2020年湘教新版九年级上册数学《第3章 图形的相似》单元测试卷（解析版）

2020年湘教新版九年级上册数学《第3章 图形的相似》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．若3x＝2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组线段能成比例的是（　　）
A．0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm
B．1cm，2cm，3cm，4cm
C．4cm，6cm，8cm，3cm
D． cm， cm， cm， cm
3．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（　　）S2．

A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定
4．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
5．下列说法正确的是（　　）
A．所有的菱形都相似 B．所有的矩形都相似
C．所有的正方形都相似 D．所有的梯形都相似
6．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（注意对应点）（　　）

A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝ D．＝
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在CD上，若DE：CE＝1：2，则△CEF与△ABF的周长比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．4：9
9．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）m．

A．2 B．4 C．6 D．8
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
11．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（　　）

A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　）

A． B． C． D．3
二．填空题（共8小题）
13．已知3x＝5y，则＝　 　．
14．如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c＝　 　．
15．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是　 　．
16．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，若EG＝4，则AC＝　 　．

17．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　 　倍．
18．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF＝　 　．
19．如图所示，D，E分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足　 　条件时，有△ABC∽△AED．

20．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为　 　．

三．解答题（共8小题）
21．已知：≠0，求的值．
22．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦CE的长；
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

24．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC＝14；
（1）求AB、BC的长；
（2）如果AD＝7，CF＝14，求BE的长．

25．我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．
26．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

27．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．
求证：△ADC∽△DEB．

28．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．
求证：（1）△ABE∽△ECF；
（2）若AB＝5，AD＝8，BE＝2，求FC的长．




2020年湘教新版九年级上册数学《第3章 图形的相似》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．若3x＝2y（xy≠0），则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、由＝得，2x＝3y，故本选项不符合题意；
B、由＝得，xy＝6，故本选项不符合题意；
C、由＝得，2x＝3y，故本选项不符合题意；
D、由＝得，3x＝2y，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键．
2．下列各组线段能成比例的是（　　）
A．0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm
B．1cm，2cm，3cm，4cm
C．4cm，6cm，8cm，3cm
D． cm， cm， cm， cm
【分析】分别计算各组数中最大的数与最小的数的积和另外两个数的积，然后根据比例线段的定义进行判断．
【解答】解：A、因为0.2×0.2＝0.1×0.4，所以0.2cm，0.1m，0.4cm，0.2cm成比例，所以A选项正确；
B、因为1×4≠2×4，所以1cm，2cm，3cm，4cm不成比例，所以B选项错误；
C、因为4×6≠8×3，所以4cm，6cm，8cm，3cm不成比例，所以C选项错误；
D、因为×≠×，所以cm， cm， cm， cm不成比例，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
3．如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（　　）S2．

A．＞ B．＝ C．＜ D．无法确定
【分析】根据黄金分割的概念知：，变形后求解．
【解答】解：根据黄金分割的概念得：，
则＝1，即S1＝S2．
故选：B．

【点评】此题主要考查了线段黄金分割点的概念，根据概念表示出比例式，再结合正方形的面积进行分析计算．
4．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：ED＝1：3，BE的延长线交AC于F，AF：FC＝（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【分析】作DH∥BF交AC于H，根据三角形中位线定理得到FH＝HC，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，计算得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，
∴＝＝，
∴AF：FC＝1：6，
故选：D．

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．下列说法正确的是（　　）
A．所有的菱形都相似 B．所有的矩形都相似
C．所有的正方形都相似 D．所有的梯形都相似
【分析】根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、所有的菱形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故错误；
B、所有的矩形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故错误；
C、所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，故正确；
D、所有的梯形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
6．若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：
【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．
7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（注意对应点）（　　）

A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝ D．＝
【分析】（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；
B、∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误；
C、，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故C选项错误；
D、此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故D选项正确；
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在CD上，若DE：CE＝1：2，则△CEF与△ABF的周长比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．4：9
【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比就可得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，CD＝AB．
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝1：2，
∴EC：DC＝CE：AB＝2：3，
∴C△CEF：C△ABF＝2：3．
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，周长的比等于相似比是解答此题的关键．
9．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）m．

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得＝；即DC2＝ED?FD，代入数据可得答案．
【解答】解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF＝90°，ED＝2，FD＝8；
∵∠E+∠ECD＝∠E+∠CFD＝90°
∴∠ECD＝∠CFD
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
有＝；即DC2＝ED?FD，
代入数据可得DC2＝16，
DC＝4；
故选：B．

【点评】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（﹣3，﹣1） B．（﹣1，2）
C．（﹣9，1）或（9，﹣1） D．（﹣3，﹣1）或（3，1）
【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k，位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，把B点的横纵坐标分别乘以或﹣即可得到点B′的坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，
∴点B（﹣9，﹣3）的对应点B′的坐标是（﹣3，﹣1）或（3，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
11．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），则位似中心的坐标为（　　）

A．（0，3） B．（0，2.5） C．（0，2） D．（0，1.5）
【分析】连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P的坐标．
【解答】解：如图，连接BF交y轴于P，

∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为（﹣4，4），（2，1），
∴点C的坐标为（0，4），点G的坐标为（0，1），
∴CG＝3，
∵BC∥GF，
∴＝＝，
∴GP＝1，PC＝2，
∴点P的坐标为（0，2），
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（　　）

A． B． C． D．3
【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD?AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD?AB，
又∵AC＝3，AB＝6，
∴32＝6AD，则AD＝．
故选：A．

【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
二．填空题（共8小题）
13．已知3x＝5y，则＝　　．
【分析】根据两外项的积等于两内项的积，可得答案．
【解答】解：∵3x＝5y，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：外项的积等于内项的积．
14．如果a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c＝　3：2　．
【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由a：b＝3：2，即可求得答案．
【解答】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
∴，
∵a：b＝3：2，
∴b：c＝3：2．
故答案为：3：2．
【点评】此题考查了比例中项的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．
15．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是　　．
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．
16．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：FB＝2：3：4，若EG＝4，则AC＝　12　．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，分别求出AE、GC的长，计算即可．
【解答】解：∵DE∥FG∥BC，
∴AE：EG：GC＝AD：DF：FB＝2：3：4，
∵EG＝4，
∴AE＝，GC＝，
∴AC＝AE+EG+GC＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17．若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的　5　倍．
【分析】由题意一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，根据相似三角形的性质及对应边长成比例来求解．
【解答】解：∵一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，
∴扩大后的三角形与原三角形相似，
∵相似三角形的周长的比等于相似比，
∴这个三角形的周长扩大为原来的5倍，
故答案为：5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．
18．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF＝　4：9　．
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴S△ABC：S△DEF＝（）2＝．
故答案为：4：9．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形面积的比等于相似比．
19．如图所示，D，E分别在△ABC的边AB、AC上，DE与BC不平行，当满足　∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝　条件时，有△ABC∽△AED．

【分析】由于∠D≠∠B，∠DAE＝∠CAB，则∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△AED；当＝时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△AED．
【解答】解：∵DE与BC不平行，
∴∠D≠∠B，
而∠DAE＝∠CAB，
∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B时，△ABC∽△AED．
当＝时，△ABC∽△AED．
故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
20．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE＝2，则△ABC的边长为　9　．

【分析】由∠ADE＝60°，可证得△ABD∽△DCE；可用等边三角形的边长表示出DC的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC；
∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣3；
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE；
∴，即；
解得AB＝9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键．
三．解答题（共8小题）
21．已知：≠0，求的值．
【分析】根据：≠0，可以设x＝2k，则y＝4k，z＝5k．代入所求解析式即可求解．
【解答】解：设x＝2k，则y＝4k，z＝5k（2分）
原式＝（2分）
＝（2分）
＝（1分）
【点评】本题运用的设未知数的方法是解题过程中经常用到的，需要熟练掌握．
22．某考察队从营地P处出发，沿北偏东60°前进了5千米到达A地，再沿东南方向前进到达C地，C地恰好在P地的正东方向．回答下列问题：
（1）用1cm代表1千米，画出考察队行进路线图；
（2）量出∠PAC和∠ACP的度数（精确到1°）；
（3）测算出考察队从A到C走了多少千米？此时他们离开营地多远？（精确到0.1千米）．
【分析】（1）先画出方向标，再确定方位角、比例尺作图；
（2）动手操作利用量角器测量即可；
（3）先利用刻度尺测量出图上距离，再根据比例尺换算成实际距离．
【解答】解：（1）路线图（6分）（P、A、C点各2分）

注意：起点是必须在所给的图形中画，否则即使画图正确扣；（2分）
（2）量得∠PAC≈105°，∠ACP≈45°；（9分）（只有1个正确得2分）
（3）量路线图得AC≈3.5厘米，PC≈6.8厘米．
∴AC≈3.5千米；PC≈6.8千米（13分）
【点评】主要考查了方位角的作图能力．要会根据比例尺准确的作图，并根据图例测算出实际距离．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦CE的长；
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据等边对等角找到三角形∠CDB和∠OCD的关系，列方程求解；
（2）①结合（1）求得各个角的度数，根据题意进行判断；
②根据黄金比求值计算；
③此题要分别考虑OE为底和腰的情况．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE＝AB，
∴OA＝OC＝OE＝DE，
则∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，
设∠CDB＝x，则∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，
又∠BOC＝108°，∴∠CDB+∠OCD＝108°，
∴x+2x＝108，x＝36°．
∴∠CDB＝36°．

（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD．
∵OE＝DE，∠CDB＝36°，
∴△DOE是黄金三角形；
∵OC＝OE，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝36°．
∴△COE是黄金三角形；
∵∠COB＝108°，
∴∠COD＝72°；
又∠OCD＝2x＝72°，
∴∠OCD＝∠COD．
∴OD＝CD，
∴△COD是黄金三角形；

②∵△COD是黄金三角形，
∴，
∵OD＝2，
∴OC＝﹣1，
∵CD＝OD＝2，DE＝OC＝﹣1，
∴CE＝CD﹣DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣；

③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，
如图所示，
ⅰ以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；
ⅱ以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．

【点评】此题的知识综合性较强，能够熟记黄金比的值，根据黄金比进行计算．注意根据题目中定义的黄金三角形进行分析计算．
24．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F，，AC＝14；
（1）求AB、BC的长；
（2）如果AD＝7，CF＝14，求BE的长．

【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长，得出BC的长；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD＝HE＝GF＝7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∴，
∵AC＝14，∴AB＝4，
∴BC＝14﹣4＝10；
（2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：
又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，
∴AD＝HE＝GF＝7，
∵CF＝14，
∴CG＝14﹣7＝7，
∵BE∥CF，
∴，
∴BH＝2，
∴BE＝2+7＝9．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．
25．我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．
【分析】根据相似图形的定义，对题目条件进行一一分析，作出正确回答．
【解答】解：①两个圆，它们的所有对应元素都成比例，是相似图形；
②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，不一定是相似图形；
③两个长方形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；
④两个正六边形，它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，是相似图形．
∴①④是相似图形，②③不一定是相似图形．
【点评】本题考查的是相似形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．
26．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

【分析】（1）根据题意得出DQ＝t，AP＝2t，QA＝6﹣t，由于△QAP为等腰直角三角形，则6﹣t＝2t，求出t的值即可；
（2）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：（1）∵AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，
∴DQ＝t，AP＝2t，QA＝6﹣t，
当△QAP为等腰直角三角形即6﹣t＝2t，解得t＝2；

（2）两种情况：
当＝时，即＝，解得t＝1.2（秒）；
当＝时，即＝，解得t＝3（秒）．
故当经过1.2秒或3秒时，△QAP与△ABC相似．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质及等腰直角三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
27．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．
求证：△ADC∽△DEB．

【分析】依据△ABC是等边三角形，即可得到∠B＝∠C＝60°，再根据∠CAD＝∠BDE，即可判定△ADC∽△DEB．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝∠CAD+60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝∠BDE+60°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识．解题时注意：有两组角对应相等的两个三角形相似．
28．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，点F在DC的延长线上，且∠DAE＝∠F．
求证：（1）△ABE∽△ECF；
（2）若AB＝5，AD＝8，BE＝2，求FC的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质可知AB∥CD，AD∥BC．所以∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB，又因为又∠DAE＝∠F，进而可证明：△ABE∽△ECF；
（2）由（1）可知：△ABE∽△ECF，所以，由平行四边形的性质可知BC＝AD＝8，所以EC＝BC﹣BE＝8﹣2＝6，代入计算即可．
【解答】（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴∠B＝∠ECF，∠DAE＝∠AEB．
又∵∠DAE＝∠F，
∴∠AEB＝∠F．
∴△ABE∽△ECF；
（2）∵△ABE∽△ECF，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8．
∴EC＝BC﹣BE＝8﹣2＝6．
∴．
∴
【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，关键是由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC．