2019-2020学年华师大版七年级数学上册《第5章 相交线与平行线》单元测试卷（解析版）

2020年华师大版七年级数学上册《第5章 相交线与平行线》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．观察下面的图形，并阅读图形下面的相关文字：

像这样，12条直线相交，最多交点的个数是（　　）
A．50个 B．55个 C．65个 D．66个
2．如图所示，直线AB，CD，EF，MN，GH相交于点O，则图中对顶角共有（　　）

A．3对 B．6对 C．12对 D．20对
3．用3根火柴棒最多能拼出（　　）
A．4个直角 B．8个直角 C．12个直角 D．16个直角
4．如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　）

A． B．
C． D．
5．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则点B到直线CD的距离是指（　　）

A．线段BC的长度 B．线段CD的长度
C．线段AD的长度 D．线段BD的长度
6．如图所示，同位角共有（　　）

A．6对 B．8对 C．10对 D．12对
7．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．下列说法错误的个数是（　　）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（　　）
A．平行 B．垂直 C．共线 D．平行或共线
10．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（　　）

A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90°
C．∠ABE+3∠D＝180° D．∠ABE＝2∠D
11．已知：如图，点E、F分别在直线AB、CD上，点G、H在两直线之间，线段EF与GH相交于点O，且有∠AEF+∠CFE＝180°，∠AEF﹣∠1＝∠2，则在图中相等的角共有（　　）

A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
12．直线a，b，c互相平行，已知a与b的距离为5，b与c的距离为2，则a与c的距离为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．3或7
二．填空题（共8小题）
13．观察图形，并阅读相关的文字，回答：如有9条直线相交，最多有交点　 　．

14．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为　 　．
15．已知点A、B到直线l的距离分别为4与6，O是线段AB的中点，那么点O到直线l的距离是　 　．
16．两条直线被第三条直线所截，∠2是∠3的同旁内角，∠1是∠3的内错角，若∠2＝4∠3，∠3＝2∠1，则∠1的度数是　 　．
17．如图，共有　 　组平行线段．

18．如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上．
理由是：　 　．

19．如图，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠5；④∠B+∠BAD＝180°．其中能得到AB∥CD的是　 　（填写编号）．

20．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为　 　．

三．解答题（共8小题）
21．下列各图中，直线都交于一点，请探究交于一点的直线的条数与所形成的对顶角的对数之间的规律．

（1）请观察上图并填写下表
交于一点的直线的条数 2 3 4
对顶角的对数 　 　 　 　 　 　
（2）若n条直线交于一点，则共有　 　对对顶角（用含n的代数式表示）
（3）当100条直线交于一点时，则共有　 　对对顶角．
22．已知直线a、b、c两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝40°，求∠4．

23．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线OF⊥CD，OG⊥OE，∠BOD＝52°．
（1）求∠AOF的度数；
（2）∠EOF与∠BOG是否相等呢？请说明理由；
（3）直接写出图中∠AOE的所有余角．

24．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线．
（1）试说明：∠AOC＝∠BOD；
（2）若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．

25．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理．

26．（原创题）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？

27．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）①若∠DCB＝45°，则∠ACB的度数为　 　．
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为　 　．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．

28．根据要求完成下列填空：
如图，直线AB，CD被EF所截，若已知∠1＝∠2，
说明AB∥CD的理由．
∵∠2＝∠3 （　 　），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠　 　＝∠　 　，
∴　 　∥　 　．（　 　）




2020年华师大版七年级数学上册《第5章 相交线与平行线》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．观察下面的图形，并阅读图形下面的相关文字：

像这样，12条直线相交，最多交点的个数是（　　）
A．50个 B．55个 C．65个 D．66个
【分析】根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，故可猜想，n条直线相交最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点．
【解答】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，
而3＝×2×3，6＝×3×4，10＝1+2+3+4＝×4×5，
∴n条直线相交最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点，
∴当n＝12时， n（n﹣1）＝×12×11＝66．
故选：D．
【点评】此题主要考查了图形变化类，此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．
2．如图所示，直线AB，CD，EF，MN，GH相交于点O，则图中对顶角共有（　　）

A．3对 B．6对 C．12对 D．20对
【分析】n条不同直线相交于一点，可以得到n（n﹣1）对对顶角，依据规律可得结果．
【解答】解：2条直线交于一点，对顶角有2对，2＝2×1；
3条直线交于一点，对顶角有6对，6＝3×2；
4条直线交于一点，对顶角有12对，12＝4×3；
由规律可得，n条不同直线相交于一点，可以得到n（n﹣1）对对顶角，
∴直线AB，CD，EF，MN，GH相交于点O，对顶角共有5×4＝20对，
故选：D．
【点评】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．
3．用3根火柴棒最多能拼出（　　）
A．4个直角 B．8个直角 C．12个直角 D．16个直角
【分析】当3根火柴棒有公共交点且两两垂直时，可拼出“三线十二角”，十二个角都是直角．
【解答】解：如图所示，

当3根火柴棒有公共交点且两两垂直时（是立体图形）图中说的是AB，CD，EF三条火柴棒，
可构成12个直角（∠AOC，∠BOC，∠COE，∠COF，∠AOD，∠BOD，∠DOF，∠DOE，∠AOF，∠BOF，∠AOE，∠BOE）．
故选：C．
【点评】注意：本题容易忽略空间中的情况，是易错题．本题锻炼了学生思维的严密性和动手操作能力．
4．如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：

故选：B．
【点评】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
5．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则点B到直线CD的距离是指（　　）

A．线段BC的长度 B．线段CD的长度
C．线段AD的长度 D．线段BD的长度
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义解答即可．
【解答】解：∵BD⊥CD于D，
∴点B到直线CD的距离是指线段BD的长度．
故选：D．
【点评】本题考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．
6．如图所示，同位角共有（　　）

A．6对 B．8对 C．10对 D．12对
【分析】在基本图形“三线八角”中有四对同位角，再看增加射线GM、HN后，增加了多少对同位角，求总和．
【解答】解：如图，由AB、CD、EF组成的“三线八角”中同位角有四对，
射线GM和直线CD被直线EF所截，形成2对同位角；
射线GM和直线HN被直线EF所截，形成2对同位角；
射线HN和直线AB被直线EF所截，形成2对同位角．
则总共10对．
故选：C．
【点评】本题主要考查同位角的概念．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．
7．下列语句中：①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据垂线、对顶角、平行线的定义、角相互间的关系、点与直线的关系进行判断．
【解答】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误；
②不相等的两个角一定不是对顶角，故②正确；
③在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故③错误；
④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等或互补，故④错误；
⑤不在同一直线上的四个点可画4或6条直线，故⑤错误；
⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故⑥正确．
所以错误的有4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查：平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要学会区分不同概念之间的联系和区别．
8．下列说法错误的个数是（　　）
①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行公理，点到直线的距离，可得答案．
【解答】解：①经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故②错误；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，故③错误；
④同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行公理，注意平行公理是在同一个平面内．
9．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（　　）
A．平行 B．垂直 C．共线 D．平行或共线
【分析】结合图形，由平行线的判断定理进行分析．
【解答】解：如图所示：

不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行或共线．
故选：D．
【点评】能够想到两个直角既相等，又互补这两种情况是解决本题的关键．同时要注意共线这种情况．
10．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，且BF∥DE，则∠ABE与∠D的关系是（　　）

A．∠ABE＝3∠D B．∠ABE+∠D＝90°
C．∠ABE+3∠D＝180° D．∠ABE＝2∠D
【分析】延长DE交AB的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠G，再根据两直线平行，同位角相等可得∠G＝∠ABF，然后根据角平分线的定义解答．
【解答】证明：如图，延长DE交AB的延长线于G，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠G，
∵BF∥DE，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠D＝∠ABF，
∵BF平分∠ABE，
∴∠ABE＝2∠ABF＝2∠D，即∠ABE＝2∠D．
故选：D．

【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
11．已知：如图，点E、F分别在直线AB、CD上，点G、H在两直线之间，线段EF与GH相交于点O，且有∠AEF+∠CFE＝180°，∠AEF﹣∠1＝∠2，则在图中相等的角共有（　　）

A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
【分析】依据∠AEF+∠CFE＝180°，即可得到AB∥CD，依据平行线的性质以及对顶角的性质，即可得到图中相等的角．
【解答】解：∵∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠AEF＝∠DFE，∠CFE＝∠BEF，
∵∠AEF﹣∠1＝∠2，∠AEF﹣∠1＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠2，
∴∠1＝∠EFH，∠BEG＝∠CFH，
∴GE∥FH，
∴∠G＝∠H，
又∵∠EOG＝∠FOH，∠EOH＝∠GOF，
∴图中相等的角共有8对，
故选：D．

【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
12．直线a，b，c互相平行，已知a与b的距离为5，b与c的距离为2，则a与c的距离为（　　）
A．3 B．5 C．7 D．3或7
【分析】根据a、b、c这三条平行直线的位置不同，结合两平行线间的距离的定义，得出结果．
【解答】解：分两种情况：
①当直线b在直线a与c之间时，如图．
a与c的距离为5+2＝7；

②当直线c在直线a与b之间时，如图．
a与c的距离为5﹣2＝3．

故选：D．
【点评】本题考查了两平行线间的距离的求法．得出a、b、c这三条平行直线的不同位置是解决此题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．观察图形，并阅读相关的文字，回答：如有9条直线相交，最多有交点　36　．

【分析】根据题意，结合图形可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点．
【解答】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，
而3＝×2×3，6＝×3×4，10＝1+2+3+4＝×4×5，
∴n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝n（n﹣1）个交点，
∴当n＝9时， n（n﹣1）＝×8×9＝36．
故答案为：36．
【点评】此题主要考查了相交线，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法．
14．如果两个角的两条边分别垂直，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，则这两个角的度数分别为　48°、132°或20°、20°．　．
【分析】分两种情况进行讨论，依据两个角的两条边分别垂直画出图形，而其中一个角比另一个角的4倍少60°，即可得到这两个角的度数．
【解答】解：如图，α+β＝180°，β＝4α﹣60°，

解得α＝48°，β＝132°；
如图，α＝β，β＝4α﹣60°，

解得α＝β＝20°；
综上所述，这两个角的度数分别为48°、132°或20°、20°．
故答案为：48°、132°或20°、20°．
【点评】本题考查了垂线，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．
15．已知点A、B到直线l的距离分别为4与6，O是线段AB的中点，那么点O到直线l的距离是　5或1　．
【分析】分两种情况进行讨论，由题意可得AB的中点到直线l的距离，是点A、B到直线l的距离之和的一半或点A、B到直线l的距离之差的一半．
【解答】解：如图一，作AD⊥l于D，BC⊥l于C，OF⊥l于F．
∵AD⊥l于D，BC⊥l，OF⊥l于F，
∴AD∥OF∥BC，
∴ABCD是直角梯形，
∵O是AB的中点，AD＝4，BC＝6，
∴DF＝CF，
∴OF＝（AD+BC）＝（4+6）＝5．

如图二，作AD⊥l于D，BC⊥l于C，OF⊥l于F．
∵AD⊥l于D，BC⊥l，OF⊥l于F，
∴AD∥OF∥BC，
连接DO并延长，交BC于G，则易得△AOD≌△BOG，
∴BG＝AD＝4，DO＝GO，
又∵BC＝6，
∴CG＝6﹣4＝2，
∵OF∥CG，
∴DF＝CF，
∴OF＝CG＝1，
故答案为：5或1．


【点评】此题主要考查点到直线的距离，梯形中位线以及三角形中位线的性质的运用，注意要根据题意画出两种不同的图，是解题的关键．
16．两条直线被第三条直线所截，∠2是∠3的同旁内角，∠1是∠3的内错角，若∠2＝4∠3，∠3＝2∠1，则∠1的度数是　20°　．
【分析】设∠1＝x°，则∠3＝2x°，∠2＝8x°，根据邻补角互补可得方程，求解即可．
【解答】解：如图，设∠1＝x°，则∠3＝2x°，∠2＝4∠3＝8x°，

∵∠1+∠2＝180°，
∴x°+8x°＝180°，
解得：x＝20，
∴∠1＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了同位角、内错角、同旁内角以及角的计算，解决问题的关键是掌握：内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
17．如图，共有　9　组平行线段．

【分析】先找出图中的平行线，再确定平行线段的组数．
【解答】解：图中的平行线段有AD∥EF；BD∥EF；DE∥FB；DE∥FC；DF∥AE；DF∥EC；DE∥BC；DF∥AC；EF∥AB．共有9对．
故答案为：9．
【点评】注意平行线与平行线段的区别与联系．
18．如图：PC∥AB，QC∥AB，则点P、C、Q在一条直线上．
理由是：　过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行　．

【分析】根据平行线公理的推理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，即可得出答案．
【解答】解：∵PC∥AB，QC∥AB，
∵PC和CQ都过点C，
∴P、C、Q在一条直线上（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行），
故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
【点评】本题考查了平行公理及推理的应用，能熟练地运用公理进行说理是解此题的关键，题型较好，难度适中．
19．如图，有下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠B＝∠5；④∠B+∠BAD＝180°．其中能得到AB∥CD的是　②③　（填写编号）．

【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC；
②∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
③∵∠B＝∠5，
∴AB∥DC；
④∵∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∴能够得到AB∥CD的条件是②③，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
20．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为　55°　．

【分析】先根据角平分线的定义，得出∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，再根据三角形内角和定理，推理得出∠BAD+∠BCD＝2∠E，进而求得∠E的度数．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，∠ADE＝∠CDE＝∠ADC，
∵∠ABE+∠BAD＝∠E+∠ADE，∠BCD+∠CDE＝∠E+∠CBE，
∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE，
∴∠BAD+∠BCD＝2∠E，
∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，
∴∠E＝（∠BAD+∠BCD）＝（70°+40°）＝55°．
故答案为：55°．

【点评】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
21．下列各图中，直线都交于一点，请探究交于一点的直线的条数与所形成的对顶角的对数之间的规律．

（1）请观察上图并填写下表
交于一点的直线的条数 2 3 4
对顶角的对数 　2　 　6　 　12　
（2）若n条直线交于一点，则共有　n（n﹣1）　对对顶角（用含n的代数式表示）
（3）当100条直线交于一点时，则共有　9900　对对顶角．
【分析】（1）根据对顶角的定义查出即可；先计算单个角是对顶角的情况，再计算两个角的复合角是对顶角的情况，然后相加即可得解；先计算单个角是对顶角的情况，再计算两个角的复合角是对顶角的情况，最后计算三个角的复合角是对顶角的情况，然后相加即可得解；
（2）根据计算写出规律即可；
（3）根据规律进行计算即可．
【解答】解：（1）由图可得，2条直线交于一点，则共有2对对顶角；3条直线交于一点，则共有6对对顶角；4条直线交于一点，则共有12对对顶角；
（2）依据规律可得，n条直线交于一点，则共有n（n﹣1）对对顶角；
（3）当n＝100时，n（n﹣1）＝100×99＝9900；
故答案为：2，6，12；n（n﹣1）；9900．
【点评】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的概念是解题的关键，确定对应角的对数时要从单个的角与复合角两个方面考虑．
22．已知直线a、b、c两两相交，∠1＝2∠3，∠2＝40°，求∠4．

【分析】根据对顶角相等可知∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据已知条件可知∠3的度数，即可得出∠3的度数．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝40°，∠1＝2∠3，
∴∠3＝20°，
∴∠3＝∠4＝20°，
故答案为20°．
【点评】本题主要考查了对顶角相等的性质，学会转化是解答本题的关键．
23．如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线OF⊥CD，OG⊥OE，∠BOD＝52°．
（1）求∠AOF的度数；
（2）∠EOF与∠BOG是否相等呢？请说明理由；
（3）直接写出图中∠AOE的所有余角．

【分析】（1）直接利用垂直的定义结合对顶角的定义得出∠AOF的度数；
（2）分别求出∠EOF与∠BOG的度数进而得出答案．
（3）依据OE是∠AOC的平分线，OF⊥CD，OG⊥OE，即可得到图中∠AOE的所有余角．
【解答】解：（1）∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
又∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝52°，
∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣52°＝38°；

（2）相等，
理由：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC＝∠BOD＝52°，
∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE＝∠AOC＝26°，
又∵OG⊥OE，
∴∠EOG＝90°，
∴∠BOG＝180°﹣∠AOE﹣∠EOG＝64°，
而∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝38°+26°＝64°，
∴∠EOF＝∠BOG．

（3）∵OE是∠AOC的平分线，
∴∠AOE＝∠COE＝26°，
又∵OF⊥CD，
∴∠EOF+∠COE＝90°，即∠EOF+∠AOE＝90°，
又∵OF⊥CD，OG⊥OE，
∴∠COG＝∠EOF，
∴∠COG+∠AOE＝90°，
∵∠BOG+∠AOE＝90°，∠COG+∠COE＝90°，∠AOE＝∠COE，
∴∠BOG＝∠COG，
∴∠BOG+∠AOE＝90°，
∴图中∠AOE的所有余角为∠EOF，∠COG，∠BOG．

【点评】此题主要考查了垂线的定义以及角平分线的定义和对顶角定义，正确把握相关定义是解题关键．
24．如图，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线．
（1）试说明：∠AOC＝∠BOD；
（2）若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数．

【分析】（1）根据余角的计算即可解题；
（2）根据余角的和为90°即可求得∠AOE的值．
【解答】解：（1）∵OA⊥OB，OC⊥OD，
∴∠AOB＝90°，∠COD＝90°，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，∠COD＝∠BOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD；
（2）∵∠BOD＝32°，
∴∠AOC＝32°，
∴∠AOE＝90°﹣32°＝58°．
【点评】本题考查了余角和为90°的性质，解决本题的关键是同角的余角相等．
25．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处开始挖渠才能使水渠的长度最短，请作出图形，并说明这样做依据的几何学原理．

【分析】从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段的性质，可得答案．
【解答】解：过点A作CD的垂线段AB，则AB的长度最短，依据为：垂线段最短，

【点评】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
26．（原创题）如图所示，在∠AOB内有一点P．
（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；
（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？

【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补．
【解答】解：（1）（2）如图所示，
（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．

【点评】注意∠2与∠O是互补关系，容易漏掉．
27．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）①若∠DCB＝45°，则∠ACB的度数为　135°　．
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为　40°　．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．

【分析】（1）①根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；②根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（2）根据∠ACE＝90°﹣∠DCE以及∠ACB＝∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（3）分2种情况进行讨论：当CB∥AD时，当EB∥AC时，分别求得∠ACE角度即可．
【解答】解：（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°
∴∠ACE＝45°
∵∠BCE＝90°
∴∠ACB＝90°+45°＝135°
故答案为：135°；
②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°
∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°
∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°
故答案为：40°；

（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°
理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE
又∵∠ACB＝∠ACE+90°
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE
即∠ACB+∠DCE＝180°；

（3）30°、45°．
理由：当CB∥AD时，∠ACE＝30°；
当EB∥AC时，∠ACE＝45°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
28．根据要求完成下列填空：
如图，直线AB，CD被EF所截，若已知∠1＝∠2，
说明AB∥CD的理由．
∵∠2＝∠3 （　对顶角相等　），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠　1　＝∠　3　，
∴　AB　∥　CD　．（　同位角相等，两直线平行　）

【分析】先根据对顶角相等，得出∠2＝∠3，再根据根据同位角相等，两直线平行，得AB∥CD．
【解答】解：∵∠2＝∠3，（对顶角相等）
又∵∠1＝∠2，（已知）
∴∠1＝∠3，
∴AB∥CD．（同位角相等，两直线平行）
故答案为：对顶角相等，1，3，AB，CD，同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与对顶角的性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行．