3.1 双曲线及其标准方程
一
二
思考辨析
一、双曲线
定义—平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距
名师点拨要注意定义中的限制条件:“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”.
(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点).若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹成为双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”,则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
一
二
思考辨析
【做一做1】 已知A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当a=3或5时,P点的轨迹为( )
A.双曲线或一条直线
B.双曲线或两条直线
C.双曲线的一支或一条直线
D.双曲线的一支或一条射线
解析:当a=3时,2a=6,此时|AB|=10,
∴P点的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).
当a=5时,2a=10,此时|AB|=10,
∴P点的轨迹为射线,是以B为端点向上的一条射线.
答案:D
一
二
思考辨析
二、双曲线的标准方程
一
二
思考辨析
名师点拨1.在双曲线的标准方程中,可用x2,y2项的系数的正负来判断双曲线的焦点在哪一个坐标轴上:焦点在系数为正项对应的坐标轴上.
2.双曲线标准方程中的两个参数a,b是双曲线的定形条件,但不定位,双曲线在坐标系中的位置由焦点来确定.
一
二
思考辨析
【做一做2】 若k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是( )
A.焦点在x轴上的椭圆
B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线
D.焦点在x轴上的双曲线
∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.
答案:C
一
二
思考辨析
【做一做3】 已知双曲线 ,则双曲线的焦点坐标为( )
解析:由双曲线的标准方程可知a2=16,b2=9,则c2=a2+b2=16+9=25,故c=5.又焦点在x轴上,所以焦点坐标为(-5,0),(5,0).
答案:B
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线. ( )
(2)对于双曲线标准方程,三个参数a,b,c中,最大的一定是c. ( )
×
√
√
×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
双曲线的定义及应用
【例1】 若一个动点P(x,y)到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的差的绝对值为定值a(a≥0),试讨论点P的轨迹方程.
思维点拨:从题设条件看,P点的轨迹似乎是双曲线,但注意到双曲线定义中的条件,所以要确定点P的轨迹方程,应依据条件,对a进行分类讨论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:|F1F2|=2.
(1)当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x≥1)与y=0(x≤-1);
(2)当a=0时,轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即y轴,方程为x=0;
(4)当a>2时,轨迹不存在.
反思感悟利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,要注意定义中的条件0<2a<|F1F2|.若条件中不能确定|F1F2|与2a的大小,需分类讨论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1已知在△ABC中,C(-2,0),B(2,0),sin B-sin C= sin A,求顶点A的轨迹方程.
由双曲线的定义知,顶点A的轨迹是以C,B为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,
∴c=2,a=1,
∴b2=c2-a2=3,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求双曲线的标准方程
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(方法一)当双曲线的焦点在x轴上时,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(方法二)∵双曲线的焦点位置不确定,
∴设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0).
∵点P1,P2在双曲线上,
反思感悟当双曲线的焦点位置不确定时,将双曲线方程设为mx2+ny2=1(mn<0),运算比较简便.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2求下列双曲线的标准方程.
(1)焦点的坐标是(-6,0),(6,0),并且经过点A(-5,2);
解:(1)由焦点坐标知焦点在x轴上,且c=6.
而c2=a2+b2,即b2=36-a2,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)方法一:当双曲线焦点在x轴上时,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法二:设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
焦点三角形问题
【例3】 已知双曲线16x2-9y2=144,F1,F2是左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2.
思维点拨:本题主要考查双曲线中的有关焦点三角形问题,要注意灵活运用双曲线的定义及余弦定理求解.
解:∵||PF1|-|PF2||=2a=6,
∴(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36.
∴|PF1|2+|PF2|2=36+2×32=100.
又∵|F1F2|=2c=10,
∴∠F1PF2=90°.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟本题采用整体代换的思想,避免了单独求解|PF1|与|PF2|的值,这种思想在圆锥曲线问题中经常用到.另外,与焦点三角形有关的问题是椭圆、双曲线中一类重要问题,解题的思路一般是定义和余弦定理结合,采用整体代换的方法.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3设F1,F2为双曲线 -y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为 .?
解析:由双曲线定义,得||PF1|-|PF2||=4,
∴|PF1|2-2|PF1||PF2|+|PF2|2=16.
答案:1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因对双曲线的定义理解不当而致误
【典例】 双曲线 上的点P到点(5,0)的距离为8.5,求点P到(-5,0)的距离.
易错分析:解答本题易错点有两处,一是对双曲线的定义模糊不清,忽略绝对值而出现漏解,二是需对解的个数进行检验,如右顶点到右焦点的距离是双曲线上的点到右焦点距离的最小值.
解:设F1(-5,0),F2(5,0),由双曲线定义,知||PF1|-|PF2||=8.故|PF2|=16.5或0.5.又因为左顶点到右焦点的距离为9>8.5,所以点P只能在双曲线的右支上,所以|PF1|=16.5,即点P到(-5,0)的距离为16.5.
纠错心得由题意,知双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,所以|PF1|=0.5不合题意.事实上,在求解此类问题时,应灵活运用双曲线的定义,分析出点P的位置情况,然后再求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练若双曲线x2-3y2=k的焦距等于8,则实数k= .?
答案:12或-12
1 2 3 4 5
A.-10
C.k≥0 D.k>1或k<-1
解析:由题意可知(1+k)(1-k)>0,∴-1答案:A
1 2 3 4 5
2.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(- ,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是( )
答案:B
1 2 3 4 5
答案:B
1 2 3 4 5
4.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为 .?
解析:∵A,B为双曲线的左、右焦点,且AB=4,
∴双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),c=2.
1 2 3 4 5
5.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到该巨响的时间比其他两个观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播速度为340 m/s,相关各点均在同一平面上).
解:如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正方向,建立直角坐标系.
1 2 3 4 5
设A,B,C分别是正西、正东、正北观测点,则A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,1 020).设P(x,y)为巨响发生点.由A,C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故点P在AC的垂直平分线PO上,∴PO的方程为y=-x.∵B点比A点晚4 s听到巨响声,∴|PB|-|PA|=340×4=1 360<2×1 020=2 040.由双曲线的定义,知P点在以A,B为焦点的双曲线 上.由题意,得a=680,c=1 020,∴b2=c2-a2=1 0202-6802=5×3402.
3.2 双曲线的简单性质
课后训练案巩固提升
A组
1.已知双曲线=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
解析:∵c=3,a2+5=9,∴a=2.故e=.
答案:C
2.设双曲线=1(a>0)的渐近线方程3x±2y=0,则a的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
解析:双曲线=1的渐近线方程为3x±ay=0,与已知方程比较系数得a=2.
答案:C
3.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:,∴e=.
答案:D
4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bx±ay=0,根据已知得=2,即=2,解得b=2,则a2=5,故所求的双曲线方程是=1.故选A.
答案:A
5.已知双曲线=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则=( )
A.-12 B.-2 C.0 D.4
解析:∵y=x为渐近线方程,则b=2,即双曲线方程为x2-y2=2.当x=时,=1.又双曲线的半焦距为2,∴=(-2-,-y0)·(2-,-y0)=-1+=-1+1=0.故选C.
答案:C
6.导学号90074078设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )
A.3x±4y=0 B.3x±5y=0
C.4x±3y=0 D.5x±4y=0
解析:如图,
由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=|PF1|.
又∵|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c,
即|PM|=a+c.
∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.
又c2=a2+b2,∴,
∴渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.
答案:C
7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5∶4,则双曲线的标准方程是 .?
解析:双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为5∶4,即c∶b=5∶4.
又c2=a2+b2,解得c=5,b=4,
所以双曲线的标准方程是=1.
答案:=1
8.若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的方程是 .?
解析:由题意,得c==3,由此解得b=3,a=1,故所求双曲线的方程是x2-=1.
答案:x2-=1
9.已知双曲线=1的离心率为2,焦点与椭圆=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为 ;渐近线方程为 .?
解析:椭圆=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),
∴双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),在双曲线=1中,c=4,e=2,∴a=2.∴b=2.∴渐近线方程为x±y=0.
答案:(±4,0) x±y=0
10.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)虚轴长为12,离心率为;
(2)两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x;
(3)求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程.
解(1)设双曲线的标准方程为=1或=1(a>0,b>0).
由题意,知2b=12,,且c2=a2+b2,
∴b=6,c=10,a=8.
∴双曲线的标准方程为=1或=1.
(2)设以y=±x为渐近线的双曲线方程为=λ(λ≠0).
当λ>0时,a2=4λ,∴2a=2=6.∴λ=.
当λ<0时,a2=-9λ,
∴2a=2=6.∴λ=-1.
∴双曲线的方程为=1或=1.
(3)设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为-y2=k(k≠0).
将点M(2,-2)的坐标代入,得k=-(-2)2=-2.
∴双曲线的标准方程为=1.
B组
1.已知0<θ<,则双曲线C1:=1与C2:=1的( )
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
C.离心率相等 D.焦距相等
解析:对于θ∈,sin2θ+cos2θ=1,因而两条双曲线的焦距相等,故选D.
答案:D
2.过双曲线M:x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是( )
A. B. C. D.
解析:这里的a=1,c=,故关键是求出b2,即可利用定义求解.
易知A(-1,0),则直线l的方程为y=x+1,与两条渐近线y=-bx和y=bx的交点分别为B,C.
又|AB|=|BC|,解得b2=9,则c=,故有e=.
答案:A
3.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点B,则双曲线的离心率等于 .?
解析:因为以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,所以F1是圆心,半径|MF1|=|F1B|=a+c.由左焦点F1(-c,0),知点M(-c,a+c),将点M的坐标代入双曲线方程得=1,从而a2(a+c)2=b4,开方得a(a+c)=b2,可得c2-ac-2a2=0,即e2-e-2=0,解得e=2或e=-1(舍去).
答案:2
4.设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.求双曲线C的离心率e的取值范围.
解由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.
消去y并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.
∴解得a∈(0,1)∪(1,),
双曲线的离心率为e=,
∵a∈(0,1)∪(1,),∴e∈∪(,+∞),即离心率取值范围为∪(,+∞).
5.导学号90074079过双曲线=1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,F1为左焦点.
(1)求|AB|;
(2)求△AOB的面积;
(3)求证:|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.
(1)解由双曲线的方程得a=,b=,∴c==3,F1(-3,0),F2(3,0),直线AB的方程为y=(x-3).
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得5x2+6x-27=0,
∴x1+x2=-,x1x2=-,
∴|AB|=|x1-x2|
=
=.
(2)解直线AB的方程变形为x-y-3=0.
∴原点O到直线AB的距离为d=.
∴S△AOB=|AB|·d=.
(3)证明由题意知,双曲线的渐近线为y=±x,而直线AB的斜率为,故点A,B不可能同在右支上,假设点A在双曲线左支上,点B在双曲线右支上,由双曲线的定义得
|AF2|-|AF1|=2,|BF1|-|BF2|=2,
∴|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|,即|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.
同理,若点A在双曲线右支上,点B在双曲线左支上,同样成立.
1
(共29张PPT)
3.2 双曲线的简单性质
知识拓展1.等轴双曲线:
实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线,其方程为x2-y2=±a2.
等轴双曲线有两个非常明显的特征:(1)离心率e= ;(2)两条渐近线互相垂直.这两个特征可用来作为判断双曲线是不是等轴双曲线的充要条件.
2.共轭双曲线:
以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线.
互为共轭的双曲线具有如下性质:
(1)它们具有相同的渐近线;
(2)它们的四个焦点共圆;
记忆方法:将 中的1改为0即为渐近线,1改为-1即为共轭双曲线.
【做一做1】 设双曲线的焦点在x轴上,两条渐近线为y=± x,则该双曲线的离心率e等于( )
答案:C
解析:由题意知a2=16,
即a=4,又e=2,
所以c=2a=8,
则m=c2-a2=48.
答案:48
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上. ( )
(2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同. ( )
(3)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线. ( )
√
×
×
探究一
探究二
探究三
思维辨析
双曲线的简单性质
【例1】 求双曲线4x2-y2=4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程,并作出草图.
思维点拨:先将所给双曲线方程化为标准方程,再根据标准方程求出各有关量.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟已知双曲线的方程讨论其几何性质时,需先看所给方程是不是标准方程,若不是,需先把方程化为标准方程,再由标准方程确定焦点所在的坐标轴,找准a和b,才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.注意与椭圆的相关几何性质进行比较.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1(1)双曲线2x2-y2=-8的实轴长是 ( )
答案:(1)D (2)C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
由双曲线的性质求双曲线方程
思维点拨:双曲线焦点不确定,可分情况讨论;也可由共渐近线的双曲线系方程求解,这样可避免讨论.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)当所求双曲线的焦点在x轴上时,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
直线与双曲线的位置关系
【例3】 已知直线y=kx与双曲线4x2-y2=16.当k为何值时,直线与双曲线:
(1)有两个公共点?
(2)有一个公共点?
(3)没有公共点?
当4-k2=0,即k=±2时,方程(*)无解;
当4-k2≠0时,Δ=-4(4-k2)(-16)=64(4-k2),
当Δ>0,即-2当Δ<0,即k<-2或k>2时,方程(*)无解;
当Δ=0,且4-k2≠0时,不存在这样的k值.
综上所述,(1)当-2探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值;
(3)当k≤-2或k≥2时,直线与双曲线没有公共点.
反思感悟直线与双曲线的位置关系的判断思路:
利用方程组法解决直线与双曲线的公共点问题,要注意讨论转化以后的方程的二次项系数.即若二次项系数为0,则直线与双曲线的渐近线平行或重合;若二次项系数不为0,则进一步研究二次方程的根的判别式Δ,得到直线与双曲线的公共点个数.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点.
(1)求线段AB的长;
(2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
∴x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0.
即(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1=0,
经检验a=±1时,以AB为直径的圆经过坐标原点.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因忽视二次项系数是否为零而致误
【典例】 已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有且仅有一个公共点,则k的值为 .?
易错分析:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线也只有一个交点.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当1-k2≠0,即k≠±1时,上述方程为二次方程.
∵直线和双曲线有且仅有一个公共点,
当k=±1时,直线和双曲线的渐近线平行,此时有且仅有一个公共点.
纠错心得将直线与双曲线方程联立,当二次项系数为0时,所得直线与双曲线的渐近线平行,此时交点个数为一个,当二次项系数不为0时,由Δ=0,得此时直线与双曲线相切,交点个数为一个.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练直线l:ax-y-1=0与双曲线C:x2-2y2=1相交于P,Q两点.
(1)当实数a为何值时,|PQ|=2 ;
(2)是否存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
解:(1)设点P,Q的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
探究一
探究二
探究三
思维辨析
由弦长公式,得
与已知联立,得a2=1.
故所求的实数a=±1.
(2)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O,则由OP⊥OQ,
得x1x2+y1y2=0,从而得a2=-2,
这与实数的性质矛盾,故不存在实数a,使得以PQ为直径的圆过坐标原点.
1 2 3 4 5
1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于( )
解析:∵曲线mx2+y2=1是双曲线,
∴m<0,排除选项C,D.
满足题意,故选A.
答案:A
1 2 3 4 5
2.双曲线 (a>0,b>0)的两焦点分别为F1,F2,以F1F2为边作等边三角形,若双曲线恰平分三角形的另两边,则双曲线的离心率为( )
答案:A
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
答案:3
1 2 3 4 5
5.求双曲线9x2-y2=81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
§4 曲线与方程
4.1 曲线与方程
课后训练案巩固提升
1.下列命题正确的是( )
A.方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距是2的直线
B.△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线AO的方程是x=0
C.到x轴距离为5的点的轨迹方程是y=5
D.曲线2x2-3y2-2x+m=0通过原点的充要条件是m=0
解析:选项A中直线不过(0,2)点;选项B中中线AO是线段;选项C中轨迹方程应是y=±5.故选项A,B,C都错误,选D.
答案:D
2.已知P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)=0上的一点,P2(x2,y2)是直线l外一点,则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0表示的直线l'与直线l的位置关系是( )
A.平行 B.重合 C.垂直 D.斜交
解析:∵点P1(x1,y1)在直线l:f(x,y)=0上,
∴f(x1,y1)=0.
∴f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=f(x,y)+f(x2,y2)=0,即l'为f(x,y)=-f(x2,y2).
又∵点P2(x2,y2)在直线l外,则f(x2,y2)=k≠0.
∴l'为f(x,y)=-k,即f(x,y)+k=0.
答案:A
3.?ABCD的顶点A,C的坐标分别为(3,-1),(2,-3),顶点D在直线3x-y+1=0上移动,则顶点B满足的方程为( )
A.3x-y-20=0 B.3x-y-10=0
C.3x-y-12=0 D.3x-y-9=0
解析:设AC,BD交于点P,∵点A,C的坐标分别为(3,-1),(2,-3),∴P点坐标为.
设B为(x,y),则D为(5-x,-4-y),
∵点D在直线3x-y+1=0上,
∴15-3x+4+y+1=0,即3x-y-20=0.
答案:A
4.方程4x2-y2+4x+2y=0表示的曲线是( )
A.一个点
B.两条互相平行的直线
C.两条互相垂直的直线
D.两条相交但不垂直的直线
解析:∵4x2-y2+4x+2y=0,
∴(2x+1)2-(y-1)2=0,∴2x+1=±(y-1),
∴2x+y=0或2x-y+2=0,这两条直线相交但不垂直.
答案:D
5.已知A(-1,0),B(1,0),且=0,则动点M的轨迹方程是( )
A.x2+y2=1 B.x2+y2=2
C.x2+y2=1(x≠±1) D.x2+y2=2(x≠±2)
解析:设M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),
由=0,得(-1-x)·(1-x)+y2=0,
即x2+y2=1.
答案:A
6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P满足的方程的曲线所围成的图形的面积为( )
A.π B.4π
C.8π D.9π
解析:设P为(x,y),由|PA|=2|PB|,得
=2,即(x-2)2+y2=4,
∴点P满足的方程的曲线是以2为半径的圆,其面积为4π.
答案:B
7.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为 .?
解析:(cos α-2)2+sin2α=3,得cos α=,
所以α=.
答案:
8.导学号90074081已知☉O的方程是x2+y2-2=0,☉O'的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向☉O和☉O'所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是 .?
解析:由☉O:x2+y2=2,☉O':(x-4)2+y2=6,知两圆相离.设由动点P向☉O和☉O'所引的切线与☉O和☉O'的切点分别为T,Q,则|PT|=|PQ|,而|PT|2=|PO|2-2,|PQ|2=|PO'|2-6,∴|PO|2-2=|PO'|2-6.设P(x,y),即得x2+y2-2=(x-4)2+y2-6,即x=.
答案:x=
9.
如图,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.
解圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1.
圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.
设动圆M的半径为R,
则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,
∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.
∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,于是b2=c2-a2=.
∴动圆圆心M的轨迹方程为=1.
10.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,l1交x轴于点A,l2交y轴于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解法一如图,设点M的坐标为(x,y).
∵M为线段AB的中点,
∴点A的坐标为(2x,0),点B的坐标为(0,2y).
∵l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4),
∴PA⊥PB,∴kPA·kPB=-1.
而kPA=(x≠1),kPB==2-y,
∴=-1(x≠1).
整理,得x+2y-5=0(x≠1).
∵当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),
∴线段AB的中点坐标是(1,2),也满足方程x+2y-5=0.
综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.
解法二如图,设M的坐标为(x,y),则A,B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接PM.
∵l1⊥l2,
∴2|PM|=|AB|.
而|PM|=,
|AB|=,
∴2,
化简,得x+2y-5=0为所求轨迹方程.
解法三如图,设点M的坐标为(x,y),连接PM,OM.由l1⊥l2,知A,O,B,P四点共圆,AB为圆的直径,M为圆心,则有|OM|=|MP|.
∴
=.
化简,得x+2y-5=0为所求轨迹方程.
4
(共24张PPT)
§4 曲线与方程
4.1 曲线与方程
一
二
思考辨析
一、曲线与方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,那么,这条曲线叫作方程的曲线,这个方程叫作曲线的方程.
名师点拨“曲线的方程”和“方程的曲线”的概念中包含了双重性,即纯粹性和完备性,所谓纯粹性,即曲线上点的坐标都是这个方程的解,所以要剔除曲线上不合题意的点;所谓完备性,即以方程的解为坐标的点都在曲线上,所以对方程进行变形时要注意等价变形,防止漏解.
一
二
思考辨析
①表示的是不在直线x+y+1=0的左下方且在圆x2+y2=4上的部分;②表示的是直线x+y+1=0.
因此结合各选项可知C正确.
答案:C
一
二
思考辨析
二、点在曲线上的充要条件
如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0.
【做一做2】 求证:以坐标原点为圆心,以5为半径的圆的方程是x2+y2=25,并判断点M1(3,-4),M2(-3,2)是否在这个圆上.
由(1)(2)可知,方程x2+y2=25是以坐标原点为圆心,半径等于5的圆的方程.
分别将M1(3,-4),M2(-3,2)代入圆的方程检验可知,点M1在圆上,M2不在圆上.
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,则方程f(x,y)=0即为曲线C的方程. ( )
(2)若曲线C上的点满足方程F(x,y)=0,则坐标不满足方程F(x,y)=0的点不在曲线C上. ( )
(3)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程. ( )
(4)在求曲线方程时,对于同一条曲线,坐标系的建立不同,所得到的曲线方程也不一样. ( )
(5)化简方程“|x|=|y|”为“y=x”是恒等变形. ( )
(6)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验. ( )
×
√
×
√
×
×
探究一
探究二
探究三
曲线与方程的概念
【例1】 (1)若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是正确的,则下列命题正确的是( )
A.方程f(x,y)=0的曲线是C
B.方程f(x,y)=0的曲线不一定是C
C.方程f(x,y)=0是曲线C的方程
D.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
(2)设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,那么下列命题正确的是( )
A.坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上
B.曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x,y)=0
C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上
D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0
探究一
探究二
探究三
解析:(1)本题重在考查曲线和方程的定义.只有正确地理解曲线与方程的定义,才能准确作答.易知A,C,D错误.
(2)本题考查命题形式的等价转换.所给语句不正确,即“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在,有的不在”两种情况,故A,C错,B显然错.
答案:(1)B (2)D
反思感悟判断曲线和方程的对应关系,必须注意两点:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即直观地说“点不比解多”称为纯粹性;
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观地说“解不比点多”称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程是曲线的方程.
探究一
探究二
探究三
变式训练1判断下列命题是否正确,并说明理由:
(1)过点A(3,0),且垂直于x轴的直线的方程为x=3;
(2)△ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0),D为BC中点,则中线AD的方程为x=0;
解:(1)正确.满足曲线方程的定义,故结论正确.
(2)错误.因为中线AD是一条线段,而不是直线,所以其方程应为x=0(-3≤y≤0),故结论错误.
(3)错误.由方程可得x2+y2=4或x+y-1=0(x2+y2≥4),所以该方程表示的是一个圆或两条射线.
探究一
探究二
探究三
判断(或证明)方程是曲线的方程
【例2】 证明:圆心为P(a,b),半径等于r的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
综上可知,(x-a)2+(y-b)2=r2是圆心为P(a,b),半径等于r的圆的方程.
反思感悟证明方程的曲线或曲线的方程须证明两点:(1)曲线上的坐标都是方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.
探究一
探究二
探究三
变式训练2证明以点C(0,3)为圆心,以2为半径的圆的方程为x2+(y-3)2=4,并判断点M( ,4),N(1,3+ ),P(0,1),Q(1,0)是否在圆上.
证明:设M'(x0,y0)是圆上的任一点,则|M'C|=2,
故点M'(x0,y0)到C点的距离等于2,即点M'在以C为圆心,2为半径的圆上.
综上可知,以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆的方程为x2+(y-3)2=4.
探究一
探究二
探究三
把点M的坐标代入方程x2+(y-3)2=4,左右两边相等,即( ,4)是方程的解,所以点M在这个圆上,同理可判断点N,点P在圆上,而点Q(1,0)不在这个圆上.
探究一
探究二
探究三
求曲线的方程
【例3】 设圆C:(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.
解法一(直接法)
设OQ为过O的一条弦,P(x,y)为其中点,
由圆的范围知0探究一
探究二
探究三
解法二(定义法)
∵∠OPC=90°,
解法三(代入法)
∴(2x-1)2+(2y)2=1(0探究一
探究二
探究三
解法四(参数法)
设动弦OQ的方程为y=kx,代入圆方程得
(x-1)2+k2x2=1,即(1+k2)x2-2x=0,
探究一
探究二
探究三
反思感悟求动点的轨迹方程主要方法有直接法、定义法、代入法、待定系数法、参数法等.
(1)直接法:建立平面直角坐标系,把动点满足的几何条件转化为x,y间的关系,即得轨迹方程.
(2)定义法:当已知条件适合圆锥曲线的定义时,可直接写出方程.
(3)代入法:若动点P(x,y)依赖于已知曲线上另一个点Q(x',y')而运动时,可用x,y来表示x',y',再代入已知曲线方程,即可求出轨迹方程.
(4)待定系数法:若由题设条件易于确定方程的类型,可先设出方程,再由条件确定方程中的参数,即“先定型,再定量”.
(5)参数法:当直接建立x,y间的关系较困难时,可通过选适当的参数,找出x,y间的间接关系,即参数方程,然后消去参数化为普通方程.
探究一
探究二
探究三
变式训练3已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半,求:
(1)动点M的轨迹方程;
(2)若N为线段AM的中点,试求点N的轨迹.
解:(1)设动点M的坐标为(x,y),则由两点间距离公式及题意易得
整理,得x2+y2=16,即为动点M的轨迹方程.
探究一
探究二
探究三
(2)设动点N的坐标为(x,y),M的坐标是(x1,y1).由A(2,0),且N为线段AM的中点,
所以有x1=2x-2,y1=2y.①
由(1)知M是圆x2+y2=16上的点,
将①代入②并整理,得(x-1)2+y2=4.
所以N的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.
1 2 3 4 5
1.已知定点A(-1,0),B(1,0),动点P满足直线PA,PB的斜率之积为-1,则动点P满足的方程是( )
答案:B
1 2 3 4 5
2.一条线段长为10,两端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,M点在线
A.x2+16y2=64 B.16x2+y2=64
C.x2+16y2=8 D.16x2+y2=8
整理得16x2+y2=64.
答案:B
1 2 3 4 5
3.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,∠APB=60°,则动点P满足的方程为 .?
解析:设P(x,y),圆x2+y2=1的圆心为O.
∵∠APB=60°,圆O的半径为1,
∴|OP|=2,∴x2+y2=4.
答案:x2+y2=4
1 2 3 4 5
4.设P为双曲线 -y2=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是 .?
答案:x2-4y2=1
1 2 3 4 5
5.设两定点A,B的距离为8,求到A,B两点距离的平方和是50的动点的轨迹方程.
解:以A,B两点连线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系,如图所示,则A(0,0),B(8,0).设曲线上的动点为P(x,y).
依据题意可得
|PA|2+|PB|2=50,
化简可得x2+y2-8x+7=0,
故所求轨迹方程为x2+y2-8x+7=0.
4.2 圆锥曲线的共同特征
4.3 直线与圆锥曲线的交点
课后训练案巩固提升
1.给出下列曲线,其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是( )
①4x+2y-1=0;②x2+y2=3;③+y2=1;④-y2=1.
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
解析:如果不深入思考,采用直线方程y=-2x-3与四个曲线方程分别联立求交点,比较复杂,且易出现差错,作为选择题,可考虑采用排除法.
∵y=-2x-3可变形为4x+2y+6=0,显然与直线4x+2y-1=0平行,故排除选项A,C;将y=-2x-3代入③+y2=1,并整理,得9x2+24x+16=0,即(3x+4)2=0,解得x=-,y=-.故已知直线与曲线③有交点,可排除选项B.故选D.
答案:D
2.已知抛物线y2=4x与直线x-y=2交于A,B两点,则线段AB的中点坐标是( )
A.(4,2) B.(2,4)
C.(-4,-2) D.(-2,-4)
解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),把直线y=x-2代入抛物线方程y2=4x中,得x2-8x+4=0,
∴x1+x2=8,=4,-2=2.
∴AB的中点坐标为(4,2).
答案:A
3.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于( )
A.3 B.4 C.3 D.4
解析:设直线AB的方程为y=x+b,
由?x2+x+b-3=0?x1+x2=-1,
得AB的中点M,
又M在直线x+y=0上,
∴b=1,∴x2+x-2=0,
∴|AB|==3.
答案:C
4.直线y-kx-1=0(k∈R)与椭圆(或圆)=1恒有公共点,则m的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.(0,5)
C.(0,k) D.(1,5)
解析:直线y=kx+1过定点(0,1).依题意,点(0,1)在椭圆(或圆)上或其内部,∴≤1,且m>0.∴m≥1.
答案:A
5.曲线y=-与曲线y+|ax|=0(a∈R)的交点个数一定是 .?
解析:曲线y=-即x2+y2=1(y≤0),而y=-|ax|.
当a≥0时,y=当a<0时,y=画出它们在同一坐标系中的图像如图所示,由图知有两个交点.
答案:2
6.已知抛物线y2=6x的准线l与x轴交于点M,过点M作直线交抛物线于A,B两点(点A在M,B之间),点A到l的距离为2,则= .?
解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.
∵抛物线y2=6x的准线方程为x=-,
∴M.
∵A到准线x=-的距离为2,
∴x1=,y1=.
∴直线AB的方程为y=.
由得x2-5x+=0,
∴x1+x2=5,∴x2=.
∴y2=3.
∴=2.
答案:2
7.直线l:ax+by-3a=0与双曲线=1只有一个公共点,则l共有 条,它们的方程是 .?
解析:当b=0时,l:x=3,
∴=1,
∴y=0,此时,l与双曲线只有一个公共点;
当b≠0时,
消去y,得(4b2-9a2)x2+54a2x-9(9a2+4b2)=0.(*)
若4b2-9a2=0,即=±时,方程(*)为x=3,只有一个公共点,此时l:y=±(3-x),
即2x±3y-6=0;
若4b2-9a2≠0,即≠±时,二次方程(*)的判别式Δ=542a4+36(4b2-9a2)(4b2+9a2)=36(81a4+16b4-81a4)=36×16b4>0,此时直线l与双曲线必有两个交点.
综上所述,l共有3条,其方程为x-3=0或2x±3y-6=0.
答案:3 x-3=0或2x±3y-6=0
8.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.
解设抛物线y2=4x上的B,C两点关于直线y=kx+3对称,则直线BC的方程为x=-ky+m(k≠0),
代入y2=4x,得y2+4ky-4m=0. ①
设点B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点M(x0,y0),
则y0==-2k,则x0=2k2+m.
∵点M(x0,y0)在直线y=kx+3上,
∴-2k=k(2k2+m)+3.
∴m=-. ②
又∵直线BC与抛物线交于不同的两点,
∴方程①中,Δ=16k2+16m>0.
把②式代入化简,得<0,
即<0,解得-1即k的取值范围是(-1,0).
9.已知实数m>1,定点A(-m,0),B(m,0),S为一动点,点S与A,B两点连线斜率之积为-.
(1)求动点S的轨迹C的方程,并指出它是哪一种曲线;
(2)若m=,问t取何值时,直线l:2x-y+t=0(t>0)与曲线C有且只有一个交点.
解(1)设S(x,y),则kSA=,kSB=.
由题意,得=-,
即+y2=1(x≠±m).
∵m>1,
∴轨迹C是中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点),其中长轴长为2m,短轴长为2.
(2)若m=,则曲线C的方程为+y2=1(x≠±).
由消去y,得9x2+8tx+2t2-2=0.
令Δ=64t2-36×2(t2-1)=0,得t=±3.
∵t>0,∴t=3.
此时直线l与曲线C有且只有一个交点.
10.
导学号90074083如图,设椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
解(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.
由=2得|DF1|=c.
从而|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.
从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,
因此|DF2|=.
所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.
因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)如图,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.
由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.
由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),
所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).
再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0.
由椭圆方程得1-=(x1+1)2,
即3+4x1=0.解得x1=-或x1=0.
当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.
当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.
又|CP1|=|CP2|,
故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.
2
(共31张PPT)
4.2 圆锥曲线的共同特征
4.3 直线与圆锥曲线的交点
一
二
思考辨析
一、圆锥曲线的共同特征(椭圆、双曲线、抛物线的第二定义)
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当01时,圆锥曲线是双曲线;当e=1时,圆锥曲线是抛物线.
【做一做1】 已知椭圆 (a>b>0)上一点P的横坐标为x0,求点P到两焦点F1,F2的距离.
解:设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,
点P到右准线的距离为d.
同理可求得|PF1|=a+ex0.
一
二
思考辨析
二、直线与圆锥曲线的交点
在直角坐标系xOy中,给定两条曲线C1,C2,它们由如下方程确定:
C1:f(x,y)=0,C2:g(x,y)=0,
求曲线C1和C2的交点,即要求出这些交点的坐标.
设M(x0,y0)是曲线C1和C2的一个交点;因为点M在曲线C1上,所以它的坐标满足方程f(x,y)=0,因为点M在曲线C2上,所以它的坐标也满足方程g(x,y)=0.从而,曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足
方程组 .
反过来,该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点的坐标.
一
二
思考辨析
名师点拨两条曲线有交点的充要条件是由这两条曲线的方程所组成的方程组有实数解.方程组有几个解,则两条曲线就有几个交点.
一
二
思考辨析
【做一做2】 求曲线2y2+3x+3=0与曲线x2+y2-4x-5=0的公共点.
∴两曲线只有一个公共点(-1,0).
一
二
思考辨析
特别提醒1.判断直线与双曲线、直线与抛物线的位置关系时,要注意讨论二次项系数为零的情况.
2.直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.
3.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
一
二
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(2)直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切. ( )
(3)双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大. ( )
(4)直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线相切. ( )
×
×
√
×
探究一
探究二
探究三
一题多解
圆锥曲线的共同特征
【例1】 已知定点A(-2, ),F是椭圆 =1的右焦点,在椭圆上求一点M,使|AM|+2|MF|取得最小值.
思维点拨:点A在椭圆内部,先将点M到焦点的距离转化为到相应准线的距离,再利用数形结合的思想方法求解.
探究一
探究二
探究三
一题多解
即|AM|+2|MF|=|AM|+|MN|,
当A,M,N同时在垂直于右准线的一条直线上时,|AM|+2|MF|取得最小值,
反思感悟若点M表示圆锥曲线上一点,F是圆锥曲线的一个焦点,则解决与 |MF|有关的问题,通常先将 |MF|转化为点M到同侧准线的距离,再利用数形结合思想求解.
探究一
探究二
探究三
一题多解
答案:椭圆
探究一
探究二
探究三
一题多解
直线与圆锥曲线的位置关系
【例2】 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试讨论实数k的取值范围,使:
(1)直线l与双曲线有且只有一个公共点;
(2)直线l与双曲线有两个公共点;
(3)直线l与双曲线没有公共点.
思维点拨:在解决直线与双曲线位置关系时,对消元后的方程的二次项系数是否为零应分类讨论,且要结合判别式讨论.
探究一
探究二
探究三
一题多解
得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0. (*)
①当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线的渐近线平行,方程(*)可化为2x=5,故此时方程(*)只有一个实数解;
②当1-k2≠0,即k≠±1时,
Δ=(2k2)2-4(1-k2)·(-k2-4)=4(4-3k2),
探究一
探究二
探究三
一题多解
综上所述,
反思感悟在解决此类问题时,可结合图形,利用数形结合法来分析各种情况,以防漏解.
探究一
探究二
探究三
一题多解
变式训练2求过P(0,1),且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.
解:①当斜率不存在时,x=0.
②当斜率存在时,设直线为y=kx+1,
消去y,整理,得k2x2+2(k-1)x+1=0.
∴当k=0时,y=1;
当k≠0时,Δ=0?k= .
∴直线方程为x-2y+2=0.
∴直线方程有三条,分别为x=0,y=1,x-2y+2=0.
探究一
探究二
探究三
一题多解
弦长问题
思维点拨:由直线l1方程的特点,知直线l1恰好过椭圆的两个顶点,即有a2+b2=8,把直线l2的方程代入椭圆方程,利用根与系数的关系和弦长公式求解.
探究一
探究二
探究三
一题多解
(b2+3a2)x2-6a2cx+a2(3c2-b2)=0.
设直线l2与椭圆交于点M(x1,y1),N(x2,y2).
由根与系数的关系,得
探究一
探究二
探究三
一题多解
化简,得a2=3b2.②
联立①②,得a2=6,b2=2.
反思感悟首先设直线与圆锥曲线的交点M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN
后结合韦达定理进行求解,这种“设而不求”的思想要熟练掌握.
探究一
探究二
探究三
一题多解
解:设直线l方程y=2x+b,
探究一
探究二
探究三
一题多解
中点弦问题
分析一设出直线AB的方程,与椭圆的方程联立,利用韦达定理及中点坐标公式求解.
探究一
探究二
探究三
一题多解
解法一易知直线的斜率k存在.
设所求直线的方程为y-1=k(x-2),
得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两根,
故所求直线的方程为x+2y-4=0.
探究一
探究二
探究三
一题多解
分析二将两个交点坐标(x1,y1),(x2,y2)分别代入椭圆方程中,两式相减,构造出x1+x2,y1+y2(与中点坐标相关), (弦所在直线的斜率).从而获解.
解法二设A(x1,y1),B(x2,y2).
∵M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.
又A,B两点在椭圆上,
故所求直线的方程为x+2y-4=0.
探究一
探究二
探究三
一题多解
分析三设出点A坐标,由中点坐标公式表示出另一个端点B的坐标,代入椭圆的方程.
解法三设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),
由于AB的中点为M(2,1),则另一个交点为B(4-x,2-y).
∵A,B两点都在椭圆上,
①-②,得x+2y-4=0.
显然点A的坐标满足这个方程.代入验证可知点B的坐标也满足这个方程,而过A,B的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.
探究一
探究二
探究三
一题多解
反思感悟弦的中点问题常见的有求弦的中点的轨迹方程,求弦所在直线的方程,主要求解策略有:
(1)韦达定理法:把中点弦所在的直线方程与曲线方程联立,消去x(或y)得到一个关于y(或x)的二元一次方程,设出两个交点坐标,但“设而不求”,而是利用韦达定理和中点坐标公式求解,此法为通法.
(2)点差法:设出弦的两端点坐标,代入曲线方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系.
(3)中点转移法:先设出弦的一个端点坐标,利用中点坐标公式得出另一个端点坐标,代入曲线方程作差可得.
探究一
探究二
探究三
一题多解
(1)求椭圆方程.
(2)一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同的两点M,N,且线段MN中点的横坐标为- ,求直线l倾斜角的取值范围.
探究一
探究二
探究三
一题多解
1 2 3 4 5
解析:由已知可设P(x0,y0),M(-2,0),N(2,0),
答案:A
1 2 3 4 5
( )
A.4a+4k2=1 B.4k2-a=1
C.a-4k2=1 D.a+4k2=1
∵直线与椭圆相切,
∴Δ=64k2-4(a+4k2)·(4-4a)=0,
整理得4k2+a-1=0.
答案:D
1 2 3 4 5
解析:设此弦所在直线与椭圆的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),
1 2 3 4 5
所以点M的轨迹为中心在原点,焦点在x轴上的椭圆.
1 2 3 4 5
5.已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.
解:设弦AB的中点为M,并设A,B,M的坐标分别为
习题课——椭圆方程及性质的综合应用
课后训练案巩固提升
A组
1.已知点M(,0),直线y=k(x+)与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则△ABM的周长为( )
A.4 B.8 C.12 D.16
解析:椭圆+y2=1的焦点在x轴上,a2=4,b2=1,c=,
所以椭圆的两个焦点为N(-,0),M(,0).
又因为直线y=k(x+)必经过定点N(-,0),
由椭圆的定义知△ABM的周长为AB+AM+BM=(AN+AM)+(BN+BM)=2a+2a=4a=8.
答案:B
2.设F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于 ( )
A.5 B.4 C.3 D.1
解析:由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,
因为|PF1|+|PF2|=2a=6,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,
所以|PF1|=4,|PF2|=2.
由22+42=(2)2可知,△F1PF2是直角三角形,
故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=×4×2=4.
答案:B
3.椭圆x2+4y2=36的弦被A(4,2)平分,则此弦所在的直线方程为( )
A.x-2y=0 B.x+2y-4=0
C.2x+3y-14=0 D.x+2y-8=0
解析:设以A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2),∵A(4,2)为EF中点,∴x1+x2=8,y1+y2=4,把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆x2+4y2=36,得
∴(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴8(x1-x2)+16(y1-y2)=0,
∴k==-,
∴以A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为y-2=-(x-4),整理,得x+2y-8=0.
答案:D
4.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,当△F1PF2的面积为1时,等于( )
A.0 B.1 C.2 D.
解析:设P(x0,y0),
则依题意有·|F1F2|·|y0|=1,
而|F1F2|=2,所以y0=±.
故得x0=±.
取P,可得=0.
答案:A
5.已知椭圆的两个焦点分别是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.射线 D.直线
解析:因为|PQ|=|PF2|且|PF1|+|PF2|=2a,
所以|PQ|+|PF1|=2a.
又因为F1,P,Q三点共线,
所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|.
故|F1Q|=2a,即Q在以F1为圆心,以2a为半径的圆上.
答案:A
6.已知斜率为2的直线l被椭圆=1截得的弦长为,则直线l的方程为 .?
解析:设直线l的方程为y=2x+m,与椭圆交于A,B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
由
消去y并整理得14x2+12mx+3(m2-2)=0,
所以x1+x2=-m,x1x2=(m2-2).
由弦长公式得|AB|=,
解得m=±,
所以直线l的方程为y=2x±.
答案:y=2x±
7.导学号90074062设AB是椭圆=1的不垂直于对称轴的弦,M为AB的中点,O为坐标原点,则kAB·kOM= .?
解析:由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),则中点M,所以kAB=,kOM=,
所以kAB·kOM=.
又因为点A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上,
所以b2+a2=a2b2,b2+a2=a2b2,
所以b2()+a2()=0,
所以=-.
答案:-
8.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.
(1)求椭圆的方程;
(2)若△PF1F2的面积为2,求点P的坐标.
解(1)由题意知,2c=4,c=2,
且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,
即2a=8,所以a=4.
所以b2=a2-c2=16-4=12.
又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的方程为=1.
(2)设点P的坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2|·|y0|=2,
所以|y0|=,y0=±,代入椭圆方程=1,得x0=±2,
所以点P的坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).
9.已知圆A:(x+3)2+y2=100,圆A内一定点B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程.
解设圆P的半径为r,又圆P过点B,所以|PB|=r.
又因为圆P与圆A内切,圆A的半径为10,
所以两圆的圆心距|PA|=10-r,
即|PA|+|PB|=10(大于|AB|),
所以点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.
所以2a=10,2c=|AB|=6.
所以a=5,c=3.
所以b2=a2-c2=25-9=16.
即点P的轨迹方程为=1.
10.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,且a2=2b.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.
解(1)由题意得解得
故椭圆方程为x2+=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).
联立直线与椭圆的方程得
即3x2+2mx+m2-2=0,
所以x0==-,y0=x0+m=,
即M.
又因为点M在圆x2+y2=5上,
所以=5,
解得m=±3.
B组
1.若点A(m,1)在椭圆=1的内部,则实数m的取值范围是( )
A.(-)
B.(-∞,-)∪(,+∞)
C.(-2,2)
D.(-1,1)
解析:因为点A(m,1)在椭圆=1的内部,所以<1,整理得m2<2,解得-答案:A
2.已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A,B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以a=2.又d=,所以1≤b<2,所以e=.因为1≤b<2,所以0答案:A
3.已知点P(x,y)在椭圆+y2=1上,则x2+2x-y2的最大值为 .?
解析:因为点P(x,y)在椭圆+y2=1上,所以y2=1-,所以x2+2x-y2=x2+2x-=x2+2x-1=(x+1)2-2,因为椭圆中-2≤x≤2,所以当x=2时,x2+2x-y2取得最大值,且最大值为(2+1)2-2=7.
答案:7
4.一动圆C与定圆A:x2+y2-6x-91=0相切,且圆C过点B(-3,0),求动圆圆心C的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线.
解设动圆圆心为C(x,y),半径为r,
将圆A的方程配方,得(x-3)2+y2=100,
由于点B(-3,0)在圆A的内部,
因此动圆C与定圆A内切,且动圆C在定圆A的内部,
因此|CA|=10-r,|CB|=r,
两式的两边分别相加,得|CA|+|CB|=10,
由椭圆的定义知点C的轨迹是焦点为A(3,0),B(-3,0),长轴长等于10的椭圆,并且椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,
∴2c=6,2a=10,∴c=3,a=5,
∴b2=25-9=16,
∴圆心C的轨迹方程为=1,轨迹是椭圆.
5.已知椭圆C1:+y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.
(1)求椭圆C2的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,=2,求直线AB的方程.
解(1)设椭圆C2的方程为=1(a>2).
∵e=,∴,∴a=4,
故椭圆C2的方程为=1.
(2)设A,B两点的坐标分别为(xA,yA),(xB,yB),由=2及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可设直线AB的方程为y=kx,联立得(1+4k2)x2=4,∴.
联立得(4+k2)x2=16,
∴.
又由=2,得=4.
∴=4·,解得k=±1.
故直线AB的方程是y=x或y=-x.
6.
导学号90074063如图,椭圆E:=1(a>b>0)经过点A(0,-1),且离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.
解(1)由题设知,b=1,结合a2=b2+c2,
解得a=.
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k≠2),代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.
由已知得Δ>0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,
则x1+x2=,x1x2=.
从而直线AP,AQ的斜率之和
kAP+kAQ==2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.
2
(共29张PPT)
习题课——椭圆方程及性质的综合应用
一
二
一、焦点三角形问题
3.求解焦点三角形问题时,通常要利用椭圆的定义并结合正弦定理、余弦定理等知识进行求解.
一
二
二、直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆一共有三种位置关系:相交、相切、相离.
2.判断直线与椭圆位置关系的方法:将直线方程ax+by+c=0与椭圆方程 (a>b>0)联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,记该方程的判别式为Δ.那么:若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.
一
二
解析:由已知得a=2,b= ,c=1,
所以△MF1F2的周长等于2a+2c=4+2=6.
答案:B
一
二
【做一做2】 已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是( )
解析:因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
这里c=1,a=2,故轨迹方程为 =1.
答案:C
一
二
【做一做3】 直线y=3x-1与椭圆 =1的公共点的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.无数个
得11x2-6x-7=0,所以Δ>0,故直线与椭圆相交,有2个公共点.
答案:C
一
二
【做一做4】 已知斜率为1的直线l过椭圆 +y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点,则弦AB的长度等于 .?
探究一
探究二
思想方法
与椭圆有关的轨迹问题
【例1】 已知两圆C1:(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169,动圆P与C1外切,与C2内切,求圆心P的轨迹.
思维点拨:根据动圆与圆C1,C2的位置关系,得到动圆圆心P满足的条件,即P与圆C1,C2的圆心的距离的和等于常数,从而结合椭圆的定义得出轨迹为椭圆,进而求出轨迹方程.
探究一
探究二
思想方法
解:由条件,两圆半径分别是3和13,
消去r,得|PC1|+|PC2|=16,
即点P到两定点C1,C2的距离之和为定值16.
又16>|C1C2|=8,
所以点P的轨迹是椭圆.
探究一
探究二
思想方法
反思感悟解决轨迹问题时,如果在题目的条件中,出现了定点(m,0),(-m,0)或(0,m),(0,-m)(当然也可以是某定圆的圆心)时,就要重点考察动点所满足的条件,特别是考察动点到两个定点的距离之和是否是一个定值,如果是一个定值,并且这个定值大于两个定点之间的距离,那么动点的轨迹就是椭圆(或椭圆的一部分).
探究一
探究二
思想方法
变式训练1设A(-2,0),B(2,0),△ABC的周长为10,则动点C的轨迹方程为 .?
解析:由△ABC的周长为10,|AB|=4知,|CB|+|CA|=6>|AB|=4.
根据椭圆的定义知,顶点C是在以A,B为焦点的椭圆上,且2a=6,c=2,
所以b2=a2-c2=5.
又因为A,B,C三点构成三角形,
所以点C不能在x轴上,
探究一
探究二
思想方法
直线与椭圆的位置关系问题
【例2】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.
(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
思维点拨:(1)将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式Δ的符号,建立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数关系式,通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程.
探究一
探究二
思想方法
(2)设直线与椭圆交于点A(x1,y1),B(x2,y2).
由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0.
∴当m=0时,d最大,此时直线方程为y=x.
探究一
探究二
思想方法
反思感悟解决直线与椭圆的位置关系问题,一般采用代数法,即将直线方程与椭圆方程联立,通过判别式Δ的符号决定位置关系.同时涉及弦长问题时,往往采用设而不求的办法,即设出弦端点的坐标,利用一元二次方程根与系数的关系,结合弦长公式进行求解.
探究一
探究二
思想方法
变式训练2已知椭圆C的焦点分别为F1(-2 ,0),F2(2 ,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.
(1)求线段AB的中点坐标;
(2)求△OAB的面积.
因为该一元二次方程的Δ>0,所以点A,B不同,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
探究一
探究二
思想方法
探究一
探究二
思想方法
函数与方程思想——椭圆中的最值问题
【典例】 如图,点A,B分别是椭圆 =1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.
(1)求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
分析:(1)设出点P坐标,然后根据点P在椭圆上以及PA⊥PF,建立方程组求解;(2)根据两点间的距离公式,将椭圆上的点到点M的距离d表示为点的坐标的函数,借助函数方法求得最值.
探究一
探究二
思想方法
解:(1)由已知可得A(-6,0),F(4,0),设点P的坐标是(x,y),
探究一
探究二
思想方法
又-6≤m≤6,解得m=2.
设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,
探究一
探究二
思想方法
方法点睛与椭圆有关的最值问题均具有较强的综合性,涉及数学知识的多种知识点,如几何、三角、函数等,亦与椭圆的定义、方程紧密联系,解决此类问题可利用函数最值的探求方法,将其转化为函数的最值问题来处理,另外应充分注意椭圆中x,y的范围,常可化为闭区间上的二次函数的最值来求解.
探究一
探究二
思想方法
(1)求椭圆C的标准方程;
探究一
探究二
思想方法
1 2 3 4 5
答案:C
1 2 3 4 5
答案:B
1 2 3 4 5
3.若点O和点F分别为椭圆 +y2=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:依题意可得F(-1,0),设P(x,y),
则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.
因为 +y2=1,
所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,
故当x=-1时,|OP|2+|PF|2的最小值等于2.
答案:B
1 2 3 4 5
的内切圆周长为π,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则|y1-y2|的值为 .?
1 2 3 4 5
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
(2)当l⊥x轴时不合题意,
故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),
1 2 3 4 5
习题课——抛物线方程及性质的综合应用
课后训练案巩固提升
A组
1.设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为( )
A. B.p
C.2p D.无法确定
解析:由抛物线定义可求得,垂直于对称轴的通径最短,即当x=,y=±p时,|AB|min=2p.
答案:C
2.以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|MF|为直径的圆与y轴的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
解析:由抛物线定义知|MF|=xM+,所以半径r=,而圆心为MF的中点,圆心到y轴的距离为=r,故该圆与y轴相切.
答案:B
3.已知F为抛物线y2=8x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则||FA|-|FB||的值等于 ( )
A.8 B.8 C.4 D.4
解析:依题意F(2,0),所以直线方程为y=x-2,联立得消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则||AF|-|BF||=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|==8.
答案:A
4.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B.1 C. D.
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|+|BF|=3,得x1+x2+=3,所以x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为.
答案:C
5.如图,
抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)向准线作垂线,垂足为B,若△ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是( )
A.y2=x B.y2=x
C.y2=2x D.y2=4x
解析:设抛物线方程为y2=2px,取AB的中点为D,由A(3,y),B,得D.因为△ABF为等边三角形,所以FD⊥AB.又F,所以,解得p=2,故抛物线方程为y2=4x.
答案:D
6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p= .?
解析:直线y=x-,则所以x2-3px+=0,|AB|=8=x1+x2+p,所以4p=8,p=2.
答案:2
7.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的最小值是 .?
解析:设直线方程为x=ky+4,与抛物线的方程联立得y2-4ky-16=0,∴y1+y2=4k,y1y2=-16.∴=(y1+y2)2-2y1y2=16k2+32.故最小值为32.
答案:32
8.过抛物线y2=8x的焦点作直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,求|AB|的值.
解由抛物线y2=8x知,p=4.
设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义知,
|AF|=x1+,|BF|=x2+,
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,
所以x1+x2=|AB|-p.
由条件知=3,则x1+x2=6,
所以|AB|-p=6.
又因为p=4,所以|AB|=10.
综上可知,|AB|的值是10.
9.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明:直线AC经过坐标原点O.
证明抛物线的焦点为F.
设直线AB的方程为x=my+,代入抛物线方程,得y2-2pmy-p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2.
∵BC∥x轴,且点C在准线上,
∴C,则kCO=.
又由=2px1,得kAO=,
故kCO=kAO,即直线AC经过坐标原点O.
10.
导学号90074072如图,已知动圆M过定点F(0,1)且与x轴相切,点F关于圆心M的对称点为F',动点F'的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)设A(x0,y0)是曲线C上的一个定点,过点A任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线C相交于另外两点P,Q.证明:直线PQ的斜率为定值.
(1)解设点F'的坐标为(x,y).
∵点F'与点F(0,1)关于点M对称,
∴点M的纵坐标为.
∵☉M与x轴相切,∴☉M的半径长为.
∵线段FF'是☉M的直径,
∴|FF'|=2×=y+1,即=y+1,整理,得x2=4y,
即曲线C的方程为x2=4y.
(2)证明设点P(x1,y1),Q(x2,y2),如图.
根据题意,知直线AP的斜率存在,设为k1,则直线AP的方程为y-y0=k1(x-x0).
将其与x2=4y联立并消去y,得x2-4k1x+4k1x0-4y0=0,该方程有两个根x0,x1,则x0+x1=4k1,∴x1=4k1-x0.
∵直线AP,AQ的倾斜角互补,
∴直线AQ的斜率为-k1.
同理,可得x2=-4k1-x0,∴x1+x2=-2x0,
∴直线PQ的斜率kPQ==-.
根据题意,知x0为定值,∴直线PQ的斜率为定值.
B组
1.抛物线y2=4x的焦点为F,过F且倾斜角为的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A,则AF的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:过点A作AA1⊥准线l,
则AA1=AF,过点F作FB⊥AA1,则∠BFA=30°.
所以BA=|AF|.
∵A1B=|AF|=p=2,∴|AF|=4.
答案:B
2.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分,则m与n的关系是( )
A.m+n=mn B.m+n=4
C.mn=4 D.无法确定
解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),
当焦点弦与抛物线的轴垂直时,m=2,n=2,
∴m+n=mn.
当焦点弦与抛物线的轴不垂直时,
设焦点弦所在直线方程为y=k(x-1)(k≠0).
把y=k(x-1)代入y2=4x并整理,
得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,∴x1x2=1.
∵m=x1+1,n=x2+1,∴x1=m-1,x2=n-1,
代入x1x2=1,得(m-1)(n-1)=1,即m+n=mn.
答案:A
3.导学号90074073过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,则= .?
解析:由题意知,抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),
∴直线AB的方程为y=k(x-1).
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,
y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1],
∴=x1x2+y1y2=1+k2=-3.
答案:-3
4.已知抛物线C的顶点在坐标原点O,对称轴为x轴,焦点为F,抛物线上一点A的横坐标为2,且|FA|·|OA|=10.
(1)求此抛物线C的方程;
(2)过点(4,0)作直线l交抛物线C于A,B两点,求证:OA⊥OB.
(1)解设抛物线C:y2=2px(p>0),点A(2,y0),
则有=4p.
∵F,∴=4-p+=4+3p=10,∴p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)证明当直线l斜率不存在时,此时l:x=4,联立解得A(4,4),B(4,-4),
满足=0,∴OA⊥OB.
当直线l斜率存在时,设l:y=k(x-4),
联立方程消去y得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=16,
则=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2-4k2(x1+x2)+16k2=16(1+k2)-32k2-16+16k2=0,
即有OA⊥OB.综上,OA⊥OB成立.
5.
如图,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与抛物线交于两点P,Q,过点P和抛物线顶点O的直线交抛物线的准线于点M,求证直线MQ平行于抛物线C的对称轴.
证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x3,y3),由题意设直线PQ的方程为y=k,由y2=2px及y=k消去x,得到ky2-2py-kp2=0,则有y1y2=-p2,即y2=.由直线OP的方程为y=x,x3=-,得y3=.因为P(x1,y1)在抛物线上,所以2x1=.从而可知y3=-=(-py1)·=-=y2.所以直线MQ平行于x轴,因为抛物线C的对称轴为x轴,所以直线MQ平行于抛物线C的对称轴.
1
(共32张PPT)
习题课——抛物线方程及性质的综合应用
一
二
一、利用抛物线的定义解题
若抛物线的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,则点P到点F的距离等于点P到准线l的距离.
一
二
二、抛物线的焦半径与焦点弦
1.抛物线的焦半径
抛物线上的点到焦点的距离叫做焦半径,其长度如下:
一
二
2.抛物线的焦点弦
过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),则有以下结论:
(1)|AB|=x1+x2+p;
(2)|AB|=2x0+p(x0是A,B两点横坐标的中点值);
(3)AB垂直于对称轴时,AB叫通径,焦点弦中通径最短;
(6)以AB为直径的圆必与准线相切.
一
二
【做一做1】 抛物线y2=8x上一点P到x轴距离为12,则点P到抛物线焦点F的距离为( )
A.20 B.8 C.22 D.24
答案:A
解析:抛物线标准方程为y2=6x,2p=6,故通径的长度等于6.
答案:C
一
二
【做一做3】 过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则它被抛物线截得的弦长为( )
A.8 B.16 C.32 D.61
解析:由抛物线y2=8x的焦点为(2,0),得直线的方程为y=x-2,代入y2=8x,得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0,所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16.
答案:B
【做一做4】 若抛物线y2=-16x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为 .?
解析:根据抛物线的定义可知,点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离,因此点P在线段OF的垂直平分线上,而F(-4,0),所以P点横坐标为-2,代入抛物线方程得y=±4 ,故点P的坐标为(-2,±4 ).
答案:(-2,±4 )
一
二
【做一做5】 已知抛物线x2=4y,经过其焦点F的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2为定值.
证明:抛物线x2=4y的焦点F(0,1),设直线AB的斜率为k,则其方程为y-1=kx.
探究一
探究二
规范解答
利用抛物线的定义解决问题
【例1】 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,且经过点M(2,y0),若点M到焦点的距离为3,则|OM|等于( )
答案:B
反思感悟利用抛物线的定义解题,其实质是利用抛物线的定义,进行了两种距离之间的一种转化,即抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转化,通过这种转化,可以简化解题过程.
探究一
探究二
规范解答
变式训练1在抛物线y2=12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是 .?
解析:抛物线的焦点为F(3,0),准线x=-3,抛物线上的点P,
探究一
探究二
规范解答
【例2】 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标.
思维点拨:根据抛物线的定义,就是在抛物线上找一点P,使得点P到点A的距离与点P到准线的距离之和最小,然后可借助平面几何知识求解.
探究一
探究二
规范解答
解:如图所示,
作PN⊥l于点N(l为准线),作AB⊥l于点B,
则|PA|+|PF|=|PA|+|PN|≥|AB|,当且仅当点P为AB与抛物线的交点时,等号成立.
探究一
探究二
规范解答
反思感悟这类与抛物线有关的最值问题,一般涉及抛物线上的动点到焦点或准线的距离,可利用抛物线的定义(即抛物线上的点到准线的距离等于该点到焦点的距离),构造出“两点间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”,使问题获解.
探究一
探究二
规范解答
变式训练2定点M 与抛物线y2=2x上的点P之间的距离为d1,点P到抛物线准线l的距离为d2,则d1+d2取最小值时,点P的坐标为( )
探究一
探究二
规范解答
解析:如图所示,连接PF,则d1+d2=|PM|+|PF|≥|MF|,知d1+d2最小值是|MF|,当且仅当点P在线段MF上时,等号成立,而直线MF的方程
答案:C
探究一
探究二
规范解答
抛物线的焦点弦问题
【例3】 已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|= p,求AB所在直线的方程.
思维点拨:依题意只需求出直线AB的斜率即可利用点斜式求得方程,可根据焦点弦长度公式求解.
探究一
探究二
规范解答
探究一
探究二
规范解答
(方法二)
探究一
探究二
规范解答
反思感悟求抛物线的焦点弦长度的两种方法:
一是运用一般的弦长公式.二是直接利用焦点弦长度公式,即如果AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p,这种方法的实质是利用焦半径,把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决,这体现了抛物线的定义的重要应用.
探究一
探究二
规范解答
变式训练3设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点.
(1)设l的斜率为2,求|AB|的大小;
解:(1)依题意得F(1,0),所以直线l的方程为y=2(x-1).
设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5.
探究一
探究二
规范解答
(2)证明:设直线l的方程为x=ky+1,设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),
=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2=k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2
=-4k2+4k2+1-4=-3,
探究一
探究二
规范解答
抛物线中的定点与定值问题
【典例】如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.
【审题策略】 欲证明直线BC的斜率为定值,可写出直线BC的方程,然后说明其斜率为定值,或直接用k0= 写出斜率,然后说明k0的值与参数无关;而已知直线AB,AC过定点,AB与AC两直线倾斜角互补,故两直线方程可用同一参数(直线AB的斜率k)来表示.
探究一
探究二
规范解答
【规范展示】
设直线AB的斜率为k(k≠0).
因为直线AB,AC的倾斜角互补,所以直线AC的斜率为-k(k≠0).
又直线AB的方程是y=k(x-4)+2,
消去y整理得,
k2x2+(-8k2+4k-1)x+16k2-16k+4=0.
因为A(4,2),B(xB,yB)是上述方程组的解,
探究一
探究二
规范解答
故直线BC的斜率为定值.
探究一
探究二
规范解答
【答题模板】
第1步:由已知条件寻求直线AB,AC斜率之间的关系
?
第2步:写出AB的方程并与抛物线方程联立,利用根与系数的关系求得点B的横坐标.
?
第3步:根据AB,AC斜率之间的关系,写出点C的横坐标.
?
第4步:利用两点连线的斜率公式写出直线BC的斜率,整理得到结果.
?
第5步:得出结论.
探究一
探究二
规范解答
失误警示通过阅卷统计分析,发现造成失分的原因主要如下:
(1)不能根据AB与AC两直线倾斜角互补,得出其斜率互为相反数,从而无法用一个参数设出直线方程;
(2)直线方程与抛物线方程联立后,不能利用根与系数的关系正确地求得点B的坐标;
(3)考虑不到利用AB与AC的斜率互为相反数来写出点C坐标;
(4)化简整理出现错误.
探究一
探究二
规范解答
变式训练已知抛物线y2=-8x的顶点为O,点A,B在抛物线上,且OA⊥OB,求证:直线AB经过一个定点.
因此直线AB经过定点(-8,0).
1 2 3 4 5
1.抛物线y2=mx的焦点为F,点P(2,2 )在此抛物线上,M为线段PF的中点,则点M到该抛物线准线的距离为( )
答案:D
1 2 3 4 5
答案:B
1 2 3 4 5
3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|= .?
解析:|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
答案:8
1 2 3 4 5
4.抛物线y=x2上的点到直线y=2x-4的距离最短的点的坐标是 .?
解析:设与直线y=2x-4平行且与y=x2相切的直线方程为y=2x+b,由
标为x=1,故所求点的坐标为(1,1).
答案:(1,1)
1 2 3 4 5
5.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A,B两点,且
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
习题课——直线与圆锥曲线的综合问题
课后训练案巩固提升
A组
1.直线y=x+b交抛物线y=x2于A,B两点,O为抛物线顶点,OA⊥OB,则b的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x+b代入y=x2,化简可得x2-2x-2b=0,故x1+x2=2,x1x2=-2b,所以y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2=b2.又OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即-2b+b2=0,则b=2或b=0,经检验b=0时,不满足OA⊥OB,故b=2.
答案:D
2.(2016·全国丙高考)已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设OE的中点为G,
由△OBG∽△FBM,得,
即,整理,得,
故椭圆的离心率e=,故选A.
答案:A
3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线均和圆C:x2+y2-6x+8=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1
C.-y2=1 D.x2-=1
解析:圆C:x2+y2-6x+8=0可化为(x-3)2+y2=1,
∴圆心为(3,0),半径为1.
双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.
∵双曲线的渐近线与圆C相切,∴=1.
又双曲线的右焦点为圆C的圆心,
∴c=3.结合c2=a2+b2解得b=1,a=2.
∴双曲线的方程为-y2=1.故选C.
答案:C
4.已知双曲线=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(1,) B.(1,)∪(,+∞)
C.(,+∞) D.[,+∞)
解析:直线y=2x必过原点,要使直线与双曲线有交点,则双曲线渐近线的斜率|k|>2,即>2,则有>4,所以e2=>5,所以e>.故选C.
答案:C
5.若过椭圆=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是 .?
解析:设弦两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,两式相减并把x1+x2=4,y1+y2=2代入得,=-.∴所求直线的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
答案:x+2y-4=0
6.过原点的直线l与双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右两支分别相交于A,B两点,F(-,0)是双曲线C的左焦点,若|FA|+|FB|=4,=0,则双曲线C的方程为 .?
解析:∵,∴FA⊥FB,
∴△AFB为直角三角形.
∵过原点的直线l与双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右两支分别相交于A,B两点,F(-,0)是双曲线C的左焦点,∴|AB|=2.
设|FB|=x,则|FA|=4-x,
∴x2+(4-x)2=12,∴x2-4x+2=0,
∴x=2±,∴|FB|=2+,|FA|=2-,
∴2a=|FB|-|FA|=2,∴a=,∴b=1,
∴双曲线C的方程为-y2=1.
答案:-y2=1
7.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,且=-4,则点A的坐标为 .?
解析:设A,则,
∵F(1,0),∴.
∴=-=-4.
整理得,+12-64=0,∴=4,即y0=±2.
∴点A坐标为(1,±2).
答案:(1,±2)
8.焦点分别为(0,5)和(0,-5)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为,求此椭圆的方程.
解设椭圆的方程为=1(a>b>0),且a2-b2=(5)2=50, ①
由消去y,得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0.
设弦两端点的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=.
∵,∴,即a2=3b2, ②
此时Δ>0.由①②得a2=75,b2=25,
∴椭圆的方程为=1.
9.抛物线y2=x上存在P,Q两点关于直线y-1=k(x-1)对称,求k的取值范围.
解设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴
①-②,得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,
∴∴y1+y2=-k.
∴-1=k
=[(y1+y2)2-2y1y2-2].
∴-k-2=k[k2-2y1(-k-y1)-2],
∴2k+2k2y1+k3-k+2=0,
∴Δ=4k4-8k(k3-k+2)>0,
∴k(-k3+2k-4)>0,∴k(k3-2k+4)<0,
∴k(k+2)(k2-2k+2)<0,∴k∈(-2,0).
10.导学号90074086如图,已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
解(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.
从而|x1-x2|=4.
由解得点M的横坐标xM=.同理,点N的横坐标xN=.
所以|MN|=|xM-xN|==8.
令4k-3=t,t≠0,则k=.
当t>0时,|MN|=2>2.
当t<0时,|MN|=2.
综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.
B组
1.等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,点A在x轴上方,则△ABO的面积是( )
A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2
解析:由抛物线的对称性及OA⊥OB知直线OA的方程为y=x,由得A(2p,2p),则B(2p,-2p),所以|AB|=4p,所以S△ABO=×4p×2p=4p2.故选B.
答案:B
2.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1·x2=-,则m等于( )
A. B.2 C. D.3
解析:依题意知kAB==-1,
而y2-y1=2(),
∴x2+x1=-,且在直线y=x+m上,即+m,y2+y1=x2+x1+2m,
∴2()=x2+x1+2m,2[(x2+x1)2-2x2x1]=x2+x1+2m,∴2m=3,m=.
答案:A
3.已知两直线x=±1分别过椭圆=1的两个焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是 .?
解析:由题意知椭圆的焦点坐标为(±,0),∵两直线x=±1分别经过椭圆的两个焦点,∴4-b2=1,∴b2=3.∴椭圆方程为=1.直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是将直线方程与椭圆方程联立后,所得一元二次方程的判别式Δ≤0,即方程(4k2+3)x2+16kx+4=0的判别式162k2-16(4k2+3)≤0,即k2≤,∴-≤k≤.
答案:-≤k≤
4.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若P是该椭圆上的一个动点,则的最大值和最小值分别为 .?
解析:易知a=2,b=1,c=,所以F1(-,0),F2(,0),设P(x,y),则=(--x,-y)·(-x,-y)=x2+y2-3=x2+1--3=(3x2-8),因为x∈[-2,2],故当x=0,即点P为椭圆的短轴端点时,有最小值-2.当x=±2,即点P为椭圆的长轴端点时,有最大值1.
答案:1,-2
5.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为 .?
解析:设双曲线的左焦点为F1,如图.
由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|,
∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF1|)+|AF|=|PA|+|PF1|+(2a+|AF|).
由于2a+|AF|是定值,要使△APF的周长最小,则应使|PA|+|PF1|最小,即P,A,F1三点共线.
∵A(0,6),F1(-3,0),
∴直线AF1的方程为=1,即x=-3.
将其代入x2-=1得y2+6y-96=0,
解得y=2或y=-8(舍去),
因此点P的纵坐标为2.
∴S△APF=
=·|F1F|·yA-·|F1F|·yP
=×6×6×6×2=12.
答案:12
6.已知椭圆+y2=1,求斜率为2的弦的中点轨迹方程.
解设直线与椭圆相交所得弦为AB,
A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为M(x,y),
则
两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)+2(y1-y2)(y1+y2)=0.因此=-=-=2,
所以x+4y=0,
由题意知点M(x,y)落在椭圆内部,
则有+y2<1,即<1,
解得-因此所求的轨迹方程为x+4y=0.
7.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2.记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.
解(1)依题意,知点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,因此所求方程为=1(x>0).
(2)当直线AB的斜率不存在时,
设直线AB的方程为x=x0,
此时A(x0,),B(x0,-),=2.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b,代入双曲线方程=1中,得(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0, ①
依题意可知方程①有两个不相等的正数根,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
得|k|>1,
=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)
=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2
==2+>2.
综上可知的最小值为2.
8.导学号90074087已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是抛物线y2=2px(p>0)上的两个动点,O是坐标原点,向量满足||=||.设圆C的方程为x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.
(1)求证线段AB是圆C的直径;
(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时,求p的值.
(1)证明因为||=||,
所以()2=()2,
即+2-2,
整理,得=0,所以x1x2+y1y2=0. ①
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,
则=0,
即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
展开上式并将①式代入,
得x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y=0.
从而可知线段AB是圆C的直径.
(2)解设圆C的圆心坐标为(x,y),则
因为=2px(p>0),=2px2(p>0),
所以x1x2=.
由(1)知x1x2+y1y2=0,所以x1x2=-y1y2,
所以-y1y2=.
因为x1x2≠0,所以y1y2≠0,所以y1y2=-4p2.
所以x=)=+2y1y2)-(y2+2p2),
所以圆心的轨迹方程为y2=px-2p2.
设圆心C(x,y)到直线x-2y=0的距离为d,
则d=.
当y=p时,d有最小值,由题设得,
所以p=2.
1
(共36张PPT)
习题课——直线与圆锥曲线的综合问题
一
二
三
一、直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系有三种:相交、相切、相离.对应交点个数有两个、一个、无交点.特别注意有一个交点的情况,对于封闭曲线椭圆来说,相切时就只有一个交点;对于双曲线,与渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点;对于抛物线,与对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点.
一
二
三
二、与弦有关的问题
圆锥曲线中,与弦有关的题目最常见,问题主要有:(1)已知直线、圆锥曲线方程,求弦长;(2)已知弦长,求圆锥曲线方程或参数;(3)由弦的性质求参数;(4)中点弦所在的直线方程等.解题方法一般为设直线方程,并与曲线方程联立得方程组,化为一元二次方程后,从根与系数的关系,判别式等方面入手求解.
一
二
三
分析:由直线AB过焦点F,倾斜角为 ,可求出直线方程,再由弦长公式即可求出.
解:如图,不妨取椭圆的一个焦点为F(1,0),
代入椭圆方程并整理得19x2-30x-5=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
一
二
三
一
二
三
三、综合问题
由于解析几何是通过代数运算来解决几何问题,而圆锥曲线又以其独特的性质成为研究的重点,这就使圆锥曲线的性质与函数、不等式、数列、三角变换、平面向量等知识联系密切,以圆锥曲线为载体来研究数学问题就成了数学中综合性最强、能力要求最高的高考考点之一.
一
二
三
【做一做2】 已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.
(1)求动点C的轨迹方程;
(2)过点F的直线l2交轨迹于P,Q两点,交直线l1于点R,求 的最小值.
解:(1)由题意,知点C到点F的距离等于它到直线l1的距离,
∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,
∴动点C的轨迹方程为x2=4y.
(2)由题意,知直线l2的方程可设为y=kx+1(k≠0).
与抛物线方程联立消去y,得x2-4kx-4=0.
设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.
一
二
三
探究一
探究二
与弦有关的问题
1.由弦长求曲线方程
【例1】 椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB
思维点拨:利用直线与椭圆的方程联立后的一元二次方程,表示出弦长公式及中点坐标,可得到关于a,b的方程组.
消去y得(a+b)x2-2bx+b-1=0.
因为由题意知a+b≠0,
探究一
探究二
设AB的中点为C(x0,y0),
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探究二
反思感悟利用韦达定理表示出弦长公式,是此类问题的常规解法.
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探究二
(1)求椭圆E的离心率;
(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2= 的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.
探究一
探究二
解:(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,
(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①
易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得,(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
探究一
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2.由弦的性质求参数值
【例2】 设双曲线C: -y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;
思维点拨:由于直线与双曲线交于两点,所以联立后二次方程中Δ>0,可得a的取值范围,从而求得e的范围,利用向量的坐标,转化为二次方程根的问题,求得a的值.
探究一
探究二
解:(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点,
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探究二
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),
反思感悟解决此类问题时应注意运算能力的培养,以及综合应用知识分析和解决问题的能力及数形结合思想.
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(1)求此椭圆的方程;
(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.
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3.中点弦问题
【例3】 求以(1,-1)为中点的抛物线y2=8x的弦所在直线的方程.
思维点拨:要求过点(1,-1)的弦所在的直线方程,只需求出斜率即可,用“点差法”求直线的斜率.
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探究二
解:设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),
∴弦所在直线的方程为y+1=-4(x-1),
即4x+y-3=0.
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探究二
反思感悟圆锥曲线中的中点弦问题,利用点差法是简单而有效的方法.
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变式训练3已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x,y),则y1+y2=2y.
当直线AB的斜率不存在,即AB⊥x轴时,AB的中点为(2,0),适合上式,
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综合问题
【例4】如图,已知A(-3p,0)(p>0),B,C两点分别在y轴和x轴上运动,并且满足
(1)求动点Q的轨迹方程;
(2)设过点A的直线与点Q的轨迹交于E,F两点,且已知A'(3p,0),求直线A'E,A'F的斜率之和.
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轨迹方程.(2)设出过A点的直线方程,与点Q的轨迹方程联立,用一元二次方程根与系数的关系求解.
解:(1)设Q(x,y),B(0,y0),C(x0,0),
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探究二
(2)设过点A的直线方程为y=k(x+3p)(k≠0),E(x1,y1),F(x2,y2).
由y1y2=12p2,得kA'E+kA'F=0,
即直线A'E,A'F的斜率之和为0.
反思感悟向量与圆锥曲线有着密切的联系,常用向量的关系表示曲线的几何性质,并用向量的坐标运算求解,已成为高考考查的热点.
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(1)点P的轨迹是什么曲线?
思维点拨:向量用坐标表示,把两向量的夹角转化为两直线所成的角,用数形结合法解题.
解:(1)设点P(x,y),由M(-1,0),N(1,0),
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∴点P的轨迹是以原点为圆心, 为半径的右半圆(不含端点).
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(2)点P的坐标为(x0,y0),
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1.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A,B两点,则|AB|=( )
答案:C
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2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为60°的直线l交抛物线于A,B两点,且|AF|>|BF|,则 的值为( )
答案:A
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3.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为( )
答案:B
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4.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为 .?
解析:由题意知抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为l:x=-1,可
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(1)求点G的轨迹C的方程.
|OS|=|AB|)?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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∴存在直线方程为x-y-2=0或x+y-2=0,使四边形OASB的对角线相等.
