2020年湘教新版八年级下册数学《第1章 直角三角形》单元测试卷（解析版）

2020年湘教新版八年级下册数学《第1章 直角三角形》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．如图，O是直线AB上的一点，过点O任意作射线OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE（　　）

A．一定是钝角 B．一定是锐角 C．一定是直角 D．都有可能
2．如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分线．当∠BOE＝40°时，∠AOB的度数是（　　）

A．70° B．80° C．100° D．110°
3．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上，BM为∠CBE的平分线，BN为∠DBE的平分线，则∠MBN的度数是（　　）

A．60° B．67.5° C．75° D．85°
4．如图，∠AOB是直角，∠AOC＝38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为（　　）

A．52° B．38° C．64° D．26°
5．如图：BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A＝100°，则∠BOC的度数为（　　）

A．80° B．90° C．120° D．140°
6．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD＝（　　）

A．80° B．90° C．100° D．70°
7．三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
8．下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　）
A．两组直角边对应相等 B．一组边对应相等
C．两组锐角对应相等 D．一组锐角对应相等
9．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．下列说法中，正确的有（　　）
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形
③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
④三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
12．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（　　）

A．18 B．14 C．12 D．6
二．填空题（共8小题）
13．如图，一副直角三角板摆放在一起，射线OM平分∠BOC、ON平分∠AOC，∠MON的度数为　 　．

14．如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是　 　度．

15．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC＝28°，则∠COD＝　 　，∠BOE＝　 　．

16．如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于　 　度．

17．如图所示：
（1）在△ABC中，BC边上的高是　 　；
（2）在△AEC中，AE边上的高是　 　．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝　 　时，△ABC和△PQA全等．

19．如图，△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90度，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若AB＝20厘米，则△DEB的周长为　 　厘米．

20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝　 　．

三．解答题（共8小题）
21．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．

22．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．

23．如图，直线AB、CD相交于O，∠BOC＝80°，OE是∠BOC的角平分线，OF是OE的反向延长线，
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）说明OF平分∠AOD．

24．如图所示，OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝90°；
（1）如果∠BOC＝40°，求∠EOD的度数；
（2）如果∠EOD＝70°，求∠BOC的度数．

25．已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．

（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是　 　；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝　 　；当∠BAD＝∠BDA时，x＝　 　．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
26．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，你能找出一对全等的三角形吗？为什么它们是全等的？

27．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CD＝BE；
（2）已知CD＝2，求AC的长；
（3）求证：AB＝AC+CD．

28．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C．
（1）若∠A＝∠AOC，求证：∠B＝∠BOC；

（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A度数；
（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．



2020年湘教新版八年级下册数学《第1章 直角三角形》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．如图，O是直线AB上的一点，过点O任意作射线OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE（　　）

A．一定是钝角 B．一定是锐角 C．一定是直角 D．都有可能
【分析】直接利用角平分线的性质得出∠AOD＝∠DOC，∠BOE＝∠COE，进而得出答案．
【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠AOD＝∠DOC，∠BOE＝∠COE，
∴∠DOE＝×180°＝90°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．
2．如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，∠AOC＝30°，OE是∠COB的平分线．当∠BOE＝40°时，∠AOB的度数是（　　）

A．70° B．80° C．100° D．110°
【分析】根据OE是∠COB的角平分线，则可求得∠COB的度数，然后根据∠AOB＝∠AOC+∠COB即可求解．
【解答】解：∵OE是∠COB的平分线，
∴∠COB＝2∠COE （角平分线的定义）．
∵∠BOE＝40°，
∴∠COB＝80°．
∵∠AOC＝30°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠COB＝110°，
故选：D．
【点评】本题考查了角度的计算，角度的计算转化为角度的和或差，理解角平分线的定义是关键．
3．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、B、D三点在同一直线上，BM为∠CBE的平分线，BN为∠DBE的平分线，则∠MBN的度数是（　　）

A．60° B．67.5° C．75° D．85°
【分析】由角平分线的定义可知∠EBN＝＝＝22.5°，由平角的定义可知∠CBE＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝180°﹣30°﹣45°＝105°，再利用角平分线的定义可得∠EBM，可得结果．
【解答】解：∵∠CBE＝180°﹣∠ABC﹣∠DBE＝180°﹣30°﹣45°＝105°，BM为∠CBE的平分线，BN为∠DBE的平分线，
∴∠EBN＝＝＝22.5°，＝52.5°，
∴∠MBN＝∠MBE+∠EBN＝52.5°+22.5°＝75°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答此题的关键．
4．如图，∠AOB是直角，∠AOC＝38°，OD平分∠BOC，则∠AOD的度数为（　　）

A．52° B．38° C．64° D．26°
【分析】先求得∠BOC的度数，然后由角平分线的定义可求得∠BOD的度数，最后根据∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD求解即可．
【解答】解：∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝90°﹣38°＝52°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝26°．
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝90°﹣26°＝64°．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．
5．如图：BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，∠A＝100°，则∠BOC的度数为（　　）

A．80° B．90° C．120° D．140°
【分析】△ABC中，已知∠A即可得到∠ABC与∠ACB的和，而BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线，即可求得∠OBC与∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
∵BO、CO是∠ABC，∠ACB的两条角平分线．
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝40°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝140°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，以及三角形的角平分线的定义．
6．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠A′BE的平分线，则∠CBD＝（　　）

A．80° B．90° C．100° D．70°
【分析】利用角平分线的性质和平角的定义计算．
【解答】解：因为将顶点A折叠落在A′处，所以∠ABC＝∠A′BC，
又因为BD为∠A′BE的平分线，
所以∠A′BD＝∠DBE，
因为∠ABC+∠A′BC+∠A′BD+∠DBE＝180°，
∴2∠A′BC+2∠A′BD＝180°，
所以∠CBD＝∠A′BC+∠A′BD＝90°．
故选：B．
【点评】本题是角平分线性质及平角的性质的应用．
7．三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，则此三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】根据直角三角形的高的交点是直角顶点解答．
【解答】解：∵三角形的三条高线的交点在三角形的一个顶点上，
∴此三角形是直角三角形．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的高，锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
8．下列各组条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　）
A．两组直角边对应相等 B．一组边对应相等
C．两组锐角对应相等 D．一组锐角对应相等
【分析】利用SAS、HL、AAS进行判定．
【解答】解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项正确；
B、两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，则选项错误；
C、两个锐角分别相等，只有角没有边，不能判定全等，此选项错误；
D、一组锐角对应相等，隐含一个条件是两直角相等，根据角对应相等，不能判定三角形全等，故选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是注意直角三角形性质的使用（两锐角互余，一个角是90°）．
9．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由垂线段最短可知当PQ⊥OM时PQ最小，当PQ⊥OM时，则由角平分线的性质可知PA＝PQ，可求得PQ＝2．
【解答】解：
∵垂线段最短，
∴当PQ⊥OM时，PQ有最小值，
又∵OP平分∠MON，PA⊥ON，
∴PQ＝PA＝2，
故选：B．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
10．下列说法中，正确的有（　　）
①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
②三边分别是1，，3的三角形是直角三角形
③一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
④三个角之比为3：4：5的三角形是直角三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别根据等边三角形及直角三角形的判定定理解答．
【解答】解：①正确，符合等边三角形的判定定理；
②正确，因为12+32＝（）2，所以三边分别是1，，3的三角形是直角三角形；
③正确，根据矩形对角线的性质的逆命题；
④错误，三边之比为3：4：5的三角形是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查的是等边三角形及直角三角形的判定定理，比较简单．
11．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2＝4cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
12．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（　　）

A．18 B．14 C．12 D．6
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵点E为AC的中点，
∴DE＝CE＝AC＝．
∵△CDE的周长为24，
∴CD＝9，
∴BC＝2CD＝18．
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
二．填空题（共8小题）
13．如图，一副直角三角板摆放在一起，射线OM平分∠BOC、ON平分∠AOC，∠MON的度数为　45°　．

【分析】根据三角板的度数求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠COM与∠CON的度数，然后根据∠MON＝∠COM﹣∠CON，代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+30°＝120°，射线OM平分∠BOC，
∴∠COM＝∠BOC＝×120°＝60°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON＝∠AOC＝×30°＝15°，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°．
故答案为：45°．
【点评】本题考查了角的计算，认准图形，准确表示出∠COM与∠CON的度数是解题的关键．
14．如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是　135　度．

【分析】本题是有公共定点的两个直角三角形问题，通过图形可知∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOD+∠BOC＝90°，同时∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC＝180°，可以通过角平分线性质求解．
【解答】解：∵OB平分∠COD，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝45°，
∴∠AOD＝135°．
故答案为：135．
【点评】本题是角的平分线与对顶角的性质的考查，角平分线的性质是将两个角分成相等的两个角．
15．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC＝28°，则∠COD＝　152°　，∠BOE＝　62°　．

【分析】先根据∠AOC+∠COD＝180°求出∠COD的度数，再根据角平分线的性质求出∠AOB的度数，由平角的性质可求出∠DOB的度数，OE是∠BOD的平分线即可求出∠BOE的度数．
【解答】解：∵∠AOC+∠COD＝180°，∠AOC＝28°，
∴∠COD＝152°；
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOC＝28°，
∴∠AOB＝2∠AOC＝2×28°＝56°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣56°＝124°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE＝∠BOD＝×124°＝62°．
故答案为：152°、62°．
【点评】本题考查的是角平分线的定义，即从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
16．如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，∠MON等于　135　度．

【分析】根据平角和角平分线的定义求得．
【解答】解：∵∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，
∴∠COD＝90°（互为补角）
∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，
∴∠MOC+∠NOD＝（30°+60°）＝45°（角平分线定义）
∴∠MON＝90°+45°＝135°．
故答案为135．
【点评】由角平分线的定义，结合补角的性质，易求该角的度数．
17．如图所示：
（1）在△ABC中，BC边上的高是　AB　；
（2）在△AEC中，AE边上的高是　CD　．

【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段．根据高的概念可知．
【解答】解：（1）在△ABC中，BC边上的高是AB；
（2）在△AEC中，AE边上的高是CD．
【点评】考查了三角形的高的概念，能够根据图形正确找出三角形一边上的高．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝　5或10　时，△ABC和△PQA全等．

【分析】当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，根据HL定理推出即可．
【解答】解：当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝5＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中

∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝10＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中

∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．
19．如图，△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90度，AD平分∠CAB，DE⊥AB，若AB＝20厘米，则△DEB的周长为　20　厘米．

【分析】由∠C＝90度，AD平分∠CAB，DE⊥AB，根据角平分线的性质，可证得CD＝DE，继而可得AC＝AE，又由AC＝BC，可得AE＝BC，继而可得△DEB的周长等于AB的长．
【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴CD＝DE，∠ADC＝∠ADE，
∴AE＝AC，
∵AC＝BC，
∴AE＝BC，
∵AB＝20厘米，
∴△DEB的周长为：DE+BD+BE＝AD+BD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝20（厘米）．
故答案为：20．
【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝　50°　．

【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠A＝50°．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝AD，则等边对等角，即∠ACD＝∠A＝50°．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝40°，
∴∠A＝50°．
∵D为线段AB的中点，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝50°．
故答案是：50°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
三．解答题（共8小题）
21．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．

【分析】先根据角平分线，求得∠BOE的度数，再根据角的和差关系，求得∠BOF的度数，最后根据角平分线，求得∠BOC、∠AOC的度数．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OE平分∠AOB
∴∠BOE＝45°
又∵∠EOF＝60°
∴∠FOB＝60°﹣45°＝15°
∵OF平分∠BOC
∴∠COB＝2×15°＝30°
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝30°+90°＝120°
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，根据角的和差关系进行计算是解题的关键．注意：也可以根据∠AOC的度数是∠EOF度数的2倍进行求解．
22．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，求∠AOB的度数．

【分析】设∠AOC＝x，则∠BOC＝4x，可得∠AOB，∠AOD，由∠COD＝36°求得x，得到结果．
【解答】解：设∠AOC＝x，则∠BOC＝4x，
∴∠AOB＝5x，
∵OD平分∠AOB，
∴，
∴＝，
∴x＝24°，
∴∠AOB＝5x＝5×24°＝120°．
【点评】本题考查了角的计算，利用方程思想是解答本题的关键．
23．如图，直线AB、CD相交于O，∠BOC＝80°，OE是∠BOC的角平分线，OF是OE的反向延长线，
（1）求∠2、∠3的度数；
（2）说明OF平分∠AOD．

【分析】（1）根据邻补角的定义，即可求得∠2的度数，根据角平分线的定义和平角的定义即可求得∠3的度数；
（2）根据OF分∠AOD的两部分角的度数即可说明．
【解答】解：（1）∵∠BOC+∠2＝180°，∠BOC＝80°，
∴∠2＝180°﹣80°＝100°；
∵OE是∠BOC的角平分线，
∴∠1＝40°．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣40°﹣100°＝40°．

（2）∵∠2+∠3+∠AOF＝180°，
∴∠AOF＝180°﹣∠2﹣∠3＝180°﹣100°﹣40°＝40°．
∴∠AOF＝∠3＝40°，
∴OF平分∠AOD．
【点评】此题综合考查了角平分线的定义、平角的定义和对顶角相等的性质．
24．如图所示，OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝90°；
（1）如果∠BOC＝40°，求∠EOD的度数；
（2）如果∠EOD＝70°，求∠BOC的度数．

【分析】根据图示找出所求各角之间的关系，∠EOD＝∠EOB+∠BOD，利用角平分线的性质，求出这两个角的度数，即可求结果．
【解答】解：（1）根据题意：
∵OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，且∠AOB＝90°，
∴∠EOB＝∠AOB＝×90°＝45°
∠BOD＝∠BOC＝×40°＝20°
所以：∠EOD＝∠EOB+∠BOD＝65°；

（2）根据题意：
∠EOB＝∠AOB＝×90°＝45°
∠BOD＝∠EOD﹣∠EOB＝70°﹣45°＝25°
所以：∠BOC＝2∠BOD＝50°．
故答案为65°、50°．
【点评】首先确定各角之间的关系，利用角平分线的性质来求．
25．已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．

（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是　20°　；
②当∠BAD＝∠ABD时，x＝　120°　；当∠BAD＝∠BDA时，x＝　60°　．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【分析】利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
【解答】解：（1）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON∴∠AOB＝∠BON＝20°
∵AB∥ON∴∠ABO＝20°
②∵∠BAD＝∠ABD∴∠BAD＝20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°∴∠OAC＝120°
∵∠BAD＝∠BDA，∠ABO＝20°∴∠BAD＝80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°∴∠OAC＝60°
故答案为：①20°； ②120°，60°；

（2）①当点D在线段OB上时，
∵OE是∠MON的角平分线，
∴∠AOB＝∠MON＝20°，
∵AB⊥OM，
∴∠AOB+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝70°，
若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20
若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣70°）＝55°，则x＝35
若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x＝20、35、50、125．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
26．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，你能找出一对全等的三角形吗？为什么它们是全等的？

【分析】要证△AED≌△AFD．理由：因为∠AED＝∠AFD，∠EAD＝∠FAD，AD是公共边，所以它们全等（AAS）．
【解答】解：△AED≌△AFD．
原因：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD，∠EAD＝∠FAD．
∵AD＝AD，
∴△AED≌△AFD（AAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法、角平分线的性质；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
27．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）求证：CD＝BE；
（2）已知CD＝2，求AC的长；
（3）求证：AB＝AC+CD．

【分析】（1）先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B＝45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE＝BE，再根据角平分线的性质即可得出结论；
（2）由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE＝BE＝CD，再根据勾股定理求出BD的长，进而可得出结论；
（3）先根据HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE＝AC，再由CD＝BE可得出结论．
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝45°，
∵DE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BE．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴CD＝DE，
∴CD＝BE；

（2）解：∵由（1）知，△BDE是等腰直角三角形，DE＝BE＝CD，
∴DE＝BE＝CD＝2，
∴BD＝＝＝2，
∴AC＝BC＝CD+BD＝2+2；

（3）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE＝AC．
∵由（1）知CD＝BE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
28．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C．
（1）若∠A＝∠AOC，求证：∠B＝∠BOC；

（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A度数；
（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．
【分析】（1）易证∠B与∠BOC分别是∠A与∠AOC的余角，等角的余角相等，就可以证出；
（2）易证∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°，且∠DOB＝∠EOB＝∠OEA就可以得到；
（3）∠P＝180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）根据角平分线的定义，就可以求出．
【解答】解：（1）∵△AOB是直角三角形，
∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°．
∵∠A＝∠AOC，
∴∠B＝∠BOC；

（2）∵∠A+∠ABO＝90°，∠DOB+∠ABO＝90°，
∴∠A＝∠DOB，即∠DOB＝∠EOB＝∠OAE＝∠OEA．
∵∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°，
∴∠DOB＝30°，
∴∠A＝30°；

（3）∠P的度数不变，∠P＝30°，
∵∠AOM＝90°﹣∠AOC，∠BCO＝∠A+∠AOC，
∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，
∴∠FOM＝∠AOM＝（90°﹣∠AOC）＝45°﹣∠AOC，∠PCO＝∠BCO＝（∠A+∠AOC）＝∠A+∠AOC．
∴∠P＝180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）
＝45°﹣∠A
＝30°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义和直角三角形的性质．