2019-2020学年北师大版七年级数学下册《第3章 变量之间的关系》单元测试卷（解析版）

2020年北师大版七年级数学下册《第3章 变量之间的关系》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系，下列说法不正确的是（　　）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 20 20.5 21 21.5 22 22.5
A．弹簧不挂重物时的长度为0cm
B．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
C．物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为23.5cm
2．在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S＝ah，当a为定长时，在此式中（　　）
A．S，h是变量，，a是常量 B．S，h，a是变量，是常量
C．S，h是变量，，S是常量 D．S是变量，，a，h是常量
3．一根弹簧原长12cm，它所挂的重量不超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，写出挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（　　）
A．y＝1.5（x+12）（0≤x≤10） B．y＝1.5x+12（0≤x≤10）
C．y＝1.5x+12（x≥0） D．y＝1.5（x﹣12）（0≤x≤10）
4．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y＝x+12 B．y＝﹣2x+24 C．y＝2x﹣24 D．y＝x﹣12
5．小强将一个球竖直向上抛起，球升到最高点，垂直下落，直到地面．在此过程中，球的高度与时间的关系可以用图中的哪一幅来近似地刻画（　　）
A． B．
C． D．
6．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（　　）

A．小丽从家到达公园共用时间20分钟
B．公园离小丽家的距离为2000米
C．小丽在便利店时间为15分钟
D．便利店离小丽家的距离为1000米
7．如图，D3081次六安至汉口动车在金寨境内匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　）

A． B．
C． D．
8．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
9．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：
鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180
设鸭的质量为x千克，烤制时间为t，估计当x＝3.2千克时，t的值为（　　）
A．140 B．138 C．148 D．160
10．下面说法中正确的是（　　）
A．两个变量间的关系只能用关系式表示
B．图象不能直观的表示两个变量间的数量关系
C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况
D．以上说法都不对
11．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
12．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算（未超过部分仍按每度电0.50元计算）．
现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
13．某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中　 　是自变量，　 　是因变量．
14．对于圆的周长公式c＝2πr，其中自变量是　 　，因变量是　 　．
15．汽车开始行驶时，油箱中有油40L，如果每小时耗油5L，则油箱内余油量y（L）与行驶时间x（h）的关系式为　 　．
16．某商店进了一批货，每件3元，出售时每件加价0.5元，如售出x件应收入货款y元，那么y（元）与x（件）的函数关系式是　 　．
17．甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑步1500米，当甲超出乙200米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙跑了　 　米．

18．甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过15小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当甲车到达B地时，乙车距A地　 　千米．

19．如图1，点E，F，G分别是等边三角形ABC三边AB，BC，CA上的动点，且始终保持AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象大致为图2所示，则等边三角形ABC的边长为　 　．

20．如图1，在等边三角形ABC中，点P为BC边上的任意一点，且∠APD＝60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，CD的长度为y，若y与x的函数关系的大致图象如图2，则等边三角形ABC的面积为　 　．

三．解答题（共8小题）
21．希望中学学生从2014年12月份开始每周喝营养牛奶，单价为2元/盒，总价y元随营养牛奶盒数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出表示函数与自变量关系的式子．
22．文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价为5元．该店制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折（总价的90%）付款．某班学生需购买8个书包、若干个文具盒（不少于8个），如果设文具盒个数为x（个），付款数为y（元）．
（1）分别求出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（2）购买文具盒多少个时，两种方案付款相同？
23．某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：
排数（x） 1 2 3 4 …
座位数（y） 50 53 56 59 …
（1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？
（2）写出座位数y与排数x之间的关系式；
（3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．
24．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的重量（kg）之间的关系如下表：
所挂物体的重量（kg） 0 1 2 3 4 5 6 7
弹簧的长度（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5
（1）当所挂物体的重量为3kg时，弹簧的长度是　 　cm；
（2）如果所挂物体的重量为xkg，弹簧的长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式；
（3）当所挂物体的重量为5.5kg时，请求出弹簧的长度．
（4）如果弹簧的最大伸长长度为20cm，则该弹簧最多能挂多重的物体？
25．星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．
（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？
（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？

26．某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是　 　，因变量是　 　；
（2）朱老师的速度为　 　米/秒；小明的速度为　 　米/秒；
（3）小明与朱老师相遇　 　次，相遇时距起点的距离分别为　 　米．

27．如图（1），在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，cosB＝．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图（2）中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．

（1）点Q的运动速度为　 　cm/s，点B的坐标为　 　；
（2）求曲线FG段的函数解析式；
（3）当t为何值时，△BPQ的面积是四边形OABC的面积的？
28．如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？




2020年北师大版七年级数学下册《第3章 变量之间的关系》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间有下面的关系，下列说法不正确的是（　　）
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 20 20.5 21 21.5 22 22.5
A．弹簧不挂重物时的长度为0cm
B．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
C．物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5cm
D．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为23.5cm
【分析】根据自变量、因变量的含义，以及弹簧的长度y （cm）与所挂的物体的质量x（kg）之间的关系逐一判断即可．
【解答】解：∵弹簧不挂重物时的长度为20cm，
∴选项A不正确；

∵x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量，
∴选项B正确；

∵20.5﹣20＝0.5（cm），21﹣20.5＝0.5（cm），21.5﹣21＝0.5（cm），22﹣21.5＝0.5（cm），22.5﹣22＝0.5（cm），
∴物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5cm，
∴选项C正确；

∵22.5+0.5×（7﹣5）
＝22.5+1
＝23.5（cm）
∴所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为23.5cm，
∴选项D正确．
故选：A．
【点评】此题主要考查了函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则x叫自变量，y叫因变量．
2．在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S＝ah，当a为定长时，在此式中（　　）
A．S，h是变量，，a是常量 B．S，h，a是变量，是常量
C．S，h是变量，，S是常量 D．S是变量，，a，h是常量
【分析】根据函数的定义：对于函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应；来解答即可．
【解答】解：∵三角形面积S＝ah，
∴当a为定长时，在此式中S、h是变量，
，a是常量；
故选：A．
【点评】函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y＝f（x）；变量是指在程序的运行过程中随时可以发生变化的量．
3．一根弹簧原长12cm，它所挂的重量不超过10kg，并且挂重1kg就伸长1.5cm，写出挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是（　　）
A．y＝1.5（x+12）（0≤x≤10） B．y＝1.5x+12（0≤x≤10）
C．y＝1.5x+12（x≥0） D．y＝1.5（x﹣12）（0≤x≤10）
【分析】根据函数的概念：函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，解答即可．
【解答】解：设挂重为x，则弹簧伸长为1.5x，
挂重后弹簧长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数关系式是：
y＝1.5x+12 （0≤x≤10）．
故选：B．
【点评】关键在于根据题意列出等式，然后再变形为要求的形式．
4．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的长方形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　）

A．y＝x+12 B．y＝﹣2x+24 C．y＝2x﹣24 D．y＝x﹣12
【分析】根据题意可得2y+x＝24，继而可得出y与x之间的函数关系式．
【解答】解：由题意得：2y+x＝24，
故可得：y＝﹣x+12（0＜x＜24）．
故选：A．
【点评】此题考查了根据实际问题列一次函数关系式的知识，属于基础题，解答本题关键是根据三边总长应恰好为24米，列出等式．
5．小强将一个球竖直向上抛起，球升到最高点，垂直下落，直到地面．在此过程中，球的高度与时间的关系可以用图中的哪一幅来近似地刻画（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据小球的运动过程进行分析即可．
【解答】解：因为是小强将一个球竖直向上抛，小强有一定的身高，故D一定不符合；小强抛出小球后，小球开始是向上运动的，故高度在增加，故A一定错误；小球升到一定高度后，会自由落下，高度就会降低，故B错误，C正确，
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数图象，关键是正确理解小球在抛出后事如何运动的．
6．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（　　）

A．小丽从家到达公园共用时间20分钟
B．公园离小丽家的距离为2000米
C．小丽在便利店时间为15分钟
D．便利店离小丽家的距离为1000米
【分析】根据图象信息即可解决问题．
【解答】解：A、小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；
B、公园离小丽家的距离为2000米，正确；
C、小丽在便利店时间为15﹣10＝5分钟，错误；
D、便利店离小丽家的距离为1000米，正确；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象，逐一分析四条说法的正误是解题的关键．
7．如图，D3081次六安至汉口动车在金寨境内匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．
【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，故反映到图象上应选A．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力．解题的关键是要知道本题是分段函数，分情况讨论y与x之间的函数关系．
8．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．
【解答】解：设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y∴
当C从D点运动到E点时，即0≤x≤2时，y＝×2×2﹣（2﹣x）×（2﹣x）＝﹣x2+2x．
当A从D点运动到E点时，即2＜x≤4时，y＝×[2﹣（x﹣2）]×[2﹣（x﹣2）]＝x2﹣4x+8，
∴y与x之间的函数关系由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．
故选：A．
【点评】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．
9．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：
鸭的质量/千克 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180
设鸭的质量为x千克，烤制时间为t，估计当x＝3.2千克时，t的值为（　　）
A．140 B．138 C．148 D．160
【分析】观察表格可知，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分钟，由此可判断烤制时间是烤鸭质量的一次函数，设烤制时间为t分钟，烤鸭的质量为x千克，t与x的一次函数关系式为：t＝kx+b，取（1，60），（2，100）代入，运用待定系数法求出函数关系式，再将x＝3.2千克代入即可求出烤制时间t．
【解答】解：从表中可以看出，烤鸭的质量每增加0.5千克，烤制的时间增加20分钟，由此可知烤制时间是烤鸭质量的一次函数．
设烤制时间为t分钟，烤鸭的质量为x千克，t与x的一次函数关系式为：t＝kx+b，
，
解得
所以t＝40x+20．
当x＝3.2千克时，t＝40×3.2+20＝148．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的运用．关键是根据题目的已知及图表条件得到相关的信息．
10．下面说法中正确的是（　　）
A．两个变量间的关系只能用关系式表示
B．图象不能直观的表示两个变量间的数量关系
C．借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况
D．以上说法都不对
【分析】表示函数的方法有三种：解析法、列表法和图象法．
【解答】解：A、两个变量间的关系只能用关系式表示，还能用列表法和图象法表示，故错误；
B、图象能直观的表示两个变量间的数量关系，故错误；
C、借助表格可以表示出因变量随自变量的变化情况，正确；
D、以上说法都不对，错误；
故选：C．
【点评】本题考查了函数的三种表示方法：解析法、列表法和图象法．要熟练掌握．
11．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：当a≥b时，max{a，b}＝a；当a＜b时，max{a，b}＝b；如：max{4，﹣2}＝4，max{3，3}＝3，若关于x的函数为y＝max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，
【解答】解：当x+3≥﹣x+1，
即：x≥﹣1时，y＝x+3，
∴当x＝﹣1时，ymin＝2，
当x+3＜﹣x+1，
即：x＜﹣1时，y＝﹣x+1，
∵x＜﹣1，
∴﹣x＞1，
∴﹣x+1＞2，
∴y＞2，
∴ymin＝2，
故选：B．
【点评】此题是分段函数题，主要考查了新定义，解本题的关键是分段．
12．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.80元/度计算（未超过部分仍按每度电0.50元计算）．
现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得解．
【解答】解：根据题意，当0≤x≤100时，y＝0.5x，
当x＞100时，y＝100×0.5+0.8（x﹣100），
＝50+0.8x﹣80，
＝0.8x﹣30，
所以，y与x的函数关系为y＝，
纵观各选项，只有C选项图形符合．
故选：C．
【点评】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中　销售量　是自变量，　销售收入　是因变量．
【分析】函数关系式中，某特定的数会随另一个（或另几个）会变动的数的变动而变动，就称为因变量，会变动的数为自变量．
【解答】解：根据题意知，公司的销售收入随销售量的变化而变化，
所以销售量是自变量，收入数为因变量．
故答案为：销售量，销售收入．
【点评】本题考查的是对函数定义中自变量和因变量的判定和对定义的理解．
14．对于圆的周长公式c＝2πr，其中自变量是　r　，因变量是　c　．
【分析】在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断．
【解答】解：自变量是r，因变量是c．
【点评】正确理解自变量与因变量的定义，是需要熟记的内容．
15．汽车开始行驶时，油箱中有油40L，如果每小时耗油5L，则油箱内余油量y（L）与行驶时间x（h）的关系式为　y＝40﹣5x　．
【分析】直接利用汽车耗油量结合油箱的容积，进而得出油箱内余油量y（L）与行驶时间x（h）的关系式．
【解答】解：由题意可得：y＝40﹣5x．
故答案为：y＝40﹣5x．
【点评】此题主要考查了函数关系式，根据汽车耗油量得出函数关系式是解题关键．
16．某商店进了一批货，每件3元，出售时每件加价0.5元，如售出x件应收入货款y元，那么y（元）与x（件）的函数关系式是　y＝3.5x　．
【分析】根据总价＝单价×数量，单价为（3+0.5）元．
【解答】解：依题意有：y＝（3+0.5）x＝3.5x．
故y与x的函数关系式是：y＝3.5x．
故答案为y＝3.5x．
【点评】本题主要考查了列函数关系式．根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
17．甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑步1500米，当甲超出乙200米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙跑了　1450　米．

【分析】根据“速度＝路程÷时间”结合函数图象即可算出乙的速度，再根据“甲的速度＝乙的速度+两者速度差”即可求出甲的速度，进而即可求出甲、乙会合地离起点的距离，结合总路程及二者的速度即可得出甲到终点时，乙离起点的距离，此题得解．
【解答】解：乙的速度为：1500÷600＝2.5（米/秒），
甲的速度为：2.5+200÷400＝3（米/秒），
甲、乙会合地离起点的距离为：400×3＝1200（米），
甲到达终点时，乙离起点的距离为：1200+（1500﹣1200）÷3×2.5＝1450（米）．
故答案为：1450．
【点评】本题考查了函数的图象，熟练掌握数量关系“路程＝速度×时间”是解题的关键．
18．甲、乙两车分别从A，B两地同时相向匀速行驶，当乙车到达A地后，继续保持原速向远离B的方向行驶，而甲车到达B地后立即掉头，并保持原速与乙车同向行驶，经过15小时后两车同时到达距A地300千米的C地（中途休息时间忽略不计）．设两车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），y与x之间的函数关系如图所示，则当甲车到达B地时，乙车距A地　100　千米．

【分析】当x＝0时，y＝300，故此可得到AB两地的距离为300，3小时后两车相遇，从而可求得两车的速度之和，然后依据5小时后两车的距离最大，可知甲车到达B地用5小时，从而可乙车的速度，由图象可知甲车到达B地的时间，从而知道乙车5小时行驶的路程，继而得出答案．
【解答】解：由图象可得：当x＝0时，y＝300，
∴AB＝300千米．
∴甲车的速度＝300÷5＝60千米/小时，
又∵300÷3＝100千米/小时，
∴乙车的速度＝100﹣60＝40千米/小时．
由图象可知当x＝5时，甲车到达B地，
此时乙车行驶的路程为5×40＝200（千米），
∴乙车距离A地100千米，
故答案为：100．
【点评】本题以行程问题为背景的函数图象的应用，解决问题的关键是根据函数图象理解题意，求得两车的速度．
19．如图1，点E，F，G分别是等边三角形ABC三边AB，BC，CA上的动点，且始终保持AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象大致为图2所示，则等边三角形ABC的边长为　2　．

【分析】设出等边三角形ABC边长和BE的长，表示等边三角形ABC的面积，讨论最值即可．
【解答】解：设等边三角形ABC边长为a，则可知等边三角形ABC的面积为
设BE＝x，则BF＝a﹣x
S△BEF＝
易证△BEF≌△AGE≌△CFG
y＝﹣3（）＝
当x＝时，△EFG的面积为最小．
此时，等边△EFG的面积为，则边长为1
EF是等边三角形ABC的中位线，则AC＝2
故答案为：2
【点评】本题是动点函数图象问题，考查了等边三角形的性质及判断．解答时要注意通过设出未知量构造数学模型．
20．如图1，在等边三角形ABC中，点P为BC边上的任意一点，且∠APD＝60°，PD交AC于点D，设线段PB的长度为x，CD的长度为y，若y与x的函数关系的大致图象如图2，则等边三角形ABC的面积为　16　．

【分析】设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质和相似三角形的性质、以及二次函数的最值，即可确定CD取得最大值时等边三角形的边长，进而得到△ABC的面积．
【解答】解：由题可得，∠APD＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
设AB＝a，则，
∴y＝，
当x＝时，y取得最大值2，
即P为BC中点时，CD的最大值为2，
∴此时∠APB＝∠PDC＝90°，∠CPD＝30°，
∴PC＝BP＝4，
∴等边三角形的边长为8，
∴根据等边三角形的性质，可得S＝×82＝16．
故答案为：16．

【点评】本题主要考查的是动点问题的函数图象，灵活运用等边三角形的性质和二次函数图象的对称性是解题的关键．解题时需要深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义．
三．解答题（共8小题）
21．希望中学学生从2014年12月份开始每周喝营养牛奶，单价为2元/盒，总价y元随营养牛奶盒数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出表示函数与自变量关系的式子．
【分析】根据总价＝单价×数量，可得函数关系式．
【解答】解：由题意得：
y＝2x，
常量是2，变量是x、y，
x是自变量，y是x的函数．
【点评】主要考查了常量与变量．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
22．文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价为5元．该店制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折（总价的90%）付款．某班学生需购买8个书包、若干个文具盒（不少于8个），如果设文具盒个数为x（个），付款数为y（元）．
（1）分别求出两种优惠方案中y与x之间的关系式；
（2）购买文具盒多少个时，两种方案付款相同？
【分析】（1）根据题意结合买一个书包赠送一个文具盒，表示出购买费用；根据题意结合按总价的9折（总价的90%）付款，表示出购买费用；
（2）分别求出两种方案的总费用，进而得出答案．
【解答】解：（1）方案①：y1＝30×8+5（x﹣8）＝200+5x；
方案②：y2＝（30×8+5x）×90%＝216+4.5x；

（2）由题意可得：y1＝y2，即200+5x＝216+4.5x，
解得：x＝32，
答：购买文具盒32个时，两种方案付款相同．
【点评】此题主要考查了函数关系以及函数值，正确得出函数关系是解题关键．
23．某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：
排数（x） 1 2 3 4 …
座位数（y） 50 53 56 59 …
（1）按照上表所示的规律，当x每增加1时，y如何变化？
（2）写出座位数y与排数x之间的关系式；
（3）按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由．
【分析】（1）根据表格中数据直接得出y的变化情况；
（2）根据x，y的变化规律得出y与x的函数关系；
（3）利用（2）中所求，将y＝90代入分析即可．
【解答】解：（1）由图表中数据可得：当x每增加1时，y增加3；

（2）由题意可得：y＝50+3（x﹣1）＝3x+47；

（3）某一排不可能有90个座位，
理由：由题意可得：y＝3x+47＝90，
解得：x＝．
故x不是整数，则某一排不可能有90个座位．
【点评】此题主要考查了函数关系，正确得出y与x的函数关系式是解题关键．
24．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的重量（kg）之间的关系如下表：
所挂物体的重量（kg） 0 1 2 3 4 5 6 7
弹簧的长度（cm） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5
（1）当所挂物体的重量为3kg时，弹簧的长度是　13.5　cm；
（2）如果所挂物体的重量为xkg，弹簧的长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式；
（3）当所挂物体的重量为5.5kg时，请求出弹簧的长度．
（4）如果弹簧的最大伸长长度为20cm，则该弹簧最多能挂多重的物体？
【分析】（1）由表可知，当物体的重量为3kg时，弹簧的长度是13.5cm；
（2）由表中的数据可知，x＝0时，y＝12，并且每增加1千克的重量，长度增加0.5cm，所以y＝0.5x+12；
（3）令x＝5.5，代入函数解析式，求出y的值即可；
（4）令y＝20，代入函数解析式，求出x的值即可．
【解答】解：（1）物体的重量为3kg时，弹簧的长度是13.5cm．
故答案为13.5；

（2）根据上表可知y与x的关系式是：y＝12+0.5x；

（3）当x＝5.5时，y＝12+0.5×5.5＝14.75cm；

（4）当y＝20时，得20＝12+0.5x，解之得x＝16千克．
【点评】本题考查了函数关系式，做题时需仔细分析表中的数据，进而解决问题，关键是写出解析式．
25．星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．
（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？
（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？
（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？

【分析】（1）利用图中的点的横坐标表示时间，纵坐标表示离家的距离，进而得出答案；
（2）休息是路程不在随时间的增加而增加；
（3）往返全程中回来时候速度最快，用距离除以所用时间即可；
（4）用玲玲全称所行的路程除以所用的时间即可．
【解答】解：观察图象可知：（1）玲玲到达离家最远的地方是在12时，此时离家30千米；
（2）10点半时开始第一次休息；休息了半小时；
（3）玲玲郊游过程中，各时间段的速度分别为：
9～10时，速度为10÷（10﹣9）＝10千米/时；
10～10.5时，速度约为（17.5﹣10）÷（10.5﹣10）＝15千米/小时；
10.5～11时，速度为0；
11～12时，速度为（30﹣17.5）÷（12﹣11）＝12.5千米/小时；
12～13时，速度为0；
13～15时，在返回的途中，速度为：30÷（15﹣13）＝15千米/小时；
可见骑行最快有两段时间：10～10.5时；13～15时．两段时间的速度都是15千米/小时．速度为：30÷（15﹣13）＝15千米/小时；
（4）玲玲全程骑车的平均速度为：（30+30）÷（15﹣9）＝10千米/小时．
【点评】本题是一道函数图象的基础题，解题的关键是通过仔细观察图象，从中整理出解题时所需的相关信息，因此本题实际上是考查同学们的识图能力．
26．某中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动朱老师先跑，当小明出发时，朱老师已经距起点200米了，他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示（不完整）．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）在上述变化过程中，自变量是　自变量为小明出发的时间t　，因变量是　因变量为距起点的距离s　；
（2）朱老师的速度为　2　米/秒；小明的速度为　6　米/秒；
（3）小明与朱老师相遇　2　次，相遇时距起点的距离分别为　300或420　米．

【分析】（1）观察函数图象即可找出谁是自变量谁是因变量；
（2）根据速度＝路程÷时间，即可分别算出朱老师以及小明的速度；
（3）根据函数图象即可得到结论．
【解答】解：（1）观察函数图象可得出：自变量为小明出发的时间t，因变量为距起点的距离s．
故答案为：小明出发的时间t；距起点的距离s．
（2）朱老师的速度为：（300﹣200）÷50＝2（米/秒）；
小明的速度为：300÷50＝6（米/秒）．
故答案为：2；6．
（3）小明与朱老师相遇2次，相遇时距起点的距离分别为300米或420米，
故答案为：300米或420米．
【点评】本题考查了一次函数的应用，观察函数图象找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
27．如图（1），在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，cosB＝．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图（2）中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．

（1）点Q的运动速度为　4　cm/s，点B的坐标为　（18，8）　；
（2）求曲线FG段的函数解析式；
（3）当t为何值时，△BPQ的面积是四边形OABC的面积的？
【分析】（1）结合函数图象得出当2秒时，BP＝2，此时△BPQ的面积为8cm2，进而求出AO为8cm，即可得出Q点的速度，进而求出AB的长即可；
（2）首先得出PB＝t，BQ＝30﹣4t，则QM＝（30﹣4t）＝24﹣t，利用S△PBQ＝t（24﹣t）求出即可；
（3）首先得出△BPQ的面积，进而得出F点坐标，进而得出直线EF解析式为：S＝4t，当S＝12时，求出t的值，再将S＝12代入S＝﹣t2+12t求出t的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得出：当2秒时，△BPQ的面积的函数关系式改变，则Q在AO上运动2秒，
当2秒时，BP＝2，此时△BPQ的面积为8cm2，
∴AO为8cm，
∴点Q的运动速度为：8÷2＝4（cm/s），
当运动到5秒时，函数关系式改变，则CO＝12cm，
∵cosB＝，∴可求出AB＝6+12＝18（cm），
∴B（18，8）；
故答案为：4，（18，8）；

（2）如图（1）：PB＝t，BQ＝30﹣4t，
过点Q作QM⊥AB于点M，
则QM＝（30﹣4t）＝24﹣t，
∴S△PBQ＝t（24﹣t）＝﹣t2+12t（5≤t≤7.5），
即曲线FG段的函数解析式为：S＝﹣t2+12t；

（3）∵S梯形OABC＝（12+18）×8＝120，
∴S＝×120＝12，
当t＞2时，F（5，20），
∴直线EF解析式为：S＝4t，当S＝12时，4t＝12，解得：t＝3，
将S＝12代入S＝﹣t2+12t，解得：t＝，
∵5≤t≤7.5，故t＝，
综上所述：t＝3或t＝，△BPQ的面积是四边形OABC的面积的．

【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
28．如图1，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，点P从A出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒1cm、2cm，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒2cm、cm（P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止），如图2是△APD的面积s（cm2）和运动时间x（秒）的图象．
（1）求出a值；
（2）设点P已行的路程为y1（cm），点Q还剩的路程为y2（cm），请分别求出改变速度后，y1、y2和运动时间x（秒）的关系式；
（3）求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P、Q两点相距3cm？

【分析】（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a；
（2）P、Q两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒．
（3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．
【解答】解：（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，则a秒时，点P在AB上．

∴AP＝6
则a＝6
（2）由（1）6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1＝6+2（x﹣6）＝2x﹣6
∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm，点Q还剩的路程为y2＝34﹣12﹣＝
（3）当P、Q两点相遇前相距3cm时，
﹣（2x﹣6）＝3
解得x＝10
当P、Q两点相遇后相距3cm时
（2x﹣6）﹣（）＝3
解得x＝
∴当x＝10或时，P、Q两点相距3cm
【点评】本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x的连续性才能直接列出函数关系式．