新教材人教B版数学必修第三册课件：7.2.3 同角三角函数的基本关系式（61张PPT）

课件61张PPT。7.2.3　
同角三角函数的基本关系式　 1.平方关系
(1)公式:sin2α+cos2α=1
(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.2.商数关系
(1)公式:tan α= (α≠kπ+ ,k∈Z).
(2)语言叙述:同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.【思考】
(1)“同角”一词的含义是什么?提示:一是“角相同”,如sin2α+cos2β=1就不一定成立.二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下),关系式都成立,即与角的表达式形式无关,如sin215°+cos215°=1,sin2(α+β)+cos2(α+β)=1等. (2)两个公式成立的条件分别是什么?
提示:平方关系对于α∈R都成立;商数关系中公式成
立的条件为:α≠kπ+ ,k∈Z.(3)同角三角函数的基本关系有变式吗?分别是什么?
提示:有;①sin2α+cos2α=1的变形公式有:
sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α.
②tan α= 的变形公式有:
sin α=cos α·tan α;cos α= .【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)因为sin2 π+cos2 =1,所以sin2α+cos2β=1成
立,其中α,β为任意角.(　　)
(2)对任意角θ,sin2 +cos2 =1都成立.(　　)
(3)对任意的角α,都有 =tan α成立.(　　)提示:(1)×.由同角三角函数的基本关系式知, sin2α+cos2α=1,且α为任意角.
(2)√.在sin2α+cos2α=1中,令α= 可得sin2 +
cos2 =1.
(3)×.当α= +kπ,k∈Z时就不成立.2.已知α∈ sin α= ,则cos α=(　　)【解析】选A.因为α是第一象限角,
所以cos α= 3.化简(1+tan2α)·cos2α等于 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.原式= ·cos2α=
cos2α+sin2α=1.4.已知sin α+cos α= ,则sin αcos α= ________.?【解析】因为sin α+cos α= ,
所以(sin α+cos α)2= .
所以sin2α+2sin αcos α+cos2α= .
所以1+2sin αcos α= .所以sin αcos α=- .
答案:- 类型一　利用同角三角函数的关系求值
【典例】1.若sin α=- ,且α为第三象限角,则
tan α的值等于 (　　)2.已知sin α+cos α=- ,0<α<π.
(1)求sin αcos α的值.
(2)求sin α-cos α的值.【思维·引】1.根据sin α=- 和sin2α+cos2α=1
列方程组求tan α.
2.已知sin α+cos α=- ,两边平方再利用sin2α
+cos2α=1,即可求出sin αcos α,再把sin α-
cos α两边平方即可,注意角α的范围.【解析】1.选C.因为α为第三象限角,
所以cos α=
2.(1)由sin α+cos α=- 得(sin α+cos α)2= ,
sin2α+2sin αcos α+cos2α= ,sin αcos α=
- .(2)因为0<α<π,sin αcos α<0,
所以sin α>0,cos α<0?sin α-cos α>0.
sin α-cos α= 【内化·悟】
1.已知角的某一个三角函数值求其他三角函数值常用
哪些公式?
提示:根据已知条件和平方关系sin2α+cos2α=1;商数
关系 =tan α(α≠kπ+ ,k∈Z).2.已知sin α±cos α的值时,怎样求sin αcos α的值?
提示:已知sin α±cos α的值,求sin αcos α的值时,常用平方关系整体构造求值.解题时一定特别注意角的取值范围.【类题·通】
求三角函数值的方法
(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解(2)已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值
的问题,我们可利用平方关系或商数关系求解,其关
键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2=1±
2sin αcos α的等价转化,是分析解决问题的突破
口.【习练·破】
(1)已知tan α= ,且α是第三象限角,求sin α,
cos α的值.
(2)已知sin αcos α=- ,且0<α<π,求tan α的
值.【解析】(1)由tan α= 得sin α=
cos α,①
又sin2α+cos2α=1,②
由①②得 cos2α+cos2α=1,
即cos2α= .又α是第三象限角,
故cos α= (2)方法一:因为sin αcos α=- ,sin2α+cos2α=1,
所以sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+2×
所以(sin α+cos α)2= ,所以sin α+cos α=
± .
同理(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+ 因为sin αcos α=- <0,0<α<π,所以 <α<π,
所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α= .
由
所以tan α=- 或tan α=- .方法二:因为sin αcos α=-
所以
所以
所以12tan2α+25tan α+12=0,
所以(3tan α+4)(4tan α+3)=0,
所以tan α=- 或tan α=- .【加练·固】
(1)已知cos α=- ,求sin α和tan α.
(2)已知sin α+3cos α=0,求sin α,cos α的值.【解析】(1)sin2α=1-cos2α=1-
因为cos α=- <0,所以α是第二或第三象限角,
当α是第二象限角时,sin α=
当α是第三象限角时,sin α= (2)因为sin α+3cos α=0.
又sin2α+cos2α=1,得(-3cos α)2+cos2α=1,即
10cos2α=1.所以cos α=± .
又由sin α=-3cos α,可知sin α与cos α异号,所以α在第二、四象限.①当α是第二象限角时,sin α=
②当α是第四象限角时,sin α= 类型二　利用同角三角函数的关系化简
【典例】1.已知tan α=2,求下列各式的值
(1)
(3)2sin2α-sin αcos α+cos2α.2.已知α是第三象限角,化简:
世纪金榜导学号【思维·引】1.根据商数关系把齐次式的分子分母同时除以cos α的n次方,进行弦化切运算;若题目中没有分母,一般把分母化为1,再利用1=sin2α+cos2α转化.2.对于含有根号的三角函数式,常把根号里面的部分利用平方差公式和平方关系化简,然后去根号达到化简的目的.【解析】1.因为tan α=2,
所以(1)
(3)2sin2α-sin αcos α+cos2α2.原式=
因为α是第三象限角,所以cos α<0.
所以原式= =-2tan α.【内化·悟】
已知正切值,怎样求关于弦的代数式的值?
提示:在已知正切值,求弦的值时,我们一般采用分子分母同除以余弦,化为正切的方式.【类题·通】
已知角α的正切求关于sin α,cos α的齐次式的方法(1)关于sin α,cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α,cos α的式子且它们的次数之和相同,设为n次,将分子、分母同除以cos α的n次幂,其式子可化为关于tan α的式子,再代入求值.(2)若无分母时,把分母看作1,并将1用sin2α+cos2α来代换,将分子、分母同除以cos2α,可化为关于tan α的式子,再代入求值.【习练·破】
1.化简: =________.?【解析】原式=

答案:cos 80°2.已知
(1)求tan α的值.
(2)求 的值.【解析】(1)由 得3tan2α-2tan α-1=0,
即(3tan α+1)(tan α-1)=0,
解得tan α=- 或tan α=1.因为α∈ ,
所以tan α<0,所以tan α=- .(2)由(1),得tan α=- ,
所以 【加练·固】
　　 已知sin α+2cos α=0,求2sin αcos α-cos2α的值.【解析】由sin α+2cos α=0,得tan α=-2.
所以2sin αcos α-cos2α= 类型三　利用三角函数的关系证明恒等式
【典例】求证: 世纪金榜导学号
【思维·引】把比较复杂的左端化简,使之与右边相等.【证明】左边=
所以原等式成立.【类题·通】
证明三角恒等式的常用方法
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等.【习练·破】
已知tan2α=2tan2β+1,
求证:sin2β=2sin2α-1.【证明】因为tan2α=2tan2β+1,所以tan2α+1= 2tan2β+2,
所以
通分可得
即cos2β=2cos2α,所以1-sin2β=2(1-sin2α),
即sin2β=2sin2α-1.【加练·固】
求证 【证明】方法一:左边=
=右边,所以原等式成立.方法二:右边=
=左边,所以原等式成立.