2020年湘教新版八年级上册数学《第2章 三角形》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年湘教新版八年级上册数学《第2章 三角形》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 381.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-21 12:16:46 | ||
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文档简介
2020年湘教新版八年级上册数学《第2章 三角形》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．如图中三角形的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图所示，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
6．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
7．小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K，使K和B在AC的两侧；
所以，BH就是所求作的高．
其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④ B．④③②① C．②④③① D．④③①②
8．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行同位角相等 B．对顶角相等
C．若a＝b，则a2＝b2 D．若（a+1）x＞a+1，则x＞1
10．①平行四边形的两组对边分别相等；
②平行四边形的两组对角分别相等；
③平行四边形的两组对边分别平行；
④平行四边形的对角线互相平分．
上述定理中，其逆命题正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列命题不正确的是（ ）
A．任何一个成中心对称的四边形是平行四边形
B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形
D．等边三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
12．下列命题是假命题的有（ ）
①若a2＝b2，则a＝b；
②一个角的余角大于这个角；
③若a，b是有理数，则|a+b|＝|a|+|b|；
④如果∠A＝∠B，那∠A与∠B是对顶角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
13．如图，共有 个三角形．
14．若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 ．
15．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE．设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2＝ ．
16．如图，在△ABC中，AB＜AC，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，大于AC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交BC于点D；连结AD．若∠B＝55°，∠C＝30°，则∠BAD的大小为 度．
17．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝ ．
18．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 ．
19．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题 ．
20．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 ，这个逆命题是 命题；
三．解答题（共8小题）
21．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．
（1）作出△ABD的边BD上的高．
（2）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积．
（3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
22．如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积．
23．如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA+OB+OC＞（AB+BC+CA）．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）连接BD，求证：DE＝CD．
25．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：
（1）画射线AB；
（2）连接BC；
（3）反向延长BC至D，使得BD＝BC；
（4）在直线l上确定点E，使得AE+CE最小．
26．a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置（不写作法，保留作图痕迹）．
27．如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①AB＝AC②DE＝DF③BE＝CF
已知：EG∥AF， ， ．
求证： ．
证明：
．
28．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②?③； B：①③?②； C：②③?①
请选择一个真命题 进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
2020年湘教新版八年级上册数学《第2章 三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图中三角形的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据三角形的定义得：图中三角形有：△ECA，△EBD，△FBA，△FCD，△AFD，△ABD，△ACD，△AED共8个．
【解答】解：∵图中三角形有：△ECA，△EBD，△FBA，△FCD，△AFD，△ABD，△ACD，△AED，
∴共8个．
故选：C．
【点评】此题考查了学生对三角形的认识．注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．
2．如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
3．如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，S△ADF＝S△ADC，再得到S△BDE＝S△ABC，S△DEF＝S△ABC，所以S△ABC＝S阴影部分．
【解答】解：∵D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵E，F分别是边AD，AC上的中点，
∴S△BDE＝S△ABD，S△ADF＝S△ADC，S△DEF＝S△ADF，
∴S△BDE＝S△ABC，S△DEF＝S△ADC＝S△ABC，
S△BDE+S△DEF＝S△ADC+S△ABC＝S△ABC，
∴S△ABC＝S阴影部分＝×3＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
4．图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：如图：A点加上螺栓后，
根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．
故选：A．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
5．如图所示，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂线性质知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，从而得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，
由作图可知MN为AC的中垂线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝65°，
故选：D．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，AE+EC＝6cm，
∵AB+AD+BD＝13cm，
∴AB+BD+DC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BD+BC+AC＝13+6＝19cm，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
7．小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K，使K和B在AC的两侧；
所以，BH就是所求作的高．
其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④ B．④③②① C．②④③① D．④③①②
【分析】根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作BH⊥AC即可．
【解答】解：用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
取一点K，使K和B在AC的两侧；
以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
作射线BF，交边AC于点H；
所以，BH就是所求作的高．
故正确的作图步骤是④③①②．
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线、垂线的作法．
8．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
【解答】解：A、如图所示：此时BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
C、如图所示：此时CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
D、如图所示：此时BP＝AP，故能得出PA+PC＝BC，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．
9．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行同位角相等 B．对顶角相等
C．若a＝b，则a2＝b2 D．若（a+1）x＞a+1，则x＞1
【分析】分别写出各个选项的逆命题后再判断其正确或错误，即确定它是真命题还是假命题．
【解答】解：A、“两直线平行同位角相等”的逆命题是“同位角相等两直线平行”正确，故是真命题；
B、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，所以逆命题错误，故是假命题；
C、“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是“若a2＝b2，则a＝b”，因为a2＝b2，则a＝±b，所以逆命题错误，故是假命题；
D、“若（a+1）x＞a+1，则x＞1”的逆命题是“若x＞1，则（a+1）x＞a+1”，逆命题中若a+1＜0，则（a+1）x＜a+1，所以逆命题错误，故是假命题．
故选：A．
【点评】主要考查了逆命题和真假命题的定义．对事物做出判断的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．举出反例能有效的说明该命题是假命题．
10．①平行四边形的两组对边分别相等；
②平行四边形的两组对角分别相等；
③平行四边形的两组对边分别平行；
④平行四边形的对角线互相平分．
上述定理中，其逆命题正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别写出其逆命题，然后进行判断即可．
【解答】解：①平行四边形的两组对边分别相等的逆命题为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；
②平行四边形的两组对角分别相等的逆命题是两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确；
③平行四边形的两组对边分别平行的逆命题为两组对边分别平行的四边形为平行四边形，正确；
④平行四边形的对角线互相平分的逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
11．下列命题不正确的是（ ）
A．任何一个成中心对称的四边形是平行四边形
B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形
D．等边三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
【分析】根据中心对称及轴对称图形的性质解答即可．
【解答】解：A、正确，平行四边形是中心对称图形；
B、错误，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
C、正确，符合中心对称图形的性质；
D、正确，符合轴对称图形的性质．
故选：B．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．下列命题是假命题的有（ ）
①若a2＝b2，则a＝b；
②一个角的余角大于这个角；
③若a，b是有理数，则|a+b|＝|a|+|b|；
④如果∠A＝∠B，那∠A与∠B是对顶角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平方根的定义对①进行判断；利用反例对②进行判断；根据绝对值的意义对③进行判断；根据对顶角的定义对④进行判断．
【解答】解：若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，所以①为假命题；
60°的余角小于60°，所以②为假命题；
若a，b是有理数，当a、b同号时，|a+b|＝|a|+|b|，所以③为假命题；
如果∠A＝∠B，那∠A与∠B不一定是对顶角，所以④为假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
二．填空题（共8小题）
13．如图，共有 12 个三角形．
【分析】在上半部分，按照从左到右的顺序分别找出单个的三角形和复合的三角形的个数，同理考虑横截线的三角形的个数与上半部分的三角形的个数相同，所以乘以2即可．
【解答】解：上半部分：单个的三角形有3个，复合的三角形有2+1＝3个，
所以上半部分三角形的个数为3+3＝6个，
同理考虑横截线的三角形的个数也是6个．
故共有12个三角形．
【点评】本题把三角形分成上半部分和上下合成一个整体考虑使求解变得较为简单，要按照一定的顺序找三角形才能做到不重不漏．
14．若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 直角三角形 ．
【分析】作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到．
【解答】解：因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点评】本题主要考查三角形的高的概念，属于基础题型．注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
15．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE．设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2＝ 1 ．
【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝6，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝6，
∴S△ABE＝S△ABC＝×6＝3．
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△BCD＝S△ABC＝×6＝2，
∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+S四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，
即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝3﹣2＝1．
故答案为：1
【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．
16．如图，在△ABC中，AB＜AC，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，大于AC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交BC于点D；连结AD．若∠B＝55°，∠C＝30°，则∠BAD的大小为 65 度．
【分析】先根据DN垂直平分线AC，得出DC＝DA，进而得到∠C＝∠DAC＝30°，再根据∠B＝55°，即可得出∠BAD＝180°﹣55°﹣2×30°＝65°．
【解答】解：由题可得，DN垂直平分线AC，
∴DC＝DA，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
又∵∠B＝55°，
∴∠BAD＝180°﹣55°﹣2×30°＝65°，
故答案为：65．
【点评】本题主要考查了基本作图依据线段垂直平分线的性质的运用，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
17．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝ 3 ．
【分析】直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．
【解答】解：由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD＝BD，
∵BC＝5，CD＝2，
∴BD＝AD＝BC﹣DC＝5﹣2＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确得出MN垂直平分AB是解题关键．
18．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行．
【解答】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．
故答案为同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了平行线的判定．
19．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题 面积相等的三角形全等 ．
【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，把题设与结论互换即可得到逆命题．
【解答】解：“全等三角形的面积相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，因而逆命题是：面积相等的三角形全等．
故答案是：面积相等的三角形全等．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
20．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ，这个逆命题是 真 命题；
【分析】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
【解答】解：命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形．
因为，在同一个三角形内有两个角相等的三角形是等腰三角形，因此逆命题是真命题．
【点评】要根据逆命题的定义来回答，逆命题与原命题互换题设和结论．
三．解答题（共8小题）
21．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．
（1）作出△ABD的边BD上的高．
（2）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积．
（3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
【分析】（1）根据三角形中高的定义来作高线；
（2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求解；
（3）先求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求得即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为10，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝5．
（3）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，
∴△ABC的面积为12，
∵BD边上的高为3，
∴BC＝12×2÷3＝8．
【点评】考查了三角形的角平分线、中线和高．
（1）理解三角形高的定义；
（2）熟悉三角形中线的性质；
（3）根据三角形的面积公式求解．
22．如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积．
【分析】此四边形可以把它看成两个三角形，即△ADC，△ABC，再求出其面积的和即可．
【解答】解：∵S△ADC＝5×2÷2＝5，S△ABC＝5×3÷2＝7.5，
∴四边形ABCD的面积＝S△ADC+S△ABC＝5+7.5＝12.5．
【点评】本题主要考查求不规则图形面积的能力，关键在于根据图形得出：四边形ABCD的面积＝网格的总面积﹣四个角的四个直角三角形的面积，求出四边形ABCD的面积．
23．如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA+OB+OC＞（AB+BC+CA）．
【分析】在△ABO和△AOC以及△BOC中，分别利用三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，然后把三个式子相加即可证得．
【解答】证明：∵△ABO中，OA+OB＞AB，
同理，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC．
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，
∴OA+OB+OC＞（AB+BC+CA）．
【点评】本题考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）连接BD，求证：DE＝CD．
【分析】（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作DE垂直平分AB；
（2）先利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝30°，再证明BD平分∠ABC，然后根据角平分线的性质定理可得到结论．
【解答】（1）解：如图，DE为所作；
（2）证明：如图，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∵∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠CBD＝30°，
即BD平分∠ABC，
而DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝DC．
【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段．作一个角等于已知角．作已知线段的垂直平分线． 作已知角的角平分线．过一点作已知直线的垂线．
25．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：
（1）画射线AB；
（2）连接BC；
（3）反向延长BC至D，使得BD＝BC；
（4）在直线l上确定点E，使得AE+CE最小．
【分析】根据射线，线段、两点之间线段最短即可解决问题；
【解答】解：（1）射线AB，如图所示；
（2）线段BC，如图所示，
（3）线段BD如图所示
（4）点E即为所求；
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、直线、射线、线段的定义、两点之间线段最短等知识，解题的关键是少林足球基本知识，属于中考常考题型．
26．a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】连接MN，先画出a、b两线所组成的角的平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．
【解答】解：点O或点O′就是所求的点．
【点评】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．
27．如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①AB＝AC②DE＝DF③BE＝CF
已知：EG∥AF， AB＝AC ， DE＝DF ．
求证： BE＝CF ．
证明：
作EG∥AF交BC于G，
∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠EGB，
∴EB＝EG，
在△EGD和△FCD中，
，
∴EG＝CF，
∴BE＝CF ．
【分析】作EG∥AF交BC于G，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，证明△EGD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】已知：EG∥AF，AB＝AC，DE＝DF．
求证：BE＝CF．
证明：作EG∥AF交BC于G，
∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠EGB，
∴EB＝EG，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD，
∴EG＝CF，
∴BE＝CF．
故答案为：AB＝AC；DE＝DF；BE＝CF；作EG∥AF交BC于G，
∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠EGB，
∴EB＝EG，
在△EGD和△FCD中，
，
∴EG＝CF，
∴BE＝CF
【点评】本题考查的是命题和定理的证明，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
28．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②?③； B：①③?②； C：②③?①
请选择一个真命题 ①③② 进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
【分析】根据全等三角形的判定定理和性质定理证明即可．
【解答】已知：AB＝AC，BD＝CE，
求证：AD＝AE．
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE．
故答案为：①③②．
【点评】本题考查的是命题和定理的证明，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
一．选择题（共12小题）
1．如图中三角形的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图所示，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
6．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
7．小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K，使K和B在AC的两侧；
所以，BH就是所求作的高．
其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④ B．④③②① C．②④③① D．④③①②
8．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行同位角相等 B．对顶角相等
C．若a＝b，则a2＝b2 D．若（a+1）x＞a+1，则x＞1
10．①平行四边形的两组对边分别相等；
②平行四边形的两组对角分别相等；
③平行四边形的两组对边分别平行；
④平行四边形的对角线互相平分．
上述定理中，其逆命题正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列命题不正确的是（ ）
A．任何一个成中心对称的四边形是平行四边形
B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形
D．等边三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
12．下列命题是假命题的有（ ）
①若a2＝b2，则a＝b；
②一个角的余角大于这个角；
③若a，b是有理数，则|a+b|＝|a|+|b|；
④如果∠A＝∠B，那∠A与∠B是对顶角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
13．如图，共有 个三角形．
14．若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 ．
15．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE．设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2＝ ．
16．如图，在△ABC中，AB＜AC，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，大于AC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交BC于点D；连结AD．若∠B＝55°，∠C＝30°，则∠BAD的大小为 度．
17．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝ ．
18．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 ．
19．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题 ．
20．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 ，这个逆命题是 命题；
三．解答题（共8小题）
21．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．
（1）作出△ABD的边BD上的高．
（2）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积．
（3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
22．如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积．
23．如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA+OB+OC＞（AB+BC+CA）．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）连接BD，求证：DE＝CD．
25．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：
（1）画射线AB；
（2）连接BC；
（3）反向延长BC至D，使得BD＝BC；
（4）在直线l上确定点E，使得AE+CE最小．
26．a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置（不写作法，保留作图痕迹）．
27．如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①AB＝AC②DE＝DF③BE＝CF
已知：EG∥AF， ， ．
求证： ．
证明：
．
28．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②?③； B：①③?②； C：②③?①
请选择一个真命题 进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
2020年湘教新版八年级上册数学《第2章 三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图中三角形的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据三角形的定义得：图中三角形有：△ECA，△EBD，△FBA，△FCD，△AFD，△ABD，△ACD，△AED共8个．
【解答】解：∵图中三角形有：△ECA，△EBD，△FBA，△FCD，△AFD，△ABD，△ACD，△AED，
∴共8个．
故选：C．
【点评】此题考查了学生对三角形的认识．注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．
2．如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形有（ ）个
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由于AD⊥BC于D，图中共有6个三角形，它们都有一边在直线CB上，由此即可确定以AD为高的三角形的个数．
【解答】解：∵AD⊥BC于D，
而图中有一边在直线CB上，且以A为顶点的三角形有6个，
∴以AD为高的三角形有6个．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的高，三角形的高可以在三角形外，也可以在三角形内，所以确定三角形的高比较灵活．
3．如图，D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若S阴影的面积为3，则△ABC的面积是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，S△ADF＝S△ADC，再得到S△BDE＝S△ABC，S△DEF＝S△ABC，所以S△ABC＝S阴影部分．
【解答】解：∵D为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，
∵E，F分别是边AD，AC上的中点，
∴S△BDE＝S△ABD，S△ADF＝S△ADC，S△DEF＝S△ADF，
∴S△BDE＝S△ABC，S△DEF＝S△ADC＝S△ABC，
S△BDE+S△DEF＝S△ADC+S△ABC＝S△ABC，
∴S△ABC＝S阴影部分＝×3＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
4．图中的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接而构成的，它的形状不稳定．如果用在图中木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，且所加螺栓尽可能少，那么需要添加螺栓（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．
【解答】解：如图：A点加上螺栓后，
根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．
故选：A．
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
5．如图所示，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．55° C．60° D．65°
【分析】根据内角和定理求得∠BAC＝95°，由中垂线性质知DA＝DC，即∠DAC＝∠C＝30°，从而得出答案．
【解答】解：在△ABC中，∵∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，
由作图可知MN为AC的中垂线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝65°，
故选：D．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（ ）
A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，AE+EC＝6cm，
∵AB+AD+BD＝13cm，
∴AB+BD+DC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BD+BC+AC＝13+6＝19cm，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
7．小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
①分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
②作射线BF，交边AC于点H；
③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
④取一点K，使K和B在AC的两侧；
所以，BH就是所求作的高．
其中顺序正确的作图步骤是（ ）
A．①②③④ B．④③②① C．②④③① D．④③①②
【分析】根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作BH⊥AC即可．
【解答】解：用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：
取一点K，使K和B在AC的两侧；
以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；
分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于F；
作射线BF，交边AC于点H；
所以，BH就是所求作的高．
故正确的作图步骤是④③①②．
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线、垂线的作法．
8．已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可．
【解答】解：A、如图所示：此时BA＝BP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
B、如图所示：此时PA＝PC，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
C、如图所示：此时CA＝CP，则无法得出AP＝BP，故不能得出PA+PC＝BC，故此选项错误；
D、如图所示：此时BP＝AP，故能得出PA+PC＝BC，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了复杂作图，根据线段垂直平分线的性质得出是解题关键．
9．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．两直线平行同位角相等 B．对顶角相等
C．若a＝b，则a2＝b2 D．若（a+1）x＞a+1，则x＞1
【分析】分别写出各个选项的逆命题后再判断其正确或错误，即确定它是真命题还是假命题．
【解答】解：A、“两直线平行同位角相等”的逆命题是“同位角相等两直线平行”正确，故是真命题；
B、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，所以逆命题错误，故是假命题；
C、“若a＝b，则a2＝b2”的逆命题是“若a2＝b2，则a＝b”，因为a2＝b2，则a＝±b，所以逆命题错误，故是假命题；
D、“若（a+1）x＞a+1，则x＞1”的逆命题是“若x＞1，则（a+1）x＞a+1”，逆命题中若a+1＜0，则（a+1）x＜a+1，所以逆命题错误，故是假命题．
故选：A．
【点评】主要考查了逆命题和真假命题的定义．对事物做出判断的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题．举出反例能有效的说明该命题是假命题．
10．①平行四边形的两组对边分别相等；
②平行四边形的两组对角分别相等；
③平行四边形的两组对边分别平行；
④平行四边形的对角线互相平分．
上述定理中，其逆命题正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别写出其逆命题，然后进行判断即可．
【解答】解：①平行四边形的两组对边分别相等的逆命题为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确；
②平行四边形的两组对角分别相等的逆命题是两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确；
③平行四边形的两组对边分别平行的逆命题为两组对边分别平行的四边形为平行四边形，正确；
④平行四边形的对角线互相平分的逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
11．下列命题不正确的是（ ）
A．任何一个成中心对称的四边形是平行四边形
B．平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形
D．等边三角形、矩形、菱形、正方形都是轴对称图形
【分析】根据中心对称及轴对称图形的性质解答即可．
【解答】解：A、正确，平行四边形是中心对称图形；
B、错误，平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
C、正确，符合中心对称图形的性质；
D、正确，符合轴对称图形的性质．
故选：B．
【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．下列命题是假命题的有（ ）
①若a2＝b2，则a＝b；
②一个角的余角大于这个角；
③若a，b是有理数，则|a+b|＝|a|+|b|；
④如果∠A＝∠B，那∠A与∠B是对顶角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平方根的定义对①进行判断；利用反例对②进行判断；根据绝对值的意义对③进行判断；根据对顶角的定义对④进行判断．
【解答】解：若a2＝b2，则a＝b或a＝﹣b，所以①为假命题；
60°的余角小于60°，所以②为假命题；
若a，b是有理数，当a、b同号时，|a+b|＝|a|+|b|，所以③为假命题；
如果∠A＝∠B，那∠A与∠B不一定是对顶角，所以④为假命题．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
二．填空题（共8小题）
13．如图，共有 12 个三角形．
【分析】在上半部分，按照从左到右的顺序分别找出单个的三角形和复合的三角形的个数，同理考虑横截线的三角形的个数与上半部分的三角形的个数相同，所以乘以2即可．
【解答】解：上半部分：单个的三角形有3个，复合的三角形有2+1＝3个，
所以上半部分三角形的个数为3+3＝6个，
同理考虑横截线的三角形的个数也是6个．
故共有12个三角形．
【点评】本题把三角形分成上半部分和上下合成一个整体考虑使求解变得较为简单，要按照一定的顺序找三角形才能做到不重不漏．
14．若一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是 直角三角形 ．
【分析】作出一个直角三角形的高线进行判断，就可以得到．
【解答】解：因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点评】本题主要考查三角形的高的概念，属于基础题型．注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
15．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE．设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝6，则S1﹣S2＝ 1 ．
【分析】S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD，所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，因为AD＝2BD，BE＝CE，且S△ABC＝6，就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积．
【解答】解：∵BE＝CE，
∴BE＝BC，
∵S△ABC＝6，
∴S△ABE＝S△ABC＝×6＝3．
∵AD＝2BD，S△ABC＝6，
∴S△BCD＝S△ABC＝×6＝2，
∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+S四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，
即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝3﹣2＝1．
故答案为：1
【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．
16．如图，在△ABC中，AB＜AC，按以下步骤作图：分别以点A和点C为圆心，大于AC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交BC于点D；连结AD．若∠B＝55°，∠C＝30°，则∠BAD的大小为 65 度．
【分析】先根据DN垂直平分线AC，得出DC＝DA，进而得到∠C＝∠DAC＝30°，再根据∠B＝55°，即可得出∠BAD＝180°﹣55°﹣2×30°＝65°．
【解答】解：由题可得，DN垂直平分线AC，
∴DC＝DA，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
又∵∠B＝55°，
∴∠BAD＝180°﹣55°﹣2×30°＝65°，
故答案为：65．
【点评】本题主要考查了基本作图依据线段垂直平分线的性质的运用，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
17．在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．如果BC＝5，CD＝2，那么AD＝ 3 ．
【分析】直接利用基本作图方法得出MN垂直平分AB，进而得出答案．
【解答】解：由作图步骤可得：MN垂直平分AB，则AD＝BD，
∵BC＝5，CD＝2，
∴BD＝AD＝BC﹣DC＝5﹣2＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了基本作图，正确得出MN垂直平分AB是解题关键．
18．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 同位角相等，两直线平行 ．
【分析】利用作图可得，画出两同位角相等，从而根据平行线的判定方法可判断所画直线与原直线平行．
【解答】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．
故答案为同位角相等，两直线平行．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了平行线的判定．
19．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题 面积相等的三角形全等 ．
【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，把题设与结论互换即可得到逆命题．
【解答】解：“全等三角形的面积相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，因而逆命题是：面积相等的三角形全等．
故答案是：面积相等的三角形全等．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
20．命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ，这个逆命题是 真 命题；
【分析】对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
【解答】解：命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形．
因为，在同一个三角形内有两个角相等的三角形是等腰三角形，因此逆命题是真命题．
【点评】要根据逆命题的定义来回答，逆命题与原命题互换题设和结论．
三．解答题（共8小题）
21．如图所示，已知AD是△ABC的边BC上的中线．
（1）作出△ABD的边BD上的高．
（2）若△ABC的面积为10，求△ADC的面积．
（3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长．
【分析】（1）根据三角形中高的定义来作高线；
（2）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求解；
（3）先求出△ABC的面积，再根据三角形的面积公式求得即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABC的面积为10，
∴△ADC的面积＝△ABC的面积＝5．
（3）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，
∴△ABC的面积为12，
∵BD边上的高为3，
∴BC＝12×2÷3＝8．
【点评】考查了三角形的角平分线、中线和高．
（1）理解三角形高的定义；
（2）熟悉三角形中线的性质；
（3）根据三角形的面积公式求解．
22．如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积．
【分析】此四边形可以把它看成两个三角形，即△ADC，△ABC，再求出其面积的和即可．
【解答】解：∵S△ADC＝5×2÷2＝5，S△ABC＝5×3÷2＝7.5，
∴四边形ABCD的面积＝S△ADC+S△ABC＝5+7.5＝12.5．
【点评】本题主要考查求不规则图形面积的能力，关键在于根据图形得出：四边形ABCD的面积＝网格的总面积﹣四个角的四个直角三角形的面积，求出四边形ABCD的面积．
23．如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA+OB+OC＞（AB+BC+CA）．
【分析】在△ABO和△AOC以及△BOC中，分别利用三角形三边关系定理，两边之和大于第三边，然后把三个式子相加即可证得．
【解答】证明：∵△ABO中，OA+OB＞AB，
同理，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC．
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，
∴OA+OB+OC＞（AB+BC+CA）．
【点评】本题考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）连接BD，求证：DE＝CD．
【分析】（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作DE垂直平分AB；
（2）先利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，则∠DBA＝∠A＝30°，再证明BD平分∠ABC，然后根据角平分线的性质定理可得到结论．
【解答】（1）解：如图，DE为所作；
（2）证明：如图，
∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝30°，
∵∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠CBD＝30°，
即BD平分∠ABC，
而DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE＝DC．
【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段．作一个角等于已知角．作已知线段的垂直平分线． 作已知角的角平分线．过一点作已知直线的垂线．
25．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：
（1）画射线AB；
（2）连接BC；
（3）反向延长BC至D，使得BD＝BC；
（4）在直线l上确定点E，使得AE+CE最小．
【分析】根据射线，线段、两点之间线段最短即可解决问题；
【解答】解：（1）射线AB，如图所示；
（2）线段BC，如图所示，
（3）线段BD如图所示
（4）点E即为所求；
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、直线、射线、线段的定义、两点之间线段最短等知识，解题的关键是少林足球基本知识，属于中考常考题型．
26．a，b分别代表铁路和公路，点M、N分别代表蔬菜和杂货批发市场．现要建中转站O点，使O点到铁路、公路距离相等，且到两市场距离相等．请用尺规画出O点位置（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】连接MN，先画出a、b两线所组成的角的平分线，然后再画出线段MN的中垂线．这两条直线的交点即为所求．
【解答】解：点O或点O′就是所求的点．
【点评】本题考查了基本作图，理解角的平分线以及线段的垂直平分线的作图是关键．
27．如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题．并证明这个命题（只写出一种情况）①AB＝AC②DE＝DF③BE＝CF
已知：EG∥AF， AB＝AC ， DE＝DF ．
求证： BE＝CF ．
证明：
作EG∥AF交BC于G，
∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠EGB，
∴EB＝EG，
在△EGD和△FCD中，
，
∴EG＝CF，
∴BE＝CF ．
【分析】作EG∥AF交BC于G，根据平行线的性质得到∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，证明△EGD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】已知：EG∥AF，AB＝AC，DE＝DF．
求证：BE＝CF．
证明：作EG∥AF交BC于G，
∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠EGB，
∴EB＝EG，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD，
∴EG＝CF，
∴BE＝CF．
故答案为：AB＝AC；DE＝DF；BE＝CF；作EG∥AF交BC于G，
∴∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠CFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠EGB，
∴EB＝EG，
在△EGD和△FCD中，
，
∴EG＝CF，
∴BE＝CF
【点评】本题考查的是命题和定理的证明，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
28．如图，点D，E在△ABC的边BC上，连接AD，AE．①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：A：①②?③； B：①③?②； C：②③?①
请选择一个真命题 ①③② 进行证明（先写出所选命题，然后证明）．
【分析】根据全等三角形的判定定理和性质定理证明即可．
【解答】已知：AB＝AC，BD＝CE，
求证：AD＝AE．
证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE．
故答案为：①③②．
【点评】本题考查的是命题和定理的证明，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
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