2020年湘教版七年级数学下册第2章整式的乘法单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年湘教版七年级数学下册第2章整式的乘法单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 209.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-20 16:23:23 | ||
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文档简介
2020年湘教版七年级数学下册《第2章 整式的乘法》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．计算：a2?a的结果是（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．2a2
2．比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433 B．433＜344＜255
C．255＜433＜344 D．344＜433＜255
3．计算（﹣a）3?（a2）3?（﹣a）2的结果正确的是（ ）
A．a11 B．﹣a11 C．﹣a10 D．a13
4．计算﹣2a（a2﹣1）的结果是（ ）
A．﹣2a3﹣2a B．﹣2a3+a C．﹣2a3+2a D．﹣a3+2a
5．若多项式（x+1）（x﹣3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别是（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
6．已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2＝（ ）
A．29 B．37 C．21 D．33
7．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．2ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
8．若4x2+axy+25y2是一个完全平方式，则a＝（ ）
A．20 B．﹣20 C．±20 D．±10
9．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣a﹣b）（a+b） B．（﹣a﹣b）（a﹣b）
C．（﹣a﹣b+c）（﹣a﹣b+c） D．（﹣a+b）（a﹣b）
10．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成为一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，可以验证的等式是（ ）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
11．下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．5x2?x3＝5x5
C．4x8÷2x2＝2x4 D．（﹣x3）2＝x5
12．下列计算中，正确的是（ ）
A．x3?x2＝x4 B．（x+y）（x﹣y）＝x2+y2
C．x（x﹣2）＝﹣2x+x2 D．3x3y2÷xy2＝3x4
二．填空题（共8小题）
13．已知：am＝3，an＝2，则，am+2n＝ ．
14．若2x＝4y﹣1，27y＝3x+1，则x﹣y＝ ．
15．光的速度每秒约3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒，则地球与太阳的距离约是 千米．
16．计算：x（x﹣2）＝
17．计算：（a+2b）（2a﹣4b）＝ ．
18．已知x2﹣3x+1＝0，则＝ ．
19．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝13，则阴影部分的面积为 ．
20．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 ．
三．解答题（共8小题）
21．若2?8n?16n＝222，求n的值．
22．（1）已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值；
（2）已知10α＝5，10β＝6，求102α+2β的值．
23．化简：（a+b）2﹣b（2a+b）．
24．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
25．观察下面各式规律：12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2…写出第n行的式子，并证明你的结论．
26．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝ ；
【方法2】S阴影＝ ；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．
27．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝ ；
（2）代数式为完全平方式，则k＝ ；
（3）解方程：＝6x2+7．
28．4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
2020年湘教版七年级数学下册《第2章 整式的乘法》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．计算：a2?a的结果是（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．2a2
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：a2?a＝a3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2．比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433 B．433＜344＜255
C．255＜433＜344 D．344＜433＜255
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．
【解答】解：255＝（25）11＝3211，
344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
∵32＜64＜81，
∴255＜433＜344．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．
3．计算（﹣a）3?（a2）3?（﹣a）2的结果正确的是（ ）
A．a11 B．﹣a11 C．﹣a10 D．a13
【分析】根据幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，计算后直接选取答案即可．
【解答】解：（﹣a）3?（a2）3?（﹣a）2＝﹣a3?a6?a2＝﹣a11．
故选：B．
【点评】本题考查了单项式的乘法的法则，幂的乘方的性质，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．
4．计算﹣2a（a2﹣1）的结果是（ ）
A．﹣2a3﹣2a B．﹣2a3+a C．﹣2a3+2a D．﹣a3+2a
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣2a3+2a，
故选：C．
【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．若多项式（x+1）（x﹣3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别是（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）＝x2+ax+b，
x2﹣2x﹣3＝x2+ax+b，
a＝﹣2，b＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键．
6．已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2＝（ ）
A．29 B．37 C．21 D．33
【分析】把a+b＝5两边平方，利用完全平方公式化简，把ab的值代入计算即可求出a2+b2的值；原式结合后，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：把a+b＝5两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，
将ab＝﹣4代入得：a2+b2＝33，
则a2﹣ab+b2＝33﹣（﹣4）＝37．
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．2ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．
8．若4x2+axy+25y2是一个完全平方式，则a＝（ ）
A．20 B．﹣20 C．±20 D．±10
【分析】根据这里首末两项是2x和5y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和5y乘积的2倍，即可得出a的值．
【解答】解：∵4x2+axy+25y2是一个完全平方式，
∴（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2，
∴a＝±20，
故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
9．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣a﹣b）（a+b） B．（﹣a﹣b）（a﹣b）
C．（﹣a﹣b+c）（﹣a﹣b+c） D．（﹣a+b）（a﹣b）
【分析】分别将四个选项变形，找到符合a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）的即可解答．
【解答】解：A、（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）（a+b），不符合平方差公式，故本选项错误；
B、（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣（a+b）（a﹣b）＝b2﹣a2，符合平方差公式，故本选项正确；
C、（﹣a﹣b+c）（﹣a﹣b+c）＝[c﹣（a+b）]2，不符合平方差公式，故本选项错误；
D、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b），不符合平方差公式，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，将算式适当变形是解题的关键．
10．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成为一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，可以验证的等式是（ ）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积＝a2﹣b2，而新形成的矩形是长为a+b，宽为a﹣b，根据两者相等，即可验证平方差公式．
【解答】解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【点评】此题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
11．下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．5x2?x3＝5x5
C．4x8÷2x2＝2x4 D．（﹣x3）2＝x5
【分析】根据单项式的乘法和除法法则，以及幂的乘方法则即可作出判断．
【解答】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；
B、正确；
C、4x8÷2x2＝2x6，选项错误；
D、（﹣x3）2＝x6，选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了单项式的乘法、除法以及幂的乘方，合并同类项法则，正确理解指数的计算是关键．
12．下列计算中，正确的是（ ）
A．x3?x2＝x4 B．（x+y）（x﹣y）＝x2+y2
C．x（x﹣2）＝﹣2x+x2 D．3x3y2÷xy2＝3x4
【分析】根据同底数幂的乘法、平方差公式、单项式乘以多项式、单项式除以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是x5，故本选项不符合题意；
B、结果是x2﹣y2，故本选项不符合题意；
C、结果是﹣2x+x2，故本选项符合题意；
D、结果是3x2，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、平方差公式、单项式乘以多项式、单项式除以单项式等知识点，能灵活运用知识点进行化简是解此题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．已知：am＝3，an＝2，则，am+2n＝ 12 ．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法的逆运算计算即可．
【解答】解：am+2n＝am?a2n＝3×4＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．
14．若2x＝4y﹣1，27y＝3x+1，则x﹣y＝ ﹣3 ．
【分析】根据2x＝4y﹣1，27y＝3x+1，可得2x＝22y﹣2，33y＝3x+1，所以；然后解二元一次方程，求出x、y的值各是多少，进而求出x﹣y的值是多少即可．
【解答】解：∵2x＝4y﹣1，27y＝3x+1，
∴2x＝22y﹣2，33y＝3x+1，
∴
解得
∴x﹣y＝（﹣4）﹣（﹣1）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．
（2）此题还考查了二元一次方程的求解方法，要熟练掌握．
15．光的速度每秒约3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒，则地球与太阳的距离约是 1.5×108 千米．
【分析】根据路程＝速度×时间，先列式表示地球到太阳的距离，再用科学记数法表示．
【解答】解：3×105×5×102＝15×107＝1.5×108千米．
故答案为：1.5×108．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．同时考查了同底数幂的乘法．
16．计算：x（x﹣2）＝ x2﹣2x
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x
故答案为：x2﹣2x
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
17．计算：（a+2b）（2a﹣4b）＝ 2a2﹣8b2 ．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．
【解答】解：（a+2b）（2a﹣4b）
＝2a2﹣4ab+4ab﹣8b2
＝2a2﹣8b2．
故答案为：2a2﹣8b2．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
18．已知x2﹣3x+1＝0，则＝ 7 ．
【分析】首先由x2﹣3x+1＝0，求得x+的值，然后由（x+）2＝x2++2，即可求得答案．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x+＝3，
∴（x+）2＝x2++2＝9，
∴x2+＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握（x+）2＝x2++2与整体思想的应用．
19．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝13，则阴影部分的面积为 5 ．
【分析】阴影部分面积可以用边长为a的正方形面积的一半减去底底（a﹣b），高为b的三角形的面积，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：
当a+b＝7，ab＝13时，S阴影＝a2﹣b（a﹣b）＝a2﹣ab+b2＝ [（a+b）2﹣2ab]﹣ab＝5．
故答案为：5
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解本题的关键．
20．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 7或﹣1 ．
【分析】根据已知完全平方式得出2（m﹣3）x＝±2?x?4，求出即可．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）x＝±2?x?4，
解得：m＝7或﹣1，
故答案为：7或﹣1．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的内容是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
三．解答题（共8小题）
21．若2?8n?16n＝222，求n的值．
【分析】把等号左边的数都能整理成以2为底数的幂相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后根据指数相等列式求解即可．
【解答】解：2?8n?16n，
＝2×23n×24n，
＝27n+1，
∵2?8n?16n＝222，
∴7n+1＝22，
解得n＝3．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
22．（1）已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值；
（2）已知10α＝5，10β＝6，求102α+2β的值．
【分析】（1）先根据同底数幂乘法运算的逆运算得出ax+y＝ax?ay＝25，根据ax＝5可得ay＝5，代入即可求解；
（2）将原式利用同底数幂乘法运算的逆运算进行变形为（10α）2?（10β）2，即可求解．
【解答】解：（1）∵ax+y＝ax?ay＝25，ax＝5，
∴ay＝5，
∴ax+ay＝5+5＝10；
（2）102α+2β＝（10α）2?（10β）2＝52×62＝900．
【点评】本题主要考查的是正数指数幂的你运算，掌握整数指数幂的运算公式是解题的关键．
23．化简：（a+b）2﹣b（2a+b）．
【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．进行求解即可．
【解答】解：原式＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2
＝a2．
【点评】本题考查了单项式乘多项式，解答本题的关键在于熟练掌握单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
24．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ a2﹣ab+b2 ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；
（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．
【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）
＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
＝a3+b3；
（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
＝x3+y3﹣（x3﹣y3）
＝2y3．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律．
25．观察下面各式规律：12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2…写出第n行的式子，并证明你的结论．
【分析】本题考查学生的观察归纳的能力．仔细观察各式的结构特征，不难发现式子的左侧是连续两整数及它们乘积的平方和，右侧是它们的乘积与1的和的平方．然后，证明结论．
【解答】解：第n个式子：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2，
证明：因为左边＝n2+[n（n+1）]2+（n+1）2，
＝n2+（n2+n）2+（n+1）2，
＝（n2+n）2+2n2+2n+1，
＝（n2+n）2+2（n2+n）+1，
＝（n2+n+1）2，
而右边＝（n2+n+1）2，
所以，左边＝右边，等式成立．
【点评】本题考查了完全平方公式，关键是凑成（n2+n）2+2（n2+n）+1的形式，考查了学生对完全平方公式的变形应用能力．
26．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 a﹣b ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝ （a﹣b）2 ；
【方法2】S阴影＝ （a+b）2﹣4ab ；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．
【分析】（1）观察图意直接得出正方形的边长是a﹣b；
（2）利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，或者直接利用（1）的条件求出小正方形的面积；
（3）把（2）中的两个代数式联立即可；
（4）类比（3）求出（x﹣y）2，再开方即可．
【解答】解：（1）a﹣b；
（2）方法1：S阴影＝（a﹣b）2，
方法2：S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
（3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）∵x+y＝10，xy＝16，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝102﹣4×16＝36，
∴x﹣y＝±6．
【点评】此题利用数形结合的思想，来研究完全平方式之间的联系，以及代数式求值的问题，属于基础题型．
27．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝ ﹣ ；
（2）代数式为完全平方式，则k＝ ±3 ；
（3）解方程：＝6x2+7．
【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；
（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解；
（3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）
＝[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]
＝﹣6÷4
＝﹣．
故答案为：﹣；
（2）
＝[x2+（3y）2]+xk?2y
＝x2+9y2+2kxy，
∵代数式为完全平方式，
∴2k＝±6，
解得k＝±3．
故答案为：±3；
（3）＝6x2+7，
（3x﹣2）（3x+2）]﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]＝6x2+7，
解得x＝﹣4．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
28．4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝4x2+8x+4﹣4x2+25＝8x+29．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
一．选择题（共12小题）
1．计算：a2?a的结果是（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．2a2
2．比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433 B．433＜344＜255
C．255＜433＜344 D．344＜433＜255
3．计算（﹣a）3?（a2）3?（﹣a）2的结果正确的是（ ）
A．a11 B．﹣a11 C．﹣a10 D．a13
4．计算﹣2a（a2﹣1）的结果是（ ）
A．﹣2a3﹣2a B．﹣2a3+a C．﹣2a3+2a D．﹣a3+2a
5．若多项式（x+1）（x﹣3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别是（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
6．已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2＝（ ）
A．29 B．37 C．21 D．33
7．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．2ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
8．若4x2+axy+25y2是一个完全平方式，则a＝（ ）
A．20 B．﹣20 C．±20 D．±10
9．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣a﹣b）（a+b） B．（﹣a﹣b）（a﹣b）
C．（﹣a﹣b+c）（﹣a﹣b+c） D．（﹣a+b）（a﹣b）
10．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成为一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，可以验证的等式是（ ）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
11．下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．5x2?x3＝5x5
C．4x8÷2x2＝2x4 D．（﹣x3）2＝x5
12．下列计算中，正确的是（ ）
A．x3?x2＝x4 B．（x+y）（x﹣y）＝x2+y2
C．x（x﹣2）＝﹣2x+x2 D．3x3y2÷xy2＝3x4
二．填空题（共8小题）
13．已知：am＝3，an＝2，则，am+2n＝ ．
14．若2x＝4y﹣1，27y＝3x+1，则x﹣y＝ ．
15．光的速度每秒约3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒，则地球与太阳的距离约是 千米．
16．计算：x（x﹣2）＝
17．计算：（a+2b）（2a﹣4b）＝ ．
18．已知x2﹣3x+1＝0，则＝ ．
19．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝13，则阴影部分的面积为 ．
20．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 ．
三．解答题（共8小题）
21．若2?8n?16n＝222，求n的值．
22．（1）已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值；
（2）已知10α＝5，10β＝6，求102α+2β的值．
23．化简：（a+b）2﹣b（2a+b）．
24．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
25．观察下面各式规律：12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2…写出第n行的式子，并证明你的结论．
26．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝ ；
【方法2】S阴影＝ ；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．
27．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝ ；
（2）代数式为完全平方式，则k＝ ；
（3）解方程：＝6x2+7．
28．4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
2020年湘教版七年级数学下册《第2章 整式的乘法》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．计算：a2?a的结果是（ ）
A．a B．a2 C．a3 D．2a2
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
【解答】解：a2?a＝a3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
2．比较255、344、433的大小（ ）
A．255＜344＜433 B．433＜344＜255
C．255＜433＜344 D．344＜433＜255
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．
【解答】解：255＝（25）11＝3211，
344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
∵32＜64＜81，
∴255＜433＜344．
故选：C．
【点评】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．
3．计算（﹣a）3?（a2）3?（﹣a）2的结果正确的是（ ）
A．a11 B．﹣a11 C．﹣a10 D．a13
【分析】根据幂的乘方的性质，单项式的乘法法则，计算后直接选取答案即可．
【解答】解：（﹣a）3?（a2）3?（﹣a）2＝﹣a3?a6?a2＝﹣a11．
故选：B．
【点评】本题考查了单项式的乘法的法则，幂的乘方的性质，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．
4．计算﹣2a（a2﹣1）的结果是（ ）
A．﹣2a3﹣2a B．﹣2a3+a C．﹣2a3+2a D．﹣a3+2a
【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣2a3+2a，
故选：C．
【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．若多项式（x+1）（x﹣3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别是（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）＝x2+ax+b，
x2﹣2x﹣3＝x2+ax+b，
a＝﹣2，b＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键．
6．已知a+b＝﹣5，ab＝﹣4，则a2﹣ab+b2＝（ ）
A．29 B．37 C．21 D．33
【分析】把a+b＝5两边平方，利用完全平方公式化简，把ab的值代入计算即可求出a2+b2的值；原式结合后，把各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：把a+b＝5两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25，
将ab＝﹣4代入得：a2+b2＝33，
则a2﹣ab+b2＝33﹣（﹣4）＝37．
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．2ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，
则面积是（a﹣b）2．
故选：C．
【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．
8．若4x2+axy+25y2是一个完全平方式，则a＝（ ）
A．20 B．﹣20 C．±20 D．±10
【分析】根据这里首末两项是2x和5y这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和5y乘积的2倍，即可得出a的值．
【解答】解：∵4x2+axy+25y2是一个完全平方式，
∴（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2，
∴a＝±20，
故选：C．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
9．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（﹣a﹣b）（a+b） B．（﹣a﹣b）（a﹣b）
C．（﹣a﹣b+c）（﹣a﹣b+c） D．（﹣a+b）（a﹣b）
【分析】分别将四个选项变形，找到符合a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）的即可解答．
【解答】解：A、（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）（a+b），不符合平方差公式，故本选项错误；
B、（﹣a﹣b）（a﹣b）＝﹣（a+b）（a﹣b）＝b2﹣a2，符合平方差公式，故本选项正确；
C、（﹣a﹣b+c）（﹣a﹣b+c）＝[c﹣（a+b）]2，不符合平方差公式，故本选项错误；
D、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b），不符合平方差公式，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式，将算式适当变形是解题的关键．
10．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成为一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，可以验证的等式是（ ）
A．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积＝a2﹣b2，而新形成的矩形是长为a+b，宽为a﹣b，根据两者相等，即可验证平方差公式．
【解答】解：由题意得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【点评】此题主要考查平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
11．下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xy B．5x2?x3＝5x5
C．4x8÷2x2＝2x4 D．（﹣x3）2＝x5
【分析】根据单项式的乘法和除法法则，以及幂的乘方法则即可作出判断．
【解答】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；
B、正确；
C、4x8÷2x2＝2x6，选项错误；
D、（﹣x3）2＝x6，选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了单项式的乘法、除法以及幂的乘方，合并同类项法则，正确理解指数的计算是关键．
12．下列计算中，正确的是（ ）
A．x3?x2＝x4 B．（x+y）（x﹣y）＝x2+y2
C．x（x﹣2）＝﹣2x+x2 D．3x3y2÷xy2＝3x4
【分析】根据同底数幂的乘法、平方差公式、单项式乘以多项式、单项式除以单项式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是x5，故本选项不符合题意；
B、结果是x2﹣y2，故本选项不符合题意；
C、结果是﹣2x+x2，故本选项符合题意；
D、结果是3x2，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、平方差公式、单项式乘以多项式、单项式除以单项式等知识点，能灵活运用知识点进行化简是解此题的关键．
二．填空题（共8小题）
13．已知：am＝3，an＝2，则，am+2n＝ 12 ．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法的逆运算计算即可．
【解答】解：am+2n＝am?a2n＝3×4＝12．
故答案为12．
【点评】本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；同底数幂的除法，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．
14．若2x＝4y﹣1，27y＝3x+1，则x﹣y＝ ﹣3 ．
【分析】根据2x＝4y﹣1，27y＝3x+1，可得2x＝22y﹣2，33y＝3x+1，所以；然后解二元一次方程，求出x、y的值各是多少，进而求出x﹣y的值是多少即可．
【解答】解：∵2x＝4y﹣1，27y＝3x+1，
∴2x＝22y﹣2，33y＝3x+1，
∴
解得
∴x﹣y＝（﹣4）﹣（﹣1）＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】（1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①（am）n＝amn（m，n是正整数）；②（ab）n＝anbn（n是正整数）．
（2）此题还考查了二元一次方程的求解方法，要熟练掌握．
15．光的速度每秒约3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒，则地球与太阳的距离约是 1.5×108 千米．
【分析】根据路程＝速度×时间，先列式表示地球到太阳的距离，再用科学记数法表示．
【解答】解：3×105×5×102＝15×107＝1.5×108千米．
故答案为：1.5×108．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．表示时关键要正确确定a的值以及n的值．同时考查了同底数幂的乘法．
16．计算：x（x﹣2）＝ x2﹣2x
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣2x
故答案为：x2﹣2x
【点评】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
17．计算：（a+2b）（2a﹣4b）＝ 2a2﹣8b2 ．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，计算即可．
【解答】解：（a+2b）（2a﹣4b）
＝2a2﹣4ab+4ab﹣8b2
＝2a2﹣8b2．
故答案为：2a2﹣8b2．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
18．已知x2﹣3x+1＝0，则＝ 7 ．
【分析】首先由x2﹣3x+1＝0，求得x+的值，然后由（x+）2＝x2++2，即可求得答案．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x+＝3，
∴（x+）2＝x2++2＝9，
∴x2+＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握（x+）2＝x2++2与整体思想的应用．
19．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝13，则阴影部分的面积为 5 ．
【分析】阴影部分面积可以用边长为a的正方形面积的一半减去底底（a﹣b），高为b的三角形的面积，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：
当a+b＝7，ab＝13时，S阴影＝a2﹣b（a﹣b）＝a2﹣ab+b2＝ [（a+b）2﹣2ab]﹣ab＝5．
故答案为：5
【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，表示出阴影部分面积是解本题的关键．
20．若x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值等于 7或﹣1 ．
【分析】根据已知完全平方式得出2（m﹣3）x＝±2?x?4，求出即可．
【解答】解：∵x2+2（m﹣3）x+16是完全平方式，
∴2（m﹣3）x＝±2?x?4，
解得：m＝7或﹣1，
故答案为：7或﹣1．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的内容是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
三．解答题（共8小题）
21．若2?8n?16n＝222，求n的值．
【分析】把等号左边的数都能整理成以2为底数的幂相乘，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后根据指数相等列式求解即可．
【解答】解：2?8n?16n，
＝2×23n×24n，
＝27n+1，
∵2?8n?16n＝222，
∴7n+1＝22，
解得n＝3．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
22．（1）已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值；
（2）已知10α＝5，10β＝6，求102α+2β的值．
【分析】（1）先根据同底数幂乘法运算的逆运算得出ax+y＝ax?ay＝25，根据ax＝5可得ay＝5，代入即可求解；
（2）将原式利用同底数幂乘法运算的逆运算进行变形为（10α）2?（10β）2，即可求解．
【解答】解：（1）∵ax+y＝ax?ay＝25，ax＝5，
∴ay＝5，
∴ax+ay＝5+5＝10；
（2）102α+2β＝（10α）2?（10β）2＝52×62＝900．
【点评】本题主要考查的是正数指数幂的你运算，掌握整数指数幂的运算公式是解题的关键．
23．化简：（a+b）2﹣b（2a+b）．
【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．进行求解即可．
【解答】解：原式＝a2+2ab+b2﹣2ab﹣b2
＝a2．
【点评】本题考查了单项式乘多项式，解答本题的关键在于熟练掌握单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
24．观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ a2﹣ab+b2 ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；
（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．
【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）
＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3
＝a3+b3；
（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）
＝x3+y3﹣（x3﹣y3）
＝2y3．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则，注意观察所给例题，找出其中的规律．
25．观察下面各式规律：12+（1×2）2+22＝（1×2+1）2；22+（2×3）2+32＝（2×3+1）2；32+（3×4）2+42＝（3×4+1）2…写出第n行的式子，并证明你的结论．
【分析】本题考查学生的观察归纳的能力．仔细观察各式的结构特征，不难发现式子的左侧是连续两整数及它们乘积的平方和，右侧是它们的乘积与1的和的平方．然后，证明结论．
【解答】解：第n个式子：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2，
证明：因为左边＝n2+[n（n+1）]2+（n+1）2，
＝n2+（n2+n）2+（n+1）2，
＝（n2+n）2+2n2+2n+1，
＝（n2+n）2+2（n2+n）+1，
＝（n2+n+1）2，
而右边＝（n2+n+1）2，
所以，左边＝右边，等式成立．
【点评】本题考查了完全平方公式，关键是凑成（n2+n）2+2（n2+n）+1的形式，考查了学生对完全平方公式的变形应用能力．
26．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 a﹣b ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝ （a﹣b）2 ；
【方法2】S阴影＝ （a+b）2﹣4ab ；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值．
【分析】（1）观察图意直接得出正方形的边长是a﹣b；
（2）利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，或者直接利用（1）的条件求出小正方形的面积；
（3）把（2）中的两个代数式联立即可；
（4）类比（3）求出（x﹣y）2，再开方即可．
【解答】解：（1）a﹣b；
（2）方法1：S阴影＝（a﹣b）2，
方法2：S阴影＝（a+b）2﹣4ab；
（3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（4）∵x+y＝10，xy＝16，
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝102﹣4×16＝36，
∴x﹣y＝±6．
【点评】此题利用数形结合的思想，来研究完全平方式之间的联系，以及代数式求值的问题，属于基础题型．
27．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（xm+yn）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：
（1）计算：＝ ﹣ ；
（2）代数式为完全平方式，则k＝ ±3 ；
（3）解方程：＝6x2+7．
【分析】（1）根据新定义运算代入数据计算即可求解；
（2）根据新定义运算代入数据计算，再根据完全平方式的定义即可求解；
（3）根据新定义运算代入数据得到关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）
＝[2×（﹣3）×1]÷[（﹣1）4+31]
＝﹣6÷4
＝﹣．
故答案为：﹣；
（2）
＝[x2+（3y）2]+xk?2y
＝x2+9y2+2kxy，
∵代数式为完全平方式，
∴2k＝±6，
解得k＝±3．
故答案为：±3；
（3）＝6x2+7，
（3x﹣2）（3x+2）]﹣[（x+2）（3x﹣2）+32]＝6x2+7，
解得x＝﹣4．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能熟记公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式为：①（a+b）2＝a2+2ab+b2，②（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
28．4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝4x2+8x+4﹣4x2+25＝8x+29．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．