第五章 生活中的轴对称
5.1 轴对称现象
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在丰富的现实情境中,经历观察生活中的轴对称的现象,探索轴对称现象共同特征等活动,进一步发展空间观念.
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重点：通过实例理解轴对称的概念.
难点：通过观察、折纸、图形欣赏、印墨迹等数学活动过程,提高空间观念.
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一、情景导入
我们生活在图形的世界中,许多美丽的事物往往与图形的对称联系在一起,无论是随风起舞的风筝,凌空翱翔的飞机,还是中外各式风格的典型建筑；无论是艺术家的创造,还是日常生活中图案的设计,甚至是照镜子,都和对称密不可分,让我们一起探索轴对称的奥秘吧！(同时展示学习目标)
二、新知探究
【探究一：轴对称图形】
阅读教材P115部分内容,完成下列问题.
1.同学们观察并欣赏教材中所列举的图形,它们有什么共同特征？(学生回答)
2.你还能举出生活中类似的建筑物和图片吗？
3.什么样的图形叫轴对称图形？你能给它下定义吗？
学生回答并展示.
归纳结论：如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴.
4.完成教材P116练习第1题.
【范例1】在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是( A )
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A B C D
【仿例1】下面几何图形中,一定是轴对称图形的有( C )
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A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【仿例2】下列四个图形：
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其中是轴对称图形,且对称轴的条数为2的图形的个数是( C )
A.1 B.2 C.3 D.4
【探究二：轴对称】
阅读教材P116,议一议内容,完成下列问题.
1.观察教材中所给出的图形,有什么共同特征？
2.你能列举出生活中具有上述特征的图形吗？
在学生回答完成的基础上教师归纳强调.
归纳结论：(1)把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形完全重合,那么这两个图形成轴对称,这条直线叫做这两个图形的对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对称点；
(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称.
【范例2】如图中有三组图片,每组图片中都有__2__个图形,它们关于直线成__轴对称__.
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(范例2图) (仿例1图))
【仿例1】如图所示,两个三角形关于某条直线对称,则x等于__40°__.
【仿例2】下列说法：(1)轴对称图形只有一条对称轴；(2)轴对称图形的对称轴是一条线段；(3)两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形；(4)全等的两个图形一定成轴对称；(5)轴对称图形指两个图形.其中正确的个数有( A )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【仿例3】观察图中的5个平面图形,其中是轴对称图形的有__(1)、(3)、(4)__,其中对称轴条数最多的是__(3)__.
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三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)轴对称图形.
(2)轴对称.
2.分层作业：
(1)教材P4习题第1～4题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
本节课通过大量生动的生活实例引领学生进入图形中的对称世界,深刻体会对现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值.同时通过本节的学习与探索,使同学们对对称的认识由感性到理性,由浅到深,为后面学习抽象的对称图形做好铺垫工作.
5.2 探索轴对称的性质
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探索轴对称的基本性质,理解对应点的连线被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等的性质.
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重点：正确理解轴对称的性质.
难点：轴对称性质的运用.
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一、情景导入
1.什么是轴对称图形？什么叫两个图形成轴对称？
答：如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够__互相重合__,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做__对称轴__.
2.把一个图形沿着某一条直线对折,如果能够与另一个图形__重合__,那么就说这两个图形关于这条直线对称,__这条直线__叫做对称轴.
二、新知探究
【探究一：轴对称的性质】
阅读教材P118－119,完成下列问题：
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轴对称的性质是什么？
解：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对应线段相等,对应角相等.
【范例1】如图,△ABC和△AB′C′关于直线l对称,下列结论中：(1)△ABC≌△AB′C′；(2)∠BAC＝∠B′AC′；(3)l垂直平分CC′；(4)直线BC和B′C′的交点不一定在l上,正确的有( B )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【仿例1】如图是小亮制作的风筝,为了平衡做成轴对称图形,已知OC是对称轴,∠A＝30°,∠ACO＝20°,则∠BOC的度数为( D )
A.110° B.120° C.100° D.130°
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(仿例1图) (仿例2图) (仿例3图)
【仿例2】如图,六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′,下列判断错误的是( B )
A.AB＝A′B′ B.BC∥B′C′
C.直线l⊥BB′ D.∠A＝∠A′
【仿例3】如图,△ABC与△A′B′C′关于直线l对称,且∠A＝78°,∠C′＝48°,则∠B的度数为( B )
A.48° B.54° C.74° D.78°
【变例1】(如图,镜子中号码的实际号码是__3265__.
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【变例2】如图,一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD,其中∠BAD＝150°,∠B＝40°,则∠BCD的度数是__130__°.
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【探究二：画轴对称图形】
【范例2】在图中,分别画出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′.
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【仿例1】如图,将下列图形补成关于直线l对称的图形.
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【仿例2】用长方形纸片折出直角的平分线,下列折法正确的是(D)
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三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)轴对称的性质.
(2)画轴对称图形.
2.分层作业：
(1)教材P120习题第1～5题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
本节课应采用小组学习模式,在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导.学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等,使小组合作学习更具实效性.根据不同学生的不同特点应注意适当增减内容以保证课堂教学的顺利完成.
5.4 利用轴对称进行设计
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通过动手实践,能够按要求做出简单平面图形经过轴对称后的图形,欣赏现实生活中的轴对称图形,能利用轴对称进行一些图案设计.
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重点：按要求作简单平面图形经过轴对称后的图形,能利用轴对称进行图案设计.
难点：利用轴对称设计图案,并充分认识图案在日常生活中的应用.
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一、情景导入
我们生活在一个充满美丽与和谐的空间,在这里大到有宏伟的建筑,小到有精巧的剪纸都是对称的.轴对称带给我们的美丽无时无刻不在感染着我们.今天,就让我们也为这美妙的世界添上一笔靓丽的色彩：利用轴对称进行设计.
二、新知探究
【探究：利用轴对称进行设计】
阅读教材P128－129,完成下列问题：
【范例】下列图中能利用轴对称设计的是( B )
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A B C D
【仿例1】将一张正方形纸折成四层后,在上面画出如图所示的图案,剪下阴影部分,展开后得到的图案是( B )
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A B C D
【仿例2】下列选项中有一张纸片会与如图所示图案紧密拼凑成正方形纸片,且正方形上的黑色区域会形成一个轴对称图形,则此纸片为( A )
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A B C D
【仿例3】小颖将一张正方形纸沿对角线对折后,得到等腰直角三角形,然后在这张重叠的纸上任意剪出一个漂亮图案,打开后的图案至少有多少对称轴( B )
A.0条 B.1条 C.2张 D.3条
【仿例4】如图所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打3个洞,则纸片展开后是下图中的( D )
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A B C D
【仿例5】如图所示,图中的阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形,若在图中的方格里涂黑两个正方形,使整个阴影部分成为轴对称图形,涂法有几种( D )
INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\AAA4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\AAA4.TIF" \* MERGEFORMATINET
A.6种 B.7种
C.8种 D.9种
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
利用轴对称设计图案.
2.分层作业：
(1)教材P130习题第1～3题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
课前可让学生充分收集生活中的利用轴对称设计的图案,这样更利于学生去感受轴对称在生活中广泛存在和丰富的文化价值；课上应多为学生提供展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中去发现学生分析问题、解决问题的独到见解,以及思维的误区,以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力的目标放在教学首位,通过运用各种启发、激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求和态度.
5.3 简单的轴对称图形
第1课时 等腰三角形
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1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.经历等腰三角形的探究过程,能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题.
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重点：等腰三角形的轴对称性及其有关性质.
难点：等腰三角形性质的探索.
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INCLUDEPICTURE"教学过程.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\教学过程.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\教学过程.TIF" \* MERGEFORMATINET
一、情景导入
探究：如图所示,把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分,再把它展开得到的△ABC有什么特点？
答：△ABC是等腰三角形.
二、新知探究
【探究一：等腰三角形的性质】
阅读教材P121,回答下列问题：
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1.观察由情境导入中折叠的等腰△ABC,思考并回答：
(1)等腰三角形是轴对称图形吗？对称轴是什么？
(2)等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高所在直线都是它的对称轴吗？
(3)沿对称轴折叠,你还有什么发现？
2.等腰三角形是__轴__对称图形,它的__顶角平分线__、__底边上的中线__、__底边上的高__重合(也称“三线合一”),它们__所在直线__都是等腰三角形的对称轴.
3.等腰三角形的两个底角__相等__.
【范例1】如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC,垂足为D,若∠BAC＝60°,则∠BAD＝__30°__.
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(范例1图) (仿例1图)
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【仿例1】如图,在△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,若AB＝6,CD＝4,则△ABC的周长是__20__.
【仿例2】等腰直角三角形的一个底角的度数为( B )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【仿例3】如图,在等腰△ABC中,AB＝AC,BD⊥AC,∠ABC＝72°,则∠ABD等于( B )
A.36° B.54°
C.18° D.64°
【仿例4】如图,点D、E在△ABC的边BC上,AB＝AC,若AD＝AE,如图所示,试说明：BD＝CE.
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证明：过点A作AG⊥BC于点G.∵AB＝AC,AD＝AE,∴BG＝CG,DG＝EG,∴BG－DG＝CG－EG,∴BD＝CE.
【探究二：等边三角形的性质】
等边三角形有何性质？
解：等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质,除此外,它特有的性质是：等边三角形三个内角相等,并且每一个内角都是60°.
【范例2】如图,在等边△ABC中,BC＝10,BD⊥AC于D,则∠ABD＝__30°__,AD＝__5__.
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(范例2图) (仿例1图) (仿例2图)
【仿例1】如图,△ABC是等边三角形,高BD与CE交于点O,则∠BOC等于( C )
A.60° B.90° C.120° D.150°
【仿例2】如图,△ABC是等边三角形,AD是中线,点E是AC上一点,且AD＝AE,则∠EDC的度数是( D )
A.30° B.45° C.75° D.15°
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)等腰三角形的性质.
(2)等边三角形的特征.
2.分层作业：
(1)教材P122～P123习题第1～5题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
本节内容的学习包括大量的实践活动,学生空间观念的培养,推理能力的发展,对图形美的感受等都是在实践活动中发展起来的.因此,教学中应充分利用这部分内容的特点,将观察、操作等实践活动以及实践活动中的思考与交流贯穿于教学活动的始终,使学生体会所学内容与现实世界的广泛联系,体验轴对称的数学内涵,积累丰富的数学活动经验,发展良好的空间观察和一定的创新意识.
第2课时 线段的垂直平分线
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经历探索简单图形轴对称的过程,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念,探索并了解线段垂直平分线的有关性质.
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重点：线段垂直平分线的性质的运用,线段垂直平分线的画法.
难点：线段垂直平分线性质的应用.
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一、情景导入
如图,直线CD垂直平分线段AB,在直线CD上任取一点M,连接MA与MB,想一想,如果我们把线段AB沿直线CD对折,线段MA与MB会重合吗？
INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\七北数(下)教案\\d37.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\360Downloads\\HotFix\\七北数(下)教案\\d37.TIF" \* MERGEFORMATINET
学生回答.教师点拨并说明本节课共同学习线段垂直平分线的性质.(同时展示学习目标)
二、新知探究
【探究一：线段的对称性】
1.线段是轴对称图形吗？如果是,你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？
2.做一做：按下面步骤做：
①用准备的线段AB,对折AB,使得点A、B重合,折痕与AB的交点为O.
②把纸展开.
3.观察自己手中的图形,回答下列问题：
①折痕与AB有什么样的位置关系？
②AO与OB相等吗？能说明你的理由吗？
归纳结论：
①线段是轴对称图形,它的对称轴有两条：一条是线段本身所在的直线；另一条是垂直并且平分线段的直线.
②线段的对称轴垂直于这条线段并且平分它.
③垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线(简称中垂线).
【探究二：线段垂直平分线的性质】
阅读教材P123内容,完成下列问题.
1.如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3…是l上的点,请同学们分别量一量点P1,P2,P3…到点A与点B的距离,你们有什么发现？
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2.你能通过理论验证你的发现吗？
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学生回答并展示,教师点评.
归纳结论：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.
【例】如图,△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连接EC.
(1)求∠ECD的度数；
(2)若CE＝5,求BC的长.
解：(1)∵DE垂直平分AC,
∴CE＝AE,∴∠ECD＝∠A＝36°；
(2)∵AB＝AC,∠A＝36°,
∴∠B＝∠ACB＝72°,
又∵∠BEC＝∠A＋∠ECD＝72°,∴∠BEC＝∠B,∴BC＝EC＝5.
【探究三：作线段的垂直平分线】
1.已知线段AB,请画出它的垂直平分线.
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作法：
第一步：分别以__A、B__为圆心,以大于__AB__一半的长度为半径画弧,两弧在AB的两侧分别相交于点__M__和点__N__；
第二步：经过点__M__和点__N__画__直线__；直线__MN__就是线段AB的垂直平分线.
2.各小组讨论：为什么所作的直线就是已知线段的垂直平分线？
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)线段的对称性.
(2)线段垂直平分线的性质.
(3)作线段的垂直平分线.
2.分层作业：
(1)教材P124习题第1～3题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
数学教学应从学生实际出发,创设有助于学生自主学习的问题情境,引导学生通过实践、思考、探索、交流的方式去获取数学知识.
本节的教学主要是通过学生的动手实验来获取中垂线的有关知识,用纸张进行折叠活动使学生真正的经历了数学知识的形成过程,使课堂气氛变得生动而活泼.在得出实验结论后,提供典型的练习题和实际应用题,让学生经历数学知识的应用过程,同时培养他们解决实际问题的能力.
第3课时 角平分线
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进一步体会简单轴对称图形的特征,发展空间观念,探索并了解角平分线的有关性质及画法.
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重点：角平分线性质的应用及角平分线的尺规作图.
难点：角平分线性质的应用.
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一、情景导入
不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？(对折)再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系？
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二、新知探究
【探究一：角的对称性】
角是轴对称图形吗？把∠AOB对折,你发现了什么？
归纳结论：角是轴对称图形,角的对称轴是角平分线所在的直线.
【探究二：角平分线的性质】
1.动手操作：
(1)把∠BAC对折；
(2)在折痕(即角平分线)上任意找一点O；
(3)过点O折AC边的垂线,得到新的折痕OD,其中,点D是折痕与AC的交点,即垂足；
(4)过点O折AB边的垂线,将纸打开,新的折痕与AB边交点为E.
观察：OD与OE有什么关系？改变O的位置,OD与OE还存在这种关系吗？
归纳结论：角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.
几何语言：∵AO是∠BAC的平分线,OE⊥AB,OD⊥AC,∴OE＝OD.
2.(1)如图所示,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E,已知PE＝3,则点P到AB的距离是(A)
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A.3 B.4 C.5 D.6
(2)如图所示,△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB＝6cm,则△DEB的周长为(B)
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A.4cm B.6cm
C.10cm D.以上都不对
【探究三：尺规作角平分线】
已知：∠BOA,求作：∠BOA的平分线.
作法：
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解：(1)以O为圆心,任意长度为半径作弧,分别与角的两边交于点D、E；
(2)分别以D、E为圆心,大于DE一半的相同长度为半径作弧,两弧在角的内部交于C；
(3)作射线OC,所以射线OC为∠BOA的平分线.
你能证明吗？
三、交流展示
1.组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果,并将疑难问题展示在黑板上,小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”.
2.教师肯定点拨或矫正学生自学成果.
四、评价与反思
1.今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感悟？
在学生回答的基础上,教师点评并板书：
(1)角的对称性.
(2)角平分线的性质.
(3)尺规作角平分线.
2.分层作业：
(1)教材P127习题第1～4题.
(2)完成“智慧学堂”相应训练.
五、教后反思
本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程,遵循学生的认知规律,体现了数学学习的必然性.教学始终围绕着问题而展开,先从出示问题开始,鼓励学生思考,探索问题中所包含的数学知识,而后设计了第一个学生活动——折纸,让学生体验角的轴对称性,为角平分线性质做好铺垫.紧接着通过介绍简易角平分线推出了第二个学生活动——尺规作图,以达到复习全等和再次验证猜想的目的,猜想是否正确？还得进行证明,从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣,使教学目标顺利达成.整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终,在教学过程中给学生的思考留下足够的时间和空间,由学生自己去发现结论,学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中,对角平分线性质有了更深刻的认识,培养了学生动手、合作、概括能力,同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识.
