京改版九年级数学上册 20．5．2《测量与计算—方位角》教案

北京版九年级数学上册
第20章 解直角三角形
20.5.2《测量与计算—方位角》教案
教学目标
知识与技能
1．通过分析、观察与思考，使学生使学生认识方位角的概念．
2．通过自主学习和合作探究，使学生巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，进一步体会三角函数在解决问题中的应用．
过程与方法
采用自主、合作、探究的学习方法，引导学生将有关方位角的实际问题中的数量关系，归结为解直角三角形元素之间的关系，提高解决实际问题的能力．
情感与态度
通过学习、理解和运用，激励学生经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气，形成能将所学知识运用到解决实际问题的思维习惯．
重点难点
教学重点：将实际问题转化为解直角三角形元素之间的关系．
教学难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．
教学过程
一、知识回顾
方向角：从正北方向或正南方向到目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如图所示，∠NOA，∠SOC都为方向角．如图所示，目标方向OA表示的方向角为_____________，目标方向OB表示的方向角为______________，目标方向OC表示的方向角为______________，也称___________，目标方向OD表示的方向角为_________________．

二、新课探究
直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用.
下面我们就来看一个问题(多媒体演示).
如图，一船以20 n mile/h 的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行 1 h 到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°方向上.已知灯塔C四周 10 n mile内有暗礁，问这船继续向东航行，是否安全？

下面就请同学们通过思考问题用锐角三角函数知识解决此题.
问题1：货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?
根据题意，小岛四周10n mile内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.

如图，C到AB所在直线的最短距离为过C作CD⊥AB，D为垂足，即CD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.
问题2：下面我们就来看CD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?
已知AB＝20海里，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°.
问题3：在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出CD呢?
在Rt△ACD中，只知道∠CBD=60°，不能求AD.
在Rt△BCD中，知道∠CAD=30°，虽然知道AB＝20海里，但它不是Rt△BCD的边，也不能求出AD.
问题4：那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?
我发现这两个三角形有联系，CD是它们的公共直角边.而且AB是这两个直角三角形AD与BD的差，即AB＝AD-BD.AD、BD的对角是已知的，AD、BD和边CD都有联系.
在Rt△ACD中，tan30°＝，AD= ；
在Rt△ACD中，tan60°＝，BD＝.
利用AB＝AD-BD.AD就可以列出关于AD的一元一次方程，即-＝20.
面我们完整地将这个题做完.
解：解：由点C作CD⊥AB,
设CD= x ,
则在Rt△ACD中，tan30°＝，AD= ；
在Rt△BCD中，tan60°＝，BD＝
由AB=AD-BD,得-＝20
解得；x=10＞10
所以，这船继续向东航行是安全的.
三、例题讲解
例1　如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离．(参考数据：≈1.414，≈1.732，结果取整数)

解：如图，过C作CD⊥AB，在Rt△ACD中，∠A＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴AD＝CD＝AC＝50 (海里)，在Rt△BCD中，∠B＝30°，∴BC＝2CD＝100≈141海里，则此时船距灯塔的距离约为141海里

例2 如图所示，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C，此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41)

解：如图，作CE⊥AB于E.
在Rt△ACE中，∵∠A＝45°，∴AE＝EC，设AE＝EC＝x，则BE＝x－5，在Rt△BCE中，∵tan53°＝，∴＝，解得x＝20，∴AE＝EC＝20，∴AC＝20≈28.2，BC＝≈25，∴A船到C的时间＝＝0.94(小时)，B船到C的时间＝＝1(小时)，∴C船至少要等待0.94小时才能得到救援

三、巩固提高
1. 一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位；参考数据：≈1.732，≈1.414)( )
A．4.64海里 B．5.49海里
C．6.12海里 D．6.21海里
答案：B
2. 如图，在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是_________km.

答案：
3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？

答案：500(+1)海里
四、课堂小结
师：本节课，我们学习了什么内容？
学生回答．
师：你还有什么不懂的地方吗？
学生提问，教师解答．
五、布置作业
完成课本练习题.