新教材人教B版数学必修第三册课件：8.2.3 倍角公式（72张PPT）
文档属性
| 名称 | 新教材人教B版数学必修第三册课件：8.2.3 倍角公式（72张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-25 10:46:04 | ||
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文档简介
课件72张PPT。 8.2.3 倍 角 公 式 1.倍角公式
(1)sin 2α=2sin αcos α(S2α).?
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(C2α).
(3)tan 2α=__________(T2α).【思考】(1)所谓的“倍角”公式,就是角α与2α之间
的转化关系,对吗?
提示:不对.对于“倍角”应该广义地理解,如:8α是4α
的二倍角,3α是 α的倍角,α是 的倍角, 的
倍角,…,这里蕴含着换元思想.这就是说“倍”是相对
而言的,是描述两个数量之间关系的.(2)公式中的角α是任意角吗?
提示:对于公式S2α,C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保证tan α有意义且分母1-tan2α≠0.2.倍角公式的变换
(1)因式分解变换
cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α).
(2)配方变换
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±
cos α)2.(3)升幂缩角变换
1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
(4)降幂扩角变换
cos2α= (1+cos 2α),sin2α= (1-cos 2α),
sinαcos α= sin 2α.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)倍角的正切公式的适用范围不是任意角. ( )
(2)对于任意的角α,都有sin 2α=2sin α成立. ( )
(3)存在角α,使cos 2α=2cos α成立. ( )(4)cos 3αsin 3α= sin 6α对任意的角α都成立.
( )提示:(1)√.倍角的正切公式,要求α≠ +kπ(k∈Z)
且α≠± +kπ(k∈Z),故此说法正确.
(2)×.当α= 时,sin 2α=sin ,而2sin α=
2× =1.(3)√.由cos 2α=2cos α=2cos2α-1,得cos α=
时,cos 2α=2cos α成立.
(4)√.由倍角的正弦公式可得.2.已知sin x= ,则cos 2x的值为 ( ) 【解析】选A.因为sin x= ,
所以cos 2x=1-2sin2 x=1-2× 3.若tan 2α=2,则tan 4α=________.?
【解析】tan 4α=
答案:- 类型一 倍角公式的求值问题
【典例】1.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=
________. ?
2.计算: =________.?3.已知 =
________.?【思维·引】
1.先用诱导公式转化成余弦值,再构造倍角的正弦公式求解.
2.利用倍角的正切公式求解.
3.利用诱导公式与倍角的正弦公式求解.【解析】1.原式=cos 80°cos 60°cos 40°cos 20°
=
答案: 2.原式=
答案: 3.
因为0<α< ,所以0< -α< ,
又 ,所以
所以原式=2×
答案: 【素养·探】
本例考查利用倍角公式求值问题,突出考查了数学抽象
与数学运算的核心素养.
本例1若变形为 ,试求其结果.【解析】原式= 【类题·通】
1.倍角公式正用、逆用解题的关注点
(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用倍角公式.
(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造倍角公式的形式.2.条件求值问题的解题实质
条件求值问题的解题实质是对已知条件与要求问题进行化简变形,最终代入已知条件求值;其解题突破口为已知条件与要求问题中角的特点,解题关键在于“变角”,即把“所求角”变为“已知角”.【习练·破】
1.cos4 -sin4 的化简结果为 ( )
A.cos B.cos α C.cos 2α D.cos 4α【解析】选B.cos4 -sin4 2.已知 = ( )【解析】选A.由题意有:3.计算: =________.?
【解析】
答案: 【加练·固】
1.化简 =________.?【解析】原式=
=2|cos 4|-2|sin 4+cos 4|,
因为π<4< ,
所以cos 4<0,sin 4+cos 4<0.
所以原式=-2cos 4+2(sin 4+cos 4)=2sin 4.
答案:2sin 42.计算:tan 150°+ =________.?【解析】原式=
答案:- 3.已知 则sin 4α的值
为________.?【解析】因为
即cos 2α= .因为α∈ ,所以2α∈(π,2π).
所以sin 2α=
所以sin 4α=2sin 2αcos 2α=2×
答案:- 类型二 倍角公式的化简、证明问题
角度1 化简问题
【典例】化简: 【思维·引】 先切化弦,再利用倍角正弦、余弦公式化简.【解析】原式=角度2 恒等式证明问题
【典例】求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B. 世纪金榜导学号
【思维·引】可考虑从左向右证的思路:先把左边降幂扩角,再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.【证明】左边=
所以等式成立.【素养·探】
本例考查三角恒等式的化简与证明,突出考查了逻辑推理的核心素养.
若本例改为:
求证: 【证明】左边=
故原式得证.【类题·通】
1.三角函数式的化简原则
三角函数式的化简原则:一是统一角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分.2.证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤
①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.【习练·破】
求证: cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ.【证明】方法一:左边=cos2θ
=cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边.故原式得证.
方法二:右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ
=cos2θ =cos2θ(1-tan2θ)=左边.故原式得证.【加练·固】
化简: ,其中θ∈(0,π).【解析】原式= ①当θ∈
此时原式=sin +cos -cos +sin =2sin .
②当θ∈
此时原式=sin +cos -sin +cos =2cos .类型三 倍角公式与三角函数性质综合问题
【典例】已知函数f(x)=sin2x-sin2 ,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期. 世纪金榜导学号
(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.【思维·引】先利用倍角公式把解析式化简为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再解答.【解析】(1) 由已知,有
所以f(x)的最小正周期T= =π.(2)因为f(x)在区间 上是减函数,在区间
上是增函数,
所以f(x)在区间 上的最大值为 ,最小值为- .【内化·悟】
研究形如f(x)=asin2ωx+bsin ωxcos ωx的性质时应
首先把函数f(x)化简成什么形式再解答?
提示:研究形如f(x)=asin2ωx+bsin ωxcos ωx的性
质时,先化成f(x)= sin(ωx+φ)+c的形式再解
答.【类题·通】
倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为
y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质. 【习练·破】
1.(2018·全国卷Ⅲ)函数 的最小正周期
为 ( )
A. B. C.π D.2π【解析】选C.f(x)= =
sin xcos x= sin 2x,所以f(x)的最小正周期为
T= =π.2.已知函数f(x)=sin2x+ sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若f(x)在区间 上的最大值为 ,求m的最小
值.【解析】(1)f(x)=sin2x+ sin xcos x
所以f(x)的最小正周期T= =π.(2)由(1)知,f(x)=
由题意知 ≤x≤m,所以 ≤2x- ≤2m- .
要使得f(x)在区间 上的最大值为 ,
即sin 在区间 上的最大值为1,
所以2m- ≥ ,即m≥ .所以m的最小值为 .【加练·固】
已知函数f(x)=2 sin xcos x-2cos2x+1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 上的最大
值和最小值.
(2)若f(x0)= ,求cos 2x0的值.【解析】(1)由f(x)=2 sin xcos x-2cos2x+1,
得f(x)= (2sin xcos x)-(2cos2x-1)
= sin 2x-cos 2x=2sin ,
所以函数f(x)的最小正周期为π.易知f(x)=2sin 上为增函数,
在区间 上为减函数,
又f(0)=-1, =-1,所以函数f(x)在
上的最大值为2,最小值为-1.(2)因为2sin ,所以sin
又x0∈
所以cos
所以cos 2x0=cos 类型四 倍角公式的实际应用
实际问题情境
某同学在一商店入口处测得科技大厦顶端的仰角为θ,他从此商店沿公路向前方走了30米,到达医院大门口,测得科技大厦顶端的仰角为2θ,再沿刚才的方向前进10 米到达路口拐角,此时测得科技大厦顶端的仰角为4θ,求科技大厦的高度. 转化模板
1. —由题意可以画出该问题的示意图,转化为解三角形问题,利用三角函数模型求解.
2. —如图,设商店入口为点B,医院大门口为点C,公路口拐角处为点D,科技大厦为EA,A点为顶端.3. —如图,∠ABE=θ,∠ACE=2θ,∠ADE=4θ,
BC=30,CD=10 .求AE.4. —因为∠ACD=θ+∠BAC,所以∠BAC=θ,
所以AC=BC=30,
因为∠ADE=2θ+∠CAD,所以∠CAD=2θ,
所以AD=CD=10 .
在Rt△ADE中,AE=AD·sin 4θ=10 sin 4θ,在Rt△ACE中,AE=AC·sin 2θ=30sin 2θ,
所以10 sin 4θ=30sin 2θ,
即20 sin 2θcos 2θ=30sin 2θ,
所以cos 2θ= ,因为2θ∈ ,所以sin 2θ= ,
所以AE=30sin 2θ=15.
5. —科技大厦的高度为15米.
(1)sin 2α=2sin αcos α(S2α).?
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(C2α).
(3)tan 2α=__________(T2α).【思考】(1)所谓的“倍角”公式,就是角α与2α之间
的转化关系,对吗?
提示:不对.对于“倍角”应该广义地理解,如:8α是4α
的二倍角,3α是 α的倍角,α是 的倍角, 的
倍角,…,这里蕴含着换元思想.这就是说“倍”是相对
而言的,是描述两个数量之间关系的.(2)公式中的角α是任意角吗?
提示:对于公式S2α,C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保证tan α有意义且分母1-tan2α≠0.2.倍角公式的变换
(1)因式分解变换
cos 2α=cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α).
(2)配方变换
1±sin 2α=sin2α+cos2α±2sin αcos α=(sin α±
cos α)2.(3)升幂缩角变换
1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
(4)降幂扩角变换
cos2α= (1+cos 2α),sin2α= (1-cos 2α),
sinαcos α= sin 2α.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)倍角的正切公式的适用范围不是任意角. ( )
(2)对于任意的角α,都有sin 2α=2sin α成立. ( )
(3)存在角α,使cos 2α=2cos α成立. ( )(4)cos 3αsin 3α= sin 6α对任意的角α都成立.
( )提示:(1)√.倍角的正切公式,要求α≠ +kπ(k∈Z)
且α≠± +kπ(k∈Z),故此说法正确.
(2)×.当α= 时,sin 2α=sin ,而2sin α=
2× =1.(3)√.由cos 2α=2cos α=2cos2α-1,得cos α=
时,cos 2α=2cos α成立.
(4)√.由倍角的正弦公式可得.2.已知sin x= ,则cos 2x的值为 ( ) 【解析】选A.因为sin x= ,
所以cos 2x=1-2sin2 x=1-2× 3.若tan 2α=2,则tan 4α=________.?
【解析】tan 4α=
答案:- 类型一 倍角公式的求值问题
【典例】1.sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=
________. ?
2.计算: =________.?3.已知 =
________.?【思维·引】
1.先用诱导公式转化成余弦值,再构造倍角的正弦公式求解.
2.利用倍角的正切公式求解.
3.利用诱导公式与倍角的正弦公式求解.【解析】1.原式=cos 80°cos 60°cos 40°cos 20°
=
答案: 2.原式=
答案: 3.
因为0<α< ,所以0< -α< ,
又 ,所以
所以原式=2×
答案: 【素养·探】
本例考查利用倍角公式求值问题,突出考查了数学抽象
与数学运算的核心素养.
本例1若变形为 ,试求其结果.【解析】原式= 【类题·通】
1.倍角公式正用、逆用解题的关注点
(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用倍角公式.
(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造倍角公式的形式.2.条件求值问题的解题实质
条件求值问题的解题实质是对已知条件与要求问题进行化简变形,最终代入已知条件求值;其解题突破口为已知条件与要求问题中角的特点,解题关键在于“变角”,即把“所求角”变为“已知角”.【习练·破】
1.cos4 -sin4 的化简结果为 ( )
A.cos B.cos α C.cos 2α D.cos 4α【解析】选B.cos4 -sin4 2.已知 = ( )【解析】选A.由题意有:3.计算: =________.?
【解析】
答案: 【加练·固】
1.化简 =________.?【解析】原式=
=2|cos 4|-2|sin 4+cos 4|,
因为π<4< ,
所以cos 4<0,sin 4+cos 4<0.
所以原式=-2cos 4+2(sin 4+cos 4)=2sin 4.
答案:2sin 42.计算:tan 150°+ =________.?【解析】原式=
答案:- 3.已知 则sin 4α的值
为________.?【解析】因为
即cos 2α= .因为α∈ ,所以2α∈(π,2π).
所以sin 2α=
所以sin 4α=2sin 2αcos 2α=2×
答案:- 类型二 倍角公式的化简、证明问题
角度1 化简问题
【典例】化简: 【思维·引】 先切化弦,再利用倍角正弦、余弦公式化简.【解析】原式=角度2 恒等式证明问题
【典例】求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B. 世纪金榜导学号
【思维·引】可考虑从左向右证的思路:先把左边降幂扩角,再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.【证明】左边=
所以等式成立.【素养·探】
本例考查三角恒等式的化简与证明,突出考查了逻辑推理的核心素养.
若本例改为:
求证: 【证明】左边=
故原式得证.【类题·通】
1.三角函数式的化简原则
三角函数式的化简原则:一是统一角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分.2.证明三角恒等式的原则与步骤
(1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤
①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;
②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.【习练·破】
求证: cos2θ(1-tan2θ)=cos 2θ.【证明】方法一:左边=cos2θ
=cos2θ-sin2θ=cos 2θ=右边.故原式得证.
方法二:右边=cos 2θ=cos2θ-sin2θ
=cos2θ =cos2θ(1-tan2θ)=左边.故原式得证.【加练·固】
化简: ,其中θ∈(0,π).【解析】原式= ①当θ∈
此时原式=sin +cos -cos +sin =2sin .
②当θ∈
此时原式=sin +cos -sin +cos =2cos .类型三 倍角公式与三角函数性质综合问题
【典例】已知函数f(x)=sin2x-sin2 ,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期. 世纪金榜导学号
(2)求f(x)在区间 上的最大值和最小值.【思维·引】先利用倍角公式把解析式化简为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再解答.【解析】(1) 由已知,有
所以f(x)的最小正周期T= =π.(2)因为f(x)在区间 上是减函数,在区间
上是增函数,
所以f(x)在区间 上的最大值为 ,最小值为- .【内化·悟】
研究形如f(x)=asin2ωx+bsin ωxcos ωx的性质时应
首先把函数f(x)化简成什么形式再解答?
提示:研究形如f(x)=asin2ωx+bsin ωxcos ωx的性
质时,先化成f(x)= sin(ωx+φ)+c的形式再解
答.【类题·通】
倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略
运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asin ωx+bcos ωx+k的形式,借助辅助角公式化为
y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质. 【习练·破】
1.(2018·全国卷Ⅲ)函数 的最小正周期
为 ( )
A. B. C.π D.2π【解析】选C.f(x)= =
sin xcos x= sin 2x,所以f(x)的最小正周期为
T= =π.2.已知函数f(x)=sin2x+ sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)若f(x)在区间 上的最大值为 ,求m的最小
值.【解析】(1)f(x)=sin2x+ sin xcos x
所以f(x)的最小正周期T= =π.(2)由(1)知,f(x)=
由题意知 ≤x≤m,所以 ≤2x- ≤2m- .
要使得f(x)在区间 上的最大值为 ,
即sin 在区间 上的最大值为1,
所以2m- ≥ ,即m≥ .所以m的最小值为 .【加练·固】
已知函数f(x)=2 sin xcos x-2cos2x+1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间 上的最大
值和最小值.
(2)若f(x0)= ,求cos 2x0的值.【解析】(1)由f(x)=2 sin xcos x-2cos2x+1,
得f(x)= (2sin xcos x)-(2cos2x-1)
= sin 2x-cos 2x=2sin ,
所以函数f(x)的最小正周期为π.易知f(x)=2sin 上为增函数,
在区间 上为减函数,
又f(0)=-1, =-1,所以函数f(x)在
上的最大值为2,最小值为-1.(2)因为2sin ,所以sin
又x0∈
所以cos
所以cos 2x0=cos 类型四 倍角公式的实际应用
实际问题情境
某同学在一商店入口处测得科技大厦顶端的仰角为θ,他从此商店沿公路向前方走了30米,到达医院大门口,测得科技大厦顶端的仰角为2θ,再沿刚才的方向前进10 米到达路口拐角,此时测得科技大厦顶端的仰角为4θ,求科技大厦的高度. 转化模板
1. —由题意可以画出该问题的示意图,转化为解三角形问题,利用三角函数模型求解.
2. —如图,设商店入口为点B,医院大门口为点C,公路口拐角处为点D,科技大厦为EA,A点为顶端.3. —如图,∠ABE=θ,∠ACE=2θ,∠ADE=4θ,
BC=30,CD=10 .求AE.4. —因为∠ACD=θ+∠BAC,所以∠BAC=θ,
所以AC=BC=30,
因为∠ADE=2θ+∠CAD,所以∠CAD=2θ,
所以AD=CD=10 .
在Rt△ADE中,AE=AD·sin 4θ=10 sin 4θ,在Rt△ACE中,AE=AC·sin 2θ=30sin 2θ,
所以10 sin 4θ=30sin 2θ,
即20 sin 2θcos 2θ=30sin 2θ,
所以cos 2θ= ,因为2θ∈ ,所以sin 2θ= ,
所以AE=30sin 2θ=15.
5. —科技大厦的高度为15米.