新教材人教B版数学必修第三册课件：7.3.2 正弦型函数的性质与图像(一)（60张PPT）

课件60张PPT。7.3.2　正弦型函数的性质与图像(一)1.正弦型函数
(1)定义:形如y=Asin(ωx+φ)的函数;
(2)条件:A,φ,ω都是常数,且A≠0,ω≠0. (3)性质:【思考】
当φ为何值时,正弦型函数为奇函数?当φ为何值时,
正弦型函数是偶函数?
提示:当φ=kπ,k∈Z时,正弦型函数是奇函数;
当φ= +kπ,k∈Z时,正弦型函数是偶函数.2.参数A,φ,ω对函数图像的影响
(1)A(A>0)对函数图像的影响
y=sin x y=Asin x
(2)φ对函数图像的影响
y=sin x y=sin(x+φ)(3)ω(ω>0)对函数图像的影响
y=sin x y=sin ωx.【思考】
由一般的函数f(x)的图像怎样得到函数f(x+a)的图像?
提示:将函数f(x)的图像当a>0时,向左平移a个单位;当a<0时,向右平移-a个单位. 【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数y=sin 的周期是π. (　　)
(2)将函数y=sin x图像上点的纵坐标保持不变,横坐
标变为原来的2倍,得到函数y=sin 2x的图像. (　　)(3)将函数y=sin x图像上点的横坐标不变,纵坐标变
为原来的 ,得到函数y= sin x的图像.(　　)提示:(1)×.周期为2π.
(2)×.得到函数y=sin x的图像.
(3)√.由A对函数图像的影响可知正确.2.函数f(x)=2sin 的最小正周期为________.?
【解析】函数f(x)=2sin =-2sin 的最小
正周期为T= .
答案: 3.函数y=-2sin 的最小值为________,此时,x=
________.?
【解析】最小值为-2,此时2x- +2kπ,k∈Z,解
得x=kπ+ ,k∈Z.
答案:-2　kπ+ ,k∈Z类型一　正弦型函数的图像变换
【典例】1.(2020·天水高一检测)为了得到函数y=
2sin 的图像,可以将函数y=2sin 的图像
(　　)
A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位2.将函数y=sin 图像上所有点的横坐标伸长到
原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移 个单位得到
的图像对应的解析式是 (　　)
A.y=sin x B.y=sin
C.y=sin 2x D.y=sin 3.(2020·白银高一检测)把函数y=sin 的图像
向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图像正好关于原
点对称,则φ的最小值为________.?【思维·引】1.提出系数后计算平移单位.
2.逐一代入变换条件,求解析式.
3.先表示出平移后的解析式,再利用图像关于原点对称求最小值.【解析】1.选B.因为y=2sin =2sin ,
y=2sin =2sin ,
由于 ,故把函数y=2sin 的图像上
所有的点,向右平移 个单位长度,
可得y=2sin =2sin 的图像.2.选B.将函数y=sin 图像上所有点的横坐标伸
长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sin 的图
像;
再向右平移 个单位,得到的图像对应的解析式为
y=sin =sin .3.将函数的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度,可得
y=sin 的图像,再根据所得图像关于原点对
称,可得 +φ=kπ,k∈Z,当φ取最小值时,得
+φ=2π,φ= .
答案: 【内化·悟】
将函数y=sin ωx图像上所有点向右平移 个单位,
是针对ωx,还是针对x的变换?
提示:针对x,即得到y=sin ω .【类题·通】
关于正弦型函数图像的变换
(1)变换的要点:
①A(A>0):横坐标不变,纵坐标变为原来的A倍;
②ω(ω>0):纵坐标不变,横坐标变为原来的 倍;
③φ:左右平移的单位是 .(2)变换的方向:进行图像变换时还要注意变换的顺序,分清是由哪一个函数变换到另一个函数.【习练·破】
1.(2020·汕头高一检测)为了得到函数y=sin
的图像,只要把y=sin x的图像上所有的点(　　)
A.向左平移 个单位长度
B.向右平移 个单位长度C.向左平移 个单位长度 　　　
D.向右平移 个单位长度【解析】选C.y=sin =sin ,
所以得到函数y=sin 的图像,
只要把y=sin x的图像上所有的点向左平移 个单
位.2.(2020·岳阳高一检测)将函数f(x)=sin 2x的图像向右平移1个单位长度后得到g(x)的图像,则g(x)=
(　　)
A.sin(2x-1) B.sin(2x+1)
C.sin(2x-2) D.sin(2x+2)【解析】选C.将函数f(x)=sin 2x的图像向右平移1个
单位长度后得到g(x)=sin[2(x-1)]=sin(2x-2)的图像,
所以g(x)=sin(2x-2).【加练·固】
已知曲线C1:y=sin x,C2:y=sin ,则下面结论中
正确的是 (　　)
A.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不
变,再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲
线C2B.把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍.纵坐标不
变,再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲
线C2
C.把C1上各点的横坐标伸长到原米的2倍,纵坐标不变,
再把得到的曲线向右平移 个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,
再把得到的曲线向左平移 个单位长度,得到曲线C2【解析】选B.因为已知曲线C1:y=sin x,C2:y=
sin ,故把C1上各点的横坐标缩短到原来的
倍,纵坐标不变,可得y=sin 2x的图像;再把得到的曲
线向左平移 个单位长度,得到曲线C2.类型二　“五点法”作正弦型函数的图像
【典例】(2020·石嘴山高一检测)已知函数y=
3sin .
(1)用五点作图在如图坐标系中作出上述函数在
的图像.(请先列表,再描点,图中每个小矩形的宽度
为 )(2)请描述上述函数图像可以由函数y=sin x怎样变换而来? 世纪金榜导学号【思维·引】(1)按照列表、描点、连线的步骤作图.
(2)由先左右平移、再横坐标伸缩,最后纵坐标伸缩的步骤变换.【解析】(1)因为x∈ ,
所以2x- ∈[0,2π].
列表如下:描点、连线,得出所要求作的图像如图:(2)把y=sin x的图像向右平移 个单位,
可得y=sin 的图像;
再把所得图像的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,
可得y=sin 的图像;
再把所得图像的纵坐标变为原来的3倍,横坐标不变,
可得y=3sin 的图像.【内化·悟】
“五点法”作图时五个点分别是哪几个特殊点?
提示:五个点中,有最大值点、最小值点,还有图像与x轴的交点.【类题·通】
关于“五点法”作正弦型函数的图像
“五点法”作正弦型函数图像的关键是列表,如作区间
[x1,x2]上的图像,先求出两个端点处的相位ωx1+φ、
ωx2+φ,再取出[ωx1+φ,ωx2+φ]内的五点,分别求
出对应的x,y完成列表.【习练·破】
某同学作函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|
< )在[0,π]这一个周期内的简图时,列表并填入了
部分数据,如表:(1)请将上表数据补充完整,并求出f(x)的解析式.
(2)作出f(x)在该周期内的图像.【解析】(1)如表:由表可得,A=3,周期T=π,故ω= =2,
再将最高点 代入得,3sin =3,
又由于|φ|< ,故φ= ,故f(x)=3sin .(2)对应的图像如图:【加练·固】
用“五点法”画函数y=2sin 的简图.【解析】先画函数在一个周期内的图像.令X=3x+ ,
则x= ,列表描点作图,再将图像左右延伸即可.类型三　求正弦型函数的性质
角度1　求最值
【典例】函数y=-2sin +1的最大值为_______,
取得最大值时x=________. 世纪金榜导学号?【思维·引】利用正弦函数的最大值及取得最大值时
的x值代入求解.
【解析】ymax=-2×(-1)+1=3,令2x- +2kπ,
k∈Z,解得x= +kπ,k∈Z.
答案:3　 +kπ,k∈Z【素养·探】
在求与正弦型函数有关的最值时,常常用到核心素养中的数学运算,分别计算出最值及相应的x值.本例中,试求函数的最小值及取得最小值时x的值.【解析】ymin=-2×1+1=-1,令2x- +2kπ,k∈Z,
解得x= +kπ,k∈Z.角度2　求单调区间
【典例】函数y= 的单调递减区间是____,
在区间[0,π]上的单调减区间是________.?【思维·引】先由诱导公式将x的系数变为正,再代入正弦函数单调区间解出x.【解析】函数y=
令 +2kπ≤3x- +2kπ,k∈Z,
解得 ,k∈Z.
令k=0得, ;令k=1得
所以在区间[0，π]上的单调减区间为 答案: ,(k∈Z) 【类题·通】
　关于正弦型函数的单调区间
(1)利用诱导公式将x的系数变正;
(2)将ωx+φ看作整体,代入到正弦函数相应的单调区间中,解出x的范围,并写成区间的形式;
(3)写单调区间时不要漏掉k∈Z.【习练·破】
1.函数y=2-3sin 的最大值为________,确定最大
值时x=________.?
【解析】ymax=2+3=5,令2x- +2kπ,k∈Z,
解得x= +kπ,k∈Z.
答案:5　 +kπ,k∈Z2.函数y=2sin(π+2x)的单调增区间是________.?
【解析】函数y=2sin(π+2x)=-2sin2x,
令 +2kπ≤2x≤ +2kπ,k∈Z,
解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z.
答案: ,k∈Z【加练·固】
求函数y=3sin 的单调增区间.
【解析】函数y=3sin =-3sin ,
令 +2kπ≤ x+ +2kπ,k∈Z,
解得 +4kπ≤x≤ +4kπ,k∈Z,
所以单调增区间为 ,k∈Z.