新教材人教B版数学必修第三册课件：7.1.1 角的推广:69张PPT

课件69张PPT。第七章　三 角 函 数
7.1　任意角的概念与弧度制
7.1.1　角 的 推 广1.角的概念的推广:
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形.【思考】
在角的概念推广后,两条射线分别叫什么?
提示:在旋转角度给出角的概念时,两条射线分别叫做角的始边和终边.2.角的加、减的几何意义:
α+β表示在角α的基础上,逆时针旋转β角度;α-β表示在角α的基础上,顺时针旋转β角度.【思考】
用几何意义表示角的加、减时,按逆时针、顺时针旋转的是角的哪条边?
提示:在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边.3.角的分类【思考】
(1)正角、负角、零角是根据什么区分的?
提示:角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的. (2)如果一个角的终边与其始边重合,这个角一定是零角吗?为什么?
提示:不一定,零角的终边与始边重合,但终边与始边重合的角不一定是零角,如360°,-360°等,角的大小不是根据始边、终边的位置,而是根据射线的旋转.4.象限角
如果角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.【思考】
把一个角放在平面直角坐标系中时,这个角是否一定就是某一个象限的角?请说明原因.提示:不一定.当角的顶点与原点重合始边在x轴的非负半轴上时,若角的终边在哪个象限,则该角为该象限角,当角的终边在坐标轴上时,则该角不属于任何象限.5.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.【思考】
反过来,若角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,角α,β是否是终边相同的角?为什么?
提示:当角α,β满足S={β|β=α+k·360°,k∈Z}时,表示成角α与β相隔整数个周角,即角α,β终边相同.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)经过1小时,时针转过30°. (　　)
(2)终边与始边重合的角是零角. (　　)
(3)小于90°的角是锐角. (　　)提示:(1)×.因为是顺时针旋转,所以时针转过-30°.
(2)×.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).
(3)×.锐角是指大于0°且小于90°的角.2.与45°角终边相同的角是 (　　)
A.-45° B.225° C.395° D.-315°【解析】选D.与45°角终边相同的角可以表示为45°+k·360°,k∈Z,结合四个选项可以发现只有答案D符合题意.3.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________,将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________.?【解析】把35°角的终边按顺时针方向旋转60°得35°-60°=-25°;把35°角的终边按逆时针方向旋转一周后得35°+360°=395°.
答案:-25°　395°4.已知0°≤α<360°,且α与600°角终边相同,则α=________,它是第________象限角.?【解析】因为600°=360°+240°,所以240°角与600°角终边相同,且180°<240°<270°,故α=240°,它是第三象限角.
答案:240°　三类型一　任意角的概念及应用
【典例】1.下列说法正确的是 (　　)
A.终边相同的角一定相等
B.钟表的时针旋转而成的角是负角
C.终边相同的角之间相差180°的整数倍
D.大于90°的角都是钝角2.给出下列四个命题:①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第三象限角;④-315°是第一象限角.其中是真命题的有 (　　)
A.1个　 B.2个　 C.3个 　　　D.4个【思维·引】1.根据角的概念、终边相同角的集合等概念解题,特别注意锐角、直角、钝角等特殊的角.
2.根据终边相同角的概念对角进行转化,熟记各个象限角的范围.【解析】1.选B.终边相同的角不一定相等,可能相隔k·360°(k∈Z),A错;钟表的时针是顺时针旋转,故是负角,所以B对;终边相同的角之间相差360°的整数倍,C错;200°>90°但200°不是钝角,D错.2.选C.-90°<-75°<0°,第四象限,①正确;180°<　225°<270°,第三象限,②正确;360°+90°<475°　<360°+180°,第二象限,③错误;-360°<-315°<
-270°,第一象限,④正确;所以这四个命题中真命题
有3个.【内化·悟】
四个象限在0°到360°的角的表示?
提示:第一象限,0°<α<90°;第二象限,90°<α<
180°;第三象限,180°<α<270°;第四象限,270°
<α<360°.【类题·通】
1.理解角的概念的三个“明确”常见角α的范围:锐角0°<α<90°,钝角90°<α　<180°,直角90°,平角180°,周角360°.2.判断角的概念型问题的关键与技巧
(1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧:判断一种说法正确需要证明,而判断一种说法错误只要举出反例即可.
提醒:解答概念辨析题,一是利用反例排除错误答案,只需举一个反例即可,二是利用定义直接判断.【习练·破】
1.已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下面关系正确的是 (　　)
A.A=B=C B.A?C
C.A∩C=B D.B∪C=C【解析】选D.由已知得B?C,所以B∪C=C.2.将时钟拨快20分钟则分针转过的度数是_____.?
【解析】由于顺时针旋转,分针每分钟转-6°,所以20分钟转了-120°.
答案:-120°类型二　终边相同的角的表示及应用
【典例】写出终边落在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 世纪金榜导学号【思维·引】(1)在0°到360°范围内找出与直线y=x终边相同的角,再推广到任意角.
(2)终边相同的角的取值是由k的取值决定的.【解析】直线y=x与x轴的夹角是45°,在0°到360°范围内,终边在直线y=x上的角有两个:45°,225°.因此,终边在直线y=x上的角的集合:
S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}={β|β=45°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=45°+k·180°,k∈Z}.
所以S中适合-360°≤β<720°的元素是:45°-2×180°=-315°;45°-1×180°=-135°;
45°+0×180°=45°;45°+1×180°=225°;
45°+2×180°=405°;45°+3×180°=585°.【内化·悟】
在表示终边相同的角时,k∈Z这个条件能改变吗?能省略吗?为什么?提示:不能改变,更不能省略.k∈Z包含三层意思:
①特殊性:每取一个整数值就具体对应一个角.
②一般性:表示所有与α终边相同的角(包括角α).
③几何意义:k表示角的终边旋转的圈数,当k>0时,逆时针旋转;当k<0时,顺时针旋转;当k=0时无旋转.【类题·通】
解答本题关键是找到0°到360°范围内,终边落在直线y=x的角:45°,225°,再利用终边相同的角的关系写出符合条件的所有角的集合,如果集合能化简的还要化成最简形式.【习练·破】
写出终边落在x轴上的角的集合S.【解析】S={α|α=k·360°,k∈Z}∪{α|α= k·360°+180°,k∈Z}
={α|α=2k·180°,k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°,
k∈Z}
={α|α=n·180°,n∈Z}.类型三　象限角及其应用
角度1　用不等式组表示角的集合
【典例】如图所示. 世纪金榜导学号(1)写出终边落在射线OA,OB上的角的集合.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【思维·引】(1)根据题目给出的条件分别写出OA,OB表示的角.
(2)根据阴影部分写出不等式,注意两个角的先后顺序.【解析】(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α= k·360°+210°,k∈Z}.
终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+ 300°,k∈Z}.
(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°,k∈Z}.【素养·探】
在用集合或不等式表示角时,要涉及直观想象的核心素养,一般先在0°到360°范围内找到对应的特殊角,再加k·360°推广到一般情况.在用不等式表示阴影部分时,先求出两边的角,再写出不等式表示,写的时候注意实线与虚线的区别.将本例中的图形改为如下图所示,写出终边落在阴影部分的角的集合.【解析】设终边落在阴影部分的角为α,角α的集合由两部分组成.
①{α|k·360°+30°≤α②{α|k·360°+210°≤α即S={α|k·360°+30°≤αk∈Z}={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°,k∈Z}
∪{α|(2k+1)180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,
k∈Z}
={α|2k·180°+30°≤α<2k·180°+105°或
(2k+1)·180°+30°≤α<(2k+1)180°+105°,k∈Z}
={α|n·180°+30°≤α【典例】若α是第二象限角,求2α, 分别是第几象限的角? 世纪金榜导学号【思维·引】根据已知条件,用不等式表示出α的范
围,再求出nα或 ,然后判定所在象限即可.【解析】(1)因为α是第二象限角,
所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),
所以180°+k·720°<2α<360°+k·720°,
所以2α是第三或第四象限的角,或角的终边在y轴的非正半轴上.(2)方法一:因为α是第二象限角,
所以90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z),
所以45°+k·180°< <90°+k·180°(k∈Z). ①当k=2n(n∈Z)时,45°+n·360°< <90°+n·360°
(n∈Z),所以 是第一象限角;
②当k=2n+1(n∈Z)时,225°+n·360°< <270°+n·
360°(n∈Z),所以 是第三象限角.故 是第一或
第三象限角.方法二:如图,先将各象限分成2等份,再从x轴正向的
上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则标有二
的区域即为 的终边所在的区域,故 为第一或第
三象限角.【类题·通】
已知α范围,求nα或 的范围
1.已知α范围,求nα所在象限时,用不等式表示出来,再查找不等式的范围即可,注意结果可能不只有象限角,还可能有轴线角.2.已知α范围,求 所在象限时,可以把每个象限等分为n份,再按顺序标记一,二,三,四,找到原象限数字即可.【习练·破】
若角α是第一象限角,求-α, 分别是第几象限角?【解析】因为α是第一象限角,所以k·360°< α(1)-k·360°-90°<-α<-k·360°(k∈Z),
所以-α所在区域与-90°～0°范围相同,故-α是第四象限角.(2)方法一(分类讨论):k·120°< (k∈Z).
当k=3n(n∈Z)时n·360°< 是第一象限角;当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°
< 270°,所以 是第三象限角.综上可知, 是第一、
第二或第三象限角.方法二(几何法):如图,先将各象限分成3等份,再从x
轴的正向的上方起,依次将各区域标上1,2,3,4,则标
有1的区域即为 角的终边落在的区域,故 为第
一、第二或第三象限角.【加练·固】
已知α为第一象限角,求180°- 是第几象限角.【解析】因为α为第一象限角,
所以k·360°<α所以k·180°< 所以-45°-k·180°<- <-k·180°,k∈Z,所以135°-k·180°<180°- <180°-k·180°,
k∈Z.
当k=2n(n∈Z)时,135°-n·360°<180°- <180°
-n·360°,为第二象限角;当k=2n+1(n∈Z)时,-45°
-n·360°<180°- <-n·360°,为第四象限角.
所以180°- 是第二或第四象限角.