新教材人教B版数学必修第三册课件：8.2.4 三角恒等变换的应用(一)（69张PPT）

课件69张PPT。8.2.4　三角恒等变换的应用(一)1.半角公式
倍角公式的变形
sin2 =_________ ①
cos2 =__________②
tan2 =__________③一般地,①②③式可以变形为半角公式:【思考】(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的?
提示:倍角的余弦公式.推导如下:
在倍角公式cos 2α=1-2sin2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以 代替α,即得:cos α=1-2sin2 =2cos2 -1.
所以sin2 = ,cos2 = ,
tan2 .开方可得半角公式.(2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择?
提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前
保留正负两个符号;②若给出α的具体范围(即某一区
间)时,则先求 所在范围,然后根据 所在范围选用符
号.(3)半角公式对α∈R都成立吗?
提示:公式 对α∈R都成立,但公式 要求
α≠(2k+1)π(k∈Z).2.积化和差、和差化积公式
(1)积化和差公式
sin αcos β= [sin(α+β)+sin(α-β)],
cos αsin β= [sin(α+β)-sin(α-β)],
cos αcos β= [cos(α+β)+cos(α-β)],
sin αsin β=- [cos(α+β)-cos(α-β)].(2)和差化积公式
sin x+sin y=2sin
sin x-sin y=2cos
cos x+cos y=2cos
cos x-cos y=-2sin 【思考】
(1)积化和差公式是由什么公式推导出来的?
提示:两角和与差的正弦、余弦公式.
(2)和差化积公式是如何推导出来的?
提示:如果令x=α+β,y=α-β ,则α= ,
从而可以由积化和差公式得到和差化积公式.【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)cos . (　　)
(2)存在α∈R,使得cos cos α. (　　)
(3)对于任意α∈R,sin sin α都不成立. (　　)(4)若α是第一象限角,则tan (　　)
(5)sin xsin y= [cos(x-y)-cos(x+y)]. (　　)提示:(1)×.只有当- +2kπ≤ +2kπ(k∈Z),
即-π+4kπ≤α≤π+4kπ(k∈Z)时,cos .
(2)√.当cos α=- +1时,上式成立,但一般情况下不
成立.(3)×.当α=2kπ(k∈Z)时,上式成立,但一般情况下不
成立.
(4)√.若α是第一象限角,则 是第一、三象限角,此
时tan 成立.
(5)√.积化和差公式.2.若cos α= ,α∈(0,π),则cos 的值为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　【解析】选C.因为 ,所以cos >0,3. 的值是________.?
【解析】原式=
答案:- 类型一　利用半角公式求值
角度1　给角求值
【典例】求值:
=________.?
=________. ?【思维·引】利用半角公式求解.【解析】(1)sin
(2)tan
答案:(1) 【发散·拓】
半角正切公式的有理表示式:
tan 公式的推导:tan
【延伸·练】
已知cos α= ,α为第四象限角,则tan 的值为
________.?【解析】方法一:(用tan 来处理)
因为α为第四象限角,
所以 是第二或第四象限角.所以tan <0.
所以tan 答案: 方法二:(用tan 来处理)
因为α为第四象限的角,所以sin α<0.
所以sin α=
所以tan 答案: 方法三:(用tan 来处理)
因为α为第四象限的角,所以sin α<0.
所以sin α=-
所以tan 答案: 角度2　给值求值
【典例】若sin(π-α)=- ,则sin
等于 世纪金榜导学号(　　)【思维·引】利用诱导公式与半角公式求解.【解析】选B.由题意知sin α=
所以cos α=-
所以sin 【素养·探】
本例考查利用半角公式求值问题,突出考查数学抽象与
数学运算的核心素养.
本例条件不变求sin ,tan 的值.【解析】由题意知sin α=
所以cos α=-
所以sin
tan 【类题·通】
利用半角公式求值的思路
(1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围.(3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用
tan ,其优点是计算时可避免因开方
带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时,
常先利用sin2 计算.
(4)下结论:结合(2)求值.【习练·破】
已知sin α=- 且π<α< π,求sin ,cos ,
tan 的值.【解析】因为sin α=- ,π<α< π,
所以cos α=- .又
所以sin cos 【加练·固】
已知sin α= ,cos α= ,则tan 等于(　　)【解析】选C.因为sin α= >0,cos α= >0,
所以α的终边落在第一象限, 的终边落在第一、三象
限,所以tan >0,故tan =
类型二　三角函数式的化简
【典例】化简: (0<θ<π).
世纪金榜导学号
【思维·引】利用倍角公式及半角公式解决,注意角度
的范围.【解析】由θ∈(0,π),得0< ,所以cos >0,
所以
又(1+sin θ+cos θ) 故原式=
【素养·探】
本例考查利用半角公式化简三角函数式,突出考查数学
抽象与逻辑推理的核心素养.
本例三角函数式若变为:
,试化简.【解析】因为0<θ<π,所以0<
所以
又1+sin θ-cos θ=2sin cos +2sin2
=2sin 所以原式= 【类题·通】
化简问题中的“三变”
(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.
(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等.【习练·破】
　已知α∈(π,2π),则 等于 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.sin B.cos C.-sin D.-cos 【解析】选D.因为α∈(π,2π),
所以
所以 【加练·固】
已知π<α< ,化简:【解析】原式=
所以原式= 类型三　三角恒等式的证明
【典例】证明 世纪金榜导学号【思维·引】方法一:从右边入手,切化弦,推导出左边;方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,弦化切,得到右边.【证明】方法一:右边=

由左右两边的角之间的关系,想到分子分母同乘以
=左边.方法二: 左边= 由两边三角函数的种类差异,想到弦化切,即分子分母
同除以cos ,得 【类题·通】
证明三角恒等式的原则
(1)由繁到简:一般由式子较复杂的一边向较简单的一边化简证明.
(2)两边夹:对于式子两边都比较复杂的式子,则采取两边同时化简,找到一个共同的“第三者”从而证明等式成立.(3)变角:观察角的关系是由“单”到“倍”,还是由“倍”到“单”,或是需消去一个角,从而采取不同的变换.
(4)变名:观察函数名称的关系,采用弦切互化,降幂等方法,实现三角函数名称的变换.【习练·破】
　求证: 【证明】方法一:
所以原等式成立.方法二:右边=
所以原等式成立.【加练·固】
求证:2sin4x+ sin22x+5cos4x- (cos 4x+cos 2x)
=2(1+cos2x).【证明】左边= sin22x+

=2× sin22x+5×
(2cos22x-1+cos 2x)

=3+cos 2x=3+(2cos2x-1)=2(1+cos2x)=右边,所以原式
成立.