6.2 实数
第1课时 实数的概念及分类
1．了解无理数和实数的概念．
2．会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力．
3．了解分类的标准与分类结果的相关性，进一步了解体会“集合”的含义．
重点：无理数、实数的概念．
难点：无理数的辨别和实数概念的理解．
一、情境引入
1．什么是有理数？如何分类？
答：整数和分数统称有理数．有理数或有理数
2．面积是200的正方形边长是多少？它是有理数吗？
答：；它不是有理数．
那么究竟是什么数呢？这节课我们将来学习并解决这个问题．
二、新知探究
【探究一：无理数】
1．阅读教材P10～11，完成下列问题：
(1)为什么说有理数是有限小数或无限循环小数？
答：有理数包括整数和分数，整数和分数可统一写成分数的形式，如：2＝＝2.0，＝0.5，－＝－0.，任何整数、分数都可以化成有限小数或无限循环小数．
(2)什么是无理数？举例说明．
答：无限不循环小数叫做无理数，例如：，，π，0.101001…(每两个1之间多一个0)等不属于有限小数或无限循环小数，所以是无理数．
2．思考：π是有理数还是无理数？情境引入中的是什么数？
学生讨论回答：无理数；无理数．
3．应用：【类型一】无理数的识别
【例1】1.下列各数中，哪些是无理数？
，－7，0，，，－3.1415926，，－π，3，－3，3.15，3.020020002…
解：无理数有：，，－π，3，－3，3.020 020 002…
方法归纳：无限不循环小数叫无理数，常见无理数的三种形式：第一类是开方开不尽的数，第二类是化简后含有π的数，第三类是有规律不循环的小数．
变式练习1.给出下列各数：π，－，0.，，，其中不是无理数的个数为(C)
A．1 B．2 C．3 D．4
变式练习2.下列说法正确的是(C)
A．无限小数都是无理数
B．无理数就是开方开不尽的数
C．无理数都是无限小数
D．带根号的数都是无理数
【类型二】无理数的应用
【例2】设n为正整数，且n＜＜n＋1，则n的值为(D)
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，问题可得到解决．∵＜＜，∴8＜＜9.∵n＜＜n＋1，∴n＝8.故选D.
方法归纳：开不尽的平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以估计一个带根号的数的整数部分，估计其大致范围．
【探究二：实数】
1．阅读教材P11～12，完成下列问题：什么是实数？如何分类？
答：有理数和无理数统称实数．
实数
2．应用：【例3】把下列各数分别填到相应的集合内：
－3.6，，，5，，0，，，，3.14，0.10100….
(1)有理数集合{ －3.6，，5，0，－，，3.14， …}；
(2)无理数集合{ ，，，0.10100…， …}；
(3)整数集合{ ，5，0，－， …}；
(4)负实数集合{ －3.6，，－， …}．
方法归纳：正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复．
【例4】在①3.1414；②；③－；④；⑤2.…中，属于有理数的有__①③④⑤__，属于无理数的有__②__，属于负实数的有__③④__．(填序号)
3．课堂练习：完成教材P12练习1～3题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)无理数
无理数包含的三类数：①开方开不尽而得到的数；②圆周率π以及含有π的数；③看似循环，但不循环的无限小数．
(2)实数
有理数和无理数统称为实数．
2．分层作业：
(1)教材P15习题6.2第1(1)、2题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节课学习了无理数、实数的有关概念及实数的分类，把我们所学过的数在有理数的基础上扩充到实数．在学习中，要求学生结合有理数理解实数的有关概念．本节课要注意的地方有两个：一是所有的分数都是有理数，如；二是形如，等之类的含有π的数不是分数，而是无理数．
第2课时 实数的运算及大小比较
1．了解实数的相反数、倒数、绝对值的意义，知道实数与数轴上的点一一对应关系．
2．了解在有理数范围内的运算法则在实数范围内仍然适用．
3．能根据具体情况，灵活选择方法比较两个实数的大小．
重点：实数与数轴上的点一一对应关系．
难点：对“实数与数轴上的点一一对关系”的理解以及无理数的大小比较．
一、情境引入
旧知回顾：
1．什么是无理数？
答：无限不循环小数叫无理数．
2．什么是实数，实数如何分类？
答：有理数和无理数统称实数：
实数 或实数
二、新知探究
【探究一：实数与数轴的关系】
1．阅读教材P13，回答下列问题：
实数与数轴上的点有何关系？
答：与有理数一样，每个无理数都可以用数轴上一个点来表示，数轴上的点不是表示有理数就是表示无理数，因此，实数和数轴上的点一一对应．
2．应用：【类型一】求数轴上的点对应的实数
【例1】(南京中考)如图，数轴上的点P表示的数可能是(B)
A. B．－ C．－3.8 D．－
【例2】下列说法不正确的是(C)
A．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示
B．数轴上的任何一个点都可用一个实数来表示
C．数轴上的每一个点和有理数是一一对应的
D．实数包括有理数和无理数
【类型二】利用数轴进行估算
【例3】如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有(C)
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
解析：∵≈1.414，∴和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C.
方法归纳：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．
【类型三】结合数轴进行化简
【例4】实数在数轴上的对应点如图所示，化简：－|b－a|＋.
解析：由于|a|，＝|b＋c|，所以解题时应先确定a，b－a，b＋c的符号，再根据绝对值的意义化简．
解：因为由图可知a＜0，b－a＞0，b＋c＜0，所以原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c.
【探究二：实数的性质与运算】
1．阅读教材P13～14，思考实数的性质是怎样的？
答：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样．实数和有理数一样，可以进行加、诚、乘、除、乘方运算，正数及0可以进行开平方运算，任何一个实数都可以进行开立方运算．有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用．
2．应用：【例5】求下列各数的相反数和绝对值：
(1)；(2)－；(3)－1＋.
解析：根据相反数、绝对值的定义求解．
解：(1)的相反数是－，绝对值是；
(2)－的相反数是－＋，绝对值是－＋；
(3)－1＋的相反数是1－，绝对值是－1＋.
【例6】计算下列各式的值：
(1)2－5－(－5)；
(2)|－|＋|1－|＋|2－|.
解析：按照实数的混合运算顺序进行计算．
解：(1)2－5－(－5)＝2－5－＋5＝(2－)＋(5－5)＝；
(2)因为－＞0，1－＜0，2－＞0，所以|－|＋|1－|＋|2－|＝(－)－(1－)＋(2－)＝－－1＋＋2－＝(－)＋(－)＋(2－1)＝1.
变式练习1.－的相反数是__－__．
变式练习2.计算：|1－|＝__－1__，－＝__－1__.
变式练习3.计算：
(1)＋＋|3－|；(2)＋(精确到0.01)；
(3)×(精确到0.1)．
解：(1)原式＝－2＋＋3－＝1；
(2)原式≈1.414＋2.236＝3.65；
(3)原式≈1.73×2.65≈4.58≈4.6.
【探究三：实数的大小比较】
1．阅读教材P14，思考两个实数的大小比较方法．
归纳：正数大于0，负数小于0，正数大于负数．两个正数，绝对值大的数较大．两个负数绝对值大的数反而小．
2．应用：【例7】在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“＜”连接它们．
0，－7，|－7|，，－4，－2.
解：－7＜－4＜－2＜0＜＜|－|，数轴表示略．
【例8】比较大小：
(1)与；(2)1－与1－.
解析：把两个数直接相减，根据差的正负比较大小．
解：(1)∵－＝＜0，∴＜.或÷＝－1＜1，∴＜；
(2)∵(1－)－(1－)＝－＞0，∴1－＞1－.
3．课堂练习：完成教材P15练习1～4题．
三、交流展示
略．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)实数与数轴的关系
实数与数轴上的点一一对应．
(2)实数的性质
有理数的相反数、倒数、绝对值的意义在实数范围内仍然有意义．
(3)实数的运算
(4)实数的大小比较
正数大于零，负数小于零，正数大于负数．两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而小．
2．分层作业：
(1)教材P15习题6.2第1(2)、4、5题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
由实际问题引入实数的运算，激发学生的学习兴趣．同时复习有理数的运算法则和运算律，并强调这些法则和运算律在实数范围内同样适用．教学中，让学生通过具体的运算(包含无理数的运算)感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度．
第6章 实数
6．1 平方根、立方根
1． 平方根
1．掌握平方根及算术平方根的概念．
2．能及时通过平方运算求一个非负数的平方根及算术平方根．
重点：平方根和算术平方根的概念和性质．
难点：平方根与算术平方根的区别与联系．
一、情境引入
1．为了美化校园，学校打算建一个面积为225m2的正方形植物园，这个正方形的边长应取多少？你能计算出来吗？
解：∵152＝225，∴正方形边长为15.
2．填空：(±2)2＝__4__；(±)2＝____；(±0.1)2＝__0.01__；(0)2＝__0__．
3．想一想，有没有数的平方为负数？
答：没有．
二、新知探究
【探究一：平方根】
1．阅读教材P2，完成下列问题：
什么是平方根？举例说明．
答：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根．例如，由于(±8)2＝64，所以64的平方根为8和－8(可以合写为±8)．
2．应用：【例1】16的平方根是什么？0的平方根是什么？－9有没有平方根？
解：∵(±4)2＝16，∴16的平方根是±4.
∵02＝0，∴0的平方根是0.
因为负数没有平方根，所以－9没有平方根．
变式练习1.下列说法中正确的是(B)
A．25的平方根是5 B．5是25的平方根
C．9的平方根是－3 D．0没有平方根
2．已知一个数的两个平方根分别是2x＋1与3－x，求这两个数．
解：由题意得2x＋1＋3－x＝0，解得x＝－4，这两个数分别为－7和7.
归纳：一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．如果x有平方根，则x为非负数．
【例2】已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，则a的值是__2__．
解析：∵一个正数的两个平方根分别是2a－2和a－4，∴2a－2＋a－4＝0，解得a＝2.故答案为2.
方法归纳：本题考查了平方根的概念．一个正数有两个平方根，它们互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为0.
【探究二：算术平方根】
1．阅读教材P3～4，完成下列问题：
什么叫算术平方根？如何表示？什么叫开平方？
答：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，用符号来表示，其中a叫做被开方数.0的算术平方根是0.求一个数的平方根的运算叫做开平方．
2．应用：
【类型一】求一个数的算术平方根
【例3】求下列各数的算术平方根．
2．求下列各数的平方根和算术平方根．
(1)49；(2)；(3)0.0009；(4)(－9)2；(5)23.
解：(1)±＝±7，算术平方根是7；(2)±＝±，算术平方根是；(3)±＝±0.03，算术平方根是0.03；(4)±＝±9，算术平方根是9；(5)±，算术平方根是.
方法归纳：求一个数的算术平方根的一般步骤：①找出一个非负数，使得它的平方等于这个数；②写成这个数的算术平方根等于这个非负数的形式．
【类型二】求含根号式子的值
【例4】求下列各式的值：
(1)±；(2)－；(3)；(4).
解：(1)±＝±7；(2)－＝－4；(3)＝；(4)＝＝9.
方法归纳：理解各个式子表示的意义是解题的关键：±表示a的平方根；表示a的算术平方根；－表示a的算术平方根的相反数．也就是说：只要题目中的式子有意义，结果的符号与式子前面的符号相同．
【类型三】算术平方根的非负性
【例5】已知a，b满足|a－2|＋＝0，求ab的值．
解：因为|a－2|＋＝0，所以解得所以ab＝23＝8.
方法归纳：几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0.
【探究三：用计算器求一个数的平方根】
【例6】用计算器计算：
(1)；(2)(精确到0.001)；(3)(精确到0.001)．
解析：(1)按键即可；
(2)按键：，再取近似值即可；
(3)按键，再取近似值即可．
解：(1)＝35；(2)≈6.035；(3)≈3.606.
变式练习2.利用计算器求下列各式的值(精确到0.01)：
(1)≈__2.71__；(2)－≈__－0.58__；(3)±≈__±7.28__．
课堂练习：完成教材P5练习1～5题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)平方根．
(2)算术平方根．
(3)用计算器求一个数的平方根．
2．分层作业：
(1)教材P8习题6.1第1～5题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节课通过实际问题引入平方根，让学生感知“负数没有平方根”，激发学生的求知欲望．再让学生用计算器求一个数的平方根，通过对比认识到平方根与算术平方根的区别与联系．这样突出学生的主体地位，整个课堂以学生参与为主线，老师起主导作用，使学生成为课堂的主人．
2. 立方根
1．了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根；
2．能用类比平方根的方法学习立方根，及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同．
重点：区分立方根及平方根的不同，会进行开立方运算．
难点：数的立方根的性质归纳及应用．
一、情境引入
旧知回顾：
1．什么叫平方根？数的平方根有何规律？
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的__平方根__，也叫做__二次方根__．正数有__两__个平方根，它们__互为相反数__；0的平方根是__0__；负数__没有__平方根．
2．填空：(2)3＝8；(－2)3＝－8；(0)3＝0；(－)3＝－.
二、新知探究
【探究一：立方根的概念】
1．阅读教材P6，完成下列问题：
什么叫立方根？什么是开立方？
答：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的__立方根__，也叫__三次方根__，记作.其中a叫被开方数，叫根指数．
求一个数的__立方根__的运算叫做开立方，它与__立方__互为逆运算．
2．思考：立方根的符号中a的取值有什么限制吗？
学生讨论回答：没有限制．
3．应用：【类型一】求一个数的立方根
【例1】求下列各数的立方根．
(1)27；(2)0.008；(3).
解析：根据立方根的定义，把题中各数分别化为一个数的立方即可．
解：(1)∵(3)3＝27，∴＝3；
(2)∵(0.2)3＝0.008，∴＝0.2；
(3)∵()3＝，∴＝.
方法归纳：任何一个数都只有一个立方根，其符号与原数的符号相同．
【类型二】立方根与平方根的综合问题
【例2】已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．
解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，从而解出x，y，最后代入x2＋y2，求其算术平方根即可．
解：∵x－2的平方根是±2，.∴x－2＝4，∴x＝6.∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.把x＝6代入解得y＝8.
∵x2＋y2＝62＋82＝100，∴x2＋y2的算术平方根为10.
【类型三】开立方运算
【例3】求下列各式的值．
(1)；(2)－；(3)；(4).
解：(1)原式＝0.3；(2)原式＝；(3)原式＝－；(4)原式＝－.
【探究二：立方根的性质及表示】
1．阅读教材P6～7内容，思考立方根有何性质．
归纳：(1)正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
(2)a的立方根记作，其中a叫被开方数，3叫根指数，不能省略．
(3)求一个数立方根的运算叫做__开立方__，开立方与立方互为__逆运算__．
2．应用：【例4】求下列各式中的x.
(1)27x3－8＝0；(2)(2x＋3)3＝54.
解：(1)因为27x3－8＝0，所以27x3＝8，x3＝，所以＝x，即x＝.
(2)因为(2x＋3)3＝54，所以(2x＋3)3＝216，所以2x＋3＝＝6，即x＝.
变式练习1.下列等式成立的是(C)
A.＝±1 B.＝15
C.＝－5 D.＝－3
变式练习2.填空：(1)一个数的立方根是它本身，则这个数是__1或－1或0__；
(2)计算：＝__0.1__，＝__－10__；
(3)－27的立方根与81的算术平方根之和是__6__.
【探究三：利用计算器求立方根】
1．阅读教材P7，完成下列问题．
2．应用：【例4】用计算器求.(精确到0.01)
解析：可以按照下面的步骤进行：依次按键、、，显示，精确到0.01得5.61，即≈5.61.
【例5】利用计算器求下列各式的值(精确到0.01)：
(1)；(2)－；(3)；(4)±.
(1)解：原式＝≈4.97；
(2)解：原式＝－≈－1.07；
(3)解：原式＝≈－0.68；
(4)解：原式＝±≈±4.19.
变式练习1.将棱长分别为3 cm和5 cm的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为__5.34__ cm.(不计损耗，结果精确到百分位)
变式练习2.计算：(1)－＋；
解：原式＝0.6－(－0.4)＋(－0.1)＝0.9；
(2)－＋.
解：原式＝－4＋(－5)＝－.
3．课堂练习：完成教材P7练习1～4题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)立方根的概念．
(2)立方根的性质及表示：正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.
(3)用计算器计算立方根．
2．分层作业：
(1)教材P8习题6.1第7～10题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节课通过实例引入了立方根的概念，通过合作探究得出了立方根的性质，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的合作意识．在教学时可引导学生对比平方根进行学习，理解立方根与平方根的区别．
