2020年湘教新版九年级上册数学《第4章 锐角三角函数》单元测试卷（解析版）

2020年湘教新版九年级上册数学《第4章 锐角三角函数》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（　　）
A．b＝c?cosB B．b＝a?tanB C．b＝c?sinB D．a＝b?tanA
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tanB＝2，则AC的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
3．比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（　　）
A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29°
C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46°
4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）

A．不变 B．增大
C．减小 D．先变大再变小
5．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么sinA的值等于（　　）
A． B． C． D．
6．已知sinα?cosα＝，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα＝（　　）
A． B．﹣ C． D．±
7．Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么cosB的值为（　　）
A． B． C． D．不能确定
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB＝（　　）
A． B． C． D．
9．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．tan60°的值为（　　）
A． B． C． D．
11．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（　　）

A．
B．
C．
D．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）

A．5÷tan26°＝ B．5÷sin26°＝ C．5×cos26°＝ D．5×tan26°＝
二．填空题（共8小题）
13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tanB＝　 　．

14．比较大小：sin44°　 　cos44°（填＞、＜或＝）．
15．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，cosA＝　 　．
16．Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB＝　 　．
17．若，则锐角α＝　 　．
18．用计算器计算：sin35°≈　 　，　 　（保留4个有效数字）．
19．在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝　 　．
20．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝　 　米．

三．解答题（共8小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

22．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
23．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
24．计算：cos30°﹣sin60°+2sin45°?tan45°．
25．已知，如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，DA＝1，且∠B＝90°．试求：
（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）．

26．如图，1号楼在2号楼的南侧，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝35m．请求出两楼之间的距离AB的长度（结果保留整数）
（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）

27．如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°．

（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；
（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）
28．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．




2020年湘教新版九年级上册数学《第4章 锐角三角函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列关系中错误的是（　　）
A．b＝c?cosB B．b＝a?tanB C．b＝c?sinB D．a＝b?tanA
【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则tanA＝，
tanB＝，cosB＝，tanB＝；
因而b＝c?sinB＝a?tanB，
a＝b?tanA，
错误的是b＝c?cosB．
故选：A．
【点评】利用锐角三角函数的定义，正确理解直角三角形边角之间的关系．在直角三角形中，如果已知一边及其中的一个锐角，就可以表示出另外的边．
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，tanB＝2，则AC的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【分析】根据正切的定义得到BC＝AC，根据勾股定理列式计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝2，
∴＝2，
∴BC＝AC，
由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2，即（）2＝AC2+（AC）2，
解得，AC＝2，
故选：B．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切是解题的关键．
3．比较tan46°，cos29°，sin59°的大小关系是（　　）
A．tan46°＜cos29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cos29°
C．sin59°＜tan46°＜cos29° D．sin59°＜cos29°＜tan46°
【分析】根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
【解答】解：∵cos29°＝sin61°＞sin59°
∴cos29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cos29°＜1
∴sin59°＜cos29°＜tan46°
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角函数的增减性熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键．
4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BE+CF的值（　　）

A．不变 B．增大
C．减小 D．先变大再变小
【分析】设∠DCF＝∠DBE＝α，易知BE+CF＝BC?cosα，根据0＜α＜90°，由此即可作出判断．
【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∴CF∥BE，
∴∠DCF＝∠DBE，设∠DCF＝∠DBE＝α，
∴CF＝DC?cosα，BE＝DB?cosα，
∴BE+CF＝（DB+DC）cosα＝BC?cosα，
∵∠ABC＝90°，
∴O＜α＜90°，
当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，
∴cosα的值是逐渐减小的，
∴BE+CF＝BC?cosα的值是逐渐减小的．
故选C．
面积法：S△ABC＝?AD?CF+?AD?BE＝?AD（CF+BE），
∴CF+BE＝，
∵点D沿BC自B向C运动时，AD是增加的，
∴CF+BE的值是逐渐减小．

【点评】本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到BE+CF＝BC?cosα，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．
5．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么sinA的值等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据公式cos2A+sin2A＝1解答．
【解答】解：∵cos2A+sin2A＝1，cosA＝，
∴sin2A＝1﹣＝，
∴sinA＝．
故选：B．
【点评】本题考查公式cos2A+sin2A＝1的利用．
6．已知sinα?cosα＝，45°＜α＜90°，则cosα﹣sinα＝（　　）
A． B．﹣ C． D．±
【分析】利用完全平方公式将原式转化为关于同角的三角函数的关系cos2α+sin2α＝1来进行解答．
【解答】解：∵45°＜α＜90°，
∴cosα﹣sinα＜0
又∵（cosα﹣sinα）2＝cos2α+sin2α﹣2sinα?cosα＝1﹣＝，
∴cosα﹣sinα＝﹣＝﹣．
故选：B．
【点评】本题利用了同角的三角函数的关系cos2α+sin2α＝1来进行变形，注意角的范围，cosα﹣sinα的结果是小于0的．
7．Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么cosB的值为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
【解答】解：在直角三角形中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴cosB＝sinA＝．
故选：A．
【点评】掌握正余弦的这一转换关系：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则tanB＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据互为余角三角函数关系，可得cosB，根据同角三角函数的关系，可得答案．
【解答】解：由在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，得cosB＝sinA＝．
由同角三角函数，得
sinB＝＝，
tanB＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查了互为余角三角函数的关系，利用了互余两角三角函数的关系，同角三角函数关系．
9．已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，
∴∠α＝30°．
故选：A．
【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
10．tan60°的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：tan60°＝．
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
11．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】先利用正弦的定义得到sinA＝0.25，然后利用计算器求锐角∠A．
【解答】解：sinA＝＝＝0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

故选：A．
【点评】本题考查了计算器﹣三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5．若用科学计算器求边AC的长，则下列按键顺序正确的是（　　）

A．5÷tan26°＝ B．5÷sin26°＝ C．5×cos26°＝ D．5×tan26°＝
【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B＝，根据计算器的应用，可得答案．
【解答】解：由tan∠B＝，得
AC＝BC?tanB＝5×tan26．
故选：D．
【点评】本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键．
二．填空题（共8小题）
13．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则tanB＝　　．

【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5．
∴tanB＝＝．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，比较简单．
14．比较大小：sin44°　＜　cos44°（填＞、＜或＝）．
【分析】首先根据互余两角的三角函数的关系，得cos44°＝sin46°，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析．
【解答】解：∵cos44°＝sin46°，正弦值随着角的增大而增大，
又∵44°＜46°，
∴sin44°＜cos44°．
故答案为＜．
【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．同时考查了互余两角的三角函数的关系．
15．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，cosA＝　　．
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，由三角函数的定义直接解答即可．
【解答】解：由sinA＝知，如果设a＝3x，则c＝5x，b＝4x．
∴cosA＝＝．
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
16．Rt△ABC中，∠C＝90°，，则sinB＝　　．
【分析】先根据题意设出直角三角形的两直角边，再根据勾股定理求出其斜边，运用三角函数的定义求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
设BC＝x，则AC＝2x，
∴AB＝＝x．
∴sinB＝＝．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
17．若，则锐角α＝　45°　．
【分析】首先求得cosα的值，即可求得锐角α的度数．
【解答】解：∵，
∴cosα＝，
∴α＝45°．
故答案是：45°．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，已知角的度数要能知道三角函数值，已知函数值也必须知道对应的角的度数．
18．用计算器计算：sin35°≈　0.5736　，　6.403　（保留4个有效数字）．
【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．
【解答】解：sin35°≈0.5736， 6.403．
【点评】本题结合计算器的用法，旨在考查对基本概念的应用能力，需要同学们熟记有效数字的概念：从一个数的左边第一个非零数字起，到精确到的数位止，所有数字都是这个数的有效数字．
19．在△ABC中，若AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝　或　．
【分析】根据勾股定理先求出BD的长，CD＝BC﹣BD，再根据三角函数的知识求出tanC的值．本题有两种情况，若高AD在△ABC内部，若高AD在△ABC外部．
【解答】解：如图所示：
BD＝＝3，
若高AD在△ABC内部，
CD＝BC﹣BD＝10，
∴tanC＝＝．
若高AD在△ABC外部，
CD＝BC+BD＝16，
tanC＝．

【点评】本题考查了分类讨论的数学思想及三角函数的定义．
20．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与地面的夹角的正弦值为，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝　　米．

【分析】利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长，进而求出即可．
【解答】解：设OH＝x，
∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，
∴AO＝2xm，
∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为，
∴BO＝3xm，
则AO+BO＝2x+3x＝3m，
解得；x＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确用未知数表示出AB的长是解题关键．
三．解答题（共8小题）
21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．
（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；
（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．

【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值；
（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；
（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED＝EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．
【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴，
∵DF∥AB，，
∴，（1分）
∴，（1分）
在Rt△DEF中，；（2分）

（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE＝x，
∵BC⊥AC，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，
∵∠B＝∠A，
∴∠AEH＝∠A，，（1分）
∴，
又可证△HDE∽△CFD，
∴，（1分）
∴，
∴；（2分）

（3）∵，CD＝3，
∴CE＞CD，
∴若△DCE为等腰三角形，只有DC＝DE或ED＝EC两种可能．（1分）
当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）
可得：，即点E在AB中点，
∴此时F与C重合，
∴BF＝6；（2分）
当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，
过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）
可证：
∵EM⊥CD，
∴△DME是直角三角形，
∵DE⊥DF，
∴∠EDM+∠FDC＝90°，
∵∠FDC+∠F＝90°，
∴∠F＝∠EDM．
∴△DFC∽△DEM，
∴，
∴，
∴CF＝1，∴BF＝7，（2分）
综上所述，BF为6或7．



【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．
22．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．
（1）sinα+cosα≤1；
（2）sin2α＝2sinα．
【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；
（2）举出反例进行论证．
【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：
如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．
则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；

（2）该等式不成立，理由如下：
假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，
∵≠1，
∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．

【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．
23．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，
sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（Ⅰ）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【分析】（1）将α＝30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答】解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；

（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，

设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股定理是解题的关键．
24．计算：cos30°﹣sin60°+2sin45°?tan45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
【解答】解：原式＝﹣+2××1
＝．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
25．已知，如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，DA＝1，且∠B＝90°．试求：
（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）．

【分析】（1）如图，连接AC，由于AB＝BC＝1，且∠B＝90°根据勾股定理即可求出AC的长度，而CD＝，DA＝1，利用勾股定理的逆定理即可证明△ACD是直角三角形，由此即可求出∠BAD的度数；
（2）首先把求四边形ABCD的面积分割为求△ABC和△ACD的面积，然后利用三角形的面积公式可以分别求出这两个三角形的面积，最后就可以求出四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵AB＝BC＝1，且∠B＝90°，
∴∠BAC＝45°，AC＝＝，
而CD＝，DA＝1，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，即∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝135°；

（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
而S△ABC＝AB×BC＝，
S△ACD＝AD×CD＝，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝（+1）．

【点评】此题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式、以及利用割补法求不规则图形的面积，有一定的难度，对于学生的能力要求比较高．
26．如图，1号楼在2号楼的南侧，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝35m．请求出两楼之间的距离AB的长度（结果保留整数）
（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）

【分析】构造出两个直角三角形，利用两个角的正切值即可求出答案．
【解答】解：过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，

则∠CEP＝∠PFD＝90°，
由题意可知：设AB＝x，
在Rt△PCE中，tan32.3°＝，
∴PE＝x?tan32.3°，
同理可得：在Rt△PDF中，tan55.7°＝，
∴PF＝x?tan55.7°，
由PF﹣PE＝EF＝CD＝35，
可得x?tan55.7°﹣x?tan32.3°＝35，
解得：x＝42．
∴楼间距AB的长度约为42m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确运用锐角三角函数来求出相应的线段，本题属于中等题型．
27．如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°．

（1）求坝底AD的长度（结果精确到1米）；
（2）若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料（参考数据：）
【分析】（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，根据坡度的概念求出AE的长，根据直角三角形的性质求出DF的长，计算即可；
（2）根据梯形的面积公式计算．
【解答】解：（1）作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
则四边形BEFC是矩形，
∴EF＝BC＝10米，
∵BE＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，
∴AE＝50米，
∵CF＝20米，斜坡CD的坡角为30°，
∴DF＝＝20≈35米，
∴AD＝AE+EF+FD＝95米；
（2）建筑这个大坝需要的土石料：×（95+10）×20×100＝105000米3．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确作出辅助线、正确坡度的定义、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
28．如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα＝6．求灯杆AB的长度．

【分析】过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．设AF＝x知EF＝AF＝x、DF＝＝，由DE＝13.3求得x＝11.4，据此知AG＝AF﹣GF＝1.4，再求得∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝30°可得AB＝2AG＝2.8．
【解答】解：过点A作AF⊥CE，交CE于点F，过点B作BG⊥AF，交AF于点G，则FG＝BC＝10．

由题意得∠ADE＝α，∠E＝45°．
设AF＝x．
∵∠E＝45°，
∴EF＝AF＝x．
在Rt△ADF中，∵tan∠ADF＝，
∴DF＝＝＝，
∵DE＝13.3，
∴x+＝13.3．
∴x＝11.4．
∴AG＝AF﹣GF＝11.4﹣10＝1.4．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝120°﹣90°＝30°．
∴AB＝2AG＝2.8，
答：灯杆AB的长度为2.8米．
【点评】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．