新教材人教B版数学必修第三册课件：8.1.1 向量数量积的概念（66张PPT）
文档属性
| 名称 | 新教材人教B版数学必修第三册课件：8.1.1 向量数量积的概念（66张PPT） |
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|
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-25 10:45:12 | ||
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文档简介
课件66张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换
8.1 向量的数量积
8.1.1 向量数量积的概念1.两个向量的夹角【思考】
在△ABC中,向量 与向量 的夹角是角B吗?为什么?
提示:不是.向量 与向量 的夹角是角B的补角.2.向量的数量积【思考】
(1)向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么?
提示:向量的数量积a·b是一个实数,不考虑方向;向量加法、减法和数乘仍是向量,既有大小又有方向.(2)向量的数量积a·b什么时候为正,什么时候为负,什么时候为零?
提示:当0°≤<90°时,a·b为正;
当90°<≤180°时,a·b为负;
当=90°时,a·b为零.(3)根据向量数量积的定义,如何求两个非零向量a与b的夹角?
提示:先求cos= ,再根据余弦值求.(4)|a·b|≤|a||b|中等号何时成立?
提示:当a与b共线时,等号成立.3.向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)作法:设非零向量 =a,过A,B分别作直线l的垂线,
垂足分别为A′,B′.
(2)结论:称向量 为向量a在直线l上的投影向量或投
影.(3)投影的数量:如果a,b都是非零向量,则称|a|cos为向量a在向量b上的投影的数量.
(4)向量数量积的几何意义:两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.【思考】
一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗?若共线,它们的方向相同还是相反?
提示:一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们既有可能方向相同,也有可能方向相反.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个非零向量的夹角是唯一确定的. ( )
(2)若非零向量a与b共线,则=0°. ( )
(3)a·b不能写成a×b,也不能写成ab. ( )提示:(1)√.由两个向量夹角的定义可知.
(2)×.若非零向量a与b共线,则=0°或 =180°.
(3)√.两个向量的数量积只能表示为a·b.2.若|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b等于
( )
A. B. C.1 D.2
【解析】选C.a·b=|a|·|b|cos=2×1×
cos 60°=1.3.已知|a|=9,|b|=6 ,a·b=-54,则a与b的夹角θ为
( )
A.45° B.135° C.120° D.150°
【解析】选B.cos θ= =
又因为0≤θ≤π,所以θ= π,即θ=135°.4.已知|a|=8,|b|=4,=120°,则向量b在a方向上的投影的数量为 ( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
【解析】选D.向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos=4×cos 120°=-2.5.若向量a与b的夹角为60°,则向量-a与b的夹角为________.?【解析】如图,向量-a与a互为相反向量,
所以向量-a与b的夹角为120°.
答案:120°类型一 求两向量的数量积
【典例】1.在△ABC中,| |=10,| |=5 ,∠B=
135°,则 · 的值是________.?
2.已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹
角为30°时,分别求a与b的数量积. 【思维·引】
1.确定 与 的夹角,依据数量积的定义求值.
2.依据数量积的定义求值,关注以下两点:(1)注意两个向量的夹角;(2)当a∥b时,要注意夹角为0°和180°两种情况.【解析】1.易知cos< , >=cos(180°-∠B)
=cos 45°= .
所以 · =| |·| |cos< , >
=10×5 × =50.
答案:502.(1)当a∥b时，若a与b同向，则〈a,b〉＝0°，
a·b＝|a|·|b|cos 0°=4×5＝20；
若a与b反向，则〈a,b〉=180°，
所以a·b＝|a|·|b|cos 180°=4×5×(-1)=-20.(2)当a⊥b时，〈a,b〉=90°，
所以a·b＝|a|·|b|cos 90°=0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝
|a|·|b|cos 30°=4×5× =10 .【内化·悟】
求两个向量的数量积时,要确定哪几个量?
提示:需要确定两个向量的模及向量的夹角.【类题·通】
求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角,∈[0,π].
(2)分别求|a|和|b|.
(3)求数量积,即a·b=|a|·|b|cos.【习练·破】
已知正三角形ABC的边长为1,求:
【解析】(1)因为 与 的夹角为60°.
所以 · =| || |cos 60°=1×1× = .
(2)因为 与 的夹角为120°.
所以 · =| || |cos 120°=1×1× (3)因为 与 的夹角为60°,
所以 · =| || |cos 60°=1×1× = .【加练·固】
如图所示,在?ABCD中,| |=4,| |=3,∠DAB=60°,求:
【解析】(1)因为 ∥ ,且方向相同,
所以 与 的夹角是0°,
所以 · =| || |cos 0°=3×3×1=9.(2)因为 ∥ ,且方向相反,
所以 与 的夹角是180°,
所以 · =| || |cos 180°=4×4×(-1)=-16.(3)因为 与 的夹角为60°,
所以 与 的夹角为120°,
所以 · =| || |cos 120°=4×3× =-6.
(4)因为 与 的夹角为60°,
· =| || |cos 60°=3×4× =6.类型二 向量数量积的几何意义
【典例】1.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,则a在b方向上投影的数量为________,b在a方向上投影的数量为________.?2.在△ABC中,已知| |=5,| |=4,| |=3,求:
(1) · .
(2) 在 方向上的投影的数量.
【思维·引】1.依据一个向量在另一个向量上的投影
的数量的定义求值.
2.(1)判断△ABC的形状,求有关角的余弦值,依据
· =- · 求值.
(2)依据一个向量在另一个向量上的投影的数量的定
义求值.【解析】1.a·b=|a|·|b|cos=-12,
所以向量a在向量b方向上投影的数量为|a|·cos
= ;向量b在向量a方向上投影的数量为
|b|·cos= =-4.
答案:- -42.因为| |=5,| |=4,| |=3,
所以△ABC为直角三角形,且C=90°.
所以cos A= ,cos B= .
(1) · =- · =-5×4× =-16.
(2)| |·cos< , >= 【内化·悟】
分两个向量的夹角为锐角和钝角两种情况,说明b在a方向上的投影的数量,何时为正,何时为负?提示:具体情况可以借助下表分析:【类题·通】
求向量的投影(或其数量)的关注点和计算方法
(1)关注点:注意a在b上的投影与b在a上的投影不同,审题时要看清.(2)计算方法:a在b方向上的投影的数量为
|a|cos= ,b在a方向上的投影的数量为
|b|cos= .
【习练·破】
如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是BC边的中点,求:
(1) 在 方向上投影的数量;
(2) 在 方向上投影的数量.【解析】连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,
所以△ABC是等腰直角三角形.
又因为D是BC边的中点,
所以AD⊥BC,∠ABD=45°,所以BD=2 .
延长AB到E(如图所示),则 与 的夹角为
∠DBE=180°-45°=135°.因此,
(1) 在 方向上投影的数量是
| |cos 135°=4× =-2 .
(2) 在 方向上投影的数量是
| |cos 135°=2 × =-2.【加练·固】
已知|a|=4,|b|=5,则a在b上的投影数量与b在a上的投
影数量的比值λ=________.?
【解析】由题意,得λ=
答案: 类型三 向量数量积的性质及应用
角度1 与向量的夹角、垂直有关的问题
【典例】1.E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,
DA的中点,若( + )·( + )=0,则四边形EFGH
是 ( )
A.梯形 B.正方形 C.菱形 D.矩形2.已知a,b是两个非零向量. 世纪金榜导学号
(1)若|a|=3,|b|=4,|a·b|=6,求a与b的夹角.
(2)若|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.【思维·引】1.根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的几何意义判断垂直关系.
2.(1)利用向量数量积的公式求解;(2)利用向量的几何意义求解.【解析】1.选D.如图,连接AC,BD,
则由题意可知,EF∥AC,GH∥AC,
所以EF∥GH,同样,GF∥BD,EH∥BD,所以GF∥EH,所以四边形EFGH是平行四边形,
又( + )·( + )=0,
即 · =0,
所以 ⊥ ,即AC⊥BD,
所以EF⊥GF,所以四边形EFGH是矩形.2.(1)因为a·b=|a||b|cos,
所以|a·b|=||a||b|cos|=|a||b||cos|=6.
又|a|=3,|b|=4,所以|cos|=
所以cos=± .
因为∈[0,π],
所以a与b的夹角为 或 .(2)如图,在平面内取一点O,作 =a, =b,以 ,
为邻边作?OACB,因为|a|=|b|,即| |=| |,
所以四边形OACB为菱形,OC平分∠AOB,
这时 =a+b, =a-b,
因为|a|=|b|=|a-b|,
即| |=| |=| |,所以∠AOB= ,所以∠AOC= ,即a与a+b的夹角为 .
【素养·探】
在与向量的夹角有关的问题中,经常利用核心素养中
的直观想象,根据两个向量夹角的定义,画图确定两个
向量的夹角.
将本例2(2)条件“|a|=|b|=|a-b|”改为“|a+b|=
|a-b|=2|a|”,求向量a+b与a-b的夹角.【解析】如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,
因为|a+b|=|a-b|,所以四边形ABCD为矩形.
在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,
所以∠ABD= .
所以a+b和a-b的夹角为 .角度2 与向量的模有关的问题
【典例】已知x=1是方程x2+|a|x+a·b=0的根,且a2=4, a与b的夹角为120°.求向量b的模. 世纪金榜导学号【思维·引】依据a2=|a|2求|a|,依据方程根的定义求a·b,用向量数量积的定义列方程求向量b的模.【解析】因为a2=4,所以|a|2=4,即|a|=2,
将x=1代入原方程可得1+2×1+a·b=0,
所以a·b=-3,
所以a·b=|a||b|cos=2|b|cos 120°=-3,
所以|b|=3.【类题·通】
1.求向量夹角的基本步骤及注意事项
(1)步骤:(2)注意:在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,
常利用消元思想计算cos的值.
2.求解向量模的问题要灵活应用a2=|a|2,即|a|= ,
勿忘记开方.【习练·破】
1.已知|a|=4,|b|=2,b2-a2=3a·b,则向量a与向量b的夹角等于 ( )
A. B. C. D. 【解析】选B.由已知得,3a·b=b2-a2=|b|2-|a|2=
22-42=-12,所以a·b=-4,
所以cos=
又0≤≤π,所以= .2.已知非零向量a,b的夹角为45°,且|a|=2,
a2-2a·b+b2=4,则|b|=________.?【解析】因为|a|=2,=45°,
所以由a2-2a·b+b2=4得
|a|2-2|a||b|cos 45°+|b|2=4,
即4-2 |b|+|b|2=4,
解得|b|=2 或|b|=0,
因为b是非零向量,所以|b|=2 .
答案:2 【加练·固】
已知a,b,a·b=40,|a|=10,|b|=8,求a与b的夹角.
【解析】因为a·b=|a||b|cos θ,θ为a与b的夹角,
而a·b=40,|a|=10,|b|=8,所以cos θ=
又因为0°≤θ≤180°,所以a与b的夹角为60°.
8.1 向量的数量积
8.1.1 向量数量积的概念1.两个向量的夹角【思考】
在△ABC中,向量 与向量 的夹角是角B吗?为什么?
提示:不是.向量 与向量 的夹角是角B的补角.2.向量的数量积【思考】
(1)向量的数量积a·b与向量加法、减法和数乘的区别是什么?
提示:向量的数量积a·b是一个实数,不考虑方向;向量加法、减法和数乘仍是向量,既有大小又有方向.(2)向量的数量积a·b什么时候为正,什么时候为负,什么时候为零?
提示:当0°≤
当90°<
当
提示:先求cos
提示:当a与b共线时,等号成立.3.向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)作法:设非零向量 =a,过A,B分别作直线l的垂线,
垂足分别为A′,B′.
(2)结论:称向量 为向量a在直线l上的投影向量或投
影.(3)投影的数量:如果a,b都是非零向量,则称|a|cos
(4)向量数量积的几何意义:两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.【思考】
一个向量在一个非零向量上的投影,与这个非零向量共线吗?若共线,它们的方向相同还是相反?
提示:一个向量在一个非零向量上的投影,一定与这个非零向量共线,但它们既有可能方向相同,也有可能方向相反.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)两个非零向量的夹角是唯一确定的. ( )
(2)若非零向量a与b共线,则
(3)a·b不能写成a×b,也不能写成ab. ( )提示:(1)√.由两个向量夹角的定义可知.
(2)×.若非零向量a与b共线,则
(3)√.两个向量的数量积只能表示为a·b.2.若|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,则a·b等于
( )
A. B. C.1 D.2
【解析】选C.a·b=|a|·|b|cos
cos 60°=1.3.已知|a|=9,|b|=6 ,a·b=-54,则a与b的夹角θ为
( )
A.45° B.135° C.120° D.150°
【解析】选B.cos θ= =
又因为0≤θ≤π,所以θ= π,即θ=135°.4.已知|a|=8,|b|=4,
A.4 B.-4 C.2 D.-2
【解析】选D.向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos
所以向量-a与b的夹角为120°.
答案:120°类型一 求两向量的数量积
【典例】1.在△ABC中,| |=10,| |=5 ,∠B=
135°,则 · 的值是________.?
2.已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹
角为30°时,分别求a与b的数量积. 【思维·引】
1.确定 与 的夹角,依据数量积的定义求值.
2.依据数量积的定义求值,关注以下两点:(1)注意两个向量的夹角;(2)当a∥b时,要注意夹角为0°和180°两种情况.【解析】1.易知cos< , >=cos(180°-∠B)
=cos 45°= .
所以 · =| |·| |cos< , >
=10×5 × =50.
答案:502.(1)当a∥b时，若a与b同向，则〈a,b〉＝0°，
a·b＝|a|·|b|cos 0°=4×5＝20；
若a与b反向，则〈a,b〉=180°，
所以a·b＝|a|·|b|cos 180°=4×5×(-1)=-20.(2)当a⊥b时，〈a,b〉=90°，
所以a·b＝|a|·|b|cos 90°=0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝
|a|·|b|cos 30°=4×5× =10 .【内化·悟】
求两个向量的数量积时,要确定哪几个量?
提示:需要确定两个向量的模及向量的夹角.【类题·通】
求平面向量数量积的步骤
(1)求a与b的夹角
(2)分别求|a|和|b|.
(3)求数量积,即a·b=|a|·|b|cos
已知正三角形ABC的边长为1,求:
【解析】(1)因为 与 的夹角为60°.
所以 · =| || |cos 60°=1×1× = .
(2)因为 与 的夹角为120°.
所以 · =| || |cos 120°=1×1× (3)因为 与 的夹角为60°,
所以 · =| || |cos 60°=1×1× = .【加练·固】
如图所示,在?ABCD中,| |=4,| |=3,∠DAB=60°,求:
【解析】(1)因为 ∥ ,且方向相同,
所以 与 的夹角是0°,
所以 · =| || |cos 0°=3×3×1=9.(2)因为 ∥ ,且方向相反,
所以 与 的夹角是180°,
所以 · =| || |cos 180°=4×4×(-1)=-16.(3)因为 与 的夹角为60°,
所以 与 的夹角为120°,
所以 · =| || |cos 120°=4×3× =-6.
(4)因为 与 的夹角为60°,
· =| || |cos 60°=3×4× =6.类型二 向量数量积的几何意义
【典例】1.已知|a|=3,|b|=5,且a·b=-12,则a在b方向上投影的数量为________,b在a方向上投影的数量为________.?2.在△ABC中,已知| |=5,| |=4,| |=3,求:
(1) · .
(2) 在 方向上的投影的数量.
【思维·引】1.依据一个向量在另一个向量上的投影
的数量的定义求值.
2.(1)判断△ABC的形状,求有关角的余弦值,依据
· =- · 求值.
(2)依据一个向量在另一个向量上的投影的数量的定
义求值.【解析】1.a·b=|a|·|b|cos
所以向量a在向量b方向上投影的数量为|a|·cos
= ;向量b在向量a方向上投影的数量为
|b|·cos
答案:- -42.因为| |=5,| |=4,| |=3,
所以△ABC为直角三角形,且C=90°.
所以cos A= ,cos B= .
(1) · =- · =-5×4× =-16.
(2)| |·cos< , >= 【内化·悟】
分两个向量的夹角为锐角和钝角两种情况,说明b在a方向上的投影的数量,何时为正,何时为负?提示:具体情况可以借助下表分析:【类题·通】
求向量的投影(或其数量)的关注点和计算方法
(1)关注点:注意a在b上的投影与b在a上的投影不同,审题时要看清.(2)计算方法:a在b方向上的投影的数量为
|a|cos
|b|cos
【习练·破】
如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是BC边的中点,求:
(1) 在 方向上投影的数量;
(2) 在 方向上投影的数量.【解析】连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,
所以△ABC是等腰直角三角形.
又因为D是BC边的中点,
所以AD⊥BC,∠ABD=45°,所以BD=2 .
延长AB到E(如图所示),则 与 的夹角为
∠DBE=180°-45°=135°.因此,
(1) 在 方向上投影的数量是
| |cos 135°=4× =-2 .
(2) 在 方向上投影的数量是
| |cos 135°=2 × =-2.【加练·固】
已知|a|=4,|b|=5,则a在b上的投影数量与b在a上的投
影数量的比值λ=________.?
【解析】由题意,得λ=
答案: 类型三 向量数量积的性质及应用
角度1 与向量的夹角、垂直有关的问题
【典例】1.E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,
DA的中点,若( + )·( + )=0,则四边形EFGH
是 ( )
A.梯形 B.正方形 C.菱形 D.矩形2.已知a,b是两个非零向量. 世纪金榜导学号
(1)若|a|=3,|b|=4,|a·b|=6,求a与b的夹角.
(2)若|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.【思维·引】1.根据向量加法的三角形法则变形,利用向量垂直的几何意义判断垂直关系.
2.(1)利用向量数量积的公式求解;(2)利用向量的几何意义求解.【解析】1.选D.如图,连接AC,BD,
则由题意可知,EF∥AC,GH∥AC,
所以EF∥GH,同样,GF∥BD,EH∥BD,所以GF∥EH,所以四边形EFGH是平行四边形,
又( + )·( + )=0,
即 · =0,
所以 ⊥ ,即AC⊥BD,
所以EF⊥GF,所以四边形EFGH是矩形.2.(1)因为a·b=|a||b|cos
所以|a·b|=||a||b|cos
又|a|=3,|b|=4,所以|cos
所以cos
因为
所以a与b的夹角为 或 .(2)如图,在平面内取一点O,作 =a, =b,以 ,
为邻边作?OACB,因为|a|=|b|,即| |=| |,
所以四边形OACB为菱形,OC平分∠AOB,
这时 =a+b, =a-b,
因为|a|=|b|=|a-b|,
即| |=| |=| |,所以∠AOB= ,所以∠AOC= ,即a与a+b的夹角为 .
【素养·探】
在与向量的夹角有关的问题中,经常利用核心素养中
的直观想象,根据两个向量夹角的定义,画图确定两个
向量的夹角.
将本例2(2)条件“|a|=|b|=|a-b|”改为“|a+b|=
|a-b|=2|a|”,求向量a+b与a-b的夹角.【解析】如图在以a和b为邻边的平行四边形ABCD中,
因为|a+b|=|a-b|,所以四边形ABCD为矩形.
在Rt△ABD中,|a-b|=2|a|,
所以∠ABD= .
所以a+b和a-b的夹角为 .角度2 与向量的模有关的问题
【典例】已知x=1是方程x2+|a|x+a·b=0的根,且a2=4, a与b的夹角为120°.求向量b的模. 世纪金榜导学号【思维·引】依据a2=|a|2求|a|,依据方程根的定义求a·b,用向量数量积的定义列方程求向量b的模.【解析】因为a2=4,所以|a|2=4,即|a|=2,
将x=1代入原方程可得1+2×1+a·b=0,
所以a·b=-3,
所以a·b=|a||b|cos
所以|b|=3.【类题·通】
1.求向量夹角的基本步骤及注意事项
(1)步骤:(2)注意:在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,
常利用消元思想计算cos
2.求解向量模的问题要灵活应用a2=|a|2,即|a|= ,
勿忘记开方.【习练·破】
1.已知|a|=4,|b|=2,b2-a2=3a·b,则向量a与向量b的夹角等于 ( )
A. B. C. D. 【解析】选B.由已知得,3a·b=b2-a2=|b|2-|a|2=
22-42=-12,所以a·b=-4,
所以cos
又0≤
a2-2a·b+b2=4,则|b|=________.?【解析】因为|a|=2,
所以由a2-2a·b+b2=4得
|a|2-2|a||b|cos 45°+|b|2=4,
即4-2 |b|+|b|2=4,
解得|b|=2 或|b|=0,
因为b是非零向量,所以|b|=2 .
答案:2 【加练·固】
已知a,b,a·b=40,|a|=10,|b|=8,求a与b的夹角.
【解析】因为a·b=|a||b|cos θ,θ为a与b的夹角,
而a·b=40,|a|=10,|b|=8,所以cos θ=
又因为0°≤θ≤180°,所以a与b的夹角为60°.