新教材人教B版数学必修第三册课件：7.3.4 正切函数的性质与图像（61张PPT）

课件61张PPT。7.3.4　正切函数的性质与图像1.正切函数的定义
对于任意一个角x,只要x≠ +kπ,k∈Z,就有唯一确
定的正切值tan x与之对应,则y=tan x称为正切函数.2.正切函数的性质【思考】
(1)正切函数在定义域上是单调递增函数吗?
提示:不是.正切函数在每一个区间
(k∈Z)上都是单调递增函数,但是不能说在定义域上
是增函数.(2)函数y=Atan 的周期是多少?
提示:T= .3.正切函数的图像
正切曲线:【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)正切函数既没有最大值也没有最小值.(　　)
(2)正切函数的对称中心是(kπ,0),k∈Z.(　　)
(3)函数y=tan 2x的周期是2π.(　　)提示:(1)√.正切函数的值域为R,既没有最大值也没
有最小值.
(2)×.正切函数的对称中心是 ,k∈Z.
(3)×.函数y=tan 2x的周期是 .2.函数y=tan 的一个对称中心是 (　　)　　　　　　　　　　　　
A.(0,0) B.
C. D.(π,0)【解析】选C.令x+ ,k∈Z,得x= ,k∈Z,
所以函数y=tan 的对称中心是 .
令k=2,可得函数的一个对称中心为 .3.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线
y=1所得线段长为 ,则f 的值是________.?【解析】由题意知 ,所以ω=4,
所以f =tan .
答案: 类型一　正切函数的定义域、周期性、奇偶性
【典例】1.(2020·咸阳高一检测)函数y=tan
的定义域是 (　　)
2.函数y=tan(sin x)是 (　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数3.若函数f(x)=tan (ω>0)的最小正周期为
2π,则ω=________;f =________.?【思维·引】1.结合正切函数中 +kπ,
k∈Z求解.
2.根据奇偶函数的性质判断.
3.由T= =2π求ω,进而求f .【解析】1.选A.令 x+ ≠kπ+ (k∈Z),解得
x≠2kπ+ (k∈Z),故函数的定义域为 2.选A.易知函数的定义域为R,
f(-x)=
是奇函数.3.因为函数f(x)=tan (ω>0)的最小正周期为
T= =2π,所以ω= .
所以f(x)=tan ,
f =tan =tan .
答案: 　 【内化·悟】
判断函数的奇偶性时,首先要求出函数的哪个性质?
提示:首先要求出函数的定义域.【类题·通】
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数
定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意
义即x≠ +kπ,k∈Z.
(2)一般地,函数y=Atan 的最小正周期为T= ,
常常利用此公式来求周期.【习练·破】
1.下列函数中,同时满足:①在 上是增函数,②为
奇函数,③以π为最小正周期的函数是 (　　)　　　　　　　　　　
A.y=tan x B.y=cos x
C.y=tan D.y=|tan x|【解析】选A.经验证,选项B,D中所给函数都是偶函数,不符合;选项C中所给的函数的周期为2π.2.函数f(x)= 的定义域为 (　　)
【解析】选A.由题意得
即 k∈Z,所以x≠ (k∈Z).【加练·固】
　　 函数y=tan 是 (　　)
A.最小正周期为4π的奇函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为4π的偶函数
D.最小正周期为2π的偶函数【解析】选B.函数的周期T= =2π,且函数为奇函数.类型二　正切函数的单调性
角度1　求单调区间
【典例】函数f(x)= tan 的单调递增区间为
(　　)　　　　 　　　　　 　　　　　
【思维·引】代入正切函数的单调增区间,解出x的范围.【解析】选A.对于函数f(x)= tan ,
令kπ- < x+ 求得2k- 故函数的增区间为 (k∈Z).【素养·探】
求正切型函数的单调区间时,往往用到核心素养中的
数学运算,通过解x的范围求单调区间.
本例中的函数改为f(x)= tan ,试求函数的
单调区间,求出的是单调增区间还是单调减区间?【解析】f(x)= tan =- tan ,
令kπ- < x- 解得2k- 故函数的单调区间是 ,k∈Z.
是单调减区间.角度2　单调性的应用
【典例】1.若tan 2=a,tan 3=b,tan 5=c,则 (　　)
A.aC.c0)在
(-π,π)上是递增函数,则ω的取值范围是_______.
世纪金榜导学号?【思维·引】1.将2,3,5化到一个单调区间内比较大小;
2.先求出ωx的范围,该范围是正切函数单调区间的子区间.【解析】1.选D.因为tan 5=tan(5-π), <5-π<2<
3<π,又因为函数y=tan x在区间 上是增函数,
所以tan(5-π)所以tan 50)在(-π,π)上是递增函数,
所以kπ- ≤ω·(-π),且ω·π≤ +kπ,k∈Z,
所以求得ω≤ -k且ω≤ +k,k∈Z,所以可得ω≤ ,
所以ω的取值范围为 .
答案: 【类题·通】
1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,ω≠0,且A,ω,φ都是
常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都是增
函数,故可用“整体代换”的思想,令kπ- <ωx+φ
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小关系.【习练·破】
1.函数y=tan 的单调增区间是 (　　)
【解析】选B.令- +kπ< < +kπ,k∈Z,
所以- +kπ< +kπ,k∈Z,
所以- +2kπ故增区间为 ,k∈Z.2.-tan 与tan 的大小关系是________.?【解析】-tan =-tan ,tan =-tan =
-tan .因为0< <π,所以tan >0,
tan <0,所以-tan <-tan ,
即-tan 答案:-tan 比较tan 与tan 的大小.【解析】由于tan =tan =tan =
-tan ,tan =-tan =-tan ,
又0< < < ,
而y=tan x在 上单调递增,
所以tan -tan ,
即tan >tan .类型三　正切函数性质、图像的应用
【典例】1.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;
③y=tan(-x);④y=tan |x|在x∈ 内的大致图
像,那么由a到d对应的函数关系式应是 (　　)A.①②③④
B.①③④②
C.③②④①
D.①②④③2.函数y=tan ,x∈ 的值域是________.?
3.已知- ≤x≤ ,f(x)=tan2x+2tan x+2,求f(x)的最值及相应的x值. 世纪金榜导学号【思维·引】1.分区间确定单调性,从而判断图像.
2.求出 的范围,利用正切函数的图像求值域.
3.将函数看作关于正切的一元二次函数,配方求最值.【解析】1.选D.y=tan(-x)=-tan x在 上是
减函数,只有图像d符合,即d对应③.
2.由x∈ ,所以
结合正切函数的性质可得1答案:(1, ]3.令t=tan x,因为- ≤x≤ ,
所以- ≤tan x≤1,所以t∈ ,
y=t2+2t+2=(t+1)2+1,
当t=-1即x=- 时,f(x)有最小值1,
当t=1即x= 时,f(x)有最大值5.【内化·悟】
求函数y=tan 在定区间上的值域时,利用了哪种数学方法?
提示:将ωx+φ看作整体,整体思想.【类题·通】
求与正切函数相关的值域的方法
(1)对于y=tan x在不同区间上的值域,可以结合图像,利用单调性求值域.(2)对于y=A tan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图像,利用单调性求值域.
(3)对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域.
【习练·破】
1.已知函数f(x)=tan(x+φ),|φ|< 的图像的一个
对称中心为 则φ的值为________.?【解析】因为函数的图像的一个对称中心为 ,
所以 +φ= ,k∈Z,
则φ=- + ,k∈Z.
又|φ|< ,取k=0,得φ=- ;取k=1,得φ= ,
所以φ的值为- 或 .
答案:- 或 2.方程 -tan x=0在x∈ ∪ 内的解的
个数为________.?【解析】分别画出y= 与y=tan x在x∈ ∪
内的图像,如图.
易知y= 与y=tan x在相应区
间内有2个交点,原方程有2个根.
答案:2【加练·固】
函数y=tan(π-x),x∈ 的值域为________.?
【解析】y=tan(π-x)=-tan x,在 上为减函数,
所以值域为(- ,1).
答案:(- ,1)