2020年湘教新版八年级上册数学《第1章 分式》单元测试卷（解析版）

2020年湘教新版八年级上册数学《第1章 分式》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．在下列各式中，是分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠5 B．x≠﹣5 C．x＞5 D．x＞﹣5
3．若分式的值为0．则x的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
4．若分式，则分式的值等于（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
5．把分式（x≠0，y≠0）中的分子分母的x、y都同时扩大为原来的2倍，那么分式的值将是原分式值的（　　）
A．2倍 B．4倍 C．一半 D．不变
6．化简分式的结果是（　　）
A． B． C． D．
7．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1
8．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值为（　　）
A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5
9．分式方程＝1的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
10．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
11．若关于x的分式方程＝2﹣有增根，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．2 C．3 D．不存在
12．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题）
13．观察下面给定的一列分式：，，，，…（其中y≠0）．根据你发现的规律，给定的这列分式中的第7个分式是　 　．
14．当x　 　时，分式有意义．
15．当x为　 　时，分式的值为0．
16．若分式的值为正数，则x的取值范围　 　．
17．若无解，则m的值是　 　．
18．方程＝的解为　 　．
19．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可以化为关于y的方程是　 　．
20．若关于x的分式方程﹣2＝有增根，则m的值为　 　．
三．解答题（共8小题）
21．已知，求的值．
22．①＝（a≠0）
②＝．
23．约分（1）；
（2）．
24．（1）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）
（2）利用所学知识以及（1）所得等式，化简代数式÷．
25．阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为＝＝x+﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+＝6的两个解中较大的一个为　 　；
（2）关于x的方程x+＝的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），若x1与x2互为倒数，则x1＝　 　，x2＝　 　；
（3）关于x的方程2x+＝2n+3的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值．
26．解方程：﹣1＝．
27．解方程：．
28．若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．



2020年湘教新版八年级上册数学《第1章 分式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在下列各式中，是分式的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．找到分母含有字母的式子的个数即可．
【解答】解：，这3个式子分母中含有字母，因此是分式．
（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数，注意π不是字母，故不是分式．
2．若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠5 B．x≠﹣5 C．x＞5 D．x＞﹣5
【分析】根据“分式有意义?分母不为零”列式求解即可．
【解答】解：根据题意得，x﹣5≠0，
解得x≠5．
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义?分母为零；（2）分式有意义?分母不为零；（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
3．若分式的值为0．则x的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得x＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，即分子等于零且分母不等于零．
4．若分式，则分式的值等于（　　）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】根据已知条件，将分式整理为y﹣x＝2xy，再代入则分式中求值即可．
【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；
∴x﹣y＝﹣2xy
将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得
＝
＝
＝
＝．
故选：B．
【点评】由题干条件找出x﹣y之间的关系，然后将其整体代入求出答案即可．
5．把分式（x≠0，y≠0）中的分子分母的x、y都同时扩大为原来的2倍，那么分式的值将是原分式值的（　　）
A．2倍 B．4倍 C．一半 D．不变
【分析】把分式（x≠0，y≠0）中的分子分母的x、y都同时扩大为原来的2倍，就是用x变成2x，y变成2y．用2x，2y代替式子中的x、y，看所得的式子与原式之间的关系．
【解答】解：＝，
所以分式的值将是原分式值的一半．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式的化简，是一个中考中经常出现的问题．
6．化简分式的结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据约分的方法可以化简题目中的式子，从而可以解答本题．
【解答】解：＝，
故选：B．
【点评】本题考查约分，解答本题的关键是明确约分的方法．
7．下列关于x的方程中，是分式方程的是（　　）
A．3x＝ B．＝2 C．＝ D．3x﹣2y＝1
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【解答】解：A、C、D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B、方程分母中含未知数x，故是分式方程，
故选：B．
【点评】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
8．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值为（　　）
A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5
【分析】方程无解即是分母为0，由此可得：原分式方程中的分母为0：x＝0或x＝3，解方程后x＝﹣，分母2m+1＝0，解出即可．
【解答】解：﹣1＝，
方程两边都乘以x（x﹣3），得：x（x+2m）﹣x（x﹣3）＝2（x﹣3），
整理，得：（2m+1）x＝﹣6，
x＝﹣，
∵原分式方程无解，
∴2m+1＝0或﹣＝3或﹣＝0，
解得：x＝﹣0.5或x＝﹣1.5，
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型，分式方程无解，则分母为0．
9．分式方程＝1的解是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解： ＝1，
去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：
（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），
x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，
x＝1，
经检验，x＝1是原分式方程的解，
故选：A．
【点评】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
10．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可化为（　　）
A．2y2+3y﹣5＝0 B．2y2﹣5y+3＝0 C．y2+3y﹣5＝0 D．y2﹣5y+3＝0
【分析】根据方程特点设y＝，则原方程可化为2y﹣+3＝0，则y2+3y﹣5＝0．
【解答】解：设＝y，则原方程化为2y2+3y﹣5＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．
11．若关于x的分式方程＝2﹣有增根，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．2 C．3 D．不存在
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得
x＝2（x﹣3）+m，
方程化简，得
m＝﹣x+6
∵原方程增根为x＝3，
∴把x＝3代入整式方程，得m＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完．当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完．他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则下面所列方程中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设读前一半时，平均每天读x页，关键描述语为：“在两周借期内读完”；等量关系为：读前一半用的时间+读后一半用的时间＝14，据此列方程即可．
【解答】解：读前一半用的时间为：，
读后一半用的时间为：．
由题意得， +＝14，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题列分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列出分式方程．
二．填空题（共8小题）
13．观察下面给定的一列分式：，，，，…（其中y≠0）．根据你发现的规律，给定的这列分式中的第7个分式是　　．
【分析】分子的指数是3，5，7，9…是连续奇数，分母的指数是大于0的自然数，奇数项的符号是正号．
【解答】解：第奇数个式子的符号是正数，偶数个是负数，
分母是第几个式子就是y的几次方；
分子是第n个式子就是x的第（2n+1）次方．
所以第七个分式是．
【点评】注意观察每项变化，然后找出的规律．
14．当x　≠1　时，分式有意义．
【分析】分式有意义，分母不等于零．
【解答】解：当分母1﹣x≠0，即x≠1时，分式有意义．
故答案是：≠1．
【点评】从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义?分母为零；
（2）分式有意义?分母不为零；
（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．
15．当x为　2　时，分式的值为0．
【分析】分式的值是0的条件是，分子为0，分母不为0．
【解答】解：∵3x﹣6＝0，
∴x＝2，
当x＝2时，2x+1≠0．
∴当x＝2时，分式的值是0．
故答案为2．
【点评】分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
16．若分式的值为正数，则x的取值范围　x＞7　．
【分析】由题意得分式＞0，根据负负得正，得7﹣x＜0，解得：x＞7．
【解答】解：由题意得：
＞0，
∵﹣6＜0，
∴7﹣x＜0，
∴x＞7．
故答案为：x＞7．
【点评】题目考查了分式的基本运算和不等式的运算．题目整体较为简单，学生需要注意运算的正确性即可．
17．若无解，则m的值是　3　．
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣4）化为整式方程，再根据增根是使最简公分母为0的未知数的值，求出x的值，然后代入整式方程进行计算即可得解．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣4）得，
m+（1﹣x）＝0，
∵分式方程无解，
∴方程有增根，x﹣4＝0，
解得x＝4，
∴m+（1﹣4）＝0，
解得m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式方程的解，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值
18．方程＝的解为　x＝1　．
【分析】观察可得方程最简公分母为2x（x+3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：两边同时乘2x（x+3），得
x+3＝4x，
解得x＝1．
经检验x＝1是原分式方程的根．
【点评】解一个分式方程时，可按照“一去（去分母）、二解（解整式方程）、三检验（检查求出的根是否是增根）”的步骤求出方程的解即可．注意：解分式方程时，最后一步的验根很关键．
19．用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可以化为关于y的方程是　2y2+3y﹣1＝0　．
【分析】根据换元法，把换成y，然后整理即可得解．
【解答】解：∵y＝，
∴原方程化为﹣2y＝3，
整理得，2y2+3y﹣1＝0．
故答案为：2y2+3y﹣1＝0．
【点评】本题考查了换元法解分式方程，换元法是解分式方程常用的方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
20．若关于x的分式方程﹣2＝有增根，则m的值为　3　．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，
得x﹣2（x﹣3）＝m
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，
解得x＝3，
当x＝3时，m＝3
故m的值是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
三．解答题（共8小题）
21．已知，求的值．
【分析】我们可将前面式子变式为x2+1＝3x，再将后面式子的分母变式为的形式从而求出值．
【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1＝3x，
＝＝＝．
【点评】本题考查的是分式的值，解题关键是用到了整体代入的思想．
22．①＝（a≠0）
②＝．
【分析】（1）根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案；
（2）根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变，可得答案．
【解答】解：（1）＝，
（2）＝．
故答案为：6a2，a﹣2，
【点评】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变．
23．约分（1）；
（2）．
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变作答．
【解答】解：（1）；
（2）．
【点评】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
24．（1）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）
（2）利用所学知识以及（1）所得等式，化简代数式÷．
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可得；
（2）利用（1）种结果将原式分子、分母因式分解，再约分即可得．
【解答】解：（1）原式＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3；

（2）原式＝?
＝（m﹣n）?
＝m+n．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式及分式的乘法，根据多项式乘法得出立方差公式是解题的关键．
25．阅读：
对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为＝＝x+﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b有两个解，分别为x1＝a，x2＝b．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程x+＝6的两个解中较大的一个为　4　；
（2）关于x的方程x+＝的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），若x1与x2互为倒数，则x1＝　　，x2＝　2　；
（3）关于x的方程2x+＝2n+3的两个解分别为x1、x2（x1＜x2），求的值．
【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出较大的解即可；
（2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及x1与x2互为倒数，确定出x1与x2的值即可；
（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x1、x2，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）方程x+＝6变形得：x+＝2+4，
根据题意得：x1＝2，x2＝4，
则方程较大的一个解为4；

（2）方程变形得：x+＝+2，
由题中的结论得：方程有一根为2，另一根为，
则x1＝，x2＝2；
故答案为：（1）4；（2）；2

（3）方程整理得：2x﹣1+＝n﹣1+n+3，
得2x﹣1＝n﹣1或2x﹣1＝n+3，
可得x1＝，x2＝，
则原式＝＝．
【点评】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
26．解方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣1），得x2﹣x2+x＝2x﹣2，
整理，得﹣x＝﹣2，
解得，x＝2，
检验：当x＝2时，x（x﹣1）＝2≠0，
则x＝2是原分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
27．解方程：．
【分析】设＝y，则原方程化为y＝+2y，解方程求得y的值，再代入＝y求值即可．结果需检验．
【解答】解：设＝y，则原方程化为y＝+2y，
解之得，y＝﹣．
当y＝﹣时，有＝﹣，解得x＝﹣．
经检验x＝﹣是原方程的根．
∴原方程的根是x＝﹣．
【点评】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．
28．若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得
2（x+2）+mx＝3（x﹣2）
∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），
∴原方程增根为x＝±2，
∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．
把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．
综上，可知m＝﹣4或6．
【点评】增根确定后可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．