第三章 变量之间的关系
3.1 用表格表示的变量间关系
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1.在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量,并能举出反映变量之间相互关系的例子.
2.能从表格中获得变量之间关系的信息,能用表格表示变量之间的关系,并根据表格中的数据尝试对变化趋势进行初步的预测.
INCLUDEPICTURE"教学重难点.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\教学重难点.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\教学重难点.TIF" \* MERGEFORMATINET
重点：能从表格中发现变量之间存在的关系,并能用自己的语言描述出来.
难点：理解变量、自变量、因变量等概念.
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一、情景导入
我们生活在变化的世界中,很多东西都在发生变化,请学生列举一些日常生活中经常发生变化的事物.如：随年龄的增长,身高、体重都发生了变化；随着时间的变化汽车行驶的路程也在变化；烧一壶水10分钟水开了……
二、新知探究
【探究：变量、自变量、因变量、常量的有关概念】
1.实验操作：
利用实验器材——小车、木板、秒表、调节高度的装置,让学生参与到“小车下滑的时间”的实验中,并一起完成表格.
利用一块木板,测量小车从不同的高度下滑的时间,然后将得到的数据填入下表：
支撑物高度h/cm 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
小车下滑时间t/s 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35
根据上表回答下列问题：
(1)支撑物高度为70cm时,小车下滑时间是多少？
(2)如果用h表示支撑物高度,t表示小车下滑时间,随着h逐渐变大,t的变化趋势是什么？
(3)h每增加10cm,t的变化情况相同吗？
(4)估计当h＝110cm时,t的值是多少,你是怎样估计的？
(5)随着支撑物高度h的变化,还有哪些量发生变化？哪些量始终不发生变化？
归纳结论：在“小车下滑的时间”的实验中,支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化,它们都是变量.其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化.支撑物的高度h是自变量,小车下滑的时间t是因变量.
在这一变化过程中,小车下滑的距离(木板的长度)一直没有变化,像这种在变化过程中数值始终不变的量叫做常量.
在人口变化中,我国人口总数y随时间x的变化而变化,x是自变量,y是因变量.
借助表格,我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况,在表格里,通常把自变量放在上(或左)面,把因变量放在下(或右)面.
2.2018年1～12月某地大米的平均价格如下表所示,其中自变量是__月份__,因变量是__平均价格__；当自变量等于__9,10__时,因变量的值__2.8__最小.
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均价格(元/kg) 3.3 3.4 3.4 3.5 3.4 3.2 3.0 2.9 2.8 2.8 2.9 3.0
3.下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：
时间(分) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
温度(℃) 60 65 70 75 80 85 90 95 100 100 100 100 100
(1)时间是8分钟时,水的温度为__100℃__；
(2)此表反映了变量__温度__和__时间__之间的关系,其中__时间__是自变量,__温度__是因变量；
(3)在__0至8分钟__时间内,温度随时间增加而升高；__8到12分钟__时间内,水的温度不再变化.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
用表格表示两个变量之间关系,变量、自变量、因变量、常量的有关概念.
2.分层作业：
(1)教材P63～P64习题第1～5题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
这节课从现实生活入手,数据来自学生可以参与的试验过程,来自现实生活关注的人口问题、环境问题,培养了学生的探究、试验精神,而且始终贯穿对学生的德育教育。通过本节课的学习,学生可以意识到研究变量之间的关系是可以帮助我们把握事物发展的一定规律的,是可以帮我们找出影响事物发展的一些因素的.
由于实验用的时间不容易把握,可能导致后面学习、讨论的时间较为紧张,老师应该根据学生的具体情况做适当的调整,使教学达到最佳的效果.
3.2 用关系式表示的变量间的关系
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1.能根据具体情况,用关系式表示某些变量之间的关系.
2.能根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系.
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重点：学会用关系式来表示变量之间的关系.
难点：把变量、自变量、因变量等概念理解吃透,根据关系式找自变量、因变量之间对应关系.
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一、情景导入
1.我们以前学习过的面积和体积公式有哪些？
2.刚才同学们例举出的这些公式它们其实反映了面积或体积与几何图形的长、宽、高或半径等之间的关系,我们能不能用这种方式来表示变量之间的关系呢？
3.今天我们一起来学习用关系式表示变量间的关系.
二、新知探究
【探究一：用关系式表示的变量间的关系】
1.如图所示,△ABC底边BC上的高是6cm,当三角形的顶点C沿底边所在直线向右运动时,三角形的面积发生了变化.
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(1)在这个变化过程中,自变量是__底边长__,因变量是__三角形的面积__.
(2)如果三角形的底边长为x(cm),那么三角形的面积y(cm2)可以表示为__y＝3x__.
(3)当底边长从12cm变化到3cm时,三角形的面积从__36__cm2变化到__9__cm2.
(4)y＝3x表示了__三角形面积__和__底边长__之间的关系,它是变量y随x变化的关系式.利用此关系式,我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值.
2.如图所示,圆锥的高是4厘米,当圆锥的底面半径由小到大变化时,圆锥体积也随之发生了变化.
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(1)在这个变化过程中,自变量是__底面半径__,因变量是圆锥体积.
(2)如果圆锥底面半径为r(cm),那么圆锥的体积V(cm3)与r的关系式是__V＝πr2__.
(3)当底面半径由1cm变化到10cm时,圆锥的体积由__π__cm3变化到__π__cm3.
3.完成教材P67议一议与练习.
4.巩固练习
(1)长方形的周长为24厘米,其中一边为x(其中x>0)厘米,面积为y平方厘米,则这样的长方形中y与x的关系可以写为(C)
A.y＝x2 B.y＝(12－x)2
C.y＝(12－x)·x D.y＝2(12－x)
(2)如果每盒圆珠笔有12支,售价18元,用y(元)表示圆珠笔的售价,x表示圆珠笔的支数,那么y与x之间的关系应该是(D)
A.t＝12x B.y＝18x
C.y＝x D.y＝x
(3)某种储蓄的月利率是0.2%,存入100元本金后,则本息和y(元)与所存月数x之间的关系式为__y＝100＋0.2x__.
(4)汽车开始行驶时,油箱中有油40升,如果每小时耗油5升,则油箱内余油量y(升)与行驶时间x(小时)的关系式为__y＝40－5x__,该汽车最多可行驶__8__小时.
(5)地面温度为15℃,如果高度每升高1千米,气温下降6℃,则高度h(千米)与气温t(℃)之间的关系式为__h＝15－6t__.
(6)某校办工厂现在年产值是15万元,计划以后每年增加2万元.
①写出年产值y(万元)与年数x之间的关系式.
②求5年后的年产值.
解：①y＝15＋2x；②25.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
用关系式表示的变量间的关系.
2.分层作业：
(1)教材P68习题第1～4题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
在这节课中,以小组合作为主要的课堂学习手段,让学生通过独立思考、交流讨论、自我反思、总结经验等过程,从而获得相应的数学知识技能,体现了课堂中学生是学习的主人,老师是课堂的导演者.这节课的理念,培养学生自主学习的能力和习惯,让学生在小组合作课堂中学会学习.
3.3 用图象表示的变量间关系
第1课时 温度的变化
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1.理解两个变量之间的关系的曲线图象,了解图象中各个部分所表示的意义.
2.能够从曲线型图象中获取关于两个变量的信息.
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重点：进一步理解变量、自变量、因变量等概念,并能熟练运用.
难点：在给出图象中发现变量之间存在的关系,并能将图中的有用信息读取出来.
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一、情景导入
1.对于两个变量之间的关系,我们已经分别学习了__表格法__和__关系式法__两种表示方法.
2.观察下图,你能从中获取怎样的信息？
二、新知探究
【探究：利用图象描述温度的变化】
阅读教材P69－70,完成下面的问题：
什么是图象法表示变量间的关系？
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答：利用图象表示两个变量之间的关系,叫做图象法,从图象上获取变量间的关系非常直观.
【范例1】如图是北京市某一天的气温T(℃)随时间t(h)变化的图象,那么这天( C )
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A.最高气温是10℃,最低气温是0℃
B.最高气温是6℃,最低气温是－2℃
C.从5时到12时气温在逐渐升高
D.从12时到24时气温在逐渐升高
【仿例1】如图所示是一日内一个水池的水深随时间变化的图象.
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(1)零点水池中的水深是__6__m；
(2)从0点到10点时向池中__注水__；(选填“注水”或“放水”)
(3)水池的水最深是__12__m,在__10__点出现.
【仿例2】光合作用是指绿色植物通过叶绿体,利用光能把二氧化碳和水转化成储存着能量的有机物,并释放出氧的过程.如图是夏季晴朗的白天,某种绿色植物叶片光合作用强度的曲线图,分析曲线图回答下列问题：
INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\LQBZSX-108.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\LQBZSX-108.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)__10__时光合作用最强；
(2)大约从7时到__10__时的光合作用的强度不断增强；
(3)__10__时到__12(答案不唯一)__时的光合作用强度不断下降.
【仿例3】海水受日月的引力而产生潮汐现象,早晨海水上涨叫潮,黄昏海水上涨叫汐,合称潮汐.如图是某港口从0时到10时的水深情况,根据图象回答：
INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\LQBZSX-109.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\LQBZSX-109.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)在__0～3(答案不唯一)__时,港口的水深在增加；
(2)大约在__3__时,水的深度最深,约为__6__m.
【仿例4】如图表示某市2015年6月份某一天的气温随时间变化的情况,请观察此图回答下列问题：
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(1)这天的最高气温是__37__℃；
(2)这天共有__9__个小时的气温在31℃以上；
(3)这天__3时至15时__(时间)范围内温度在上升；
(4)请你预测一下,次日凌晨1点的气温大约是__25℃(接近这个值即可)__.
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
用图象表示温度变化.
2.分层作业：
(1)教材P72～P73习题第1～2题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
在课堂中要给予学生充分的时间去操作、思考,而不是流于形式.要让活动充分的达到目的.教师在课堂中要照顾到每一名学生,要给每一名学生安排任务,让全体学生都动起来.新课程标准下的数学教学,每一秒都是日新月异的,看似平淡无奇的内容,但却蕴涵着无限的生机,越看越有味道,越想越有深度,用自己的才能,发挥自己的想象力,让每一课都变得其乐无穷.
第2课时 速度的变化
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1.理解分段图象的意义,掌握分段图象各个部分的含义.
2.复习巩固运用图象表示变量间关系的方法,能够运用其解决实际问题.
INCLUDEPICTURE"教学重难点.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\教学重难点.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\教学重难点.TIF" \* MERGEFORMATINET
重点：学习速度型分段图象的意义,能说出各部分图象的含义.
难点：根据图象信息解决相关问题.
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一、情景导入
1.前几节课我们已经学习了表示变量之间关系的方法,有哪几种？每一种方法如何找自变量和因变量？哪位同学来说一下？
2.某出租车每小时行驶60千米,若t小时行驶s千米,则自变量是__行驶时间__,因变量是__行驶路程__,s与t的关系式是__s＝60t__.
用图象来直观地反映变量之间的关系是表格法、关系式法所无法代替的.这节课我们继续来研究图象法表示速度的变化情况.
二、新知探究
【探究：利用图象描述速度的变化】
阅读教材P73－74,完成下列问题：
【范例1】汽车以60km/h的速度在公路上匀速行驶,1h后进入高速路,继续以100km/h的速度匀速行驶,则汽车行驶的路程s(km)与行驶的时间t(h)的函数关系的大致图象是( C )
INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-50a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-50a.TIF" \* MERGEFORMATINET A INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-50b.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-50b.TIF" \* MERGEFORMATINET B INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-50c.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-50c.TIF" \* MERGEFORMATINET C INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-50d.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-50d.TIF" \* MERGEFORMATINET D
【仿例1】一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,下列哪幅图可大致刻画出小球向下滚动过程中的速度变化情况( B )
INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-51a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-51a.TIF" \* MERGEFORMATINET A INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-51b.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-51b.TIF" \* MERGEFORMATINET B INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-51c.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-51c.TIF" \* MERGEFORMATINET C INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-51d.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-51d.TIF" \* MERGEFORMATINET D
【仿例2.】小强与父亲同时出发,到达同一目的地后都立即返回,小强去时骑自行车,返回时步行；父亲往返都是步行,两人的步行速度不相等,每个人的往返路程与时间关系分别是图中两个图象中的一个,请你根据图中的信息回答或解决下列问题：
INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-53.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-53.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)一个往返的距离是__2400__m；
(2)完成一个往返,小强用了__21__min,父亲用了__24__min；
(3)小强骑车的速度是每分__200__m,小强步行的速度是每分__80__m,父亲步行的速度是每分__100__m.
【仿例3】假定甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的关系如图所示,我们可以知道：
INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-52.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-52.TIF" \* MERGEFORMATINET
(1)这是一次__100__m跑；
(2)甲、乙两人中__甲__先到达终点；
(3)乙在这次赛跑中速度为__8__m/s.
【仿例4】小亮同学骑车上学,路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图).若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3,且v1 INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-55.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-55.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-55a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-55a.TIF" \* MERGEFORMATINET A INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-55b.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-55b.TIF" \* MERGEFORMATINET B INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-55c.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-55c.TIF" \* MERGEFORMATINET C INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-55d.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-55d.TIF" \* MERGEFORMATINET D
【仿例5】如图,小亮在操场上玩,一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步,能近似刻画小亮到出发点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是图中的( C )
INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-56.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-56.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-57a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-57a.TIF" \* MERGEFORMATINET A INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-57b.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-57b.TIF" \* MERGEFORMATINET B INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-57c.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-57c.TIF" \* MERGEFORMATINET C INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\zlx65-57d.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\zlx65-57d.TIF" \* MERGEFORMATINET D
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
用图象表示速度变化.
2.分层作业：
(1)教材P74～P75习题第1～4题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
本节课实际是速度的变化与时间的变化,关键是看清横轴与纵轴分别代表什么,理解图象的含义.这节课主要是让学生动起来,发挥学生的主体地位,主动去发现问题,分析问题,通过交流讨论,合作解决问题,老师在整个教学过程只是一个引领者.整体教学效果还好,只是时间有些紧张,导致后面处理的有些仓促.
