新教材人教B版数学必修第三册课件：8.1.3 向量数量积的坐标运算（76张PPT）

课件76张PPT。8.1.3　向量数量积的坐标运算1.平面向量数量积的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2. 【思考】
向量数量积的坐标表示公式有什么特点?应用时应注意什么?
提示:公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”,在解题时要注意坐标的顺序. 2.向量的模与夹角的坐标表示
(1)向量模的公式:设a=(x1,y1),则|a|= .
两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则| |=
________________.
(2)向量的夹角公式:设两非零向量a=(x1,y1),
b=(x2,y2),cos=【思考】
| |的计算公式与解析几何中两点间的距离公式一
样吗?为什么?
提示:| |的计算公式与解析几何中两点间的距离公
式是完全一致的,实际上| |即为A,B两点间的距离.3.两个向量垂直的条件
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0. 【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)若a=(m,0),则|a|=m. (　　)
(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b?x1x2-y1y2=0.
(　　)
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且为钝角,则x1y1+x2y2<0. (　　)提示:(1)×.若a=(m,0),则|a|=|m|.
(2)×.a⊥b?x1x2+y1y2=0.
(3)×.为钝角,则x1x2+y1y2<0.2.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于 (　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选C.因为a=(1,-1),b=(-1,2),
所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),
则(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1.3.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b,则x等于
(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【解析】选C.因为向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b,
所以3x+1×(-3)=0,x=1.4.已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则|a-b|= (　　)
A. B.3 C.3 D.
【解析】选B.因为向量a=(2,4),b=(-1,1),
所以a-b=(3,3),则|a-b|= =3 .类型一　数量积的坐标运算
【典例】1.(2019·岳阳高一检测)已知向量a=(2,1),
b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k= (　　)
A.-12 B.-6
C.6 D.122.已知向量 =(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量
在 上投影的数量为 (　　)
A. B.-3 C. D.3
3.(2019·泰安高一检测)已知正方形ABCD的边长为1,
点E是AB边上的动点,则 的值为________;
的最大值为________.?【思维·引】1.利用数量积的坐标运算列出方程,解方程可得.
2.依据向量投影的定义计算.
3.建立适当的坐标系求解.【解析】1.选D.2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,
所以10+2-k=0,解得k=12.2.选C.因为点C(-1,0),D(4,5),
所以 =(5,5),| |=5 .
又 =(2,1),
所以 =2×5+1×5=15,
所以向量 在 上的投影的数量为 3.以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标
系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),
t∈[0,1],则 =(t,-1), =(0,-1),所以
=(t,-1)·(0,-1)=1.因为 =(1,0),所以 =(t,-1)·(1,0)=t≤1,
故 的最大值为1.
答案:1　1【内化·悟】
1.要求两向量的数量积需要求哪些量?
提示:可以求两向量的模与夹角,也可以直接求两向量的坐标.2.已知两个向量的数量积怎样求所含参数?
提示:利用数量积的公式列出关于参数的方程(组),解方程(组)即可.【类题·通】
1.进行数量积运算时,要正确使用公式a·b=x1x2+y1y2及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.2.向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.【习练·破】
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知 =(2,3), =(3,t),
| |=1,则 = (　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3【解析】选C.因为 =(1,t-3),
又因为| |=1,即12+(t-3)2=12,解得t=3,
所以 =(1,0),故 =2.2.已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,满足a·c=2,
b·c=5,则向量c=________.?
【解析】设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5,
所以 解得
所以c= .
答案: 【加练·固】
(2019·石家庄高一检测)已知△ABC是边长为2的等边
三角形,P为平面ABC内一点,则 的最小值
是 (　　)
A.-2　　B. 　　C. 　　D.-1【解析】选B.以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴建立平面直角坐标系,如图.可知A(0, ),B(-1,0),C(1,0).
设P(x,y),则 =(-x, -y), =(-1-x,-y),
=(1-x,-y).
所以 =(-2x,-2y).
所以 =2x2-2y( -y)=2x2+2 .当点P的坐标为 时,
取得最小值为 .类型二　用坐标运算解决数量积的性质问题
角度1　向量的模问题
【典例】已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),
则|a-2b|等于________. 世纪金榜导学号?【思维·引】先求出向量a-2b的坐标,再用模长公式
求其长度.
【解析】a+b=(x-1,y+2)=(1,3),所以x=2,y=1,
所以a=(2,1).所以a-2b=(4,-3),
所以|a-2b|= =5.
答案:5角度2　向量的夹角和垂直问题
【典例】已知a=(1,1),b=(0,-2),当k为何值时
(1)ka-b与a+2b垂直.
(2)ka-b与a+b的夹角为120°. 世纪金榜导学号【思维·引】利用垂直的条件、夹角公式列出方程求解参数即可.【解析】因为a=(1,1),b=(0,-2),
所以ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),a+2b=(1,1)+
(0,-4)=(1,-3).
a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).(1)因为ka-b与a+2b垂直,所以k-3k-6=0,
所以k=-3.
即当k=-3时,ka-b与a+2b垂直.(2)因为|ka-b|= ,|a+b|= ,
(ka-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,而ka-b
与a+b的夹角为120°,
所以cos 120°=
即 化简整理,得k2+2k-2=0,解得k=-1± .
即当k=-1± 时,ka-b与a+b的夹角为120°.【素养·探】
用向量数量积的坐标运算解决向量的夹角与垂直问题时,常常需要根据题目条件列方程求参数的值,突出体现了数学运算的核心素养.若本例条件改为“a=(4,3),
b=(-1,2),且(a-λb)⊥(2a+b),”
求a与b的夹角的余弦值和实数λ的值.【解析】因为a·b=4×(-1)+3×2=2,
|a|= =5,|b|=
所以cos=
因为a-λb=(4+λ,3-2λ),2a+b=(7,8),
又(a-λb)⊥(2a+b),所以(a-λb)·(2a+b)=7(4+λ)+8(3-2λ)=0,
所以λ= .【类题·通】
1.向量模的问题的解题策略
(1)字母表示下的运算,利用|a|2=a2将向量模的运算转
化为向量的数量积的运算.
(2)坐标表示下的运算,若a=(x,y),则|a|= .2.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出
这两个向量的数量积.
(2)求模.利用|a|= 计算两向量的模.
(3)求夹角余弦值.由公式cos θ=
求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.
3.非零向量a,b垂直问题的解决方法
涉及非零向量a,b垂直问题时,一般借助a⊥b?
a·b=x1x2+y1y2=0来解决.【发散·拓】
1.线段垂直的坐标关系
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是坐标平面内的三个点,
则 ?(x3-x1)·(x2-x1)+(y3-y1)(y2-y1)=0.2.向量共线的条件
由cos θ= 可知,若θ=0°或180°,则
cos θ=±1,则有x1x2+y1y2=± ,利用
此结论也可以判断两向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)是否共
线.【延伸·练】
已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是
(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形【解析】选A.因为 =(8,-4), =(2,4),
所以 =8×2+(-4)×4=0,
所以 ,所以∠BAC=90°,
故△ABC是直角三角形.【习练·破】
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则
|a-b|= (　　)
A. B.2 C.5 D.50【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=
(-1,1),所以|a-b|= 2.求与向量a=(1,2),b=(2,1)夹角相等的单位向量c的坐标.【解析】设c=(x,y),由cos=cos,c为单位向量,
得 解得 或
所以c= 或c= . 【加练·固】
1.(2019·重庆高一检测)设平面向量a=(1,2),b=
(-2,y),若a∥b,则|2a-b|等于 (　　)
A.4 B.5
C.3 D.4 【解析】选D.由题知y+4=0,y=-4,b=(-2,-4),
所以2a-b=(4,8),所以|2a-b|=4 .2.已知a=(1,2),b=(1,λ),分别确定实数λ的取值范围,使得:(1)a与b的夹角为直角.
(2)a与b的夹角为钝角.
(3)a与b的夹角为锐角.【解析】设a与b的夹角为θ,
则a·b=(1,2)·(1,λ)=1+2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角,
所以a·b=0,
所以1+2λ=0,
所以λ= .(2)因为a与b的夹角为钝角,
所以cos θ<0且cos θ≠-1,
所以a·b<0且a与b不反向共线.
由a·b<0得1+2λ<0,
故λ< ,由a与b共线得λ=2,
故a与b不可能反向共线,
所以λ的取值范围为 .(3)因为a与b的夹角为锐角,
所以cos θ>0,且cos θ≠1,
所以a·b>0且a,b不同向共线.
由a·b>0,得λ> ,
由a与b同向共线得λ=2,
所以λ的取值范围为 ∪(2,+∞).类型三　用数量积的坐标运算解决平面几何问题
【典例】1.在四边形ABCD中, =(1,2), =(-4,2),
则四边形ABCD的面积为 (　　)
A. B.2 C.5 D.102.已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.
求证:BE⊥CF.【思维·引】1.先判断四边形ABCD的对角线之间的关
系,再求其面积;
2.建立平面直角坐标系,求 和 的坐标,计算
=0.【解析】1.选C.因为在四边形ABCD中, =(1,2),
=(-4,2), =0,
所以四边形ABCD的对角线互相垂直,
又因为 所以该
四边形的面积: =5.2.以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
因为 =(-1,2), =(-2,-1),
所以 =(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
所以 ,即BE⊥CF.【内化·悟】
用数量积的坐标运算可以解决哪些平面几何问题?
提示:(1)证明垂直问题,如证明四边形是矩形、正方
形等,常用向量垂直的等价条件:
a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.(2)求夹角问题,常常利用向量的夹角公式
cos θ=
(3)求线段的长度或证明线段相等,可利用向量的线性
运算、向量模的公式|a|= .【类题·通】
用向量方法解决平面几何问题的步骤【习练·破】
已知点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD.
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值.【解析】(1)因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4), =(1,1),
=(-3,3),
所以 =1×(-3)+1×3=0,所以 ,
即AB⊥AD.(2)因为 ,四边形ABCD为矩形,
所以 ,设C点的坐标为(x,y),
则由 =(1,1), =(x+1,y-4),
得 解得 所以C点的坐标为(0,5),从而 =(-2,4), =(-4,2),
且
=8+8=16,
则cos
所以矩形的两条对角线的夹角的余弦值为 .类型四　函数中的向量问题
【数学情境】
求函数f(x)=12 的最大值.【转化模板】
1. —观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与
两个坐标表示的平面向量的数量积公式类似,建立向
量模型,尝试利用|a·b|≤|a||b|求解.
2. —设a=(12,5),b= ,
则a·b=12 3. —已知向量a=(12,5),b=( ),求a·b
的最大值.
4. —因为a=(12,5),b=( ),
所以|a|=13,|b|=3,a·b=12
又因为|a·b|≤|a||b|,所以|a·b|≤13×3=39,当且仅当a,b共线时,等号成立,即12
=0,解得x= .即当x= 时,a·b的最大值为39.
5. —函数f(x)=12 的最大值为39.