新教材人教B版数学必修第三册课件：7.1.2 弧度制及其与角度制的换算（57张PPT）

课件57张PPT。7.1.2　
弧度制及其与角度制的换算1.度量角
(1)弧度制.
①定义:以弧度为单位来度量角的单位制.
②1弧度的角:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
③表示方法:1弧度记作1 rad.(2)角的弧度数的计算.
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么,角
α的弧度数的绝对值是α= .【思考】
在大小不同的圆中,长为1的弧所对的圆心角相等吗?为什么?
提示:不相等.这是因为长为1的弧是指弧的长度为1,在大小不同的圆中,由于半径不同,所以圆心角也不同.2.角度制与弧度制的换算一些特殊角的度数与弧度数的对应表:【思考】
(1)角度制、弧度制都是角的度量制,那么它们之间是如何换算的?
提示:计算时,我们要特别注意π rad=180°,用这个公式进行互化即可. (2)公式α= 与所取的圆的半径大小是否有关?
提示:一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关.3.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R,弧长为l,α(0<α<π)为其圆心
角,则
(1)弧长公式:l=αR.
(2)扇形面积公式:S= lR= αR2.【思考】
我们初中学过的半径为r,圆心角为n°的扇形弧长、
面积公式分别是什么?
提示:半径为r,圆心角为n°的扇形弧长公式为l= ,
扇形面积公式为S扇= 【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)1弧度就是1°的圆心角所对的弧. (　　)
(2)“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无
关. (　　)
(3)160°化为弧度制是 π rad. (　　)提示:(1)×.1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的
圆心角.
(2)√.“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对
的圆心角,是一个定值,与所在圆的半径大小无关.
(3)√.160°=160× rad= π rad.2.1 080°化为弧度制等于 (　　)
A.1 080 B. C. D.6π
【解析】选D.1 080°=180°×6所以1 080°化为弧度是6π.3.5弧度的角的终边所在的象限为 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限【解析】选D.因为 π<5<2π所以5弧度的角的终边在第四象限.4.圆的半径是6 cm,则圆心角为15°的扇形面积是________.?【解析】因为15°= ,所以面积S= αR2= ×
×36= π(cm2).
答案: π cm2类型一　弧度与角度的互化
【典例】1.(1)将112°30′化为弧度为________.?
(2)将- rad化为角度为________.?
2.已知α=15°,β= ,γ=1,θ=105°,φ= ,试比较α,β,γ,θ,φ的大小.【思维·引】1.角度弧度互化原则:牢记180°=π rad,
充分利用1°= rad和1 rad= °进行换算.
2.角度弧度互化方法:设一个角的弧度数为α,角度数
为n,则α rad=α· °;n°=n· .【解析】1.(1)因为1°= rad,所以112°30′=
×112.5 rad= rad.
(2)因为1 rad= °,所以- rad=
答案:(1) rad　(2)-75°2.方法一(化为弧度):α=15°=15×
θ=105°=105×
显然 故α<β<γ<θ=φ.方法二(化为角度):β=
γ=1≈57.30°,φ= =105°.
显然,15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ=φ.【类题·通】
将角度转化为弧度时,要把带有分、秒的部分化为度
之后,牢记π rad=180°即可求解.把弧度转化为角度
时,直接用弧度数乘以 °即可.【习练·破】
将下列角度与弧度进行互化:
(1) =________.(2)- =________.?
(3)10°=________.(4)-855°=________.?【解析】(1) ×180°=15 330°.
(2) ×180°=-105°.
(3)10°=10×
(4)-855°=-855×
答案:(1)15 330°　(2)-105°　(3) 　(4)- 类型二　利用弧度表示角
【典例】1.下列与 的终边相同的角的表达式中,正确的是 (　　)
A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+ (k∈Z)
C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+ (k∈Z)2.用弧度表示终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合.【思维·引】1.根据任意角的概念排除部分选项,再根据角度制与弧度制的互化,选择适当答案.
2.用弧度制表示终边相同的角的一般形式是α+2kπ,k∈Z.表示终边在阴影部分的角,注意应从OB到OA.【解析】1.选C.A,B中弧度与角度混用,不正确;
=2π+ ,所以 与 终边相同.-315°=-360°
+45°,
所以-315°也与45°终边相同.2.330°角的终边与-30°角的终边相同,将-30°化为
弧度,即- ,而75°=75×
所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为【内化·悟】
1.用弧度制表示终边相同的角时,应注意哪几个问题?
提示:需要注意①一个题目中不能用两种单位表示;②0<α<2π,k∈Z.2.用弧度表示终边落在阴影部分角的集合时,应先求哪些量?
提示:先求边界OA,OB所表示的角.【类题·通】
1.弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下,与角α的终边相同的角可以表示为{β|β=2kπ+α,k∈Z},即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍.2.根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形.
(2)写出区域边界作为终边时角的表示.
(3)用不等式表示区域范围内的角.【习练·破】
1.将-1 125°表示成α+2kπ,0<α<2π,k∈Z的形式为________.?【解析】因为-1 125°=-4×360°+315°,315°=
315×
所以-1 125°= -8π.
答案: -8π2.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.【解析】因为30°= rad,210°= rad,
这两个角的终边所在的直线相同,
因为终边在直线AB上的角为α=kπ+ ,k∈Z,而终边
在y轴上的角为β=kπ+ ,k∈Z,从而终边落在阴影
部分内的角的集合为 类型三　扇形的弧长公式及面积公式
角度1　利用公式求弧长和面积
【典例】已知扇形的半径为10 cm,圆心角为60°,求扇形的弧长和面积.【思维·引】已知扇形的半径,圆心角,把圆心角化为弧度制,利用扇形的弧长、面积公式算出即可.【解析】已知扇形的圆心角α=60°= ,半径r=
10 cm,则弧长l=α·r= ×10= (cm),于是面积
S= lr= × ×10= (cm2).【素养·探】
在弧度制条件下扇形的计算中,经常需要分析题目给出的条件,准确选择公式,进行计算求值.主要培养数学运算的核心素养.
将本例中的条件改为:已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,则扇形的面积为________cm2.?【解析】设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,由圆心角为2 rad,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8 cm,解得r=2 cm,则l=4 cm.
故扇形的面积S= lr= ×4×2=4(cm2).
答案:4角度2　利用公式求半径和弧度数
【典例】如果2弧度的圆心角所对的弦长为4,那么这个圆心角所对的弧长为 世纪金榜导学号(　　)
A.2 B. C.2sin 1 D. 【思维·引】连接圆心与弦的中点,构造直角三角形,根据勾股定理求出半径,再求弧长.【解析】选D.连接圆心B与弦AC的中点F,则以弦心距
BF、弦AC的一半AF、半径AB为长度的线段构成一个直
角三角形,半弦长AF为2,其所对的圆心角∠ABF=1,故
半径AB= ,这个圆心角所对的弧长为2× 角度3　利用公式求扇形面积的最值
【典例】已知扇形的周长是40 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少? 世纪金榜导学号【思维·引】设扇形的半径为r,弧长为l,根据扇形的周长为40,用半径r表示弧长l,把面积S写成半径r的二次函数,求最值即可.【解析】设扇形的半径为r,面积为S,弧长为l,圆心角为α(0<α<2π),则l+2r=40,故l=40-2r,
又因为S= lr= (40-2r)r=-r2+20r
=-(r-10)2+100(0所以,当r=10 cm时,l=40-2×10=20(cm),
所以α= =2,扇形面积最大,最大面积为100 cm2.【类题·通】
(1)涉及扇形的圆心角、弧长、弦长、周长、面积等的计算,关键是先分析题目已知哪些量求哪些量,然后灵活运用勾股定理、弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.(2)弧长、面积的最值问题
利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长或面积,利用函数知识求最值,一般常利用二次函数的最值求解,从而发展学生“数学建模”的核心素养.【习练·破】
1.扇形OAB的面积是4 cm2,它的周长是8 cm,求扇形的半径和圆心角.【解析】设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π),弧
长为l cm,半径为r cm,依题意有
由①②,得r=2,所以l=8-2r=4,θ= =2.
故所求扇形的半径为2,圆心角为2 rad.2.已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小.
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.【解析】设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α,
(1)由题意可得
解得 所以α= = 或α= =6.(2)因为2r+l=8,所以l=8-2r,
所以S扇= lr= r(8-2r)=r(4-r)=-(r-2)2+4≤4,当且
仅当r=2,即α= =2时,扇形面积取得最大值4,所以
弦长AB=2sin 1×2=4sin 1.