2020年湘教新版八年级上册数学《第5章 二次根式》单元测试卷（解析版）

2020年湘教新版八年级上册数学《第5章 二次根式》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．在式子中，二次根式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（　　）
A．3﹣π B．a C．a2+1 D．2x+4
3．若有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＞2 D．x＞﹣2
4．若代数式有意义，则x应满足（　　）
A．x＝0 B．x≠1 C．x≥﹣5 D．x≥﹣5且x≠1
5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（　　）

A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a
6．下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
8．下列二次根式中的最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
9．化简（﹣）2的结果是（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．9
10．下列运算正确的是（　　）
A．2a+a＝3a2 B．＝×
C．（3a2）3＝9a6 D． +＝3
11．的倒数是（　　）
A． B．2 C． D．﹣
12．已知，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共8小题）
13．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2…那么第10个数据应是　 　．
14．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
15．化简＝　 　．
16．若和都是最简二次根式，则m＝　 　，n＝　 　．
17．计算：＝　 　．
18．化简：＝　 　．
19．最简二次根式是同类二次根式，则a的取值为　 　．
20．﹣＝　 　．
三．解答题（共8小题）
21．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
22．已知+＝b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
23．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： +2﹣|a﹣b|．

24．已知x、y为正数，且（+）＝3（+5），求的值．
25．阅读下列材料，并解决相应问题：
＝＝＝
应用：用上述类似的方法化简下列各式：
（1）
（2）若a是的小数部分，求的值．
26．若最简二次根式是同类二次根式．
（1）求x、y的值．
（2）求x、y平方和的算术平方根．
27．（1）
（2）
28．计算：
（1）
（2）



2020年湘教新版八年级上册数学《第5章 二次根式》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在式子中，二次根式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次根式的定义对各数分析判断即可得解．
【解答】解：根据二次根式的定义，y＝﹣2时，y+1＝﹣2+1＝﹣1，
所以二次根式有（x＞0），，（x＜0），共4个．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的定义，比较简单，要注意被开方数是非负数，熟记概念是解题的关键．
2．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（　　）
A．3﹣π B．a C．a2+1 D．2x+4
【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、3﹣π＜0，则3﹣a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故此选项正确；
D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
3．若有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＞2 D．x＞﹣2
【分析】二次根式有意义，被开方数是非负数．
【解答】解：依题意，得
x﹣2≥0，
解得，x≥2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
4．若代数式有意义，则x应满足（　　）
A．x＝0 B．x≠1 C．x≥﹣5 D．x≥﹣5且x≠1
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．
【解答】解：根据题意得：x+5≥0，x﹣1≠0
解得x≥﹣5且x≠1．
故选：D．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（　　）

A．1 B．b+1 C．2a D．1﹣2a
【分析】利用数轴得出a﹣1＜0，a﹣b＜0，进而利用二次根式的性质化简求出即可．
【解答】解：由数轴可得：a﹣1＜0，a﹣b＜0，
则原式＝1﹣a+a﹣b+b＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，得出各项的符号是解题关键．
6．下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题考查最简二次根式的合并，二次根式的计算，以及二次根式的意义．
【解答】解：A、错误，∵2﹣＝≠1；
B、正确，∵＝（﹣1）2＝1×2＝2；
C、错误，∵＝＝11≠±11；
D、错误，∵＝＝≠1．
故选：B．
【点评】灵活运用二次根式的性质进行计算和化简，最简二次根式的运用，以及二次根式的计算法则的运用．
7．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件（①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式）是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数里含有能开得尽方的因数8，故本选项错误；
B、符合最简二次根式的条件；故本选项正确；
C、被开方数里含有分母；故本选项错误．
D、被开方数里含有能开得尽方的因式a2；故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
8．下列二次根式中的最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、原式＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、原式＝2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
9．化简（﹣）2的结果是（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．9
【分析】原式利用平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：（﹣）2＝3，
故选：B．
【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．下列运算正确的是（　　）
A．2a+a＝3a2 B．＝×
C．（3a2）3＝9a6 D． +＝3
【分析】根据合并同类项的法则以及二次根式的乘法法则即可求解．
【解答】解：A、2a+a＝3a，选项错误；
B、和没有意义，则选项错误；
C、（3a2）3＝27a6，选项错误；
D、+＝2+＝3，选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式乘法运算，以及合并同类项法则，二次根式的化简求值，正确理解运算法则是关键．
11．的倒数是（　　）
A． B．2 C． D．﹣
【分析】的倒数是，再分母有理化即可．
【解答】解：的倒数是，．
故选：C．
【点评】此题考查分母有理化，是初中代数的重要内容，解法的关键是准确判断分母的有理化因式．
12．已知，则的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据题意，，变形为＝2+，两边平方得x2＝12，代入求值即可．
【解答】解：∵，
∴＝2+，
两边平方得，25﹣x2＝4+15﹣x2+4，
即4＝6，2＝3，
两边再平方得，4（15﹣x2）＝9，
化简，得x2＝12，
把x2＝12代入，
得+，
＝+，
＝，
＝5，
故选C．
解法二：∵（﹣）?（）＝10，，
∴＝5．
【点评】本题考查了分母有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．
二．填空题（共8小题）
13．观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2…那么第10个数据应是　3　．
【分析】根据已知的数可以得到第n个数是被开方数是3的n﹣1倍，据此即可求解．
【解答】解：0＝，，，3＝，2＝，可以得到第10个数的被开方数一定能是3的9倍，则第10个数是：＝＝3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了二次根式的化简，正确理解规律：第n个数是被开方数是3的n﹣1倍，是关键．
14．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　x≥﹣2　．
【分析】直接利用二次根式的定义得出答案．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x+2≥0，
解得：x≥﹣2．
故答案为：x≥﹣2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．
15．化简＝　π﹣3　．
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：∵π＞3，
∴π﹣3＞0；
∴＝π﹣3．
【点评】解答此题，要弄清性质：＝|a|，去绝对值的法则．
16．若和都是最简二次根式，则m＝　1　，n＝　2　．
【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．
【解答】解：∵若和都是最简二次根式，
∴，
解得：m＝1，n＝2，
故答案为：1；2
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
17．计算：＝　6　．
【分析】根据二次根式的乘法法则求解．
【解答】解：原式＝2×3
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了二次根式的乘法法则： ＝．
18．化简：＝　　．
【分析】分子、分母同乘，计算即可求出结果．
【解答】解：＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的分母有理化，一般地，将分子、分母同乘分母的有理化因式，可将分母中的根号化去．本题还可将分子写成（）2，再约分即可．
19．最简二次根式是同类二次根式，则a的取值为　　．
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴3a+1＝2，解得：a＝．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
20．﹣＝　　．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般．
三．解答题（共8小题）
21．当a取什么值时，代数式取值最小？并求出这个最小值．
【分析】根据≥0，即可求得a的值，以及所求式子的最小值．
【解答】解：∵≥0，
∴当a＝﹣时，有最小值，是0．
则+1的最小值是1．
【点评】本题考查了二次根式的性质，任何非负数的算术平方根是非负数．
22．已知+＝b+8．
（1）求a的值；
（2）求a2﹣b2的平方根．
【分析】（1）根据被开方数是非负数，即可求得a的值；
（2）根据（1）的结果即可求得b的值，然后利用平方根的定义求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：a＝17；
（2）b+8＝0，
解得：b＝﹣8．
则a2﹣b2＝172﹣（﹣8）2＝225，
则平方根是：±15．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
23．已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： +2﹣|a﹣b|．

【分析】直接利用数轴得出a，b的取值范围进而化简二次根式和绝对值进而得出答案．
【解答】解：由数轴可得
﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+3＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
原式＝a+3+2（b﹣1）+（a﹣b）
＝2a+b+1．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．
24．已知x、y为正数，且（+）＝3（+5），求的值．
【分析】要求代数式的值，要首先将分子分母的字母统一成一种，因此要整理已知条件，设法将其中一种字母用另一种表示，然后代入代数式中，约分即可．
【解答】解：由已知条件得x﹣2﹣15y＝0，
∴（+3）（﹣5）＝0，
∵+3＞0，
∴﹣5＝0，
∴，x＝25y，
∴＝＝2．
【点评】能够对所给条件适当的变形是解题的关键，对条件的变形没有规律可循，要根据题目需要，运用所学知识适当变形．
25．阅读下列材料，并解决相应问题：
＝＝＝
应用：用上述类似的方法化简下列各式：
（1）
（2）若a是的小数部分，求的值．
【分析】（1）直接找出分母有理化因式进而化简求出答案；
（2）直接表示出a的值，进而化简求出答案．
【解答】解：（1）＝＝﹣；

（2）由题意可得：a＝﹣1，＝＝3+3．
【点评】此题主要考查了分母有理化，正确表示出有理化因式是解题关键．
26．若最简二次根式是同类二次根式．
（1）求x、y的值．
（2）求x、y平方和的算术平方根．
【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；
（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴3x﹣10＝2，2x+y﹣5＝x﹣3y+11，
即
解得：；
（2）∵x、y的平方和为x2+y2＝16+9＝25，
∴x、y平方和的算术平方根为5．
【点评】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
27．（1）
（2）
【分析】（1）先进行二次根式、三次根式的化简，然后进行加减合并．
（2）先去绝对值符号，然后化简二次根式，最后进行合并运算．
【解答】解：（1）原式＝9﹣3+＝；
（2）原式＝﹣+﹣1﹣3+＝2﹣4．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减运算，要先进行二次根式的化简，然后再进行合并运算．
28．计算：
（1）
（2）
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）由分数的性质，先化简、约分，再合并．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+4＝；
（2）原式＝4+3﹣4＝7﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的加法运算，混合运算．一定要注意：先把二次根式化为最简二次根式．