2019-2020学年北师大版七年级数学下册《第5章 生活中的轴对称》单元测试卷（解析版）

2020年北师大版七年级数学下册《第5章 生活中的轴对称》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
2．若有三点A、B、C不在同一条直线上，点P满足PA＝PB＝PC，则平面内这样的点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．无法确定
3．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝18°，则∠GEF的度数是（　　）

A．108° B．100° C．90° D．80°
4．在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（　　）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
5．如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若DE＝5，BD＝3，则线段CE的长为（　　）

A．2 B．1 C．3 D．4
6．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　）

A．25° B．60° C．85° D．95°
7．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（　　）
（1）F，R，P，J，L，G，（　　）
（2）H，I，O，（　　）
（3）N，S，（　　）
（4）B，C，K，E，（　　）
（5）V，A，T，Y，W，U，（　　）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
8．如图，如果直线是多边形的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD的度数等于（　　）

A．60° B．50° C．40° D．70°
9．下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（　　）

A．2﹣ B． C．1﹣ D．2﹣
11．如图，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
12．如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（　　）

A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，BD＝7cm，则点D到AB的距离为　 　cm．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为24，BC＝10，则AB＝　 　．

15．等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为　 　cm．
16．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　 　．

17．如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入　 　号球袋．

18．如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A＝35°，∠BCO＝30°，那么∠AOB＝　 　度．

19．在“线段、圆、等边三角形、正方形、角”这五个图形中，对称轴最多的图形是　 　．
20．小南利用几何画板画图，探索结论，他先画∠MAN＝90°，在射线AM上取一点B，在射线AN上取一点C，连接BC，再作点A关于直线BC的对称点D，连接AD、BD，得到如图形，移动点C，小南发现：当AD＝BC时，∠ABD＝90°；请你继续探索；当2AD＝BC时，∠ABD的度数是　 　．

三．解答题（共8小题）
21．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB＝AC．
求证：AD平分∠BAC．

22．如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE＝BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．

23．如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．
（1）请观察AR与AQ，它们相等吗？并证明你的猜想．
（2）如图（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．

24．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）

25．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求：∠ACB的大小．

26．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 …
根据上表，猜想正n边形有　 　条对称轴．
27．如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）
（1）画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PA+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA﹣QB最大．

28．如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用三种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形．




2020年北师大版七年级数学下册《第5章 生活中的轴对称》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【分析】过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，根据题意可得CE＝CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
【解答】解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．

【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，全等三角形的判定定理SSS．
2．若有三点A、B、C不在同一条直线上，点P满足PA＝PB＝PC，则平面内这样的点P有（　　）
A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．无法确定
【分析】平面内不在同一条直线的三个点就组成一个三角形．到AB距离相等的点在AB的垂直平分线上，到BC距离相等的点在BC的垂直平分线上，到AC距离相等的点在AC的垂直平分线上，而三角形三边的垂直平分线交于一点．
【解答】解：到AB距离相等的点在AB的垂直平分线上，
到BC距离相等的点在BC的垂直平分线上，
到AC距离相等的点在AC的垂直平分线上，
而三角形三边的垂直平分线交于一点．
故选：A．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
3．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝18°，则∠GEF的度数是（　　）

A．108° B．100° C．90° D．80°
【分析】根据三角形内角和定理，三角形外角和内角的关系以及等腰三角形的性质，逐步推出∠GEF的度数．
【解答】解：∵∠A＝18°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∴∠ACB＝18°，
根据三角形外角和外角性质得出∠BCD＝108°，
∴∠CBD＝∠CDB＝×（180°﹣108°）＝36°，
∵∠ECD＝180°﹣∠BCD﹣∠ACB＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
∴∠ECD＝∠CED＝54°
∴∠CDE＝180°﹣54°×2＝72°，
∵∠EDF＝∠EFD＝180°﹣（∠CDB+∠CDE）＝72°，
∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝36°，
∴∠GEF＝180°﹣（∠CED+∠DEF）＝90°，
即∠GEF＝90°．
故选：C．
【点评】此类题考生应该注意的是三角形内角和定理的运用．
4．在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（　　）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
【分析】本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线．
【解答】解：在等边△ABC中，三条边上的高交于点O，
由于等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线，点O到三个顶点的距离相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，则点O是满足题中要求的点，
高与顶角的两条边成的锐角为30°，以点A为圆心，AB为半径，做圆，延长AO交圆于点E，
由于点E在对称轴AE上，有EC＝EB，AE＝AC＝AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，点E也是满足题中要求的点，
作AD⊥AE交圆于点D，则有AC＝AD，AD＝AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，点D也是满足题中要求的点，同理，作AF⊥AE交圆于点F，则点F也是满足题中要求的点；
同理，以点B为圆心，AB为半径，做圆，
以点C为圆心，AB为半径，做圆，都可以分别得到同样性质的三个点满足题中要求，
于是共有10个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．
故选：D．

【点评】本题容易找出三条边上的高交于点O，是满足题中要求的点，其它点容易漏掉，这样的点不一定是等腰三角形的顶角所在的点，也可以是底角所在的点，明白这点后，就要做圆来找到所要求的点．
5．如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若DE＝5，BD＝3，则线段CE的长为（　　）

A．2 B．1 C．3 D．4
【分析】根据角平分线的性质，可得∠DBO与∠OBC的关系，∠ECO与∠OCB的关系，根据两直线平行，可得∠DOB与∠OBC的关系，∠EOC与∠OCB的关系，根据等腰三角形的判定，可得BD与DO的关系，EO与EC的关系，可得答案．
【解答】解：OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB．
∵DE∥BC，
∴∠OBC＝∠DOB，∠EOC＝∠OCB．
∠DBO＝∠DOB，∠EOC＝∠ECO．
∴DB＝DO，EO＝EC，
DE＝DO+EO＝DB+EC，
∵DE＝5，BD＝3，
∴EC＝5﹣3＝2，
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证DB＝DO，OE＝EC，难度不大，是一道基础题．
6．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（　　）

A．25° B．60° C．85° D．95°
【分析】等边三角形的三个角都为60°，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
【解答】解：∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°．
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为60°，和三角形的外角的性质．
7．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D、M、Q、X、Z，请你按原规律补上，其顺序依次为（　　）
（1）F，R，P，J，L，G，（　　）
（2）H，I，O，（　　）
（3）N，S，（　　）
（4）B，C，K，E，（　　）
（5）V，A，T，Y，W，U，（　　）
A．Q，X，Z，M，D B．D，M，Q，Z，X C．Z，X，M，D，Q D．Q，X，Z，D，M
【分析】分析各组的对称性与字母D、M、Q、X、Z，的对称性，即可作出判断．
【解答】解：（1）不是对称图形，5个子母中不是对称图形的只有：Q，Z；
（2）有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是：X；
（3）是中心对称图形，则规律相同的是：Z；
（4）是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是：D；
（5）是轴对称图形，对称轴是竖直的直线，满足规律的是：M．
故各个空，顺序依次为：Q，X，Z，D，M．
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形的对称性，正确找到各组数的规律是解决本题的关键．
8．如图，如果直线是多边形的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD的度数等于（　　）

A．60° B．50° C．40° D．70°
【分析】根据轴对称图形的特点，且直线m把多边形ABCDE分成二个四边形，再根据四边形的内角和是360°，通过计算便可解决问题．
【解答】解：把AE与直线m的交点记作F，
∵在四边形ABCF中，∠A＝130°，∠B＝110°，且直线m是多边形的对称轴；
∴∠BCD＝2∠BCF＝2×（360°﹣130°﹣110°﹣90°）＝60°．
故选：A．
【点评】此题考查了轴对称图形和四边形的内角和，关键是根据轴对称图形的特点解答．
9．下列轴对称图形中，对称轴的数量小于3的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可．
【解答】解：A、有4条对称轴，故本选项不符合题意；
B、有6条对称轴，故本选项不符合题意；
C、有4条对称轴，故本选项不符合题意；
D、有2条对称轴，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1，还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的折痕D2017E2017到BC的距离记为h2018，若h1＝1，则h2018的值为（　　）

A．2﹣ B． C．1﹣ D．2﹣
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA＝DA'＝DB，从而可得∠ADA'＝2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'＝2∠ADE，可得∠ADE＝∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1＝2，求出h1＝2﹣1＝1，同理h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣，于是经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣，据此可得答案．
【解答】解：连接AA1．

由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA＝DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA＝DB，
∴DB＝DA1，
∴∠BA1D＝∠B，
∴∠ADA1＝2∠B，
又∵∠ADA1＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1＝2，
∴h1＝2﹣1＝1，
同理，h2＝2﹣，h3＝2﹣×＝2﹣
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn＝2﹣．
∴h2018＝2﹣，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，找出规律是解题的关键．
11．如图，在4×4正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从图中选一个涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么不符合条件的小正方形是（　　）

A．① B．② C．③ D．④
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：有3个使之成为轴对称图形分别为：②，③，④．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
12．如图，直线是一条河，A、B是两个新农村定居点．欲在l上的某点处修建一个水泵站，由水泵站直接向A、B两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D．
【点评】本题考查了最短问题、解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共8小题）
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝10cm，BD＝7cm，则点D到AB的距离为　3　cm．

【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离＝CD＝3．
【解答】解：∵BC＝10，BD＝7，
∴CD＝3．
由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为24，BC＝10，则AB＝　14　．

【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝BE，再根据△BCE的周长为24可得AC+BC＝24，进而得到AC的长，即可得到AB的长．
【解答】解：∵DE是AB的中垂线，
∴AE＝BE，
∵△BCE的周长为24，
∴BE+CE+BC＝24，
∴AC+BC＝24，
∵BC＝10，
∴AC﹣24﹣10＝14，
∵AB＝AC，
∴AB＝14，
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15．等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为　6或8　cm．
【分析】分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解．
【解答】解：①6cm是底边时，腰长＝（20﹣6）＝7cm，
此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，
能组成三角形，
②6cm是腰长时，底边＝20﹣6×2＝8cm，
此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm，
能组成三角形，
综上所述，底边长为6或8cm．
故答案为：6或8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
16．已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为　70°或40°或20°　．

【分析】分三种情形分别求解即可；
【解答】解：如图，有三种情形：

①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．
②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．
③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，
故答案为70°或40°或20°
【点评】本题考查等腰三角形的判定，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
17．如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入　1　号球袋．

【分析】由已知条件，按照反射的原理画图即可得出结论．
【解答】解：
如图，该球最后将落入1号球袋．

【点评】本题考查了轴对称的知识；按要求画出图形是正确解答本题的关键．
18．如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC是对称轴，∠A＝35°，∠BCO＝30°，那么∠AOB＝　130　度．

【分析】根据轴对称的性质可知，轴对称图形的两部分是全等的．
【解答】解：依题意有∠AOB＝2（∠A+∠ACO）＝2（∠A+∠BCO）＝130°．
【点评】主要考查了轴对称的性质．
轴对称的性质：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分；（2）对应线段相等，对应角相等．
19．在“线段、圆、等边三角形、正方形、角”这五个图形中，对称轴最多的图形是　圆　．
【分析】根据轴对称图形的概念求解：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：线段是轴对称图形，有2条对称轴；
圆是轴对称图形，有无数条对称轴；
等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴；
正方形是轴对称图形，有四条对称轴；
角是轴对称图形，有1条对称轴；
故在“线段、圆、等边三角形、正方形、角”这五个图形中，对称轴最多的图形是圆．
故答案为：圆．
【点评】此题主要考查了掌握轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．同时要熟记一些常见图形的对称轴条数．
20．小南利用几何画板画图，探索结论，他先画∠MAN＝90°，在射线AM上取一点B，在射线AN上取一点C，连接BC，再作点A关于直线BC的对称点D，连接AD、BD，得到如图形，移动点C，小南发现：当AD＝BC时，∠ABD＝90°；请你继续探索；当2AD＝BC时，∠ABD的度数是　30°或150°　．

【分析】分两种情况，取BC的中点E，连接AE，DE，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△ADE是等边三角形，进而依据轴对称的性质得出∠ABD的度数．
【解答】解：分两种情况：
如图，当AB＞AC时，取BC的中点E，连接AE，DE，

则AE＝DE＝BC，
即BC＝2AE＝2DE，
又∵BC＝2AD，
∴AD＝AE＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
又∵BC垂直平分AD，
∴∠AEC＝30°，
又∵BE＝AE，
∴∠ABC＝∠AEC＝15°，
∴∠ABD＝2∠ABC＝30°；
如图，当AB＜AC时，同理可得∠ACD＝30°，

又∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝150°，
故答案为：30°或150°．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质的运用，直角三角形斜边中线定理，等边三角形的判定和性质等知识，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三．解答题（共8小题）
21．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB＝AC．
求证：AD平分∠BAC．

【分析】连接BC，先证明△BCF≌△CBE，则BF＝CE，则Rt△BFD≌Rt△CED（AAS），所以DF＝DE，由角平分线的逆定理可得AD平分∠BAC．
【解答】解：方法一：连接BC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠CFB＝∠BEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BCF和△CBE中
∵
∴△BCF≌△CBE（AAS），
∴BF＝CE，
在△BFD和△CED中
∵，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF＝DE，
∴AD平分∠BAC．
方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE＝AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD＝∠EAD，所以AD平分∠BAC．

【点评】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．
22．如图，在△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE＝BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．

【分析】延长AE、BC交于点F．根据同角的余角相等，得∠DBC＝∠FAC；在△BCD和△ACF中，根据ASA证明全等，得AF＝BD，从而AE＝EF，根据线段垂直平分线的性质，得AB＝BF，再根据等腰三角形的三线合一即可证明．
【解答】证明：延长AE、BC交于点F．
∵AE⊥BE，
∴∠BEF＝90°，又∠ACF＝∠ACB＝90°，
∴∠DBC+∠AFC＝∠FAC+∠AFC＝90°，
∴∠DBC＝∠FAC，
在△ACF和△BCD中，

∴△ACF≌△BCD（ASA），
∴AF＝BD．
又AE＝BD，
∴AE＝AF＝EF，即点E是AF的中点．
∵BE⊥AF
∴DE是AF的垂直平分线
∴AB＝BF，
根据等腰三角形三线合一的性质可知：
BD是∠ABC的角平分线．

【点评】此题综合运用了全等三角形的判定以及性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．
23．如图（1），点P是等腰三角形ABC底边BC上的一动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．
（1）请观察AR与AQ，它们相等吗？并证明你的猜想．
（2）如图（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C，根据等角的余角相等求出∠BQP＝∠PRC，再根据对顶角相等可得∠BQP＝∠AQR，从而得到∠AQR＝∠PRC，然后根据等角对等边证明即可；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠C，再根据对顶角相等可得∠ABC＝∠PBQ，从而得到∠C＝∠PBQ，然后根据等角的余角相等求出∠Q＝∠R，最后根据等角对等边证明即可．
【解答】（1）解：AR＝AQ．
理由如下：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵PR⊥BC，
∴∠B+∠BQP＝90°，
∠C+∠PRC＝90°，
∴∠BQP＝∠PRC，
∵∠BQP＝∠AQR（对顶角相等），
∴∠AQR＝∠PRC，
∴AR＝AQ；

（2）AR＝AQ依然成立．
理由如下：如图，∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠ABC＝∠PBQ（对顶角相等），
∴∠C＝∠PBQ，
∵PR⊥BC，
∴∠R+∠C＝90°，
∠Q+∠PBQ＝90°，
∴∠Q＝∠R，
∴AR＝AQ．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等角的余角相等的性质，对顶角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
24．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）

【分析】过点D作DG∥AC交BC于点G，根据平行线的性质可得出∠GDF＝∠E、∠DGB＝∠ACB，结合DF＝EF以及∠DFG＝∠EFC可证出△GDF≌△CEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出GD＝CE，结合BD＝CE可得出BD＝GD，进而可得出∠B＝∠DGB＝∠ACB，由此即可证出△ABC是等腰三角形．
【解答】证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，根据△GDF≌△CEF找出GD＝CE＝BD是解题的关键．
25．如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC＝2PB，若∠ABC＝45°，∠APC＝60°，求：∠ACB的大小．

【分析】根据轴对称，角平分线和等边三角形的判定与性质，作C关于AP的对称点C′，连接AC′、BC′、PC′，求得BA平分∠C′BC，C′A平分∠MC′P，从而求得∠ACB的大小．
【解答】解：作C关于AP的对称点C′，
连接AC′、BC′、PC′，
则有PC′＝PC＝2PB，
∠APC′＝∠APC＝60°
可证△BC′P为直角三角形（延长PB到D，
使BD＝BP，则PD＝PC′，
又∠C′PB＝60°，
则△C′PD是等边三角形，
由三线合一性质有C′B⊥BP，∠C′BP＝90°，
因为∠ABC＝45°，所以∠C′BA＝45°＝∠ABC，
所以BA平分∠C′BC
所以A到BC′的距离＝A到BC的距离
又因为∠APC′＝∠APC，所以PA平分∠C′PC
所以A到PC′距离＝A到PC（即BC）的距离
所以A到BC′的距离＝A到PC′的距离
所以A是角平分线上的点，即C′A平分∠MC′P
所以∠AC′P＝∠MC′P＝75°＝∠ACB．

【点评】本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质和等边三角形的判定与性质，有一定难度，作出辅助线是本题的关键．
26．画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，
正多边形的边数 3 4 5 6 7 …
对称轴的条数 …
根据上表，猜想正n边形有　n　条对称轴．
【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
【解答】解：如图，

故填3，4，5，6，7，n．
【点评】正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，本题是一个基础题．
27．如图，在所给的网格图中，完成下列各题（用直尺画图，否则不给分）
（1）画出格点△ABC关于直线DE的对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使PA+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA﹣QB最大．

【分析】（1）分别作点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1；顺次连接A1、B1、C1所得的三角形即为所求．
（2）依据轴对称的性质，连接C1A（或A1C）与直线DE交于点P即可．
（3）根据QA﹣QB≤AB，即可得到QA﹣QB最大值为AB的长，据此延长AB交DE于点Q，点Q即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；


（2）如图，连接A1C交DE于点P，点P即为所求；

（3）延长AB交DE于点Q，点Q即为所求．
【点评】此题主要考查有关轴对称﹣最短路线的问题中的作图步骤，用到的知识点为：两点之间，线段最短．注意作图形变换这类题的关键是找到图形的对应点．
28．如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑．请你用三种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的性质可知，正方形的轴对称图形，是四边的垂直平分线，所以可以先找到正方形的对称轴，再在对称图形中找到相同的部分就是轴对称图形．
【解答】解：如图所示

【点评】本题主要考查了轴对称图形的性质，请注意，要画轴对称图形要先找到对称轴．