模块复习课MOKUAIFUXIKE
第1课时 常用逻辑用语
课后训练案巩固提升
A组
1.命题“存在x0∈R,-2x0+1<0”的否定是( )
A.存在x0∈R,-2x0+1≥0
B.存在x0∈R,-2x0+1>0
C.对任意x∈R,x2-2x+1≥0
D.对任意x∈R,x2-2x+1<0
解析:特称命题的否定是全称命题,“-2x0+1<0”的否定是“x2-2x+1≥0”.
答案:C
2.“0
0)的离心率大于2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:双曲线=1(a>0)的离心率大于2,a>0,可得e=>2,解得0∴“00)的离心率大于2”的充要条件.
答案:C
3.“若x2=1,则x=1或x=-1”的否命题是( )
A.若x2≠1,则x=1或x=-1
B.若x2=1,则x≠1且x≠-1
C.若x2≠1,则x≠1或x≠-1
D.若x2≠1,则x≠1且x≠-1
解析:否命题是命题的条件与结论分别是原命题条件的否定和结论的否定.“或”的否定是“且”.
答案:D
4.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y.则x2>y2.在命题①p且q;②p或q;③p且(非q);④(非p)或q中,真命题是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
解析:根据不等式的性质可知,若x>y,则-x<-y成立,即p为真命题;当x=1,y=-1时,满足x>y,但x2>y2不成立,即命题q为假命题.所以①p且q为假命题;②p或q为真命题;③p且(非q)为真命题;④(非p)或q为假命题.故选C.
答案:C
5.导学号90074092设α,β,γ为平面,m,n为直线,则m⊥β的一个充分条件是( )
A.α⊥β,α∩β=n,m⊥n
B.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ
C.α⊥β,β⊥γ,m⊥α
D.n⊥α,n⊥β,m⊥α
解析:对于选项A:α⊥β,α∩β=n,m⊥n,根据面面垂直的判定定理可知,缺少条件m?α,故不正确;
对于选项B:α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ,而α与β可能平等,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确;
对于选项C:α⊥β,β⊥γ,m⊥α,而α与β可能平行,也可能相交,则m与β不一定垂直,故不正确;
对于选项D:因为n⊥α,n⊥β,所以α∥β,又因为m⊥α,所以m⊥β,正确.故选D.
答案:D
6.“相似三角形的面积相等”的否命题是 ,它的否定是 .?
解析:首先分清原命题的条件和结论,否命题是对条件和结论同时进行否定,而命题的否定是只对命题的结论进行否定.
答案:若两个三角形不相似,则它们的面积不相等 有些相似三角形的面积不相等
7.已知f(x)=x2+2x-m,如果f(1)>0是假命题,f(2)>0是真命题,那么实数m的取值范围是 .?
解析:依题意,∴3≤m<8.
答案:[3,8)
8.已知不等式|x-m|<1成立的一个充分不必要条件是解析:不等式|x-m|<1?m-1∴-≤m≤.
答案:
9.写出命题“若a≥-,则方程x2+x-a=0有实根”的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.
解逆命题:若方程x2+x-a=0有实根,则a≥-.否命题:若a<-,则方程x2+x-a=0无实根.逆否命题:若方程x2+x-a=0无实根,则a<-.由Δ=1+4a≥0,可得a≥-,所以可判断其原命题、逆命题、否命题和逆否命题都是真命题.
10.已知命题p:对任意的m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥m+2恒成立;命题q:x2+ax+2<0有解,若p且(非q)为真,求实数a的取值范围.
解∵p且(非q)为真,
∴p为真命题,q为假命题.
由题设知,对于命题p:
∵m∈[-1,1],∴m+2∈[1,3].
∵不等式a2-5a-3≥3恒成立,
∴a2-5a-6≥0,解得a≥6或a≤-1.
对于命题q:∵x2+ax+2<0有解,
∴Δ=a2-8>0,解得a<-2或a>2.
由q为假命题知-2≤a≤2.
∴a的取值范围是{a|-2≤a≤-1}.
B组
1.下列命题的否定是真命题的是( )
A.有理数是实数
B.末位是零的实数能被2整除
C.存在x0∈R,2x0+3=0
D.任意x∈R,x2-2x>0
解析:只有原命题为假命题时,它的否定才是真命题,A,B,C为真命题,D为假命题.
答案:D
2.“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0垂直”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:直线mx+(2m-1)y+2=0与直线3x+my+3=0垂直的充要条件是3m+m(2m-1)=0,解得m=0或m=-1.故选A.
答案:A
3.已知命题p1:存在x0∈R,使得+x0+1<0成立;命题p2:对任意的x∈[1,2],x2-1≥0.以下命题为真命题的是( )
A.(非p1)且(非p2)
B.p1或(非p2)
C.(非p1)且p2
D.p1且p2
解析:∵对任意的x∈R,x2+x+1=>0成立,∴命题p1为假命题.∵函数f(x)=x2-1在[1,2]上单调递增,∴任意x∈[1,2],f(x)≥f(1)=0,∴命题p2为真命题.∴(非p1)且p2为真命题.故选C.
答案:C
4.命题“对任意的x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A.a≥5 B.a≤4
C.a≥4 D.a≤5
解析:由任意x∈[1,2],x2-a≤0可得M={a|a≥4},根据充分不必要条件可知需要寻找的是集合M的真子集.
答案:A
5.下列命题正确的是( )
A.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,则a>b是cos AB.命题p:对任意的x∈R,x2+x+1>0,则非p:对任意的x∈R,x2+x+1≤0
C.已知p:>0,则非p:≤0
D.存在实数x∈R,使sin x+cos x=成立
解析:对于选项A,在△ABC中大边对大角,由a>b,得A>B,又余弦函数在(0,π)内单调递减,所以cos AB,故a>b,所以选项A正确.
对于选项B,命题p的否定非p应为:存在x0∈R,使+x0+1≤0,故选项B不正确.
对于选项C,p:>0?p:x>-1,故非p为x≤-1,而不是≤0,故C不正确.
对于选项D,sin x+cos x的最大值为,小于,因而选项D也不正确.
答案:A
6.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是 .?
解析:原命题为假命题,则逆否命题也为假命题,逆命题也是假命题,则否命题也是假命题.故假命题的个数为3.
答案:3
7.已知p:-40,若非p是非q的充分条件,则实数a的取值范围是 .?
解析:p:a-4∵由非p是非q的充分条件(即非p?非q),
∴q?p,
∴
∴-1≤a≤6.
答案:[-1,6]
8.导学号90074093已知命题p:不等式<0的解集为{x|0B”是“sin A>sin B”成立的必要不充分条件.有下列四个结论:①p真q假;②“p且q”为真;③“p或q”为真;④p假q真,其中正确结论的序号是 .?
解析:解不等式知,命题p是真命题;在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件,∴命题q是假命题.∴①正确,②错误,③正确,④错误.
答案:①③
9.已知p:方程=1表示焦点在y轴上的椭圆;q:实数m满足m2-(2a+1)m+a2+a<0,且非q是非p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解p:方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,得2-m>m-1>0,解得1q:实数m满足m2-(2a+1)m+a2+a<0化为(m-a)[m-(a+1)]<0,
解得a又非q是非p的充分不必要条件,
∴p?q.
∴
解得≤a≤1.
经过检验a=或1时均适合题意.
故a的取值范围是≤a≤1.
10.给出两个命题:
命题p:关于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集为?,命题q:函数y=(2a2-a)x为增函数.分别求出符合下列条件的实数a的范围.
(1)“p或q”为真命题;
(2)“p且q”为假命题,“p或q”为真命题.
解命题p为真时,Δ=(a-1)2-4a2<0,
即a>或a<-1.
命题q为真时,2a2-a>1,
即a>1或a<-.
(1)“p或q”为真命题时,即命题p,q至少有一个是真命题,即上面两个范围取并集,
∴a的取值范围是.
(2)“p且q”为假,“p或q”为真,即命题p,q中有且只有一个是真命题,有两种情况:
p真q假时,p假q真时,-1≤a<-.
∴a的取值范围为.
3
(共34张PPT)
模块复习课
第1课时 常用逻辑用语
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理
填一填:① 逆命题;② 逆否命题;③ 充分必要;④ p且q;⑤ p或q;⑥ 全称命题;⑦ 特称命题.
知识网络
要点梳理
一、命题真假的判断
1.四种命题中,原命题与逆否命题、逆命题与否命题具有同真同假的关系,可利用这种等价关系进行转化.
2.要判断特称命题“存在x∈M,使p(x)成立”为真,只需在给定集合中找到一个元素x,使p(x)成立;要判断全称命题“对任意x∈M,都有p(x)成立”为真,必须证明给定集合M中的每一个元素x都使p(x)成立,但要判断其为假,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)不成立.
3.含有逻辑联结词的命题中,p且q:全真则真,一假则假;p或q:一真则真,全假则假;p与非p,真假相反.
知识网络
要点梳理
二、充要条件的判定
1.判断命题的充分性与必要性的方法有很多,在具体的解题过程中,要根据所给出的条件和结论特点灵活运用,较常见的方法有:①定义法;②集合法;③等价命题法;④传递法.
2.证明充要条件时,要从充分性和必要性两个方面分别证明.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)“x2+2x-3<0”是命题.( )
(2)“sin 45°=1”是真命题. ( )
(3)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则非q”. ( )
(4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真. ( )
(5)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. ( )
(6)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立. ( )
(7)命题p和非p不可能都是真命题. ( )
(8)若p且q为真,则p为真或q为真. ( )
(9)p且q为假的充要条件是p,q至少有一个为假. ( )
×
×
×
√
√
√
√
×
√
知识网络
要点梳理
(10)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量词. ( )
(11)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词. ( )
(12)存在x0∈M,p(x0)的真假性与对任意x∈M,非p(x)的真假性相反. ( )
×
√
√
专题归纳
高考体验
专题一 四种命题及其真假判定
【例1】 已知下面四个命题:
①对于任意x,若x-3=0,则x-3≤0;
②命题“若非零向量a,b,a·b=0,则a⊥b”的逆命题;
③“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件;
④已知p,q为两个命题,若“p或q”为假命题,则“(非p)且(非q)”为真命题.
其中所有真命题的序号是 .?
专题归纳
高考体验
解析:①∵x-3=0?x-3≤0,∴为真命题.
②逆命题:“若a⊥b,则a·b=0”为真命题.
因此椭圆焦点在y轴上,反之亦成立.所以“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件.∴为假命题.
④由p或q为假命题,∴p与q均为假命题.
∴非p,非q为真命题,一定有(非p)且(非q)为真,故④为真命题.
综上知,命题①②④为真命题.
答案:①②④
专题归纳
高考体验
反思感悟1.写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题步骤
(1)对条件、结论不明显的命题,可以先将命题改写成“若p,则q”的形式.
(2)然后对命题的条件和结论进行互换和否定,即可得到原命题的逆命题、否命题和逆否命题.
2.四种命题真假的判断方法
因为互为逆否命题的真假等价,所以判断四个命题的真假,只需判断原命题与逆命题(或否命题)的真假即可.
专题归纳
高考体验
变式训练1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断它们的真假.
(1)相等的两个角的正弦值相等;
(2)若x2-2x-3=0,则x=3.
解:(1)逆命题:若两个角的正弦值相等,则这两个角相等.假命题;
否命题:若两个角不相等,则这两个角的正弦值也不相等.假命题;
逆否命题:若两个角的正弦值不相等,则这两个角不相等,真命题.
(2)逆命题:若x=3,则x2-2x-3=0.真命题;
否命题:若x2-2x-3≠0,则x≠3.真命题;
逆否命题:若x≠3,则x2-2x-3≠0.假命题.
专题归纳
高考体验
专题二 充分、必要条件的判断及应用
【例2】下列各题中,p是q的什么条件?
(1)在△ABC中,p:∠A≠30°,q:sin A≠ ;
(2)p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1.
思维点拨:所给命题均含不等关系,判断起来较难,因此考虑先进行命题的等价转化,将不等关系转化为等式关系再进行判断.
解:(1)在△ABC中,非q:sin A= ,非p:∠A=30°.
∵在△ABC中,sin A= ,则∠A=30°或∠A=150°,
∴非q 非p,而非p?非q,故非q是非p的必要不充分条件,从而p是q的必要不充分条件.
(2)非q:x=-1,且y=-1,非p:x+y=-2.∵非q?非p,但非p 非q,故非q是非p的充分不必要条件,从而p是q的充分不必要条件.
专题归纳
高考体验
反思感悟1.充分条件与必要条件的判断方法
(1)直接利用定义判断:即若p?q成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断:p?q的等价命题是非q?非p,即若非q?非p成立,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.
2.充分条件、必要条件和充要条件的应用
此类问题是指属于已知条件是结论的充分不必要条件、必要不充分条件或者充要条件,来求某个字母的值或范围,涉及的数学知识主要是不等式问题,根据相应知识列不等式(组)求解.
专题归纳
高考体验
变式训练2已知集合A= ,B={x∈R|-1A.[2,+∞) B.(-∞,2]
C.(2,+∞) D.(-2,2)
∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A,
∴A?B.∴m+1>3,即m>2.故选C.
答案:C
专题归纳
高考体验
专题三 全称命题与特称命题
【例3】 判断下列命题是特称命题还是全称命题,用符号写出其否定并判断命题的否定的真假性.
(1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1;
(2)任何一条直线都存在斜率;
思维点拨:首先找准量词判断是全称命题还是特称命题,写它们的否定时要注意量词的变化,真假判断可从原命题和原命题的否定两个角度择易处理.
解:(1)特称命题,否定:对任意α∈R,sin2α+cos2α=1,真命题.
(2)全称命题,否定:存在直线l,l没有斜率,真命题.
专题归纳
高考体验
反思感悟1.全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出反例.
(2)判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命题为假命题时,要有严格的逻辑证明.
2.含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.否定时既要改写量词,又要否定结论.
专题归纳
高考体验
变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.
(2)q:所有的正方形都是矩形;
(3)r:存在x∈R,x2+3x+7≤0.
∴非p是假命题.
(2)非q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.
(3)非r:任意x∈R,x2+3x+7>0,是真命题.
∴非r是真命题.
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专题四 逻辑联结词及其应用
【例4】 已知命题p:函数 的值域为R,命题q:函
数y=-(5-2a)x是R上的减函数.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,则实数a的取值范围为 .?
解析:函数 的值域为R,即y=x2+2x+a的值域为(0,+∞),亦即方程x2+2x+a=0中,Δ=4-a≥0?a≤1,即命题p真?a≤1;函数y=-(5-2a)x是R上的减函数,即5-2a>1?a<2,即命题q真?a<2.
由“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,可知命题p与q一真一假.
若p真q假,则a∈?;若p假q真,则a∈(1,2).
故满足题意的实数a的取值范围是(1,2).
答案:(1,2)
专题归纳
高考体验
反思感悟1.命题“p且q”“p或q”“非p”的真假判断
“p”“q”的真假决定“p且q”“p或q”“非p”的真假,一般要借助真值表来判断,因此要熟练掌握真值表.
2.命题“p且q”“p或q”“非p”的应用
此类问题往往是已知“p且q”“p或q”“非p”的真假,来求某个参数的取值范围.求解时,一般先等价转化命题p与q,直至求出这两个命题为真时参数的取值范围,再依据命题“p且q”“p或q”“非p”的真假性,确定出参数的取值范围.
专题归纳
高考体验
A.p为真命题
B.p且q为真命题,p或q为真命题
C.p且q为假命题,p或q为真命题
D.p且q为假命题,p或q为假命题
解析:因为函数y=sin 2x的最小正周期为π,所以p为假命题.又q为假命题,所以p且q为假命题,p或q为假命题.
答案:D
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
∈R.故p1正确;
p2:因为i2=-1∈R,而z=i?R,故p2不正确;
p3:若z1=1,z2=2,则z1z2=2,满足z1z2∈R,而它们实部不相等,不是共轭复数,故p3不正确;
p4:实数的虚部为0,它的共轭复数是它本身,也属于实数,故p4正确.
答案:B
专题归纳
高考体验
2.(2015山东高考)设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是( )
A.若方程x2+x-m=0有实根,则m>0
B.若方程x2+x-m=0有实根,则m≤0
C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m>0
D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0
解析:原命题的逆否命题是将条件和结论分别否定,作为新命题的结论和条件,所以其逆否命题为“若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0”.
答案:D
专题归纳
高考体验
列”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,真,真 B.假,假,真
C.真,真,假 D.假,假,假
所以原命题及其逆命题均为真命题,从而其否命题及其逆否命题也均为真命题,故选A.
答案:A
专题归纳
高考体验
4.(2017北京高考)能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为 .?
解析:答案不唯一,如令a=-1,b=-2,c=-3,则a>b>c,而a+b=-3=c,能够说明“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a+b>c”是假命题.
答案:-1,-2,-3(答案不唯一)
专题归纳
高考体验
考点二:充分条件、必要条件的判断与应用
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案:A
专题归纳
高考体验
6.(2016山东高考)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若直线a与直线b相交,则α,β一定相交,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能平行或异面,故选A.
答案:A
专题归纳
高考体验
7.(2016四川高考)设p:实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q:实数x,y满足
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:画出可行域(如图所示),可知命题q中不等式组表示的平面区域△ABC在命题p中不等式表示的圆盘内,即p q,q?p,所以p是q的必要不充分条件.故选A.
答案:A
专题归纳
高考体验
考点三:全称命题与特称命题
8.(2015课标Ⅰ高考)设命题p:存在n∈N,n2>2n,则非p为( )
A.任意n∈N,n2>2n
B.存在n∈N,n2≤2n
C.任意n∈N,n2≤2n
D.存在n∈N,n2=2n
解析:∵p:存在n∈N,n2>2n,
∴非p:任意n∈N,n2≤2n.故选C.
答案:C
专题归纳
高考体验
命题:
p1:任意(x,y)∈D,x+2y≥-2,
p2:存在(x,y)∈D,x+2y≥2,
p3:任意(x,y)∈D,x+2y≤3,
p4:存在(x,y)∈D,x+2y≤-1,
其中的真命题是( )
A.p2,p3 B.p1,p2
C.p1,p4 D.p1,p3
专题归纳
高考体验
解析:画出可行域如图阴影部分所示.
作直线l0:y=- x,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:任意(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:存在(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.
答案:B
专题归纳
高考体验
考点四:逻辑联结词及应用
10.(2017山东高考)已知命题p:?x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是( )
A.p∧q B.p∧????q
C.????p∧q D.????p∧????q
解析:对?x>0,都有x+1>1,所以ln(x+1)>0,故p为真命题.
又1>-2,但12<(-2)2,故q为假命题,所以????q为真命题,故p∧????q为真命题.故选B.
答案:B
专题归纳
高考体验
11.(2014辽宁高考)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是( )
A.p或q B.p且q
C.(非p)且(非q) D.p或(非q)
解析:对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故p或q为真命题.故选A.
答案:A
第2课时 利用空间向量解决空间问题
课后训练案巩固提升
A组
1.若平面α,β的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则( )
A.α∥β
B.α⊥β
C.α与β斜交
D.以上均正确
解析:∵u与v既不平行也不垂直,∴α与β斜交.
答案:C
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能确定
解析:
=
=)+)
=.
∴共面.
又∵MN?平面BB1C1C,
∴MN∥平面BB1C1C.
答案:B
3.ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA垂直于面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,则SC与平面ABCD所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析:由题意知是平面ABCD的法向量,设的夹角为φ,
∵,
∴·()==1,
又||=1,||=,
∴cos φ=,
∴SC与平面ABCD所成角的余弦值为.
答案:A
4.导学号90074096在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,则平面SCD与平面SAB夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),D,C(1,1,0),S(0,0,1),平面SAB的一个法向量,并求得平面SCD的一个法向量n=,则cos<,n>=.
答案:B
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 .?
解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则D(0,0,0),N,M,A1(1,0,1),
∴,
∴=1×0+1××1=0,
∴,
∴A1M与DN所成的角的大小是90°.
答案:90°
6.已知四面体的顶点A(2,3,1),B(4,1,-2),C(6,3,7)和D(-5,-4,8),则顶点D到平面ABC的距离为 .?
解析:设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),则
∴
∴
令x=1,则n=,
又易得=(-7,-7,7),
故所求距离为=11.
答案:11
7.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AB,BC的中点.
(1)证明:PF⊥FD;
(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PED.
(1)证明∵PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,如图,建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).
不妨令P(0,0,t),
∴=(1,1,-t),=(1,-1,0),
∴=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,
∴,即PF⊥FD.
(2)解设平面PFD的法向量为n=(x,y,z),
由
令z=1,解得x=y=,
∴n=.
设点G的坐标为(0,0,m),
又E,则.
要使EG∥平面PFD,只需·n=0,
即+0×+m×1=0,
即m-=0,
解得m=t,
从而满足AG=AP的点G即为所求.
8.导学号90074097如图,已知DA⊥平面ABC,AC⊥CB,AC=CB=AD=2,E是DC的中点,F是AB的中点.
(1)证明:AC⊥EF;
(2)求平面ABD与平面BCD夹角的正切值;
(3)求点A到平面BCD的距离.
(1)证明如图,以A为原点,建立空间直角坐标系(y轴∥CB),则A(0,0,0),D(0,0,2),B(2,2,0),C(2,0,0),从而E(1,0,1),F(1,1,0).
所以=(2,0,0),=(0,1,-1),
所以=2×0+0×1+0×(-1)=0,
所以,因此AC⊥EF.
(2)解连接AE.
因为AC=CB,且F为AB的中点,
所以CF⊥AB.
因为DA⊥平面ABC,所以AD⊥CF.
又AB∩AD=A,从而CF⊥平面ABD,
故=(1,-1,0)为平面ABD的法向量.
在△ADC中,因为AD=AC,E为CD的中点,
所以AE⊥CD.
因为DA⊥平面ABC,所以AD⊥BC.
又AC⊥BC,所以BC⊥平面ACD.
因为AE?平面ACD,所以AE⊥BC.
又BC∩CD=C,所以AE⊥平面BCD,
故=(1,0,1)为平面BCD的一个法向量.
所以cos<>=.
故平面ABD与平面BCD夹角的正切值为.
(3)解因为为平面BCD的法向量,且=(1,0,1),所以点A到平面BCD的距离d=.
9.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求异面直线A1C1与AB1间的距离.
解如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz,
则A(1,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),
∴=(0,1,1),=(-1,1,0),
设MN是异面直线A1C1与AB1的公垂线段,且=λ=(0,λ,λ),=μ=(-μ,μ,0),
则
=-(-μ,μ,0)+(0,0,-1)+(0,λ,λ)
=(μ,λ-μ,λ-1).
又由
∴,∴||=,
∴异面直线A1C1与AB1间的距离为.
B组
1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析:设正方体的棱长为1,建系如图所示,则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1).平面ACD1的一个法向量为=(1,1,1).
又=(0,0,1),
则cos<>
=.
故BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.
答案:D
2.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为( )
A.a B.a C. D.a
解析:根据题意,以P为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a),所以=(-a,a,0),=(-a,0,a),=(a,0,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),由所以令x=1,所以n=(1,1,1)是平面ABC的一个法向量.所以P到平面ABC的距离d=a.
答案:B
3.如图,若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则平面AB1D1与平面BDC1间的距离为( )
A. B. C. D.
解析:建立坐标系如图,
则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1).
设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则
令z=-1,则n=(1,1,-1),显然n·=0,n·=0,
∴n也是平面BDC1的一个法向量,
∴平面AB1D1∥平面BDC1,
∴所求距离为.
答案:D
4.导学号90074098如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在正方形BCC1B1内及其边界上运动,并且总保持B1P∥平面A1BD,则动点P的轨迹的长度是 .?
解析:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,
设动点P(x,1,z),则D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),∴=(1,0,1),=(1,1,0),=(x-1,0,z-1),设平面A1BD的法向量为n=(a,b,c),则n·=0,∴a+c=0;n·=0,∴a+b=0.∴b=c=-a,取n=(1,-1,-1),∵B1P∥平面A1BD,∴n·=0,于是(x-1)-(z-1)=0,即x=a,∴点P在平面BCC1B1的对角线B1C上,∴动点P的轨迹的长度即对角线B1C的长,为.
答案:
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.
(1)求证:平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在平面AE上是否存在一点M,使得A1M⊥平面AED?
(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).
∴=(2,0,0),=(2,2,1),=(0,1,-2).
设平面AED的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
由
得
令y1=1,得n1=(0,1,-2).
同理可得平面A1FD1的一个法向量为n2=(0,2,1).
∵n1·n2=(0,1,-2)·(0,2,1)=0,
∴n1⊥n2,∴平面AED⊥平面A1FD1.
(2)解设存在点M在直线AE上,
则可设=λ=λ(0,2,1)=(0,2λ,λ),
则M(2,2λ,λ),∴=(0,2λ,λ-2).
要使A1M⊥平面AED,只需A1M⊥AE,
即=(0,2λ,λ-2)·(0,2,1)=5λ-2=0,
解得λ=.
故当AM=AE时,A1M⊥平面AED.
∴直线 AE上存在一点M,使A1M⊥平面AED.
6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动.
(1)求证D1E⊥A1D;
(2)当E为AB的中点时,求点E到平面ACD1的距离;
(3)AE等于何值时,平面D1EC与平面DEC夹角为?
(1)证明如图,以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AE=x,则A1(1,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0).
∵=(1,0,1)·(1,x,-1)=0,
∴,即DA1⊥D1E.
(2)解∵E为AB的中点,则E(1,1,0),
∴=(1,1,-1),=(-1,2,0),=(-1,0,1).
设平面ACD1的法向量为m=(a,b,c),
∴
取m=(2,1,2),
∴点E到平面AD1C的距离为h=.
(3)设平面D1EC的法向量n=(a',b',c'),
由(1)知=(1,x-2,0),=(0,2,-1),=(0,0,1).
由
令b'=1,∴c'=2,a'=2-x,∴n=(2-x,1,2),
∵是平面DEC的一个法向量,
∴cos,∴.
∴x1=2+(不合题意,舍去),x2=2-,
∴AE=2-时,平面D1EC与平面DEC夹角为.
7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,A1C1的中点,求:
(1)异面直线AE与CF所成角的余弦值;
(2)平面CAE与平面FAE夹角的余弦值.
解不妨设正方体的棱长为2,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2),F(1,1,2).
(1)由=(-1,0,2),=(1,-1,2),得||=,||==-1+0+4=3,
又=||·||·cos<>=cos<>,
∴cos<>=,即所求值为.
(2)∵=(0,1,0),
∴=(-1,0,2)·(0,1,0)=0,
∴AE⊥EF,过C作CM⊥AE于M,则二面角C-AE-F的平面角等于<>,
∵M在AE上,∴设=m,则=(-m,0,2m),=(-2,2,0)-(-m,0,2m)=(m-2,2,-2m),
∵MC⊥AE,∴m=,
∴,∴=(0,1,0)·=0+2+0=2,||=.
又=||·||·cos<>=cos<>,∴cos<>=,
∴平面CAE与平面FAE夹角的余弦值为.
1
(共65张PPT)
第2课时 利用空间向量解决空间问题
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理
填一填:① (x1±x2,y1±y2,z1±z2);② (λx1,λy1,λz1);③ |a||b|cos;④ p=xa+yb+zc;⑤ u1∥u2;⑥ u⊥n;⑦ n1∥n2;⑧ u1⊥u2;⑨ u∥n;⑩ n1⊥n2;
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要点梳理
一、夹角的计算
1.利用空间向量解决立体几何中夹角问题的一般步骤:(1)适当地构建空间直角坐标系,求得所对应点的坐标;(2)用坐标表示空间向量及其数量积;(3)代入空间向量夹角公式的坐标形式;(4)提炼共性,转化为几何结论.
2.利用向量求异面直线所成角的方法:利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角,再结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.
3.利用向量求二面角的大小的方法:(1)转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角(注意:要特别关注两个向量的方向);(2)转化为求二面角的两个半平面的法向量的夹角(或其补角).
知识网络
要点梳理
4.利用向量求直线与平面所成角的方法:(1)作或找出直线与平面所成角的平面角,再转化为这个平面角的两边对应的方向向量的夹角来求角;(2)设直线与平面所成的角为θ,若直线的方向向量为a,平面的法向量为n,则有sin θ=|cos|.
知识网络
要点梳理
二、距离的计算
1.求距离的一般方法和步骤:应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法,把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距来求.
2.求点到平面的距离的方法有三种:(1)定义法:这是常规方法,首先过点向平面作垂线,确定垂足的位置,然后将该线段放到一个直角三角形中,最后通过解三角形求得点到平面的距离.(2)等体积法:把点到平面的距离视为一个三棱锥的高,利用三棱锥转化底面求体积,从而求得点到平面的距离.(3)向量法:这是我们常用的方法,利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为:①求出该平面的一个法向量;②找到从该点出发的平面的任意一条斜线段所对应的向量;③求出法向量与斜线段所对应的向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求得点到平面的距离.
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)空间中任何两个向量都是共面向量. ( )
(2)若两个非零向量共线,则这两个向量的夹角为0°.( )
(3)设a,b是两个非零向量,则a⊥b?a·b=0. ( )
(4)当直线的方向向量a与平面的法向量n垂直时,该直线与平面垂直. ( )
(5)设n1,n2为平面α,β的法向量,则n1与n2的夹角即为两平面的夹角. ( )
(6)直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,直线与平面所成的角为θ,则sin θ=|cos|. ( )
√
×
√
×
×
√
专题归纳
高考体验
专题一 空间角
【例1】 如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1,2,AB=4.
(1)证明:PQ⊥平面ABCD;
(2)求异面直线AQ与PB所成角的余弦值.
思维点拨:(1)连接AC,BD,且设AC∩BD=O,证明PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD,再说明P,O,Q三点共线即可;(2)建立空间直角坐标系,写出P,A,Q,B的坐标,再用 求角的余弦值.
专题归纳
高考体验
(1)证明:如图,连接AC,BD,设AC∩BD=O,连接OP,OQ.
∵P-ABCD与Q-ABCD都是正四棱锥,
∴PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD,
从而P,O,Q三点在一条直线上.
∴PQ⊥平面ABCD.
专题归纳
高考体验
(2)解:由题设知,四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD.
由(1)知,PQ⊥平面ABCD,分别以CA,DB,QP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系O-xyz,
专题归纳
高考体验
反思感悟求异面直线间的夹角主要有定义法(平移法)和向量法两种.定义法主要借助于构造出的平行四边形的对边和三角形的中位线;向量法就是在两条异面直线上取方向向量,将两条异面直线的夹角与两个方向向量的夹角联系在一起,但应注意两个方向向量
专题归纳
高考体验
变式训练1如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC= AB=1,M是PB的中点.
(1)求证:平面PAD⊥平面PCD;
(2)求AC与PB的夹角的余弦值.
专题归纳
高考体验
解:由题易知PA⊥AD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点,AD长为单位长度建立如图所示的空间直角坐标系,
∴AP⊥DC.
又由题设知AD⊥DC,
且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,
由此得DC⊥平面PAD.
又DC?平面PCD,
故平面PAD⊥平面PCD.
专题归纳
高考体验
专题归纳
高考体验
【例2】如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m.
(1)试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1夹角的正切值为3 .
(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q,使得对任意的m,D1Q在平面APD1上的投影垂直于AP?并证明你的结论.
思维点拨:本题主要考查线面关系,直线与平面夹角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力.
专题归纳
高考体验
解法一连接AC,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).
专题归纳
高考体验
(2)存在点Q满足题意,证明如下:设Q(x,1-x,1),
专题归纳
高考体验
解法二(1)连接AC,设AC∩BD=O,AP与平面BDD1B1交于点G,连接OG,如图所示.因为PC∥平面BDD1B1,平面BDD1B1∩平面APC=OG,所以OG∥PC.
又O为AC的中点,
又AO⊥DB,AO⊥BB1,
所以AO⊥平面BDD1B1.
故∠AGO即为AP与平面BDD1B1的夹角.
专题归纳
高考体验
(2)存在点Q满足题意.证明如下:依题意,要在A1C1上找一点Q,使得D1Q⊥AP,可推测A1C1的中点O1即为所求的点Q.
因为D1O1⊥A1C1,D1O1⊥AA1,
所以D1O1⊥平面ACC1A1.
又AP?平面ACC1A1,故D1O1⊥AP.
从而D1O1在平面AD1P上的投影与AP垂直.
故存在定点Q满足题意.
反思感悟直线与平面的夹角的求法:
专题归纳
高考体验
变式训练2如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0).
(1)求证:CD⊥平面ADD1A1;
(2)若直线AA1与平面AB1C的夹角的正弦值为 ,求k的值.
专题归纳
高考体验
(1)证明:如图,取CD的中点E,连接BE.
∵AB∥DE,AB=DE=3k,
∴四边形ABED为平行四边形,
∴BE∥AD,且BE=AD=4k.
在△BCE中,∵BE=4k,CE=3k,BC=5k,
∴BE2+CE2=BC2,
∴∠BEC=90°,即BE⊥CD.
又BE∥AD,
∴CD⊥AD.
∵AA1⊥平面ABCD,CD?平面 ABCD,
∴AA1⊥CD.
又AA1∩AD=A,∴CD⊥平面ADD1A1.
专题归纳
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则A(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1),
专题归纳
高考体验
【例3】 如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.
(1)设E是DC的中点,求证:D1E∥平面A1BD;
(2)求平面A1BD与平面C1BD夹角的余弦值.
思维点拨:(1)本题可用常规法和向量法两种方法求解.(2)用向量法求平面间的夹角的大小时,应结合夹角的取值范围来判断求出的是平面间的夹角,还是它的补角.
专题归纳
高考体验
解法一(1)证明:如图,连接BE,则四边形DABE为正方形,所以BE=AD=A1D1,且BE∥AD∥A1D1,所以四边形A1D1EB为平行四边形,所以D1E∥A1B.
又因为D1E?平面A1BD,A1B?平面A1BD,
所以D1E∥平面A1BD.
专题归纳
高考体验
(2)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设DA=1,
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,2,2),A1(1,0,2),
专题归纳
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设m与n的夹角为α,平面A1BD与平面C1BD的夹角为θ,
专题归纳
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解法二以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如解法一(2)中的图,设DA=a,由题意知D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,2a,0),C1(0,2a,2a),A1(a,0,2a),D1(0,0,2a),E(0,a,0).
因为A1B?平面A1BD,D1E?平面A1BD,
所以D1E∥平面A1BD.
(2)取DB的中点F,DC1的中点M,连接A1F,FM.
专题归纳
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故∠A1FM为所求平面间夹角的平面角.
设平面A1BD与平面C1BD的夹角为θ,
专题归纳
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反思感悟平面间夹角的求法:
(1)求两个平面的法向量n1,n2;
(2)两平面的夹角θ=或θ=π-.
专题归纳
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变式训练3如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直线BD与平面AA1B1B的夹角为 ,AE垂直BD于点E,点F为A1B1的中点.
(1)求异面直线AE与BF的夹角的余弦值;
(2)求平面BDF与平面AA1B1B夹角的余弦值.
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解:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系(如图).
由已知AB=2,AA1=1,可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1).
又AD⊥平面AA1B1B,
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(2)易知平面AA1B1B的一个法向量m=(0,1,0),
设n=(x,y,z)是平面BDF的法向量,
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专题二 空间距离
【例4】 在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,
(1)求点A到直线B'D的距离;
(2)求点A到平面BB'D'D的距离;
(3)求直线AB到平面CDA'B'的距离.
解:以D为原点,DA,DC,DD'分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),B'(1,1,1),D'(0,0,1),A'(1,0,1).
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专题归纳
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专题归纳
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(3)易知AB∥平面CDA'B',即直线AB到平面CDA'B'的距离为点A到平面CDA'B'的距离.
设平面CDA'B'的法向量为m=(x1,y1,z1),
专题归纳
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反思感悟空间距离的求法:
空间距离分为点线距、点面距、线面距、面面距,而线面距和面面距通常转化为点面距求解.
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变式训练4已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=1,E,F分别为AB,BC的中点.
(1)求点D到平面PEF的距离;
(2)求直线AC到平面PEF的距离.
解:(1)建立以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,如图所示,
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因为E,F分别为AB,BC的中点,
所以AC∥EF.
因为AC?平面PEF,EF?平面PEF,
所以AC∥平面PEF,
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考点一:空间向量及其运算
1.(2017课标Ⅰ高考)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b与a垂直,则m= .?
解析:因为a=(-1,2),b=(m,1),
所以a+b=(m-1,3).
因为a+b与a垂直,
所以(a+b)·a=0,即-(m-1)+2×3=0,
解得m=7.
答案:7
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2.(2017课标Ⅲ高考)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m= .?
解析:∵a⊥b,∴a·b=(-2,3)·(3,m)=-2×3+3m=0,解得m=2.
答案:2
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考点二:利用空间向量求空间角
3.(2015四川高考)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cos θ的最大值为 .?
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解析:以A为坐标原点,射线AB,AD,AQ分别为x,y,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方形ABCD和ADPQ的边长为2,则E(1,0,0),F(2,1,0),M(0,y,2)(0≤y≤2).
当t=0时,cos θ=0.
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4.(2017课标Ⅱ高考)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中点.
(1)证明:直线CE∥平面PAB;
(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-AB-D的余弦值.
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解:(1)取PA的中点F,连接EF,BF.
因为E是PD的中点,
又BF?平面PAB,CE?平面PAB,
故CE∥平面PAB.
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5.(2017课标Ⅲ高考)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C的余弦值.
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解:(1)由题设可得,△ABD≌△CBD,从而AD=DC.
又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°.
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC.
所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角.
在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2,
又AB=BD,
所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,
故∠DOB=90°.
所以平面ACD⊥平面ABC.
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6.(2017天津高考)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(1)求证:MN∥平面BDE;
(2)求二面角C-EM-N的正弦值;
(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ,求线段AH的长.
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向建立空间直角坐标系.
依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).
因为MN?平面BDE,
所以MN∥平面BDE.
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(2)易知n1=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.
设n2=(x,y,z)为平面EMN的法向量,
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考点三:利用空间向量解决综合问题
7.(2016课标甲高考)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点
(1)证明:D'H⊥平面ABCD;
(2)求平面ABD'与平面ACD'夹角的正弦值.
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(1)证明:由已知得AC⊥BD,AD=CD.
所以OH=1,D'H=DH=3.
于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,
故D'H⊥OH.
又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,
所以D'H⊥平面ABCD.
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建立空间直角坐标系H-xyz.
则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3),
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8.(2015课标Ⅰ高考)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC.
(1)证明:平面AEC⊥平面AFC;
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
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解:(1)连接BD,设BD∩AC=G,连接EG,FG,EF.
在菱形ABCD中,不妨设GB=1.
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从而EG2+FG2=EF2,所以EG⊥FG.
又AC∩FG=G,可得EG⊥平面AFC.
因为EG?平面AEC,所以平面AEC⊥平面AFC.
第3课时 圆锥曲线的方程、性质
课后训练案巩固提升
A组
1.若椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为( )
A.(±13,0) B.(0,±10)
C.(0,±13) D.(0,±)
解析:由题意知椭圆的焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c=,故焦点坐标为(0,±).
答案:D
2.若点P到直线x=-1的距离比到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
解析:点P到直线x=-1的距离比到点(2,0)的距离小1,即点P到直线x=-2的距离与到点(2,0)的距离相等,根据抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线.
答案:D
3.若双曲线=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解析:由已知可得双曲线的渐近线方程为y=±x,点(3,-4)在渐近线上,∴,又a2+b2=c2,∴c2=a2+a2=a2,∴e=.
答案:D
4.双曲线=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为( )
A. B. C. D.
解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),故双曲线=1中,m>0,n>0且m+n=c2=1, ①
又e==2, ②
联立方程①②,解得m=,n=.故mn=.
答案:A
5.已知F1,F2为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e=,则椭圆的方程是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:由椭圆的定义知|AF1|+|BF1|+|AB|=4a=16,∴a=4.又e=,∴c=2,∴b2=42-(2)2=4,∴椭圆的方程为=1.
答案:D
6.设F1,F2为椭圆=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为 .?
解析:因为线段PF1的中点在y轴上,所以PF2与x轴垂直,且点P的坐标为,所以|PF2|=,则|PF1|=2a-|PF2|=.
答案:
7.
如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上,则抛物线E的方程为 .?
解析:依题意知,|OB|=8,∠BOy=30°.设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=4,y=|OB|cos 30°=12.
因为点B(4,12)在抛物线E:x2=2py(p>0)上,
所以(4)2=2p×12,解得p=2.
故抛物线E的方程为x2=4y.
答案:x2=4y
8.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 .?
解析:不妨设焦点F(c,0),虚轴的端点B(0,b),则kFB=-.
又渐近线的斜率为±,所以由直线垂直得-=-1,即b2=ac.
又c2-a2=b2,故c2-a2=ac,两边同除以a2,得方程e2-e-1=0,
解得e=(负值舍去).
答案:
9.已知双曲线E与双曲线=1共渐近线,且过点A(2,-3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴,虚轴为实轴,试求双曲线M的标准方程.
解由题意,设双曲线E的方程为=t(t≠0).
∵点A(2,-3)在双曲线E上,
∴=t,
∴t=-,∴双曲线E的标准方程为=1.
又双曲线M与双曲线E互为共轭双曲线,则双曲线M的标准方程为=1.
10.
导学号90074100已知椭圆E:=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.
(1)求椭圆E的离心率;
(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.
解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,
则原点O到该直线的距离d=,
由d=c,得a=2b=2,
解得离心率e=.
(2)由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2. ①
依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.
易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,
代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=.
由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.
从而x1x2=8-2b2.
于是|AB|=|x1-x2|
=.
由|AB|=,得,解得b2=3.
故椭圆E的方程为=1.
B组
1.已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为 ( )
A. B.2 C. D.
解析:设双曲线方程为=1(a>0,b>0),不妨设点M在双曲线的右支上,如图所示,|AB|=|BM|=2a,∠MBA=120°,过点M作MH⊥x轴于点H,则∠MBH=60°,|BH|=a,|MH|=a,所以M(2a,a).将点M的坐标代入双曲线方程=1,得a=b,所以e=.
答案:D
2.已知双曲线与椭圆=1有共同的焦点,且双曲线的一条渐近线方程为x+y=0,则双曲线的方程为( )
A.x2-y2=50 B.x2-y2=24
C.x2-y2=-50 D.x2-y2=-24
解析:因为双曲线与椭圆=1有共同的焦点,所以双曲线的焦点在y轴上,且焦点坐标为(0,-4),(0,4).又双曲线的一条渐近线方程为x+y=0,所以可设双曲线方程为y2-x2=λ(λ>0),则2λ=48,λ=24,故所求双曲线的方程为y2-x2=24,即x2-y2=-24.
答案:D
3.设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于( )
A. B.或2
C.或2 D.
解析:设圆锥曲线的离心率为e,由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,知①若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的定义,得e=;②若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义,得e=.综上,所求的离心率为.故选A.
答案:A
4.已知点P是抛物线y2=4x上一点,设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为( )
A.5 B.4 C. D.
解析:点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,过焦点F作直线x+2y+10=0的垂线,则此时d1+d2取得最小值.由y2=4x知F(1,0),则(d1+d2)min=.故选C.
答案:C
5.设F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,若直线x=上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析:由垂直平分线的性质知|F1F2|=|PF2|,设直线x=与x轴的交点为M,则|PF2|≥|F2M|,即|F1F2|≥|F2M|,则2c≥-c,即3c2≥a2,所以e2=,又0答案:D
6.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a0)经过C,F两点,则= .?
解析:结合题意和抛物线的定义得点D为抛物线的焦点,|AD|=p=a.
设D,则F,将点F的坐标代入抛物线的方程得b2=2p=a2+2ab,
变形得-1=0,
解得=1+=1-.
又a>b,所以=1+.
答案:1+
7.椭圆Γ:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 .?
解析:由题意可知,直线y=(x+c)过点F1(-c,0),且倾斜角为60°,所以∠MF1F2=60°,从而∠MF2F1=30°,所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中,|MF1|=c,|MF2|=c,所以该椭圆的离心率e=-1.
答案:-1
8.导学号90074101已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若双曲线上存在点P使,则该双曲线的离心率的取值范围是 .?
解析:在△PF1F2中,由正弦定理可得,所以e=,即|PF1|=|PF2|,则点P在双曲线的右支上,且点P不在直线F1F2上,画出草图如图所示.
由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,
则|PF2|-|PF2|=2a,即|PF2|=.
又由双曲线的性质知|PF2|>c-a,
则>c-a,即c2-2ac-a2<0,
所以e2-2e-1<0,解得-+1又e∈(1,+∞),所以e∈(1,+1).
答案:(1,+1)
9.
如图,点A,B分别是椭圆=1长轴的左、右顶点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.
(1)求点P的坐标;
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,点M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
解(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0).
设点P(x,y),则=(x+6,y),=(x-4,y),
由已知得
则2x2+9x-18=0,解得x=或x=-6.
又y>0,∴x=,则y=.
∴点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x-y+6=0.
设M(m,0),则点M到直线AP的距离是.
于是=|m-6|,
又-6≤m≤6,解得m=2.
又椭圆上的点(x,y)到点M(2,0)的距离为d,则
d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-x2=+15.
又-6≤x≤6,∴当x=时,d取得最小值.
10.过抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0),作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;
(2)当PA,PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.
解(1)当y=时,x=,抛物线y2=2px的准线方程为x=-.
由定义知所求距离为p.
(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则易知kPA=-kPB.
由=2px1,=2px0,
得(y1-y0)(y1+y0)=2p(x1-x0),
∴kPA=(x1≠x0),
同理kPB=.∴=-.
∴y1+y2=-2y0,∴=-2.
设直线AB的斜率为kAB.
∵=2px2,=2px1,
∴(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1).
∴kAB==-为常数,
即AB的斜率是非零常数.
1
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第3课时 圆锥曲线的方程、性质
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圆锥曲线几何性质的异同:
1.它们都是轴对称图形,但椭圆和双曲线又是中心对称图形.
2.顶点个数不同:椭圆有四个顶点,所以由一个顶点坐标不能确定焦点的位置;双曲线有两个顶点,且顶点与焦点在同一个坐标轴上;抛物线有一个顶点.
3.焦点个数不同:椭圆和双曲线有两个焦点,抛物线只有一个焦点.
4.离心率的取值范围不同:椭圆的离心率01,抛物线的离心率e=1.
5.椭圆是封闭曲线,双曲线和抛物线都是非封闭曲线,由于抛物线没有渐近线,因此在画抛物线时,切忌将其画成双曲线.
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)椭圆中过焦点的最短弦长为 . ( )
(2)抛物线的通径是焦点弦的最小值,为2p. ( )
(3)设AB为抛物线的焦点弦,A,B在准线上的射影分别是A1,B1,若P为A1B1的中点,则PA⊥PB. ( )
√
√
√
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专题一 圆锥曲线的统一定义与标准方程
【例1】 F1,F2是椭圆 (a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
解析:延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A,如图所示,则△APF1是等腰三角形,∴|PF1|=|AP|,从而|AF2|=|AP|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=2a.
∵O是F1F2的中点,Q是AF1的中点,连接OQ,
∴|OQ|= |AF2|=a.
∴Q点的轨迹是以原点O为圆心,半径为a的圆.
答案:A
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【例2】 已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为2,F1,F2为左、右焦点.P为双曲线上一点,且∠F1PF2=60°, ,求双曲线的标准方程.
思维点拨:要求双曲线的标准方程,可设出方程 .关键是求a,b的值,在△PF1F2中,可由余弦定理和三角形面积公式列出方程组,从而求出a,b的值.
专题归纳
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由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a=c.
在△PF1F2中,由余弦定理,得
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°
=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos 60°),
即4c2=c2+|PF1||PF2|.①
即|PF1||PF2|=48.②
由①②,得c2=16,所以c=4,则a=2.所以b2=c2-a2=12.
专题归纳
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反思感悟对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线的定义解题的意识,“回归定义”是一种重要的解题策略.如:(1)在求轨迹时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的方程写出所求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决.
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思维点拨:要求 的值,可考虑利用椭圆的定义和△PF1F2为直角三角形的条件,求出|PF1|与|PF2|的值.但Rt△PF1F2的直角顶点不确定,故需要分类讨论.
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(2)若∠F1PF2为直角,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
即20=|PF1|2+(6-|PF1|)2,解得|PF1|=4,|PF2|=2,
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【例3】 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,过弦AB的中点M作抛物线准线
的垂线MN,垂足为N,求 的最大值.
思维点拨:弦AB的长度可在△AFB中由余弦定理表示,而|MN|的长度须由抛物线的定义进行转化.
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解:设|AF|=a,|BF|=b,作AQ垂直于准线于点Q,作BP垂直于准线于点P,
由抛物线定义知|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,
在△AFB中,由余弦定理得|AB|2=a2+b2-2ab·cos 120°
=a2+b2+ab=(a+b)2-ab.
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反思感悟在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用几何意义去解决.
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变式训练2已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是( )
答案:C
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专题二 圆锥曲线的几何性质
【例4】 已知椭圆的左焦点为F1,右焦点为F2.若椭圆上存在一点P,满足线段PF2相切于以椭圆的短轴为直径的圆,切点为线段PF2的中点,则该椭圆的离心率为( )
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解析:如图,设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF2相切于M点,连接OM.
∵M,O分别是PF2,F1F2的中点,
∴MO∥PF1,且|PF1|=2|MO|=2b.
∵OM⊥PF2,∴PF1⊥PF2.
答案:D
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反思感悟圆锥曲线的方程与性质的应用主要体现在已知圆锥曲线的方程研究其几何性质;已知圆锥曲线的性质求其方程.重在考查基础知识,其中对离心率的考查是重点.
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变式训练3已知双曲线的渐近线方程为y=± x,则双曲线的离心率为( )
答案:D
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思维点拨:利用椭圆的定义及余弦定理,转化为有关a,c的不等式,即可求解.
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反思感悟求圆锥曲线离心率及其取值范围的方法:
(1)定义法:寻求a,b,c之间的大小关系,代入可求.
(2)方程法:依条件列出含a,c的齐次方程,再转化为关于e的方程求解.
(3)求取值范围时,关键是得到不等关系,转化为关于e的不等式,求解常与基本不等式相结合.注意椭圆中01.
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变式训练4已知过双曲线的一个焦点的直线垂直于双曲线的一条渐近线,且与双曲线的两支都相交,则该双曲线离心率的取值范围为 .?
设直线与双曲线的交点为(x1,y1),(x2,y2),
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考点一:圆锥曲线的标准方程
答案:B
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解析:设双曲线半焦距为c(c>0),
答案:B
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解析:(定义、公式)因为双曲线的焦距为4,所以c=2,
即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.
又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,
解得-1答案:A
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考点二:圆锥曲线的几何性质考点二:圆锥曲线的几何性质
答案:D
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5.(2016课标乙高考)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两
准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=R2.
故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.
答案:B
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6.(2017课标Ⅱ高考)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|= .?
解析:设N(0,a),由题意可知F(2,0).
答案:6
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考点三:圆锥曲线的离心率问题
答案:A
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答案:A
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9.(2016课标乙高考)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则该椭圆的离心率为( )
解析:设椭圆的一个顶点坐标为(0,b),一个焦点坐标为(c,0),则直线l
答案:B
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A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为 .
解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,
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的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .?
解析:由双曲线和矩形的对称性可知AB⊥x轴,不妨设A点的横坐标
答案:2
第4课时 圆锥曲线中最值、定点综合问题
课后训练案巩固提升
A组
1.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
解析:抛物线中2p=8,p=4,则焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,由得x2-12x+4=0,则x1+x2=12(x1,x2为直线与抛物线两个交点的横坐标).从而弦长为x1+x2+p=12+4=16.
答案:B
2.已知点F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
解析:设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB与x轴的交点为M(m,0),
由得y2-ty-m=0,
∴y1·y2=-m.
∵=2,∴x1·x2+y1·y2=2,
结合=x1及=x2,得(y1·y2)2+y1·y2-2=0,
解得y1y2=-2或y1y2=1.
∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1·y2=-2,故m=2.
不妨令点A在x轴上方,则y1>0.
又F,
∴S△ABO+S△AFO=×2×(y1-y2)+×y1=y1+≥2=3,当且仅当y1=,即y1=时等号成立,所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.
答案:B
3.导学号90074104若AB为过椭圆=1中心的弦,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
解析:不妨设F1为左焦点,即F1(-3,0).
当直线AB斜率不存在时,△F1AB的面积为
S=×3×8=12;
当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx.与椭圆方程联立,消去y得,(16+25k2)x2=400.
令A(x1,y1),B(x2,y2),
∴x1+x2=0,x1x2=.
∴|AB|=·|x1-x2|
=
=.
又点F1到直线AB的距离为d=,
∴△F1AB的面积为
S=d·|AB|
=
=60=60<12.
答案:B
4.已知过椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰为右焦点F,若解析:由已知,得|AF|=a+c,点B在x轴上的射影恰为右焦点F,把x=c代入椭圆得|BF|=,
所以k=tan∠BAF=.
又所以<1-e<,解得所以椭圆C的离心率的取值范围是.
答案:
5.已知点P在椭圆7x2+4y2=28上,则点P到直线3x-2y-16=0的距离的最大值为 .?
解析:利用数形结合法,设与已知直线平行且与椭圆相切的直线为l:y=x+b,与椭圆方程联立消元后,令Δ=0可求得b=±4,然后求直线l与3x-2y-16=0的距离即得所求的最大值.
答案:
6.已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点,O为坐标原点,若=-4,则直线l恒过的定点M的坐标是 .?
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2+y1y2=-4.
当直线l的斜率不存在时,设其方程为x=x0(x0>0),
则-4x0=-4,解得x0=2;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+b,
由得ky2-4y+4b=0,得y1y2=,则x1x2=,得=-4,
∴=-2,有b=-2k,直线y=kx-2k=k(x-2)恒过定点(2,0).
又直线x=2也恒过定点(2,0),得点M的坐标为(2,0).
答案:(2,0)
7.
如图,设P是圆x2+y2=2上的动点,点D是点P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|PD|=|MD|,当点P在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C.
(1)求证曲线C是焦点在x轴上的椭圆,并求其方程;
(2)设椭圆C的右焦点为F2,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点,直线F2A与F2B的倾斜角互补,求证直线l过定点,并求出该定点的坐标.
解(1)设点M的坐标为(x,y),点P的坐标为(xP,yP),
由已知,得
∵点P在圆x2+y2=2上,
∴x2+(y)2=2,即+y2=1,
∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆,其方程为+y2=1.
(2)由消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.
∵F2的坐标为(1,0),
∴,
由直线F2A与F2B的倾斜角互补,
得=0,即=0,
化简得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0,
∴2k·-2m=0,
整理得m=-2k.
∴直线l的方程为y=k(x-2),
∴直线l过定点,定点坐标为(2,0).
8.已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,点D(0,1)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G(t,0),求点G的横坐标t的取值范围.
解(1)由题意,知b=1,e2=,
∴a2=2,a=,∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0),
则x1+x2=,x1x2=,
x0=(x1+x2)=,
y0=k(x0-1)=-.
AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-(x-x0),
令y=0,得t=x0+ky0=.
∵k≠0,∴0∴点G的横坐标t的取值范围为.
9.已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).
(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;
(2)求点P到点B的距离与点P到直线x=-的距离之和的最小值.
解(1)将x=3代入y2=2x,得y=±.
∵>2,∴点A在抛物线内部.
设抛物线上点P到准线l:x=-的距离为d,
由抛物线的定义,知|PA|+|PF|=|PA|+d,
当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为,
即|PA|+|PF|的最小值为,
此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2.
∴点P的坐标为(2,2).
(2)设抛物线上点P到准线l的距离为d,
由于直线x=-即为抛物线的准线,
根据抛物线的定义,得|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|,
当且仅当B,P,F三点共线时取等号,而|BF|=,
∴|PB|+d的最小值为.
10.
如图,在△ABC中,|AB|=|AC|=,|BC|=2,以B,C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右顶点A1作直线l与圆E:(x-1)2+y2=2相交于M,N两点,试探究点M,N能否将圆E分割成弧长比为1∶3的两段弧,若能,求出直线l的方程;若不能,请说明理由.
解(1)设椭圆的标准方程为=1(a>b>0).
∵|AB|=|AC|=,|BC|=2,
∴|BO|=|OC|=1,
|OA|=,
∴B(-1,0),C(1,0),A,∴P.
∴2a=|PB|+|PC|==4,
∴a=2.
又c=1,∴b2=a2-c2=3.
∴椭圆的标准方程为=1.
(2)椭圆的右顶点A1(2,0),圆E的圆心为E(1,0),半径r=.
假设点M,N能将圆E分割成弧长比为1∶3的两段弧,
则∠MEN=90°,圆心E(1,0)到直线l的距离d=r=1.
当直线l的斜率不存在时,l的方程为x=2,
此时圆心E(1,0)到直线l的距离d=1,满足题意.
当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-2),
即kx-y-2k=0,
∴圆心E(1,0)到直线l的距离d==1,无解.
综上,点M,N能将圆E分割成弧长比为1∶3的两段弧,此时l的方程为x=2.
B组
1.(2016四川高考)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1
解析:设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),F,
则.
∵,
∴
∴kOM=,
当且仅当t=时等号成立.
∴(kOM)max=,故选C.
答案:C
2.在平面直角坐标系xOy中,点P为双曲线x2-2y2=1的右支上的一个动点,若点P到直线x-y+=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为( )
A.2 B. C. D.
解析:因为直线x-y+=0与双曲线x2-2y2=1的一条渐近线x-y=0平行,所以c的最大值即为两平行直线间的距离,cmax=,故选C.
答案:C
3.已知椭圆=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与该椭圆交于点A,B,△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是 .?
解析:设右焦点为F',直线x=m与x轴相交于点C,由椭圆的定义,知△FAB的周长为|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF'|+2a-|BF'|+|AB|=4a+|AB|-|AF'|-|BF'|.
∵|AF'|+|BF'|≥|AB|(当且仅当AB过点F'时,取等号),
∴4a+|AB|-|AF'|-|BF'|≤4a,
∴当且仅当AB过点F'时,△FAB周长最大,最大值为4a=12,∴a=3,∴e=.
答案:
4.已知F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线右支上任意一点,若的最小值为8a,则该双曲线的离心率的取值范围是 .?
解析:∵+|PF2|+4a≥2+4a=8a,当且仅当|PF2|=2a时等号成立,而|PF2|≥c-a,即2a≥c-a,所以c≤3a,即e≤3.又e>1,得1答案:(1,3]
5.
如图,在平面直角坐标系xOy中,离心率为的椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点.若当直线PQ的斜率为时,|PQ|=2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论.
解(1)∵当直线PQ的斜率为时,|PQ|=2,
此时可设P,
∴=3,∴=2,∴=1.
∵e=,∴a2=4,b2=2.
∴椭圆C的标准方程为=1.
(2)以MN为直径的圆过定点(±,0),证明如下:
设P(x0,y0),则Q(-x0,-y0),且=1,
即+2=4.
∵A(-2,0),∴直线PA的方程为y=(x+2),
∴M.
又直线QA的方程为y=(x+2),
∴N,
以MN为直径的圆为(x-0)(x-0)+=0,
即x2+y2-y+=0,
∵-4=-2,∴x2+y2+y-2=0,
令y=0,则x2-2=0,解得x=±,
∴以MN为直径的圆过定点(±,0).
6.已知抛物线的顶点在坐标原点,准线方程为x=1,F是焦点,过点A(-2,0)的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,直线PF,QF分别交抛物线于点M,N.
(1)求抛物线的方程及y1y2的值;
(2)若直线PQ,MN的斜率都存在,记直线PQ,MN的斜率分别为k1,k2,证明:为定值.
解(1)依题意,设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
由准线x==1,得p=2,
所以抛物线方程为y2=-4x.
由题意,设直线PQ的方程为x=my-2,代入y2=-4x,
消去x,整理得y2+4my-8=0,从而y1y2=-8.
(2)设M(x3,y3),N(x4,y4),
则.
设直线PM的方程为x=ny-1,代入y2=-4x,消去x,整理得y2+4ny-4=0,所以y1y3=-4,
同理y2y4=-4.
故,为定值.
7.导学号90074105已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率是,其左、右顶点分别为A1,A2,B为短轴的一个端点,△A1BA2的面积为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l:x=2与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A1,A2的动点,直线A1P,A2P分别交直线l于E,F两点,证明:|DE|·|DF|恒为定值.
解(1)由已知,得解得a=2,b=.
故所求椭圆C的方程为=1.
(2)由(1)可知A1(-2,0),A2(2,0).
设P(x0,y0),依题意-2于是直线A1P的方程为y=(x+2),
令x=2,则y=,
即|DE|=(2+2).
又直线A2P的方程为y=(x-2),
令x=2,则y=,
即|DF|=(2-2).
所以|DE|·|DF|=(2+2)·(2-2)·.(*)
又P(x0,y0)在椭圆C上,所以3+4=12,
即4=12-3,代入(*)式,得|DE|·|DF|==3,
所以|DE|·|DF|为定值3.
1
(共53张PPT)
第4课时 圆锥曲线中最值、定点综合问题
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理
一、圆锥曲线中的最值与范围问题
在解决与圆锥曲线有关的最值问题时,常规的处理策略是:
(1)若具备定义的最值问题,则可用定义转化为几何问题来处理.
(2)一般问题可先由条件建立目标函数,再利用函数求最值的方法进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法,利用函数的单调性,亦可利用基本不等式等求解.
二、圆锥曲线中的定点、定值问题
解决定点、定值问题的常规处理策略:
(1)从特殊情况入手,先求含有变量的定点、定值,再证明这个点(值)与变量无关.
(2)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点(值).
知识网络
要点梳理
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)“设而不求”法是解决圆锥曲线综合问题的基本方法. ( )
(2)直线与圆锥曲线的综合问题中,可设直线方程为y=kx+b. ( )
(3)最值问题中,必须考虑函数关系式中变量的取值范围. ( )
√
×
√
专题归纳
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专题一 范围与最值问题
【例1】 已知椭圆G: +y2=1.过点(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A,B两点.
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值.
专题归纳
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专题归纳
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专题归纳
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反思感悟在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑:
(1)利用判别式来构造不等关系,从而确定参数的取值范围;
(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系;
(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围;
(4)利用基本不等式求出参数的取值范围;
(5)利用函数的值域的求法,确定参数的取值范围.
专题归纳
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变式训练1设圆C与两圆(x+ )2+y2=4,(x- )2+y2=4中的一个内切,另一个外切.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;
解:(1)设圆C的圆心坐标为(x,y),半径为r.
专题归纳
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专题归纳
高考体验
(2)由图知||MP|-|FP||≤|MF|,
∴当M,P,F三点共线,且点P在线段MF延长线上时,
|MP|-|FP|取得最大值|MF|,
专题归纳
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专题二 定值定点问题
【例2】在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.设椭圆C2:4x2+y2=1.若M,N分别是C1,C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.
专题归纳
高考体验
反思感悟圆锥曲线中的定值问题是圆锥曲线问题中的一个难点.解决这个难点的基本思想是函数思想,可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系中不受变量影响的某个值,就是要求的定值.具体地说,就是将要证明或要求解的量表示为某个合适变量的函数,化简消去变量即得定值.
专题归纳
高考体验
(1)求C的方程;
(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
专题归纳
高考体验
(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).
专题归纳
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【例3】 已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.
解:(1)如图,设动圆圆心O1(x,y),
由题意,知|O1A|=|O1M|,
当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥MN交MN于H,则H是MN的中点,
专题归纳
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又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
专题归纳
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(2)如图,由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),
将y=kx+b代入y2=8x中,化简得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,
其中Δ=-32kb+64>0.
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
∴(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
即2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③
将①②代入③,化简,得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,∴k=-b,此时Δ>0,
∴直线l的方程为y=k(x-1),∴直线l过定点(1,0).
专题归纳
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反思感悟定点的探索与证明问题:
(1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b,k的等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关.
专题归纳
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变式训练3若直线l:y=kx+m与椭圆C: =1相交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.
求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
证明:设点A(x1,y1),B(x2,y2),
专题归纳
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∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D(2,0),
∴kAD·kBD=-1.
∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0.
∴7m2+16mk+4k2=0.
当m=-2k时,l的方程为y=k(x-2),则直线过定点(2,0),与已知矛盾.
专题归纳
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解:(1)设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2(1+p),x1x2=1.
专题归纳
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假设在x轴上存在满足条件的点C(x0,0),
∵△ABC为正三角形,
∴在x轴上不存在点C,使△ABC为正三角形.
专题归纳
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反思感悟存在性问题的解决方法:
首先假设所探究的问题结论成立或存在符合题意的点、直线,在这个假设下进行推理论证,如果得到了一个合理的推理结果,就肯定假设,对问题作出正面回答;如果得到一个矛盾的结果,就否定假设,对问题作出反面回答.利用这个解题思想解决存在性问题与解决具有明确结论的问题就没有什么差别了.
专题归纳
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(1)求椭圆E的方程;
(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
专题归纳
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解:(1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,
即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8,
而|AF1|+|AF2|=|F1B|+|BF2|=2a,
所以4a=8,解得a=2.
消去y,整理得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),
所以m≠0,Δ=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,
即4k2-m2+3=0.
专题归纳
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专题归纳
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考点一:直线与圆锥曲线的位置关系
1.(2017课标Ⅰ高考)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
解析:方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.
设直线l1方程为y=k1(x-1),
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方法二:如图所示,
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即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.
答案:A
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3.(2016全国乙高考)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N,连接ON并延长交C于点H.
(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.
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(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点.
理由如下:
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点,
所以除H以外直线MH与C没有其他公共点.
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解:(1)设F的坐标为(-c,0).
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(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,
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考点二:圆锥曲线中的最值与范围问题
答案:A
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6.(2016课标乙高考)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;
(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
解:(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,
故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,
故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.
又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,
从而|AD|=4,
所以|EA|+|EB|=4.
由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,
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(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为
y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),
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故四边形MPNQ的面积
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|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T,求∠SOT的最大值并求取得最大值时直线l的斜率.
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由题意可知圆M的半径r为
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考点三:圆锥曲线中的定点与定值问题
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明l过定点.
解:(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.
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(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,
如果l与x轴垂直,设l:x=t,
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由题设k1+k2=-1,
故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.
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的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
解:(1)设M(x1,y1),则由题意知y1>0.
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即(k3-2)t=3k(2k-1).
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第二章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在以下命题中,不正确的有( )
①|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;
②若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb;
③若向量a,b,c构成空间的一个基底,则a+b,b+c,c+a构成空间的另一个基底;
④|(a·b)c|=|a||b||c|.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析:只有③正确,故选C.
答案:C
2.
如图,已知四面体ABCD,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AC的中点,则)=( )
A. B.
C. D.
解析:∵)=)=,
又∵,∴)=.
答案:C
3.已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令a=,b=,则a+b=( )
A.(5,-9,2) B.(-5,9,-2)
C.(5,9,-2) D.(5,-9,-2)
解析:∵A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),
∴a==(-1,0,-2),b==(-4,9,0),
∴a+b=(-5,9,-2).
答案:B
4.已知O-ABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为( )
A. B.
C. D.
解析:如图,
连接AG1并延长交BC于点E,则E为BC的中点,
∴)=-2),-2).
∵=3=3(),∴)=,故选A.
答案:A
5.设x>y>0>z,空间向量m=,n=,且x2+9z2=4y(x-y),则m·n的最小值是( )
A.2 B.4 C.2 D.5
解析:∵空间向量m=,n=,
∴m·n=x2++9z2
=4y(x-y)+
≥2=4.
当且仅当4y(x-y)=时取等号.
则m·n的最小值是4.
答案:B
6.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则 ( )
A.EF至多与A1D,AC之一垂直
B.EF与A1D,AC都垂直
C.EF与BD1相交
D.EF与BD1异面
解析:以D为坐标原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为3,则A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),∴=(-3,0,-3),=(-3,3,0),=(1,1,-1),∴=0,=0,∴,∴A1D⊥EF,AC⊥EF.又=(-3,-3,3),
∴=-3,即BD1与EF平行.故选B.
答案:B
7.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为 ( )
A.(-2,2,0) B.(2,-2,0)
C. D.
解析:由=(-1,1,0),且点H在直线OA上,可设H(-λ,λ,0),则=(-λ,λ-1,-1).又BH⊥OA,
∴=0,即(-λ,λ-1,-1)·(-1,1,0)=0,即λ+λ-1=0,解得λ=,∴H,故选C.
答案:C
8.
如图,正四棱锥S-ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析:
如图,以O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD=SO=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),P,则=(2a,0,0),=(a,a,0),设平面PAC的一个法向量为n,可取n=(0,1,1),则cos<,n>=,所以<,n>=60°,所以直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°.
答案:A
9.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1的中点,则点E到平面ABC1D1的距离是( )
A. B.
C. D.
解析: 建立如图所示的坐标系,
∵正方体的棱长为1,
∴A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),D1(0,0,1),E.
设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z).
∴n·=0,且n·=0,即(x,y,z)·(0,1,0)=0,且(x,y,z)·(-1,0,1)=0.
∴y=0,且-x+z=0,令x=1,则z=1,∴n=(1,0,1).
∴n0=.又,
∴点E到平面ABC1D1的距离为|·n0|=.
答案:B
10.
如图,在四面体P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,则平面ABP与平面APC的夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析:
取AC的中点D,连接BD,过D作DE∥PC,以DB,DC,DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由图知平面APC的法向量为.
设AB=1,
则D(0,0,0),B,A,C,P,
∴=(0,-1,-1),.
设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),
则
令y=3,∴n=(-,3,-3).
∴cos<,n>==-,
即平面ABP与平面APC的夹角的余弦值为.
答案:C
11.设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成,若x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.0
解析:设a与b的夹角为θ.x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4有以下三种可能:
①2a·a+2b·b=2|a|2+2|b|2=10|a|2;
②4a·b=4|a|·2|a|cos θ=8|a|2cos θ;
③a·a+2a·b+b·b=|a|2+2|a||b|cos θ+|b|2=5|a|2+4|a|2cos θ.
由此易知②最小,则8|a|2cos θ=4|a|2,
解得cos θ=,∴θ=.
答案:B
12.导学号90074051已知平面α与平面β的夹角为60°,AB?α,AB⊥l,A为垂足,CD?β,C∈l,∠ACD=135°,则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析:如图,
在平面α内过C作CE∥AB,
则∠ECD为异面直线AB与CD所成的角或其补角,不妨取CE=1,过E作EO⊥β于O.
在平面β内过O作OH⊥CD于H,
连EH,则EH⊥CD.
因为AB∥CE,AB⊥l,所以CE⊥l.
又因为EO⊥平面β,所以CO⊥l,所以∠ECO=60°.
而∠ACD=135°,CO⊥l,所以∠OCH=45°.
在Rt△ECO中,CO=CE·cos∠ECO=1·cos 60°=.在Rt△COH中,CH=CO·cos∠OCH=·sin 45°=.在Rt△ECH中,cos∠ECH=.所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选B.
答案:B
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为,则m= .?
解析:∵l∥α,∴l的方向向量与平面α的法向量垂直,即(2,m,1)·=0,∴2+m+2=0,∴m=-8.
答案:-8
14.已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,设=a,=b,=c,则= .?
解析:
如图,取CC'中点E,连接AC,AE.
∵正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,
=a,=b,=c,
∴a+b+c=.
∴=||=.
答案:
15.
如图,PD垂直于正方形ABCD所在的平面,AB=2,E为PB的中点,cos????????=.以D为原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系,则点E的坐标为 .?
解析:设DP=2a,则P(0,0,2a),B(2,2,0),E(1,1,a),A(2,0,0).∵=(0,0,2a),=(-1,1,a),
∴cos????????=,解得a=1.∴E(1,1,1).
答案:(1,1,1)
16.
如图,等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,平面ABC与平面ABDE的夹角的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值为 .?
解析:如图所示,过点C作CO⊥平面ABDE,垂足为O,取AB的中点F,
连接CF,OF,OA,OB,则∠CFO为二面角C-AB-D的平面角,∴cos∠CFO=.
设AB=1,则CF=,OF=,OC=,∴O为正方形ABDE的中心.如图建立空间直角坐标系,则E,A,M,N,∴,
∴cos<>=.
答案:
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(满分10分)已知空间三点A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).
(1)求△ABC的面积;
(2)求△ABC中AB边上的高.
解(1)由已知,得=(1,-3,2),=(2,0,-8),
∴||=,||==2,
=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,
∴cos<>=,
∴sin<>=.
∴S△ABC=|·||·sin<>=×2=3.
(2)设AB边上的高为CD,则||==3,即△ABC中AB边上的高为3.
18.
(满分12分)如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,AD=1,AA'=1.证明直线BC'平行于平面D'AC,并求直线BC'到平面D'AC的距离.
解如图,
建立空间直角坐标系,可得有关点的坐标为A(1,0,1),B(1,2,1),C(0,2,1),C'(0,2,0),D'(0,0,0).
设平面D'AC的法向量n=(u,v,w),
则n⊥,n⊥.
因为=(1,0,1),=(0,2,1),n·=0,n·=0,
所以
解得u=2v,w=-2v.取v=1,得平面D'AC的一个法向量n=(2,1,-2).因为=(-1,0,-1),
所以n·=0,所以n⊥.
又BC'不在平面D'AC内,
所以直线BC'与平面D'AC平行.
由=(1,0,0),得点B到平面D'AC的距离d=,
所以直线BC'到平面D'AC的距离为.
19.(满分12分)
如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥底面ABC,∠BCA=90°,PB=BC=CA=2,E为PC的中点,点F在PA上,且2PF=FA.
(1)求证:BE⊥平面PAC;
(2)求直线AB与平面BEF所成角的正弦值.
解(1)∵PB⊥底面ABC,且AC?底面ABC,
∴AC⊥PB.
由∠BCA=90°,可得AC⊥CB.
又PB∩CB=B,∴AC⊥平面PBC.
∵BE?平面PBC,∴AC⊥BE.
∵PB=BC,E为PC的中点,∴BE⊥PC.
∵PC∩AC=C,∴BE⊥平面PAC.
(2)
以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),C(2,0,0),A(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),.
设平面BEF的法向量为m=(x,y,z),
由m·=0,m·=0,得x+y+z=0,x+z=0.
取x=1,则y=1,z=-1,m=(1,1,-1)为平面BEF的一个法向量.
又=(-2,-2,0),
∴cos<,m>==-,
∴直线AB与平面BEF所成角的正弦值为.
20.(满分12分)
如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点,N为BC的中点.
(1)求证:直线MN∥平面OCD;
(2)求异面直线AB与MD夹角的大小;
(3)求点B到平面OCD的距离.
解
作AP⊥CD于点P.如图,分别以AB,AP,AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
A(0,0,0),B(1,0,0),P,D,O(0,0,2),M(0,0,1),N.
(1)证明:.
设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),
则n·=0,n·=0,即
取z=,解得n=(0,4,).
∵·n=·(0,4,)=0,
又MN?平面OCD,∴MN∥平面OCD.
(2)设AB与MD的夹角为θ,
∵=(1,0,0),,
∴cos θ=.∴θ=,
即AB与MD的夹角的大小为.
(3)点B到平面OCD的距离为d=,∴点B到平面OCD的距离为.
21.(满分12分)
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2,点P是棱BB1上一点,满足=λ(0≤λ≤1).
(1)若λ=,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值;
(2)若平面PA1C与平面A1BC的夹角的正弦值为,求λ的值.
解以A为坐标原点,分别以AB,AC,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系Axyz.因为AB=AC=1,AA1=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),P(1,0,2λ).
(1)由λ=得,=(1,0,-2),=(0,1,-2).
设平面A1BC的法向量为n1=(x1,y1,z1),
由
不妨取z1=1,则x1=y1=2,
从而平面A1BC的一个法向量为n1=(2,2,1).
设直线PC与平面A1BC所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,n1>|=,
所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为.
(2)设平面PA1C的法向量为n2=(x2,y2,z2),=(1,0,2λ-2),
由
不妨取z2=1,则x2=2-2λ,y2=2,
所以平面PA1C的法向量为n2=(2-2λ,2,1).
则cos=.
又因为二面角P-A1C-B的正弦值为,所以,化简得λ2+8λ-9=0,解得λ=1或λ=-9(舍去),故λ的值为1.
22.导学号90074052
(满分12分)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.
(1)求证:BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD夹角的大小.
(1)证法一连接DG,
CD,设CD∩GF=O,连接OH.
在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.
则O为CD的中点,
又H为BC的中点,所以OH∥BD,又OH?平面FGH,BD?平面FGH,所以BD∥平面FGH.
证法二在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,
所以四边形BHFE为平行四边形.
可得BE∥HF.
在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,
所以GH∥AB.
又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.
因为BD?平面ABED,所以BD∥平面FGH.
(2)解法一设AB=2,则CF=1.
在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DG∥FC.
又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.
在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点,所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直.
以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.
所以G(0,0,0),B(,0,0),C(0,,0),D(0,0,1).
可得H,F(0,,1),
故=(0,,1).
设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,
则由可得
可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,).
因为是平面ACFD的一个法向量,=(,0,0),
所以cos<,n>=.
所以平面FGH与平面ACFD夹角的大小为60°.
解法二作HM⊥AC于点M,
作MN⊥GF于点N,连接NH.
由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC,
又FC∩AC=C,所以HM⊥平面ACFD.
因此GF⊥NH,
所以∠MNH即为所求的角.
在△BGC中,MH∥BG,MH=BG=,
由△GNM∽△GCF,可得,从而MN=.由HM⊥平面ACFD,MN?平面ACFD,得HM⊥MN,因此tan∠MNH=,所以∠MNH=60°.
所以平面FGH与平面ACFD夹角的大小为60°.
14
第三章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.方程x2+(x2+y2-1)2=0所确定的曲线是( )
A.y轴或圆 B.两点(0,1)与(0,-1)
C.y轴或直线y=±1 D.以上都不正确
答案:B
2.如图,已知圆O的方程为x2+y2=100,点A(-6,0),M为圆O上任一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹是( )
A.圆 B.抛物线
C.椭圆 D.两条直线
解析:∵P为AM垂直平分线上的点,
∴|PM|=|PA|.
又∵|OP|+|PM|=10,
∴|PA|+|PO|=10>6=|AO|.
故P点的轨迹是以A,O为焦点,长轴长为10的椭圆.
答案:C
3.双曲线=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为( )
A. B. C. D.
解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),
∴双曲线=1的焦点在x轴上.
m>0,n>0,a=,b=,
∴c==1,∴e==2,
∴∴mn=.
答案:A
4.若抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为10,则P点坐标为( )
A.(9,6) B.(9,±6)
C.(6,9) D.(6,±9)
解析:抛物线的焦点坐标为(1,0),准线为x=-1.
∵P到F的距离为10,设P为(x,y),
∴x+1=10,∴x=9.又P在抛物线上,
∴y2=36,y=±6,∴P点坐标为(9,±6).
答案:B
5.以双曲线=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:椭圆的顶点和焦点分别是=-1的焦点和顶点,∴椭圆的长半轴长为4,半焦距为2,且焦点在y轴上,故所求方程为=1.
答案:D
6.若点P是以F1,F2为焦点的椭圆=1(a>b>0)上一点,且=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率e=( )
A. B. C. D.
解析:由=0得.
则tan∠PF1F2=.
设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|=m.
所以e=.
答案:A
7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=kx(k>0),离心率e=k,则双曲线方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:由题意,知k=.又e=k=,所以,即c=b.易知a2=5b2-b2=4b2.
答案:C
8.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是( )
A. B.(1,1)
C. D.(2,4)
解析:设P(x,y)为抛物线y=x2上任意一点,则P到直线2x-y-4=0的距离d=,∴当x=1时d最小,此时y=1,故选B.
答案:B
9.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN相切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则点P的轨迹方程为( )
A.x2-=1(x>1) B.x2-=1(x<-1)
C.x2+=1(x>0) D.x2-=1(x>1)
解析:设圆与直线PM,PN分别相切于E,F,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|.
∴|PM|-|PN|=|PE|+|ME|-(|PF|+|NF|)=|MB|-|NB|=4-2=2,∴点P的轨迹是以M(-3,0),N(3,0)为焦点的双曲线的右支,且a=1,c=3,∴b2=8.故双曲线的方程是x2-=1(x>1).
答案:A
10.若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点,F1,F2分别是它们的左、右焦点,设椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,若=0,则= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:设椭圆的方程为=1(a1>b1>0),双曲线的方程为=1(a2>0,b2>0),它们的半焦距为c,不妨设P为它们在第一象限的交点,因为=0,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2. ①
由椭圆和双曲线的定义知,
解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,代入①式,得(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,即=2c2,
所以=2.
答案:B
11.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
解析:由已知得F,故直线AB的方程为y=tan 30°,即y=x-.
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
将①代入②并整理得x2-x+=0,
∴x1+x2=,
∴线段|AB|=x1+x2+p==12.
又原点(0,0)到直线AB的距离为d=,
∴S△OAB=|AB|d=×12×.
答案:D
12.导学号90074088在平面直角坐标系中,两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为||P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于||F1F2|)的点的轨迹可以是( )
解析:不妨设F1(-a,0),F2(a,0),其中a>0,点P(x,y)是其轨迹上的点,P到F1,F2的“L-距离”之和等于定值b(大于||F1F2|),
所以|x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b,
即|x-a|+|x+a|+2|y|=b.
当x<-a,y≥0时,上式可化为y-x=;
当-a≤x≤a,y≥0时,上式可化为y=-a;
当x>a,y≥0时,上式可化为x+y=;
当x<-a,y<0时,上式可化为x+y=-;
当-a≤x≤a,y<0时,上式可化为y=a-;
当x>a,y<0时,上式可化为x-y=;
可画出其图像.(也可利用前三种情况,再关于x轴对称)故选A.
答案:A
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上)
13.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .?
解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y2=4x.由题意知过点P的直线为y=kx+k(k≠0),要使机器人接触不到过点P的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得y2-y+k=0,即Δ=1-k2<0,解得k>1或k<-1.
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
14.设中心在原点的椭圆与双曲线2x2-2y2=1有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是 .?
解析:双曲线的焦点坐标为(-1,0),(1,0),离心率为.设椭圆方程为=1(a>b>0),则e=.因为c=1,所以a=.所以b==1.故所求椭圆的方程为+y2=1.
答案:+y2=1
15.在抛物线y2=16x内,通过点M(2,4)且在此点被平分的弦所在直线方程是 .?
解析:设所求直线与y2=16x相交于点A,B,且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得=16x1,=16x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2),即,
又∵M(2,4)是A,B的中点,∴y1+y2=2×4=8,
∴kAB==2.
∴所求直线方程为y=2x.
答案:y=2x
16.导学号90074089已知双曲线C1:=1(a>0,b>0)与双曲线C2:=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a= ,b= .?
解析:与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0).
∵C1的右焦点为(,0),∴λ>0.
∴a2=4λ,b2=16λ,∴c2=20λ=5.
∴λ=,即a2=1,b2=4,∴a=1,b=2.
答案:1 2
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(满分10分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为y=x,且过点(4,-).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求.
解(1)∵双曲线的一条渐近线方程为y=x,∴a=b,
∴设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).
把(4,-)代入双曲线方程得42-(-)2=λ,
∴λ=6,∴所求双曲线方程为x2-y2=6,
即=1.
(2)由(1)知双曲线方程为x2-y2=6,
∴双曲线的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).
∵点M在双曲线上,∴32-m2=6,∴m2=3,
∴=(-2-3,-m)·(2-3,-m)
=(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0.
18.(满分12分)
如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2:=1(a>b>0)的两个焦点.
(1)求椭圆C2的离心率;
(2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.
解(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),
所以c2+b×0=b2,即c2=b2.
由a2=b2+c2=2c2,得椭圆C2的离心率e=.
(2)由(1)可知a2=2b2,则椭圆C2的方程为
=1.
联立抛物线C1的方程x2+by=b2得2y2-by-b2=0,
解得y=-或y=b(舍去),所以x=±b,
即M,N.
所以△QMN的重心坐标为(1,0).
因为重心在抛物线C1上,所以12+b×0=b2,
得b=1.所以a2=2.
所以抛物线C1的方程为x2+y=1,
椭圆C2的方程为+y2=1.
19.(满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1.
(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点,若|MF|=2,求点M的坐标;
(2)设斜率为k(|k|<)的直线l交C于P,Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ.
(1)解双曲线C:-y2=1,左焦点F,设M(x,y),则|MF|2=+y2=,
由点M是双曲线右支上一点,知x≥,
所以|MF|=x+=2,
得x=,则y=±=±.
所以M.
(2)证明设直线PQ的方程是y=kx+b.
因为直线PQ与已知圆相切,故=1,
即b2=k2+1. (*)
由得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),又|k|<,
则
又y1y2=(kx1+b)(kx2+b),所以
=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=+b2=.
由(*)知,=0,所以OP⊥OQ.
20.(满分12分)已知椭圆C经过点A,两个焦点为(-1,0),(1,0).
(1)求椭圆C的方程;
(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
(1)解由题意,知c=1,可设椭圆方程为=1.
因为点A在椭圆上,所以=1,
解得b2=3,或b2=-(舍去).
所以椭圆方程为=1.
(2)证明设直线AE的方程为y=k(x-1)+,
代入=1,得
(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4-12=0.
设点E(xE,yE),F(xF,yF),因为点A也在椭圆上,
所以由根与系数的关系,得xE·1=xE=,
所以yE=kxE+-k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代k,可得
xF=,yF=-kxF++k.
所以直线EF的斜率
kEF=,
即直线EF的斜率为定值,其值为.
21.(满分12分)
如图,已知直线l:y=kx-2与抛物线C:x2=-2py(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,=(-4,-12).
(1)求直线l和抛物线C的方程;
(2)抛物线上一动点P从点A到点B运动时,求△ABP面积的最大值.
解(1)由得x2+2pkx-4p=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2pk,
y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4.
因为=(x1+x2,y1+y2)=(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12),
所以解得
所以直线l的方程为y=2x-2,抛物线C的方程为x2=-2y.
(2)设点P(x0,y0),依题意,抛物线过点P的切线与直线l平行时,△ABP的面积最大.
设切线方程是y=2x+t,
由得x2+4x+2t=0,
∴Δ=42-4×2t=0,∴t=2.
此时,点P到直线l的距离为两平行线间的距离,
d=.
由得x2+4x-4=0,
∴|AB|=|x1-x2|
=
==4,
∴△ABP面积的最大值为×4=8.
22.导学号90074090(满分12分)
如图,O为坐标原点,双曲线C1:=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:=1(a2>b2>0)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求C1,C2的方程;
(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且||=||?证明你的结论.
解(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.
从而a1=1,c2=1.
因为点P在双曲线x2-=1上,
所以=1.故=3.
由椭圆的定义知2a2==2.
于是a2==2.
故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.
(2)不存在符合题设条件的直线.
①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.
当x=时,易知A(),B(,-),
所以||=2,||=2.
此时,||≠||.
当x=-时,同理可知,||≠||.
②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.
由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.
当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.
于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.
由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.
因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.
化简,得2k2=m2-3,因此=x1x2+y1y2=≠0,
于是+2-2,
即||≠||,故||≠||.
综合①②可知,不存在符合题设条件的直线.
3
第一章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是 ( )
A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”
C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”
解析:原命题的逆命题是:若一个数的平方是正数,则它是负数.
答案:B
2.命题“若函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则loga2<0”的逆否命题是( )
A.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
B.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数
C.若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数
D.若loga2<0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数
解析:原命题的逆否命题为“若loga2≥0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数”.
答案:A
3.已知命题p:存在x∈R,log2(3x+1)≤0,则( )
A.p是假命题;非p:对任意x∈R,log2(3x+1)≤0
B.p是假命题;非p:对任意x∈R,log2(3x+1)>0
C.p是真命题;非p:对任意x∈R,log2(3x+1)≤0
D.p是真命题;非p:存在x∈R,log2(3x+1)>0
解析:∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,∴命题p为假命题.非p:对任意x∈R,log2(3x+1)>0.故选B.
答案:B
4.“x>1”是“lo(x+2)<0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析:∵x>1?lo(x+2)<0,
lo(x+2)<0?x+2>1?x>-1,∴“x>1”是“lo(x+2)<0”的充分而不必要条件.
答案:B
5.已知向量a=(1,2x),b=(4,-x),则“x=”是“a⊥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:a⊥b?a·b=0?4-2x2=0?x=±,∴x=是a⊥b的充分不必要条件.故选A.
答案:A
6.在下列结论中,正确的结论为( )
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件;
②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件;
③“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件;
④“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件.
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
解析:利用真值表和充要条件的定义判定.
答案:B
7.下列有关命题的说法正确的是( )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.命题“存在x∈R,3x2-x+2<0”的否定是“对任意x∈R,3x2-x+2>0”
C.命题“若x=y,则sin 2x=sin 2y”的逆否命题为假命题
D.若“p或q”为真命题,则p,q至少有一个为真命题
解析:命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,所以A错误;命题“存在x∈R,3x2-x+2<0”的否定是“对任意x∈R,3x2-x+2≥0”,所以B错误;命题“若x=y,则sin 2x=sin 2y”正确,所以逆否命题也正确,即C错误;若“p或q”为真命题,则p,q至少有一个为真命题,所以D正确.
答案:D
8.命题p:任意x∈R,<0的非p形式的命题是 ( )
A.存在x∈R,>0
B.存在x∈R,1≤x≤3
C.存在x∈R,x<1或x>3
D.存在x∈R,x≤1或x≥3
解析:求一个命题的非p形式,一般先将原命题化简.p:1答案:D
9.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:当四边形ABCD为菱形时,其对角线互相垂直,必有AC⊥BD;但当AC⊥BD时,四边形不一定是菱形(如图),因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.故选A.
答案:A
10.下列叙述中正确的是( )
A.若a,b,c∈R,则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2-4ac≤0”
B.若a,b,c∈R,则“ab2>cb2”的充要条件是“a>c”
C.命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2≥0”
D.l是一条直线,α,β是两个不同的平面,若l⊥α,l⊥β,则α∥β
解析:对于A项,当a<0时不成立.
对于B项,当b=0时,“a>c”推不出“ab2>cb2”.
对于C项,否定应为存在x∈R,x2<0,故C不正确.
对于D项,由线面垂直的性质可得α∥β成立.故选D.
答案:D
11.已知命题p:“对任意x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“存在x∈R,使x2+2ax+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≥1} B.{a|a≤-2或1≤a≤2}
C.{a|-2≤a≤1} D.{a|a≤-2或a=1}
解析:p为真时,a≤x2,x∈[1,2]恒成立,
则a≤(x2)min=1;
q为真时,Δ=4a2-4(2-a)≥0,
即a≤-2或a≥1.
若p且q为真,则p为真且q为真,
则故a≤-2或a=1.
答案:D
12.导学号90074014设定义域为R的函数f(x)=则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是( )
A.b<0,且c>0 B.b>0,且c<0
C.b<0,且c=0 D.b≥0,且c=0
解析:先利用函数图像的变换作出f(x)的图像,如图.
注意f(x)=0有三个根,x1=0,x2=1,x3=2,且有f(x)≥0,令f(x)=t≥0,则方程为t2+bt+c=0有实数解(t≥0)需满足t1+t2=-b≥0,即b≤0.t1·t2=c≥0,排除选项B,D(因B项:b>0,且c<0;D项:b≥0).对于A,不妨令b=-3,c=2,则方程为t2-3t+2=0,解得t1=1,t2=2,即f(x)=1或f(x)=2,由图知有8个根,排除选项A,故选C.实际上当b<0,且c=0时,f2(x)+bf(x)=0.f(x)=0或f(x)=-b>0,由f(x)=-b>0,结合图像,此时有4个根,f(x)=0有根为0,1,2计7个.
答案:C
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.a=3是直线l1:ax+2y+3a=0和直线l2:3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的 条件.?
解析:当a=3时,l1:3x+2y+9=0,l2:3x+2y+4=0,
∴l1与l2平行且不重合.
反之,若l1∥l2,则a(a-1)=6,即a=3或a=-2.
但a=-2时,l1与l2重合,∴a=3.
答案:充要
14.“存在α,β,使cos(α-β)=cos α-cos β”是 (填“全称”或“特称”)命题,该命题是 (填“真”或“假”)命题.?
答案:特称 真
15.给出下列结论:
①若命题p:存在x0∈R,tan x0=1;命题q:任意x∈R,x2-x+1>0,则命题“p且(非q)”是假命题;
②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,命题p:若l1⊥l2,则=-3,则命题“非p”是假命题;
③命题p:若x2-3x+2=0,则x=1,则????p:若x≠1,则x2-3x+2≠0.
其中正确结论的序号为 .?
解析:①中命题p为真命题,命题q为真命题,所以“p且(非q)”为假命题,故①正确;②中当b=a=0时,有l1⊥l2,所以p为假命题,故“非p”是真命题,因此②不正确;③中????p:若x2-3x+2=0,则x≠1,因此③不正确.所以正确结论的序号为①.
答案:①
16.导学号90074015设命题p:点(2x+3-x2,x-2)在第四象限,命题q:x2-(3a+6)x+2a2+6a<0,其中a>-6.若????p是????q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 .?
解析:命题p:?-1命题q:a所以命题????q:x≤a或x≥2a+6.
设集合M={x|x≤-1或x≥2},N={x|x≤a或x≥2a+6}.
由题意,得N是M的真子集,
所以
解得-2即-2≤a≤-1.
答案:[-2,-1]
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(满分10分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.
(1)若m·n<0,则方程mx2-x+n=0有实数根;
(2)若m≤0或n≤0,则m+n≤0;
(3)正数a的立方根不等于0.
解(1)逆命题:若方程mx2-x+n=0有实数根,
则m·n<0,假命题.
否命题:若m·n≥0,则方程mx2-x+n=0没有实数根,假命题.
逆否命题:若方程mx2-x+n=0没有实数根,则m·n≥0,真命题.
(2)逆命题:若m+n≤0,则m≤0或n≤0,真命题.
否命题:若m>0且n>0,则m+n>0,真命题.
逆否命题:若m+n>0,则m>0且n>0,假命题.
(3)原命题:若a是正数,则a的立方根不等于0,是真命题.
逆命题:若a的立方根不等于0,则a是正数,是假命题.
否命题:若a不是正数,则a的立方根等于0,是假命题.
逆否命题:若a的立方根等于0,则a不是正数,是真命题.
18.(满分12分)写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)p:所有的分数都是无理数;
(2)q:有些实数是无理数;
(3)r:至少有一个实数x,使≤x;
(4)s:所有的负数都是奇数.
解(1)非p:有些分数不是无理数(真命题).
(2)非q:所有的实数都不是无理数(假命题).
(3)非r:对于任意实数x,都有>x(假命题).
(4)非s:有的负数不是奇数(真命题).
19.(满分12分)已知集合A={x|x2-4x+3≤0},集合B={y|y=x2-2x+a},集合C={x|x2-ax-4≤0}.命题p:A∩B≠?,命题q:A?C.
(1)若命题p为假命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p,q都为真命题,求实数a的取值范围.
解(1)A={x|1≤x≤3},B={y|y=(x-1)2+a-1}={y|y≥a-1}.
由p为假命题,知A∩B=?,∴a-1>3,∴a>4,
故实数a的取值范围是(4,+∞).
(2)∵p,q都为真命题,∴A∩B≠?且A?C,
∴解得≤a≤4,
即实数a的取值范围为.
20.(满分12分)已知p:函数f(x)为(0,+∞)内的减函数,实数m满足不等式f(m+1)解设p,q所对应的m的取值集合分别为A,B.
对于p,由函数f(x)为(0,+∞)内的减函数,可得解得对于q,由x∈,得sin x∈[0,1],
m=sin2x-2sin x+a+1=(sin x-1)2+a,
则当sin x=1时,mmin=a;
当sin x=0时,mmax=a+1,即B=[a,a+1].
由p是q的充分不必要条件,可得A?B,
则有解得≤a≤.
即实数a的取值范围为.
21.(满分12分)“若存在实数x,不等式x2+a|x|+1<0成立”是假命题,求实数a的取值范围.
解∵“若存在实数x,不等式x2+a|x|+1<0成立”的否定是“对一切实数x,不等式x2+a|x|+1≥0恒成立”.
又原命题是假命题,∴它的否定是真命题.
①当x=0时,1≥0恒成立,此时a∈R.
②当x≠0时,a≥=-.
又|x|+≥2,当且仅当|x|=1时等号成立,
∴-≤-2,当且仅当|x|=1时等号成立,
∴a≥-2.
综上,实数a的取值范围为[-2,+∞).
22.导学号90074016(满分12分)已知命题p:在R上定义运算□:x□y=(1-x)y,不等式x□(1-a)x<1对任意实数x恒成立;命题q:不等式≥2对任意的x∈N*恒成立.若p且q为假命题,p或q为真命题,求实数a的取值范围.
解(1)由题意知,x□(1-a)x=(1-x)(1-a)x,
若命题p为真,则(1-a)x2-(1-a)x+1>0对任意实数x恒成立,
∴①当1-a=0,即a=1时,1>0恒成立,∴a=1;
②当1-a≠0时,
∴-3综合①②得,-3若命题q为真,∵x>0,∴x+1>0,
则x2+ax+6≥2(x+1)对任意的x∈N*恒成立,
即a≥-+2对任意的x∈N*恒成立,
令f(x)=-+2,只需a≥f(x)max,
∵f(x)≤-2+2=-4+2=-2,当且仅当x=(x∈N*),即x=2时取“=”,∴a≥-2.
∵p且q为假命题,p或q为真命题,
∴p,q中必有一个真命题,一个假命题.
若p为真q为假,则
∴-3若p为假q为真,则
∴a>1.
综上可得a的取值范围是(-3,-2)∪(1,+∞).
1
模块综合测评(A)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是 ( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无理数,它的平方不是有理数
解析:根据特称命题的否定是全称命题,先将存在量词改为全称量词,然后否定结论,故选B.
答案:B
2.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)在[0,1]上是增加的”是“f(x)在[3,4]上是减少的”的( )
A.既不充分也不必要的条件
B.充分而不必要的条件
C.必要而不充分的条件
D.充要条件
解析:若f(x)在[0,1]上是增加的,则f(x)在[-1,0]上是减少的,根据f(x)的周期为2可推出f(x)在[3,4]上是减少的;若f(x)在[3,4]上是减少的,则f(x)在[-1,0]上也是减少的,所以f(x)在[0,1]上是增加的,故选D.
答案:D
3.设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为;命题q:函数y=cos x的图像关于直线x=对称.则下列判断正确的是( )
A.p为真 B.非q为假
C.p且q为假 D.p或q为真
解析:因周期T==π,故p为假命题.因cos x的对称轴为x=kπ(k∈Z),故q也为假命题.所以p且q为假.
答案:C
4.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率e=,则C的方程是( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:依题意,设椭圆C的方程为=1(a>b>0),所以解得故椭圆C的方程是=1.
答案:D
5.已知椭圆=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为( )
A.± B. C. D.
解析:设F1为椭圆=1的左焦点,F2为右焦点,PF1与y轴的交点为M.
∵M是PF1的中点,O是F1F2的中点,
∴MO∥PF2,∴PF2⊥x轴.
又半焦距c==3,∴设P(x,y),则x=3,
代入椭圆方程,得=1,解得y=±.
∴点M的纵坐标为±.故应选A.
答案:A
6.已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b与a-2b互相垂直,则k=( )
A.- B. C. D.
解析:ka+b=(-k+1,k,2),a-2b=(-3,1,-4),由(ka+b)·(a-2b)=3(k-1)+k-8=0,解得k=.
答案:D
7.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.2
解析:三角形面积最大时,三角形的另一顶点应是椭圆的短轴端点,则S=×2c×b=bc=1≤,即a2≥2,所以长轴长2a≥2,故椭圆长轴长的最小值为2.
答案:D
8.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B.[-2,2]
C.[-1,1] D.[-4,4]
解析:由题意知Q(-2,0).当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,与抛物线无公共点,当直线l斜率存在时,设直线方程为y=k(x+2),与抛物线方程y2=8x联立得ky2-8y+16k=0,由Δ=64-64k2=0,得k=±1,所以直线l与抛物线有公共点时,k的取值范围是[-1,1].
答案:C
9.已知A(1,2,3),B(2,1,2),C(1,1,2),O为坐标原点,点D在直线OC上运动,则当取最小值时,点D的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析:点D在直线OC上运动,因而可设=(a,a,2a),则=(1-a,2-a,3-2a),=(2-a,1-a,2-2a),=(1-a)(2-a)+(2-a)(1-a)+(3-2a)(2-2a)=6a2-16a+10,所以a=时,取最小值,最小值为-,此时.
答案:C
10.已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为( )
A. B. C. D.
解析:∵b-a=(1+t,2t-1,0),∴|b-a|2=(b-a)2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2.当t=时,|b-a,∴|b-a|的最小值是.
答案:C
11.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离是( )
A. B. C. D.
解析:如图,建立空间直角坐标系,则A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4).
设平面AB1D1的法向量为n=(x,y,z),则解得x=2z且y=-2z.不妨设n=(2,-2,1),
设点A1到平面AB1D1的距离为h,
则h=.故选C.
答案:C
12.导学号90074106已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为.双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
解析:双曲线x2-y2=1的渐近线为y=±x,与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形面积为16,可得四边形为正方形,其边长为4,双曲线的渐近线与椭圆C的一个交点为(2,2),所以有=1,又因为e=,a2=b2+c2,联立解方程组得a2=20,b2=5,故选D.
答案:D
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则x= .?
解析:c-a=(0,0,1-x),(c-a)·(2b)=2(0,0,1-x)·(1,2,1)=2(1-x)=-2,解得x=2.
答案:2
14.由命题“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,求得m的取值范围是(a,+∞),则实数a的值是 .?
解析:∵“存在x∈R,使x2+2x+m≤0”是假命题,
∴“任意x∈R,使x2+2x+m>0”是真命题,
∴Δ=4-4m<0,解得m>1,故a的值是1.
答案:1
15.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是上底面A1B1C1D1的中心,则OC与BC1夹角的余弦值为 .?
解析:设以D为坐标原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1,O,C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),=(-1,0,1),cos<>==-.
∴OC与BC1夹角的余弦值为.
答案:
16.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p= .?
解析:由题意知过焦点的直线AB的方程为y=x-,
由消去y得x2-3px+=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p.
根据抛物线的定义,|BF|=x2+,|AF|=x1+,
∴|AB|=x1+x2+p=4p=8.∴p=2.
答案:2
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(满分10分)已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0.若p是q的充分不必要条件,求正实数a的取值范围.
解解不等式x2-8x-20>0得p:A={x|x>10,或x<-2}.解不等式x2-2x+1-a2>0得q:B={x|x>1+a,或x<1-a,a>0}.
依题意,p?q但q不能推出p,说明A?B.
于是,有解得0∴正实数a的取值范围是(0,3].
18.(满分12分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求双曲线与椭圆的方程.
解由共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为=1,双曲线方程为=1,点P(3,4)在椭圆上,
所以=1,解得a2=40(a2=10舍去).
双曲线的一条渐近线为y=x,
因为点P在渐近线上,所以4=×3,
解得b2=16.
所以椭圆的方程为=1,
双曲线的方程为=1.
19.(满分12分)
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点.
(1)证明:A1D⊥平面A1BC;
(2)求平面A1BD与平面B1BD所成角的余弦值.
(1)证明设E为BC的中点,由题意得A1E⊥平面ABC,所以A1E⊥AE.
因为AB=AC,所以AE⊥BC.
故AE⊥平面A1BC.
由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DE∥B1B且DE=B1B,从而DE∥A1A且DE=A1A,
所以A1AED为平行四边形.故A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.
(2)解方法一:
作A1F⊥BD且A1F∩BD=F,连接B1F.
由AE=EB=,∠A1EA=∠A1EB=90°,得A1B=A1A=4.
由A1D=B1D,A1B=B1B,得△A1DB与△B1DB全等.
由A1F⊥BD,得B1F⊥BD,因此∠A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角的补角.
由A1D=,A1B=4,∠DA1B=90°,得BD=3,A1F=B1F=,
由余弦定理得cos∠A1FB1=-.
故平面A1BD与平面B1BD所成角的余弦值为.
方法二:
以CB的中点E为原点,分别以射线EA,EB为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz,如图所示.
由题意知各点坐标如下:
A1(0,0,),B(0,,0),D(-,0,),B1(-).因此=(0,,-),=(-,-),=(0,,0).
设平面A1BD的法向量为m=(x1,y1,z1),平面B1BD的法向量为n=(x2,y2,z2).
由
可取m=(0,,1).
由
可取n=(,0,1).
于是|cos|=.
故平面A1BD与平面B1BD所成角的余弦值为.
20.(满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.
(1)求M的方程;
(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.
解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),
则=1,=1,=-1,
由此可得=-=1.
因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,
所以a2=2b2.
又由题意知,M的右焦点为(,0),故a2-b2=3.
因此a2=6,b2=3.所以M的方程为=1.
(2)由解得
因此|AB|=.
由题意可设直线CD的方程为
y=x+n,
设C(x3,y3),D(x4,y4).
由得3x2+4nx+2n2-6=0.
于是x3,4=.
因为直线CD的斜率为1,
所以|CD|=|x4-x3|=.
由已知,四边形ACBD的面积
S=|CD|·|AB|=.
当n=0时,S取得最大值,最大值为.
所以四边形ACBD面积的最大值为.
21.导学号90074107(满分12分)
已知双曲线E:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.
(1)求双曲线E的离心率;
(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.
解法一(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,
从而双曲线E的离心率e=.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为=1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,
则|OC|=a,|AB|=4a,
又因为△OAB的面积为8,
所以|OC|·|AB|=8,
因此a·4a=8,解得a=2,
此时双曲线E的方程为=1.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为=1.
以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:=1也满足条件.
设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).
由得y1=,同理得y2=,
由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得,=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).
由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.
因为4-k2<0,所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),
又因为m2=4(k2-4),
所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.
因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.
解法二(1)同解法一.
(2)当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
依题意得k>2或k<-2.
由得,(4-k2)x2-2kmx-m2=0,
因为4-k2<0,Δ>0,
所以x1x2=,
又因为△OAB的面积为8,
所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,
又易知sin∠AOB=,
所以=8,化简得x1x2=4.
所以=4,即m2=4(k2-4).
由(1)得双曲线E的方程为=1,
由得,(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,
因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,
即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,
所以双曲线E的方程为=1.
当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:=1有且只有一个公共点.
综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为=1.
22.(满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证:AB⊥PD.
(2)若∠BPC=90°,PB=,PC=2,问:AB为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大?并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值.
(1)证明ABCD为矩形,故AB⊥AD;
又平面PAD⊥平面 ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以AB⊥平面PAD,故AB⊥PD.
(2)解过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,垂足为G,连接PG.
故PO⊥平面ABCD,BC⊥平面POG,BC⊥PG,
在Rt△BPC中,PG=,GC=,BG=,
设AB=m,则OP=,
故四棱锥P-ABCD的体积为
V=·m·.
因为m
=,
故当m=,即AB=时,四棱锥P-ABCD的体积最大.
此时,建立如图所示的坐标系,各点的坐标为O(0,0,0),B,C,D,P.
故=(0,,0),,
设平面BPC的法向量n1=(x,y,1),
则由n1⊥,n1⊥
解得x=1,y=0,n1=(1,0,1).
同理可求出平面DPC的法向量n2=,
从而平面BPC与平面DPC夹角θ的余弦值为
cos θ=.
11
模块综合测评(B)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.有以下四个命题:
①“对任意x,y∈R,如果xy=0,则x=0”的否命题;
②“设a,b为向量,如果a⊥b,则a·b=0”的逆命题;
③“如果四边形是菱形,则它的四边相等”的逆命题;
④“对任意x,y∈N,如果+|y|=0,则x=0,且y=0”的否命题.
其中假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:①判断原命题的否命题“对任意x,y∈R,如果xy≠0,则x≠0”的真假,也可以判断原命题的逆命题“对任意x,y∈R,如果x=0,则xy=0”的真假,因为逆命题与否命题等价,容易得否命题是真命题.
②原命题的逆命题是“设a,b为向量,如果a·b=0,则a⊥b”,这是一个真命题.
③原命题的逆命题是“如果四边形的四边相等,则它是菱形”,这在立体几何中是不成立的,故它是假命题.
④原命题的否命题是“对任意x,y∈N,如果+|y|≠0,则x≠0或y≠0”,它与逆命题“对任意x,y∈N,如果x=0,且y=0,则+|y|=0”的真假性相同.因为逆命题是真命题,所以否命题也是真命题.
由以上分析,可知应选A.
答案:A
2.已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,则x等于( )
A.4 B.-4 C. D.-6
解析:a+b=(-2,1,x+3),∵(a+b)⊥c,
∴(a+b)·c=0,即-2×1+1×(-x)+(x+3)×2=0.解得x=-4.
答案:B
3.若集合A={-3,m2},B={2,9},则“m=-3”是“A∩B={9}”的( )
A.充要条件
B.既不充分也不必要条件
C.必要不充分条件
D.充分不必要条件
解析:若m=-3,则A={-3,9}.又B={2,9},故A∩B={9}.反之,若A∩B={9},则m=±3.故选D.
答案:D
4.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( )
A. B. C.1 D.
解析:由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0),
双曲线的渐近线方程为x-y=0或x+y=0,
则焦点到渐近线的距离d1=或d2=.
答案:B
5.
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
解析:以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系(图略),则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,1),∴=(-2,0,1),=(-2,2,0),且为平面BB1D1D的一个法向量.
∴cos<>=.
∴BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为.
答案:D
6.(2016浙江高考)已知椭圆C1:+y2=1(m>1)与双曲线C2:-y2=1(n>0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则( )
A.m>n,且e1e2>1 B.m>n,且e1e2<1
C.m1 D.m解析:∵椭圆与双曲线的焦点重合,∴m2-1=n2+1.
∴m2-n2=2,∴m>n.
∵e1=,e2=,
∴e1e2=
=>1.
故选A.
答案:A
7.
如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解析:不妨令CB=1,则CA=CC1=2.
可得O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),
∴=(0,2,-1),=(-2,2,1),
∴cos<>=>0.
∴的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角,
∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.
答案:A
8.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m对称,且x1·x2=-,则m等于( )
A. B.2 C. D.3
解析:由题意知kAB==-1,
而y2-y1=2(),
∴x2+x1=-,且在直线y=x+m上,即+m,y2+y1=x2+x1+2m,
∴2()=x2+x1+2m,2[(x2+x1)2-2x2x1]=x2+x1+2m,∴2m=3,m=.
答案:A
9.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离是( )
A. B.
C. D.
解析:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则有D1(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1).
因为O为平面A1B1C1D1的中心,
所以O为A1C1的中点,
所以O,
设平面ABC1D1的法向量为n=(x,y,z),则有取n=(1,0,1),∴O到平面ABC1D1的距离为d=.
答案:B
10.方程=|x+y+2|表示的曲线是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.线段 D.抛物线
解析:表示点(x,y)到定点(1,1)的距离与它到直线x+y+2=0的距离相等,所以动点(x,y)的轨迹是抛物线.
答案:D
11.已知F1,F2为双曲线=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为( )
A.+4 B.-4
C.-2 D.+2
解析:如图,连接AF1,PF1,PF1交双曲线右支于点A0.
∵|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2,
∴要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值.
当A在A0时,|AP|+|AF1|=|PF1|最小,最小值为.
∴|AP|+|AF2|的最小值为-2.故选C.
答案:C
12.
导学号90074108如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论错误的是 ( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
解析:∵AC⊥平面BB1D1D,又BE?平面BB1D1D,
∴AC⊥BE,故A正确.
∵B1D1∥平面ABCD,
又E,F在B1D1上运动,
∴EF∥平面ABCD,故B正确.
由于点B到直线B1D1的距离不变,故△BEF的面积为定值.
又点A到平面BEF的距离为,故VA-BEF为定值.故C正确.
当点E在D1处,F为D1B1的中点时,建立空间直角坐标系,如图,可得A(1,1,0),B(0,1,0),E(1,0,1),F,
∴=(0,-1,1),,
∴,||=,||=,
∴cos<>=,
∴AE与BF成30°角.
当E为D1B1中点,F在B1处时,E,F(0,1,1),
∴=(0,0,1),
∴=1,||=,||=1,
∴cos<>=.故选D.
答案:D
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知p:<0,q:x2-4x-5<0,若p且q为假命题,则x的取值范围是 .?
解析:p为真时,x<3;q为真时,-1∵“p且q”为假命题,
∴p,q中至少有一个为假命题,
∴x≥3或x≤-1.
答案:(-∞,-1]∪[3,+∞)
14.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为 .?
解析:由已知得=2,所以b=2a.
在y=2x+10中令y=0,得x=-5,故c=5,
从而a2+b2=5a2=c2=25,
所以a2=5,b2=20,
所以双曲线的方程为=1.
答案:=1
15.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c共面,则λ= .?
解析:易知a与b不共线,由共面向量定理可知,要使a,b,c共面,则必存在实数x,y,使得c=xa+yb,即解得
答案:
16.导学号90074109已知F1,F2为椭圆=1的左、右焦点,M为椭圆上一点,且△MF1F2内切圆的周长等于3π,若满足条件的点M恰好有2个,则a2= .?
解析:由题意得△MF1F2内切圆的半径等于,因此△MF1F2的面积为×(2a+2c)=,即×|yM|×2c,因为满足条件的点M恰好有2个,所以M为椭圆与y轴的交点,即|yM|=4,所以3a=5c,而a2-c2=16,所以a2=25.
答案:25
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(满分10分)已知p:方程=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆;q:实数t满足不等式t2-(a-1)t-a<0.
(1)若p为真命题,求实数t的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
解(1)∵方程=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆,
∴3-t>t+1>0.解得-1即实数t的取值范围为{t|-1(2)∵p是q的充分不必要条件,
∴-1方法一:∵方程t2-(a-1)t-a=0两根为-1,a,
故只需a>1.
方法二:令f(t)=t2-(a-1)t-a,
∵f(-1)=0,故只需f(1)<0,解得a>1,
∴a的取值范围为{a|a>1}.
18.
(满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求的长;
(2)求cos<>的值;
(3)求证:A1B⊥C1M.
解如图,建立空间直角坐标系C-xyz,
(1)依题意,得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴||=.
(2)依题意,得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴=(1,-1,2),=(0,1,2),=3,||=,||=,
∴cos<>=.
(3)证明:依题意,得C1(0,0,2),M=(-1,1,-2),,
∴=-+0=0,
∴,∴A1B⊥C1M.
19.(满分12分)已知双曲线的方程为2x2-y2=2.
(1)求以点A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;
(2)过点B(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于Q1,Q2两点,且点B是弦Q1Q2的中点?如果存在,求出直线l的方程;如果不存在,请说明理由.
解(1)设以点A(2,1)为中点的弦的两端点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则有x1+x2=4,y1+y2=2,x1≠x2.
由P1,P2在双曲线上,得2=2,2=2,
两式相减,得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.
则2×4(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即=4,
故中点弦所在的直线方程为y-1=4(x-2),即4x-y-7=0.
(2)假设直线l存在,可利用(1)中的方法求出直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
联立方程,得
消去y,得2x2-4x+3=0,
∵Δ=16-24=-8<0,∴方程无实根.
因此以B为中点的弦所在直线l是不存在的.
20.(满分12分)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.
(1)求p的值;
(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.
解(1)由题意可得,抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.
(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.
因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),
由消去x,得y2-4sy-4=0,
故y1y2=-4,所以B.
又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.
从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-,所以N.
设M(m,0),由A,M,N三点共线,得,
于是m=.
所以m<0或m>2.
经检验,m<0或m>2满足题意.
综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
21.(满分12分)
如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求平面QBP与平面BPC所成角的余弦值.
(1)证明如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz.
设DA=1,则D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).
∴=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0).
∴=0,=0,
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC,
又DQ∩DC=D,∴PQ⊥平面DCQ.
又PQ?平面PQC,∴平面PQC⊥平面DCQ.
(2)解由题意得B(1,0,1),
∴=(1,0,0),=(-1,2,-1).
设n=(x,y,z)是平面PBC的法向量,则因此可取平面PBC的一个法向量为n=(0,-1,-2).
同理可得平面BPQ的一个法向量为m=(1,1,1).
∴cos==-.
故平面QBP与平面BPC所成角的余弦值为.
22.导学号90074110(满分12分)已知椭圆C1:=1(a>b≥1)的离心率为,其右焦点到直线2ax+by-=0的距离为.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)过点P的直线l交椭圆C1于A,B两点.
①证明:线段AB的中点G恒在椭圆C2:=1的内部;
②判断以AB为直径的圆是否恒过定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
(1)解∵e=,∴a=c.
又∵a2=b2+c2,∴c=b.
∵右焦点(c,0)到直线2ax+by-=0的距离为.
整理,得|2b2-1|=b,解得b=1或.
∵a>b≥1,∴b=1,a2=2.
故椭圆C1的方程为+y2=1.
(2)①证明椭圆C2的方程为+x2=1,
当直线l垂直于x轴时,线段AB的中点为原点,显然在C2内;
当直线l不垂直于x轴时,设直线方程为y=kx-,代入+y2=1,
并整理,得(1+2k2)x2-kx-=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
∴y1+y2=k(x1+x2)-=-,
∴G.
∵<1恒成立,
∴点G恒在椭圆C2内部.
②解当AB⊥x轴时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1;
当AB⊥y轴时,以AB为直径的圆的方程为x2+,
由可得
由此可知:若以AB为直径的圆恒过定点,则该定点必为Q(0,1),
下面证点Q(0,1)符合题意.
由①知,x1+x2=,x1·x2=-,
∴=(x1,y1-1)·(x2,y2-1)
=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=x1x2+
=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+
=k·
==0,
故,即点Q(0,1)在以AB为直径的圆上.
综上,以AB为直径的圆恒过定点(0,1).
2
