湖北省名师联盟2020届高三上学期期末考试精编仿真金卷数学（A，理）试题（word版含解析）

2019-2020学年上学期高三期末考试备考精编金卷
理科数学（A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．从，，，这四个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则实数（ ）
A． B． C． D．

5．函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数在区间上至少存在个不同的零点，则正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
8．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变,剩余质量为原来的．若该物质余下质量不超过原有的，则至少需要的年数是（ ）
A． B． C． D．
9．设，分别是正方体的棱上两点，且，，给出下列四个命题：
①三棱锥的体积为定值；
②异面直线与所成的角为；
③平面；
④直线与平面所成的角为．
其中正确的命题为（ ）
A．①②④ B．②③ C．①② D．①④
10．点，，，在同一球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
11．已知函数是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．的展开式中，的系数为 ．
14．在平面直角坐标系中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，
终边与单位圆的交点的横坐标为，则的值等于 ．
15．已知是定义在上的奇函数，若的图象向左平移个单位后关于轴对称，且，则 ．
16．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，
则的最小值是 ．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列的前项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求证：．
18．（12分）某家电公司销售部门共有名销售员，每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务．已知这名销售员去年完成的销售额都在区间（单位百万元）内，现将其分成组：第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，，，，，并绘制如下的频率分布直方图．
（1）若用分层抽样的方法从这名销售员中抽取容量为的样本，求的值和样本中完成年度任务的销售员人数；
（2）从（1）中样本内完成年度任务的销售员中随机选取名，奖励海南三亚三日游，设获得此奖励的名销售员在第组的人数为，求的分布列和期望．
19．（12分）如图，在边长为的菱形中，已知，且．将梯形沿直线折起，使平面，如图，，分别是，上的点．
（1）若平面平面，求的长；
（2）是否存在点，使直线与平面所成的角是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的方程；
（2）是否存在直线与相交于，两点，且满足：①与（为坐标原点）的斜率之和为2；②直线与圆相切，若存在，求的方程；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数（，）．
（1）当时，比较与的大小，并证明；
（2）若存在两个极值点，，证明：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，已知点的直角坐标为，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）直线和曲线交于、两点，求的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数，的解集为．
（1）求实数的值；
（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围．
2019-2020学年上学期高三期末考试备考精编金卷
理科数学（A）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由题意，集合，
，所以．
2．【答案】C
【解析】复数，则对应的点为，位于第三象限．
3．【答案】B
【解析】从，，，这个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件为，，，，，，
这两个数字的和为偶数包含的基本事件为，，
∴这两个数字的和为偶数的概率为．
4．【答案】D
【解析】向量，，则，，
又，所以，解得．
5．【答案】D
【解析】函数是奇函数，排除选项A，C，
当时，，对应点在轴下方，排除B．
6．【答案】B
【解析】函数在区间上至少存在个不同的零点，，
根据题意得到只需要，最小整数为．
7．【答案】C
【解析】抛物线焦点为，点为抛物线上一点，过作抛物线的准线的垂线，垂足是，
若，由抛物线的定义可得，
是正三角形，的面积为，
∴，得．
8．【答案】B
【解析】设原物质的质量为单位，一年后剩余质量为原来的，两年后变为原来的，
依此类推，得到年后质量是原来的，只需要，结果为．
9．【答案】C
【解析】如图所示，
三棱锥的体积为为定值，①正确；
，是异面直线与所成的角，为，②正确；
与不垂直，由此知与平面不垂直，③错误；
在三棱锥中，设到平面的距离为，
，即有，
解得，直线与平面所成的角的正弦为，
即所成角为，④错误，
综上，正确的命题序号是①②．
10．【答案】C
【解析】因为球的表面积为，所以，∴，
因为，所以三角形为直角三角形，
从而球心到平面距离为，
因此四面体体积的最大值为．
11．【答案】D
【解析】根据题意，设，则，则由，，
又由函数是偶函数，则，
变形可得，
即，
必有，，
分析可得，可得，满足题意．
12．【答案】D
【解析】由，得，
令，则，
因此当时，，；当时，，，
从而要有两个不同的零点，需．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】的展开式的通项公式为，
令，求得，可得的系数为．
14．【答案】
【解析】∵角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点的横坐标为，
∴，，∴，∴．
15．【答案】
【解析】∵是定义在上的奇函数，∴，
将的图象向左平移个单位后，得到为偶函数，则，
即，
又是定义在上的奇函数，∴，即，
．
16．【答案】
【解析】抛物线的焦点，准线方程为，
过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线定义可得，
当与重合时，；
当与不重合时，所以，为锐角，
故当最小时，最小，故当和抛物线相切时，最小，
设切点，由得导数为，
则的斜率为，求得或，可得或，
当时，，，；
当时，，，，
综上所述，故的最小值是．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，所以，，
两式相减化简得，
又，所以，符合上式，
所以是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以．
（2）由（1）知，所以，所以
．
18．【答案】（1），人；（2），分布列见解析．
【解析】（1）∵，
∴，样本中完成年度销售人数为人．
（2），，，，，
分布列如图所示，
∴．
19．【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）证明：因为平面与平面有公共点，
所以平面与平面相交，
设交线为，若平面平面，
因为平面平面，则，
设，又因为，所以，
同理，由平面平面，
因为平面平面，平面平面，
所以，所以．
因为，，，所以，所以．
（2）在图中，以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示．
易得，则，
又，，，
所以，，，，
设，则，
则，
设平面的法向量为，
由它与，均垂直，可得，
令，可得，，所以，
若存在，使与平面所成的角是，
则，解得，
因为，所以，即．
20．【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】（1）由已知得，，解得，，
∴椭圆的方程为．
（2）把代入的方程得，
设，，则，①，
由已知得，
∴②，
把①代入②得，即③，
又，由，得或，
由直线与圆相切，则④，
③④联立得（舍去）或，∴，
∴直线的方程为．
21．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）当时，，
则，
所以函数在上单调递减，且，
所以当时，；当时，；当时，．
（2）函数，则，
当时，在上恒成立，
即在不存在极值，与题意不符，所以，
又，是方程的两根，不妨设，
由韦达定理得，，
又在区间上递增，且，，
所以，，即．
22．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）将中参数消去得，
将代入，得，
∴直线和曲线的直角坐标方程分别为和．
（2）将直线的参数方程代入曲线的普通方程，得，
设、两点对应的参数为、，则，，且，，
∴，
∴．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，可得，
即，
又因为解集为，所以．
（2）不等式，表示数轴上到点和的距离之和，则或，
于是，当关于的不等式对恒成立时，
实数的取值范围是．