2020年湘教版七年级数学下册第3章 因式分解单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年湘教版七年级数学下册第3章 因式分解单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 125.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-20 16:24:09 | ||
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文档简介
2020年湘教版七年级数学下册《第3章 因式分解》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C． D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
2．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
3．多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，各项的公因式是（ ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
4．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3
5．计算（﹣2）2018+（﹣2）2019等于（ ）
A．﹣24037 B．﹣2 C．﹣22018 D．22018
6．下面运算正确的是（ ）
A．3ab+3ac＝6abc B．4a2b﹣4b2a＝0
C．2x2+7x2＝9x4 D．3y2﹣2y2＝y2
7．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．﹣x2+16y2 C．﹣a2﹣4b2 D．a﹣4b2
8．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
9．下列分解因式中，完全正确的是（ ）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1
C．x2+y2＝（x+y）2 D．6a﹣9﹣a2＝﹣（a﹣3）2
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
11．下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1
12．把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（ ）
A．（a+1）（b+1） B．（a﹣1）（b﹣1） C．（a+1）（b﹣1） D．（a﹣1）（b+1）
二．填空题（共8小题）
13．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ．
14．多项式2ax2﹣12axy中，应提取的公因式是 ．
15．因式分解：x2﹣5x＝ ．
16．因式分解：a2﹣4＝ ．
17．x3y﹣xy3因式分解结果为 ．
18．分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝ ．
19．分解因式：x3+5x2+6x＝ ．
20．在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝ ．
三．解答题（共8小题）
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
22．分解分式：m2﹣3m．
23．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）
＝y2+8y+16 （第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
24．因式分解：3x2﹣6x+3．
25．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
26．分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．
27．在实数范围内分解因式：x4﹣4．
28．已知x2+3x﹣1＝0，求：x3+5x2+5x+18的值．
2020年湘教版七年级数学下册《第3章 因式分解》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C． D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．
【解答】解：A、9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
B、x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x，不符合题意因式分解的定义，不合题意；
C、x+2无法分解因式，不合题意；
D、y（y﹣2）＝y2﹣2y，是整式的乘法，不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
2．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
【分析】因式分解就是要将一个多项式分解为几个整式积的形式．
【解答】解：根据因式分解的概念，A，C答案错误；
根据平方差公式：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2所以D错误；
B答案正确．
故选：B．
【点评】注意对因式分解概念的理解．
3．多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，各项的公因式是（ ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【解答】解：多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，
各项系数的最大公约数是5，
各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，
所以它的公因式是5m2n．
故选：C．
【点评】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．
4．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3
【分析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂．同时注意首项系数通常要变成正数．
【解答】解：系数最大公约数是﹣3，
相同字母的最低指数次幂是a2、b2，
应提取的公因式是﹣3a2b2．
故选：A．
【点评】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．当第一项的系数为负数时，应先提出“﹣”号．
5．计算（﹣2）2018+（﹣2）2019等于（ ）
A．﹣24037 B．﹣2 C．﹣22018 D．22018
【分析】直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：（﹣2）2018+（﹣2）2019
＝（﹣2）2018[1+（﹣2）]
＝﹣22018．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
6．下面运算正确的是（ ）
A．3ab+3ac＝6abc B．4a2b﹣4b2a＝0
C．2x2+7x2＝9x4 D．3y2﹣2y2＝y2
【分析】分别利用合并同类项法则进而判断得出即可．
【解答】解：A、3ab+3ac无法合并，故此选项错误；
B、4a2b﹣4b2a，无法合并，故此选项错误；
C、2x2+7x2＝9x2，故此选项错误；
D、3y2﹣2y2＝y2，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．
7．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．﹣x2+16y2 C．﹣a2﹣4b2 D．a﹣4b2
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
【解答】解：A、是a、2b平方的和，不能用平方差公式分解因式；故此选项错误；
B、﹣x2+16y2＝（4y）2﹣x2是4y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；故此选项错误；
C、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故此选项正确；
D．a不是平方形式，故不能因式分解，故此选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
8．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．
【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；
B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；
C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；
D、﹣x2+9＝﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．
9．下列分解因式中，完全正确的是（ ）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1
C．x2+y2＝（x+y）2 D．6a﹣9﹣a2＝﹣（a﹣3）2
【分析】根据分解因式的定义，以及完全平方公式即可作出判断．
【解答】解：A、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故选项错误；
B、结果不是乘积的形式，故选项错误；
C、x2+y2≠（x+y）2，故选项错误；
D、6a﹣9﹣a2＝﹣（a2﹣6a+9）＝﹣（a﹣3）2，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了分解因式的定义，以及利用公式法分解因式，正确理解定义是关键．
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可．
【解答】解：A、x2﹣xy+x＝x（x﹣y+1），故此选项错误；
B、a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2，正确；
C、x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；
D、ax2﹣9，无法分解因式，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
11．下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1
【分析】根据多项式特点判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个平方项异号，可用平方差公式进行因式分解，故A正确；
B、两个平方项同号，不能运用平方差公式进行因式分解，故B错误；
C、可先运用提公因式法，再运用十字相乘法，原式＝a（a2﹣3a+2）＝a（a﹣1）（a﹣2），故C正确；
D、可先分组，再运用公式法，原式＝（a﹣b）2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查公式法、提公因式法、分组分解法分解因式，熟练掌握因式分解的各种方法是解本题的关键．
12．把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（ ）
A．（a+1）（b+1） B．（a﹣1）（b﹣1） C．（a+1）（b﹣1） D．（a﹣1）（b+1）
【分析】此题可把一四项结合一组，二三项结合一组；还可把一三项结合一组，二四项结合一组，进行分解因式．
【解答】解：ab﹣1+a﹣b＝（ab﹣b）+（a﹣1）＝b（a﹣1）+（a﹣1）＝（a﹣1）（b+1）；
ab﹣1+a﹣b＝（ab+a）﹣（b+1）＝a（b+1）﹣（b+1）＝（a﹣1）（b+1）．
故选：D．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式．注意此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．
二．填空题（共8小题）
13．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ﹣1 ．
【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．
【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴k＝﹣4，b＝3，
则k+b＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．
14．多项式2ax2﹣12axy中，应提取的公因式是 2ax ．
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定出公因式．
【解答】解：∵2ax2﹣12axy＝2ax（x﹣6y），
∴应提取的公因式是2ax．
【点评】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）相同字母的最低指数次幂．
15．因式分解：x2﹣5x＝ x（x﹣5） ．
【分析】根据提公因式法，可分解因式．
【解答】解：x2﹣5x＝x（x﹣5）．
故答案为：x（x﹣5）．
【点评】本题考查了因式分解，提公因式法分解因式的关键是确定公因式．
16．因式分解：a2﹣4＝ （a+2）（a﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
17．x3y﹣xy3因式分解结果为 xy（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣y2）＝xy（x+y）（x﹣y）．
故答案为：xy（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意多种方法灵活运用．
18．分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝ （x﹣y+1）（x﹣y﹣1） ．
【分析】前三项一组，利用完全平方公式分解因式，然后再与第四项利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：x2﹣2xy+y2﹣1，
＝（x2﹣2xy+y2）﹣1，
＝（x﹣y）2﹣1，
＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．
【点评】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解．
19．分解因式：x3+5x2+6x＝ x（x+2）（x+3） ．
【分析】先提公因式x，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．
【解答】解：x3+5x2+6x，
＝x（x2+5x+6），
＝x（x+2）（x+3）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
20．在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝ ．
【分析】首先令x2﹣3x﹣2＝0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解．
【解答】解：令x2﹣3x﹣2＝0，
则a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴x＝＝，
∴x2﹣3x﹣2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识．
三．解答题（共8小题）
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）（2分）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）
∴（6分）
解得：a＝4，k＝20（8分）
故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）
【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
22．分解分式：m2﹣3m．
【分析】直接把公因式m提出来即可．
【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键．
23．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）
＝y2+8y+16 （第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣2）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；
（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，
原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；
故答案为：不彻底，（x﹣2）4；
（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．
24．因式分解：3x2﹣6x+3．
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：原式＝3（x2﹣2x+1）
＝3（x﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
25．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣42
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
26．分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．
【分析】因为﹣2×（a2+a）＝﹣2（a2+a），﹣6×（a2+a）＝﹣6（a2+a），所以可利用十字相乘法分解因式；得到的两个因式，还可以用十字相乘法分解因式．
【解答】解：根据十字相乘法，
（a2+a）2﹣8（a2+a）+12，
＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6），
＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程；并注意一定要分解完全．
27．在实数范围内分解因式：x4﹣4．
【分析】实数包括有理数和无理数，先运用平方差公式得出（x2+2）（x2﹣2），后一个括号还能运用平方差公式进行分解．
【解答】解：原式＝（x2+2）（x2﹣2），
＝（x2+2）（x+）（x﹣）．
【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
28．已知x2+3x﹣1＝0，求：x3+5x2+5x+18的值．
【分析】由x2+3x﹣1＝0得x2+3x＝1，再进一步把x3+5x2+5x+18分解因式凑出x2+3x解决问题即可．
【解答】解：∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，
x3+5x2+5x+18
＝x（x2+3x）+2x2+5x+18
＝x+2x2+5x+18
＝2（x2+3x）+18
＝2+18
＝20．
【点评】此题考查分组分步分解因式，充分利用已知条件，凑出（x2+3x）这个因式是解决问题的关键．
一．选择题（共12小题）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C． D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
2．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
3．多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，各项的公因式是（ ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
4．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3
5．计算（﹣2）2018+（﹣2）2019等于（ ）
A．﹣24037 B．﹣2 C．﹣22018 D．22018
6．下面运算正确的是（ ）
A．3ab+3ac＝6abc B．4a2b﹣4b2a＝0
C．2x2+7x2＝9x4 D．3y2﹣2y2＝y2
7．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．﹣x2+16y2 C．﹣a2﹣4b2 D．a﹣4b2
8．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
9．下列分解因式中，完全正确的是（ ）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1
C．x2+y2＝（x+y）2 D．6a﹣9﹣a2＝﹣（a﹣3）2
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
11．下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1
12．把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（ ）
A．（a+1）（b+1） B．（a﹣1）（b﹣1） C．（a+1）（b﹣1） D．（a﹣1）（b+1）
二．填空题（共8小题）
13．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ．
14．多项式2ax2﹣12axy中，应提取的公因式是 ．
15．因式分解：x2﹣5x＝ ．
16．因式分解：a2﹣4＝ ．
17．x3y﹣xy3因式分解结果为 ．
18．分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝ ．
19．分解因式：x3+5x2+6x＝ ．
20．在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝ ．
三．解答题（共8小题）
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
22．分解分式：m2﹣3m．
23．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）
＝y2+8y+16 （第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
24．因式分解：3x2﹣6x+3．
25．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
26．分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．
27．在实数范围内分解因式：x4﹣4．
28．已知x2+3x﹣1＝0，求：x3+5x2+5x+18的值．
2020年湘教版七年级数学下册《第3章 因式分解》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C． D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．
【解答】解：A、9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
B、x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x，不符合题意因式分解的定义，不合题意；
C、x+2无法分解因式，不合题意；
D、y（y﹣2）＝y2﹣2y，是整式的乘法，不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
2．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）
C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）
【分析】因式分解就是要将一个多项式分解为几个整式积的形式．
【解答】解：根据因式分解的概念，A，C答案错误；
根据平方差公式：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2所以D错误；
B答案正确．
故选：B．
【点评】注意对因式分解概念的理解．
3．多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，各项的公因式是（ ）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
【分析】找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．
【解答】解：多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3中，
各项系数的最大公约数是5，
各项都含有的相同字母是m、n，字母m的指数最低是2，字母n的指数最低是1，
所以它的公因式是5m2n．
故选：C．
【点评】本题考查了公因式的确定，熟练掌握找公因式有三大要点是求解的关键．
4．将多项式﹣6a3b2﹣3a2b2+12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A．﹣3a2b2 B．﹣3ab C．﹣3a2b D．﹣3a3b3
【分析】在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂．同时注意首项系数通常要变成正数．
【解答】解：系数最大公约数是﹣3，
相同字母的最低指数次幂是a2、b2，
应提取的公因式是﹣3a2b2．
故选：A．
【点评】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．当第一项的系数为负数时，应先提出“﹣”号．
5．计算（﹣2）2018+（﹣2）2019等于（ ）
A．﹣24037 B．﹣2 C．﹣22018 D．22018
【分析】直接利用提取公因式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：（﹣2）2018+（﹣2）2019
＝（﹣2）2018[1+（﹣2）]
＝﹣22018．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
6．下面运算正确的是（ ）
A．3ab+3ac＝6abc B．4a2b﹣4b2a＝0
C．2x2+7x2＝9x4 D．3y2﹣2y2＝y2
【分析】分别利用合并同类项法则进而判断得出即可．
【解答】解：A、3ab+3ac无法合并，故此选项错误；
B、4a2b﹣4b2a，无法合并，故此选项错误；
C、2x2+7x2＝9x2，故此选项错误；
D、3y2﹣2y2＝y2，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．
7．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+4b2 B．﹣x2+16y2 C．﹣a2﹣4b2 D．a﹣4b2
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
【解答】解：A、是a、2b平方的和，不能用平方差公式分解因式；故此选项错误；
B、﹣x2+16y2＝（4y）2﹣x2是4y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；故此选项错误；
C、两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故此选项正确；
D．a不是平方形式，故不能因式分解，故此选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
8．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9
【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．
【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；
B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；
C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；
D、﹣x2+9＝﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．
9．下列分解因式中，完全正确的是（ ）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1
C．x2+y2＝（x+y）2 D．6a﹣9﹣a2＝﹣（a﹣3）2
【分析】根据分解因式的定义，以及完全平方公式即可作出判断．
【解答】解：A、x3﹣x＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），故选项错误；
B、结果不是乘积的形式，故选项错误；
C、x2+y2≠（x+y）2，故选项错误；
D、6a﹣9﹣a2＝﹣（a2﹣6a+9）＝﹣（a﹣3）2，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了分解因式的定义，以及利用公式法分解因式，正确理解定义是关键．
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣xy+x＝x（x﹣y） B．a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2
C．x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3 D．ax2﹣9＝a（x+3）（x﹣3）
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可．
【解答】解：A、x2﹣xy+x＝x（x﹣y+1），故此选项错误；
B、a3+2a2b+ab2＝a（a+b）2，正确；
C、x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；
D、ax2﹣9，无法分解因式，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
11．下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1
【分析】根据多项式特点判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个平方项异号，可用平方差公式进行因式分解，故A正确；
B、两个平方项同号，不能运用平方差公式进行因式分解，故B错误；
C、可先运用提公因式法，再运用十字相乘法，原式＝a（a2﹣3a+2）＝a（a﹣1）（a﹣2），故C正确；
D、可先分组，再运用公式法，原式＝（a﹣b）2﹣1＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D正确．
故选：B．
【点评】本题考查公式法、提公因式法、分组分解法分解因式，熟练掌握因式分解的各种方法是解本题的关键．
12．把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（ ）
A．（a+1）（b+1） B．（a﹣1）（b﹣1） C．（a+1）（b﹣1） D．（a﹣1）（b+1）
【分析】此题可把一四项结合一组，二三项结合一组；还可把一三项结合一组，二四项结合一组，进行分解因式．
【解答】解：ab﹣1+a﹣b＝（ab﹣b）+（a﹣1）＝b（a﹣1）+（a﹣1）＝（a﹣1）（b+1）；
ab﹣1+a﹣b＝（ab+a）﹣（b+1）＝a（b+1）﹣（b+1）＝（a﹣1）（b+1）．
故选：D．
【点评】本题考查了分组分解法分解因式．注意此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．
二．填空题（共8小题）
13．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为 ﹣1 ．
【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值，即可求出k+b的值．
【解答】解：由题意得：x2+kx+b＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3，
∴k＝﹣4，b＝3，
则k+b＝﹣4+3＝﹣1．
故答案为：﹣1
【点评】此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．
14．多项式2ax2﹣12axy中，应提取的公因式是 2ax ．
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定出公因式．
【解答】解：∵2ax2﹣12axy＝2ax（x﹣6y），
∴应提取的公因式是2ax．
【点评】本题主要考查公因式的确定，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）相同字母的最低指数次幂．
15．因式分解：x2﹣5x＝ x（x﹣5） ．
【分析】根据提公因式法，可分解因式．
【解答】解：x2﹣5x＝x（x﹣5）．
故答案为：x（x﹣5）．
【点评】本题考查了因式分解，提公因式法分解因式的关键是确定公因式．
16．因式分解：a2﹣4＝ （a+2）（a﹣2） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
故答案为：（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
17．x3y﹣xy3因式分解结果为 xy（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣y2）＝xy（x+y）（x﹣y）．
故答案为：xy（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查的是因式分解，在解答此类题目时要注意多种方法灵活运用．
18．分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝ （x﹣y+1）（x﹣y﹣1） ．
【分析】前三项一组，利用完全平方公式分解因式，然后再与第四项利用平方差公式进行因式分解．
【解答】解：x2﹣2xy+y2﹣1，
＝（x2﹣2xy+y2）﹣1，
＝（x﹣y）2﹣1，
＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．
【点评】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解．
19．分解因式：x3+5x2+6x＝ x（x+2）（x+3） ．
【分析】先提公因式x，然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式．
【解答】解：x3+5x2+6x，
＝x（x2+5x+6），
＝x（x+2）（x+3）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
20．在实数范围内分解因式：x2﹣3x﹣2＝ ．
【分析】首先令x2﹣3x﹣2＝0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解．
【解答】解：令x2﹣3x﹣2＝0，
则a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴x＝＝，
∴x2﹣3x﹣2＝．
故答案为：．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解．注意掌握公式法解一元二次方程的知识．
三．解答题（共8小题）
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n＝﹣7，m＝﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
【解答】解：设另一个因式为（x+a），得（1分）
2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）（2分）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a（4分）
∴（6分）
解得：a＝4，k＝20（8分）
故另一个因式为（x+4），k的值为20（9分）
【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键．
22．分解分式：m2﹣3m．
【分析】直接把公因式m提出来即可．
【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键．
23．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）
＝y2+8y+16 （第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C ．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ 不彻底 ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （x﹣2）4 ．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；
（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．
【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
（2）该同学因式分解的结果不彻底，
原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；
故答案为：不彻底，（x﹣2）4；
（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键，注意分解因式要彻底．
24．因式分解：3x2﹣6x+3．
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2．
【解答】解：原式＝3（x2﹣2x+1）
＝3（x﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
25．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可．
【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣42
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0
∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a＝b或a＝c或a＝b＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
26．分解因式：（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．
【分析】因为﹣2×（a2+a）＝﹣2（a2+a），﹣6×（a2+a）＝﹣6（a2+a），所以可利用十字相乘法分解因式；得到的两个因式，还可以用十字相乘法分解因式．
【解答】解：根据十字相乘法，
（a2+a）2﹣8（a2+a）+12，
＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6），
＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程；并注意一定要分解完全．
27．在实数范围内分解因式：x4﹣4．
【分析】实数包括有理数和无理数，先运用平方差公式得出（x2+2）（x2﹣2），后一个括号还能运用平方差公式进行分解．
【解答】解：原式＝（x2+2）（x2﹣2），
＝（x2+2）（x+）（x﹣）．
【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
28．已知x2+3x﹣1＝0，求：x3+5x2+5x+18的值．
【分析】由x2+3x﹣1＝0得x2+3x＝1，再进一步把x3+5x2+5x+18分解因式凑出x2+3x解决问题即可．
【解答】解：∵x2+3x﹣1＝0，
∴x2+3x＝1，
x3+5x2+5x+18
＝x（x2+3x）+2x2+5x+18
＝x+2x2+5x+18
＝2（x2+3x）+18
＝2+18
＝20．
【点评】此题考查分组分步分解因式，充分利用已知条件，凑出（x2+3x）这个因式是解决问题的关键．