新教材人教B版数学必修第三册课件:7.3.2 正弦型函数的性质与图像(二)(69张PPT)

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名称 新教材人教B版数学必修第三册课件:7.3.2 正弦型函数的性质与图像(二)(69张PPT)
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资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2020-01-25 10:36:58

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课件69张PPT。7.3.2 正弦型函数的性质与图像(二)y=Asin(ωx+φ)中,常数A,φ,ω的实际意义
(1)振幅|A|:小球能偏离平衡位置的最大距离.
(2)初相φ:在决定x=0时小球的位置(即Asinφ)中起关键作用.(3)周期T= :小球完成一次运动所需要的时间.
(4)频率f= :单位时间内能够完成的运动次数.【思考】
周期与频率的大小有什么关系?
提示:周期越大,频率越小;周期越小,频率越大.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)振幅越大,A越大. (  )
(2)函数y=2sin 中,初相是 . (  )
(3)小球运动的频率是1s运动50次,则小球运动的周期
为 s. (  )提示:(1)×.振幅越大,|A|越大.
(2)×.初相为 .
(3)√.周期T= s.2.函数y=sin(-2x),x∈[0,2π]的简图是 (  )【解析】选D.y=sin(-2x),x∈[0,2π],可得函数的最
小正周期为π,函数y的图像为两个周期,故A,B均错;
由x∈ 可得2x∈ ,y=sin(-2x)<0.3.已知电流强度I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关
系式是I=5sin ,则当t= s时,电流强度I为
(  )
A.5A B.2.5A C.2A D.-5A【解析】选B.当t= 时,I=5sin
=5sin =5cos =2.5(A).类型一 参数A,φ,ω的实际意义
【典例】1.如图所示,一个单摆以OA为始边,OB为终边
的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=
sin ,则当t=0时,角θ的大小及单摆频率是
(  )A. B.2,
C. ,π D.2,π2.如图,挂在下方的小球做上下运动,小球在t(s)时相
对于平衡位置(即静止的位置)的高度为h(单位:cm)由
下列关系式确定:h=2sin ,t∈[0,+∞).回答下
列问题:
(1)小球在开始振动时的位置在哪里?
(2)小球在最高、最低位置时h的值是多少?(3)经过多少时间小球振动一次?
(4)小球每1秒能往复振动多少次? 【思维·引】根据A,φ,ω的实际意义,周期、频率等相关的概念解题.【解析】1.选A.由题意当t=0时,θ=
由函数的解析式可知,函数的周期为 =π,
故单摆频率为 .2.(1)由题意可得当t=0时,h=2sin
故小球在开始振动时的位置在(0, ).
(2)由解析式可得振幅A=2,
故小球在最高、最低位置时h的值是2,-2.(3)可得函数的周期为T=2π,故小球往复运动一次需
2πs.
(4)可得频率为 ,即每秒钟小球能往复振动 次.【内化·悟】
怎样求小球振动的初始位置?
提示:令t=0,计算Asinφ,即初始位置.【类题·通】
参数A,φ,ω的应用
首先把函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,
ω>0)的形式,再求振幅、周期、初相.应注意A>0,
ω>0.【习练·破】
简谐运动y=4sin 的相位、初相、频率是(  )
A.5x-     B.5x- ,4,
C.5x- D.4, ,2π【解析】选C.相位是5x- ,当x=0时的相位为初相,
即 ,周期T= ,频率f= .类型二 已知图像求正弦型函数的解析式
角度1 由图像求解析式
【典例】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )
的部分图像如图所示,
则f(x)=________.?【思维·引】先求A,再求ω,最后求φ.
【解析】由图可知,A=2, ,
解得T=π,所以ω= =2.所以f(x)=2sin(2x+φ),
所以由f =2sin =2,
可得2× +φ=2kπ+ ,k∈Z,解得φ=2kπ+ ,k∈Z,因为|φ|< ,可得φ= ,
可得f(x)=2sin .
答案:2sin 【素养·探】
在利用图像求正弦型函数解析式的过程中,常常用到核心素养中的直观想象,由图像直观观察振幅、周期等.
本例中,能否在不求函数解析式的情况下,直接由图像写出函数的最小值及取得最小值时x的值,函数的单调区间.【解析】由函数图像可知, ,解得T=π,
所以当x= 时函数取得最小值-2.
因此函数的最小值为-2,此时x= +kπ,k∈Z.
由图像可知,函数在 上是增函数,在 上
是减函数.所以函数的单调递增区间是 ,
(k∈Z);单调递减区间为 ,(k∈Z).角度2 正弦型函数图像的综合应用
【典例】(2020·兰州高一检测)已知函数f(x)=
Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ< )的图像
如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式及单调递减区间.(2)当x∈ 时,方程f(x)=2a-3有两个不等的实根
x1,x2,求实数a的取值范围,并求此时x1+x2的值.【思维·引】(1)根据图像求出参数值,从而确定解析
式,再求单调区间.
(2)作出函数f(x)在 的图像,数形结合求范围及
值.【解析】(1)由题干图知,A=2,T=π,ω= =2.
由2sin =2,即sin =1,
故 +φ=2kπ+ ,k∈Z,
所以φ=2kπ+ ,k∈Z.
又φ∈ ,所以φ= ,故f(x)=2sin .
令 +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,
解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调减区间是 ,(k∈Z).(2)f(x)=2sin ,x∈ .
列表:描点作图可得:
方程f(x)=2a-3有两个不等实根时,y=f(x)的图像与直
线y=2a-3有两个不同的交点.
因为1≤2a-3<2,所以2≤a< ;当x∈ 时,f(x1)
=f(x2),故x1+x2= .【类题·通】
1.根据图像求解析式的方法
(1)由图像的最高点、最低点确定最值,从而求A;
(2)由图像的零点、最值点确定周期,从而求ω;
(3)由图像上一个点的坐标代入后根据范围求φ.2.关于正弦型函数的综合应用
此类问题主要涉及函数的最值、单调区间、图像、方程等问题,一是利用正弦型函数的性质直接求,比如单调区间、最值,二是结合函数与方程思想,将问题转化求解.【习练·破】
1.(2020·濮阳高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0,|φ|< )的图像如图,则点P(ω,φ)
的坐标是 (  )
【解析】选C.根据函数的图像知,A=2, =4-1,所以
T=6,所以ω= ,又x=1时f(x)=2,所以ωx+φ=
+φ= +2kπ,k∈Z,解得φ= +2kπ,k∈Z,又
|φ|< ,所以φ= ,所以点P(ω,φ)的坐标是
.2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的图
像与直线y=2两个相邻交点之间的距离为π,且当x=
取得最大值.
(1)求y=f(x)的解析式;(2)先将函数f(x)的图像向左平移 个单位,再将图
像上所有横坐标伸长到原来的2倍,得到函数g(x)的图
像.求g(x)的单调递增区间以及g(x)≥ 的x的取值
范围.【解析】(1)由已知可得T=π, =π,所以ω=2.
又f(x)的图像关于x= 对称,
所以 +φ= +2kπ,k∈Z,
所以φ= +2kπ,k∈Z,
因为 <φ< ,所以φ= .
所以,f(x)=2sin .(2)由(1)可得f(x)=2sin ,
所以g(x)=2sin ,由2kπ- ≤x+ ≤2kπ
+ ,k∈Z得2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z.
故g(x)的单调递增区间为 ,k∈Z.
因为2sin ,所以sin ,所以2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z.
所以2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z.【加练·固】
(2020·丹东高一检测)如图,已知函数f(x)=2sin(ωx
+φ)(ω>0)的部分图像,则f(π)=________.?【解析】根据图像 ,可得周期T=π,
那么ω= =2.根据图像过点 ,
可得2sin =-2.
令sin =sin ,可得φ= .
那么f(π)=2sin
答案: 类型三 正弦型函数的实际应用
【典例】某实验室白天的温度f(t)(单位:℃)随时间
t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin ,t∈[6,18].
(1)求实验室白天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温? 世纪金榜导学号【思维·引】(1)求出函数的最大值、最小值即可.
(2)建立三角不等式求范围.【解析】(1)已知f(t)=10-2sin ,
因为6≤t≤18,所以 ,-1≤sin
,所以f(t)在t∈[6,18]上取得最大值12,取得最小
值9,故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为9℃,
最大温差为3℃.(2)依题意当f(t)>11时,实验室需要降温,
即10-2sin >11,sin ,
所以2kπ+ ,k∈Z,
所以24k+10所以101.对三角函数应用的理解
三角函数是基本的初等函数之一,是反映周期变化现象的重要函数模型,在数学和其他领域具有重要作用,命题的背景常以波浪、潮汐、摩天轮等具有周期性现象的模型为载体,考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力.2.三角函数的应用在生产生活中的求解框图【习练·破】
据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+B的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价8千元,7月份价格最低为4千元;该商品每件的售价为g(x)(x为月份),且满足g(x)=f(x-2)+2.(1)分别写出该商品每件的出厂价函数f(x)、售价函数g(x)的解析式.
(2)问哪几个月能盈利?【解析】(1)f(x)=Asin(ωx+φ)+B,由题意可得A=2,
B=6, =7-3=4,T=8,ω= ,又因为f(x)过点
(3,8),所以φ= ,
所以f(x)=2sin +6(1≤x≤12,x为正整数),
g(x)=2sin +8(1≤x≤12,x为正整数).(2)由g(x)>f(x),得sin x< .
2kπ+ π< x<2kπ+ π,k∈Z,
所以8k+3因为1≤x≤12,k∈Z,所以k=0时,3所以x=4,5,6,7,8;k=1时,11所以x=4,5,6,7,8,12.
即其中4,5,6,7,8,12月份能盈利.【加练·固】
某地人民医院急诊科2019年的住院病人数y(人)是时间t(1≤t≤12,t∈N*,单位:月)的函数,根据资料有如下统计数据:y与t的函数可以近似看成正弦型函数y=Asin(ωt+
φ)+b(A,ω,φ,b为正常数且0<φ<π).
(1)求函数的解析式.
(2)根据所得函数解析式估计一年中大约有几个月的时间急诊科的住院病人数大于或等于35人.【解析】(1)一年总人数为361人,平均每月为 ≈30
人,b=30,
最多的月为40人,最少的月为20人,相差20人,
此为正弦型函数的最大值和最小值之差,即
2A=20,A=10,t=1时,正弦函数取最大值:ωt+φ=ω+φ= ,
t=7时,正弦型函数取最小值:ωt+φ=7ω+φ= ,
解得ω= ,φ= ,所以y=10sin +30.(2)10sin +30≥35,
所以sin ,所以
所以-1≤t≤3,所以t=-1,1,2,3分别相当于12,1,2,3
月 (0无意义),每年约有4个月急诊科住院病人数大于
或等于35人.类型四 实际应用问题中的正弦型函数模型
【实际情境】
(2020·衡水高一检测)一半径为2 m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面1 m;已知水轮按逆时针做匀速转动,每3s转一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.(1)以水轮所在平面与水面的交线为x轴,以过点O且与水面垂直的直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数.
(2)点P第一次到达最高点
大约要多长时间?【转化模板】
1. —由题意,点P距离水面的高度呈周期性变化,
符合正弦型函数模型,因此可以建立正弦型函数模型
求解.
2. —设水轮上圆心O正右侧的点为A,y轴与水面交
点为B,设h=msin(ωt+φ)+n.3. —如图所示,圆O的半径为2,P是圆上的一个动
点,点P从P0位置开始按照逆时针匀速在圆上运动,每
3 s转一圈,点P与x轴的距离h(m)与时间t(s)满足函数
h=Asin(ωt+φ)+B,OB=1,OP0=2,
(1)求函数h的解析式;
(2)当函数h取得最大值时,求t的最小值. 4. —(1)因为OB=1,OP0=2,所以∠BOP0= ,故
∠AOP0= ,所以φ=- .设h=2sin +1,则T=
=3,所以ω= ,所以h=2sin +1(t≥0).
(2)令sin =1,可得 +2kπ,k∈Z,
故t=1+3k,所以当k=0时,t=1.5. —(1)h=2sin +1(t≥0).
(2)点P第一次到达最高点大约要1秒.