2020年湘教新版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 2020年湘教新版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 420.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-01-21 12:53:59 | ||
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文档简介
2020年湘教新版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷
一．选择题（共12小题）
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ax2+bx+c C．y＝8x D．y＝x2（1+x）
2．二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2
4．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
5．已知函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为（ ）
A．0＜c≤3或c＝﹣1 B．﹣l≤c＜0或c＝3
C．﹣1≤c≤3 D．﹣1＜c≤3且c≠0
6．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
9．二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣2）2+4 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
10．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
11．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
12．在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（ ）
A．x＜0 B．0＜x＜2 C．x＞2 D．x＜0或 x＞2
二．填空题（共8小题）
13．若y＝（a+2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是 ．
14．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 ．
15．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 ．
16．已知抛物线y＝（m+1）x2开口向上，则m的取值范围是 ．
17．如果抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m＝ ．
18．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位后所得的抛物线表达式是 ．
19．已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是 ．
20．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为 ．
三．解答题（共8小题）
21．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
22．有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．
23．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
x2+bx+c … 3 ﹣1 3 …
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设y＝x2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；
（3）请说明经过怎样平移函数y＝x2+bx+c的图象得到函数y＝x2的图象？
24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
25．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．
（1）求a的值．
（2）若点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；
（3）抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围 ．
27．函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．
28．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
2020年湘教新版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ax2+bx+c C．y＝8x D．y＝x2（1+x）
【分析】根据二次函数的定义：y＝ax2+bx+c（a≠0．a是常数），可得答案．
【解答】解：A、y＝x2是二次函数，故A符合题意；
B、a＝0时是一次函数，故B不符合题意，
C、y＝8x是一次函数，故C不符合题意；
D、y＝x2（1+x）不是二次函数，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意a是不等于零的常数．
2．二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一判断可得．
【解答】解：在y＝（x+1）2﹣2中由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故A错误；
其对称轴为直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故B错误；
由y＝（x+1）2﹣2＝x2+2x﹣1知抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），在y轴的负半轴，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对二次函数的图象和性质的应用，注意：数形结合思想的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力．
3．已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2
【分析】由于原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定m的范围．
【解答】解：∵原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，
∴m+1＜0，
即m＜﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质．
4．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝﹣2时，y＜0即可判断；③根据m是方程ax2+bx+c＝0的根，结合两根之积﹣m＝，即可判断；④根据两根之和﹣1+m＝﹣，可得ma＝a﹣b，可得am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，⑤根据抛物线与x轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，
∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝|﹣|，
∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．已知函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为（ ）
A．0＜c≤3或c＝﹣1 B．﹣l≤c＜0或c＝3
C．﹣1≤c≤3 D．﹣1＜c≤3且c≠0
【分析】利用直线y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，由根的判别式求出c的值，即可求得直线的解析式．
【解答】解：把y＝2x代入y＝x2﹣c，
整理得x2﹣2x﹣c＝0，
根据题意△＝（﹣2）2+4c＝0，解得c＝﹣1，
把x＝﹣1代入y＝2x与y＝x2﹣c得，c＝3，
把x＝2代入y＝2x与y＝x2﹣c得，c＝0，
∴当0＜c≤3或c＝﹣1时，函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数图象上点坐标特征．
6．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
【分析】直接根据二次函数的图象进行解答即可．
【解答】解：由二次函数的图象可知，
∵﹣5≤x≤0，
∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；
当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关键．
8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
【分析】由抛物线的对称轴为直线x＝﹣1设解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入求出a、k的值即可得．
【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，解题的关键是根据题意设出合适的二次函数解析式．
9．二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣2）2+4 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】利用配方法整理即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣2x+4＝（x2﹣2x+1）+3，
＝（x﹣1）2+3，
所以，y＝（x﹣1）2+3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．
10．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
【分析】令抛物线解析式中y＝0，得到方程的解为a，b，即为抛物线与x轴交点的横坐标为a，b，再由抛物线开口向下得到a＜x＜b时y大于0，得到x＝m与n时函数值大于0，即可确定出m，n，a，b的大小关系．
【解答】解：函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，
令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根为a，b，
∵当x＝m或n时，y＝3＞0，
∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．
故选：D．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键．
11．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2，
故选：C．
【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
12．在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（ ）
A．x＜0 B．0＜x＜2 C．x＞2 D．x＜0或 x＞2
【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的交点坐标为（0，0），（2，4），
所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．
二．填空题（共8小题）
13．若y＝（a+2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是 a≠﹣2 ．
【分析】根据二次函数的定义即可解决问题．
【解答】解：∵y＝（a+2）x2﹣3x+2是二次函数，
∴a+2≠0，
∴a≠﹣2，
故答案为a≠﹣2．
【点评】本题考查二次函数的定义，记住形如y＝ax2+bx+c，（a≠0）的函数是二次函数，属于基础题．
14．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 a＞b＞d＞c ．
【分析】设x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
【点评】本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
15．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 4 ．
【分析】把抛物线化为顶点式可得出其顶点坐标，根据顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0可求得c．
【解答】解：
∵y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，
∴其顶点坐标为（2，c﹣4），
∵顶点在x轴上，
∴c﹣4＝0，解得c＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握顶点在x轴上其纵坐标为0是解题的关键．
16．已知抛物线y＝（m+1）x2开口向上，则m的取值范围是 m＞﹣1 ．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由 题意可知：m+1＞0，
∴m＞﹣1；
故答案为：m＞﹣1
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
17．如果抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m＝ 1 ．
【分析】把原点坐标代入y＝﹣x2+3x﹣1+m中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过点（0，0），
∴﹣1+m＝0，
∴m＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
18．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位后所得的抛物线表达式是 y＝﹣x2+2 ．
【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位后的顶点坐标为（0，2），
∴所得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．
故答案为：y＝﹣x2+2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．
19．已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是 a≥1 ．
【分析】结合函数y＝x2﹣2x﹣3的图象和性质，及已知中当﹣1≤x≤a时函数的最小值为﹣4，可得实数a的取值范围．
【解答】解：函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的图象是开口朝上且以x＝1为对称轴的抛物线，
当且仅当x＝1时，函数取最小值﹣4，
∵函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，
∴a≥1，
故答案为：a≥1
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
20．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为 y＝﹣2（x+2）2+1 ．
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由条件可以得出a＝﹣2，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝﹣2x2相同，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣h）2+k，
∵顶点坐标是（﹣2，1），
∴y＝﹣2（x+2）2+1，
∴这个函数解析式为y＝﹣2（x+2）2+1，
故答案为：y＝﹣2（x+2）2+1．
【点评】本题考查了根据顶点时运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出a值是关健．
三．解答题（共8小题）
21．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：依题意得
∴
∴m＝0；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
∴m≠0且m≠1．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
22．有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 x≠0 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 该函数没有最大值 ．
【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当x＝3时的函数值为m，把x＝3代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【解答】解：（1）x≠0，
（2）令x＝3，
∴y＝×32+
＝+＝；
∴m＝；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
①该函数没有最大值；
②该函数在x＝0处断开；
③该函数没有最小值；
④该函数图象没有经过第四象限．
故答案为该函数没有最大值．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
23．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
x2+bx+c … 3 0 ﹣1 0 3 …
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设y＝x2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；
（3）请说明经过怎样平移函数y＝x2+bx+c的图象得到函数y＝x2的图象？
【分析】（1）先根据两组值（0，3）、（2，﹣1）得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，确定代数式，然后计算x＝1和3时的代数式的值即可；
（2）根据抛物线的性质得抛物线开口向上，然后找出x轴下方的抛物线所对应的自变量的范围即可；
（3）根据表中数据得到抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣1），然后利用点的平移规律确定抛物线的平移．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
当x＝1时，x2+bx+c＝x2﹣4x+3＝1﹣4+3＝0；
当x＝3时，x2+bx+c＝x2﹣4x+3＝9﹣12+3＝0，
故答案为0，0；
（2）因为抛物线y＝x2﹣4x+3的开口向上，当1＜x＜3时，y＜0；
（3）抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣1），把点（2，﹣1）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为（0，0），
所以函数y＝x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝x2的图象．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，
∴B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
a≥，
∴a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．
25．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．
（1）求a的值．
（2）若点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），可以求的a的值；
（2）根据（1）中a的值可以求得此函数的解析式，然后根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），
∴﹣2＝a（1﹣3）2+2，
∴a＝﹣1；
（2）∵y＝﹣（x﹣3）2+2，
∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，
∴y1＜y2．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；
（3）抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围 0＜b≤ ．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）先求出平移后的抛物线解析式，然后求出交点坐标；
（3）根据图象即可写出b的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2，
∴．
∴m＝﹣1．
∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+8x﹣6．
∴y＝﹣2（x﹣2）2+2．
∴顶点坐标为（2，2）．
（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y＝﹣2（x﹣3）2+2，
∵﹣2（x﹣2）2＝﹣2（x﹣3）2，
∴．
∴A（，）．
（3）点A坐标为（，），
则点B的坐标为（，），
设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，
则y＝2x﹣2﹣b，
故＝7﹣2﹣b，
解得b＝，
设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点A，
＝5﹣2﹣b，b＝，
由，消去y得到：2x2﹣10x+14﹣b＝0，
由题意：△＝0，
∴100﹣8（14﹣b）＝0，
∴b＝，
观察图象可知：平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及函数图象的几何变换，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的求法以及数形结合解题思想．
27．函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）根据二次函数的定义得到m+2≠0且m2+m﹣4＝2，然后解两个不等式即可得到满足条件的m的值为2或﹣3；
（2）根据二次函数的性质得当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m＝2，则y＝4x2，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；
（3）根据二次函数的性质得到当m＝﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值，则y＝﹣x2，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．
【解答】解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4＝2，
解得m1＝2，m2＝﹣3，
所以满足条件的m值为2或﹣3；
（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，
所以m＝2，
抛物线解析式为y＝4x2，
所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；
（3）当m＝﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值；
抛物线解析式为y＝﹣x2，
所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了二次函数的最值：先把二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）配成顶点式为y＝a（x+）2+，当a＞0，y最小值＝；当a＜0，y最，大值＝．也考查了二次函数的定义以及二次函数的性质．
28．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx，得出关于a、b的二元一次方程组，求得a、b即可；
（2）利用（1）中解析式配方求得对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx得
，
解得，
因此二次函数的关系式y＝2x2﹣4x；
（2）∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x的对称轴是直线x＝1，顶点坐标（1，﹣2）．
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
一．选择题（共12小题）
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ax2+bx+c C．y＝8x D．y＝x2（1+x）
2．二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2
4．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
5．已知函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为（ ）
A．0＜c≤3或c＝﹣1 B．﹣l≤c＜0或c＝3
C．﹣1≤c≤3 D．﹣1＜c≤3且c≠0
6．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
9．二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣2）2+4 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
10．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
11．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
12．在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（ ）
A．x＜0 B．0＜x＜2 C．x＞2 D．x＜0或 x＞2
二．填空题（共8小题）
13．若y＝（a+2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是 ．
14．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 ．
15．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 ．
16．已知抛物线y＝（m+1）x2开口向上，则m的取值范围是 ．
17．如果抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m＝ ．
18．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位后所得的抛物线表达式是 ．
19．已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是 ．
20．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为 ．
三．解答题（共8小题）
21．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
22．有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） ．
23．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
x2+bx+c … 3 ﹣1 3 …
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设y＝x2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；
（3）请说明经过怎样平移函数y＝x2+bx+c的图象得到函数y＝x2的图象？
24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
25．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．
（1）求a的值．
（2）若点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；
（3）抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围 ．
27．函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．
28．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
2020年湘教新版九年级下册数学《第1章 二次函数》单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝x2 B．y＝ax2+bx+c C．y＝8x D．y＝x2（1+x）
【分析】根据二次函数的定义：y＝ax2+bx+c（a≠0．a是常数），可得答案．
【解答】解：A、y＝x2是二次函数，故A符合题意；
B、a＝0时是一次函数，故B不符合题意，
C、y＝8x是一次函数，故C不符合题意；
D、y＝x2（1+x）不是二次函数，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意a是不等于零的常数．
2．二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置逐一判断可得．
【解答】解：在y＝（x+1）2﹣2中由a＝1＞0知抛物线的开口向上，故A错误；
其对称轴为直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故B错误；
由y＝（x+1）2﹣2＝x2+2x﹣1知抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），在y轴的负半轴，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对二次函数的图象和性质的应用，注意：数形结合思想的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力．
3．已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＞﹣2
【分析】由于原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，这要求抛物线必须开口向下，由此可以确定m的范围．
【解答】解：∵原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，
∴m+1＜0，
即m＜﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质．
4．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（ ）
A．①③⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②③⑤
【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝﹣2时，y＜0即可判断；③根据m是方程ax2+bx+c＝0的根，结合两根之积﹣m＝，即可判断；④根据两根之和﹣1+m＝﹣，可得ma＝a﹣b，可得am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，⑤根据抛物线与x轴的两个交点之间的距离，列出关系式即可判断；
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，
∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝|﹣|，
∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△决定抛物线与x轴交点个数：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5．已知函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为（ ）
A．0＜c≤3或c＝﹣1 B．﹣l≤c＜0或c＝3
C．﹣1≤c≤3 D．﹣1＜c≤3且c≠0
【分析】利用直线y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，由根的判别式求出c的值，即可求得直线的解析式．
【解答】解：把y＝2x代入y＝x2﹣c，
整理得x2﹣2x﹣c＝0，
根据题意△＝（﹣2）2+4c＝0，解得c＝﹣1，
把x＝﹣1代入y＝2x与y＝x2﹣c得，c＝3，
把x＝2代入y＝2x与y＝x2﹣c得，c＝0，
∴当0＜c≤3或c＝﹣1时，函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数和二次函数图象上点坐标特征．
6．函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣2（x+1）2+2 D．y＝﹣2（x+1）2﹣2
【分析】先确定物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），再把点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图，当﹣5≤x≤0时，下列说法正确的是（ ）
A．有最小值﹣5、最大值0 B．有最小值﹣3、最大值6
C．有最小值0、最大值6 D．有最小值2、最大值6
【分析】直接根据二次函数的图象进行解答即可．
【解答】解：由二次函数的图象可知，
∵﹣5≤x≤0，
∴当x＝﹣2时函数有最大值，y最大＝6；
当x＝﹣5时函数值最小，y最小＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关键．
8．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝﹣1，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2x+3 B．y＝x2+2x+3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
【分析】由抛物线的对称轴为直线x＝﹣1设解析式为y＝a（x+1）2+k，将（﹣3，0）、（0，3）代入求出a、k的值即可得．
【解答】解：由图象知抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+k，
将（﹣3，0）、（0，3）代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，
故选：D．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，解题的关键是根据题意设出合适的二次函数解析式．
9．二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x﹣2）2+4 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】利用配方法整理即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣2x+4＝（x2﹣2x+1）+3，
＝（x﹣1）2+3，
所以，y＝（x﹣1）2+3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．
10．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
【分析】令抛物线解析式中y＝0，得到方程的解为a，b，即为抛物线与x轴交点的横坐标为a，b，再由抛物线开口向下得到a＜x＜b时y大于0，得到x＝m与n时函数值大于0，即可确定出m，n，a，b的大小关系．
【解答】解：函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，
令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根为a，b，
∵当x＝m或n时，y＝3＞0，
∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．
故选：D．
【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键．
11．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（ ）
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可．
【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2，
故选：C．
【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
12．在同一坐标系下，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x的解集是（ ）
A．x＜0 B．0＜x＜2 C．x＞2 D．x＜0或 x＞2
【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：由图可知，抛物线y1＝﹣x2+4x和直线y2＝2x的交点坐标为（0，0），（2，4），
所以，不等式﹣x2+4x＞2x的解集是0＜x＜2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．
二．填空题（共8小题）
13．若y＝（a+2）x2﹣3x+2是二次函数，则a的取值范围是 a≠﹣2 ．
【分析】根据二次函数的定义即可解决问题．
【解答】解：∵y＝（a+2）x2﹣3x+2是二次函数，
∴a+2≠0，
∴a≠﹣2，
故答案为a≠﹣2．
【点评】本题考查二次函数的定义，记住形如y＝ax2+bx+c，（a≠0）的函数是二次函数，属于基础题．
14．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为 a＞b＞d＞c ．
【分析】设x＝1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
所以，a＞b＞d＞c．
【点评】本题采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
15．若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是 4 ．
【分析】把抛物线化为顶点式可得出其顶点坐标，根据顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0可求得c．
【解答】解：
∵y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2+c﹣4，
∴其顶点坐标为（2，c﹣4），
∵顶点在x轴上，
∴c﹣4＝0，解得c＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握顶点在x轴上其纵坐标为0是解题的关键．
16．已知抛物线y＝（m+1）x2开口向上，则m的取值范围是 m＞﹣1 ．
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：由 题意可知：m+1＞0，
∴m＞﹣1；
故答案为：m＞﹣1
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
17．如果抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m＝ 1 ．
【分析】把原点坐标代入y＝﹣x2+3x﹣1+m中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过点（0，0），
∴﹣1+m＝0，
∴m＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
18．抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位后所得的抛物线表达式是 y＝﹣x2+2 ．
【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2向上平移2个单位后的顶点坐标为（0，2），
∴所得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2．
故答案为：y＝﹣x2+2．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．
19．已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，则实数a的取值范围是 a≥1 ．
【分析】结合函数y＝x2﹣2x﹣3的图象和性质，及已知中当﹣1≤x≤a时函数的最小值为﹣4，可得实数a的取值范围．
【解答】解：函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4的图象是开口朝上且以x＝1为对称轴的抛物线，
当且仅当x＝1时，函数取最小值﹣4，
∵函数y＝x2﹣2x﹣3，当﹣1≤x≤a时，函数的最小值是﹣4，
∴a≥1，
故答案为：a≥1
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．
20．一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为 y＝﹣2（x+2）2+1 ．
【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，由条件可以得出a＝﹣2，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y＝﹣2x2相同，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣h）2+k，
∵顶点坐标是（﹣2，1），
∴y＝﹣2（x+2）2+1，
∴这个函数解析式为y＝﹣2（x+2）2+1，
故答案为：y＝﹣2（x+2）2+1．
【点评】本题考查了根据顶点时运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出a值是关健．
三．解答题（共8小题）
21．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【分析】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：依题意得
∴
∴m＝0；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
∴m≠0且m≠1．
【点评】本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
22．有这样一个问题：探究函数y＝x2+的图象与性质．
小东根据学习函数的经验，对函数y＝x2+的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x2+的自变量x的取值范围是 x≠0 ；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 ﹣ ﹣ 1 2 3 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ m …
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（1，），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 该函数没有最大值 ．
【分析】（1）由图表可知x≠0；
（2）根据图表可知当x＝3时的函数值为m，把x＝3代入解析式即可求得；
（3）根据坐标系中的点，用平滑的曲线连接即可；
（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．
【解答】解：（1）x≠0，
（2）令x＝3，
∴y＝×32+
＝+＝；
∴m＝；
（3）如图
（4）该函数的其它性质：
①该函数没有最大值；
②该函数在x＝0处断开；
③该函数没有最小值；
④该函数图象没有经过第四象限．
故答案为该函数没有最大值．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
23．下表给出了代数式x2+bx+c与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
x2+bx+c … 3 0 ﹣1 0 3 …
（1）请在表内的空格中填入适当的数；
（2）设y＝x2+bx+c，则当x取何值时，y＜0；
（3）请说明经过怎样平移函数y＝x2+bx+c的图象得到函数y＝x2的图象？
【分析】（1）先根据两组值（0，3）、（2，﹣1）得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，确定代数式，然后计算x＝1和3时的代数式的值即可；
（2）根据抛物线的性质得抛物线开口向上，然后找出x轴下方的抛物线所对应的自变量的范围即可；
（3）根据表中数据得到抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣1），然后利用点的平移规律确定抛物线的平移．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
当x＝1时，x2+bx+c＝x2﹣4x+3＝1﹣4+3＝0；
当x＝3时，x2+bx+c＝x2﹣4x+3＝9﹣12+3＝0，
故答案为0，0；
（2）因为抛物线y＝x2﹣4x+3的开口向上，当1＜x＜3时，y＜0；
（3）抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（2，﹣1），把点（2，﹣1）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到点的坐标为（0，0），
所以函数y＝x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝x2的图象．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求点B的坐标，根据平移的性质可求点C的坐标；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标，进一步求得抛物线的对称轴；
（3）结合图形，分三种情况：①a＞0；②a＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，
∴B（0，4），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
∴C（5，4）；
（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，
将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣＝1；
（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，
由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），
①a＞0时，如图1，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＜4，
a＞﹣，
将x＝5代入抛物线得y＝12a，
∴12a≥4，
a≥，
∴a≥；
②a＜0时，如图2，
将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，
∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，
∴﹣3a＞4，
a＜﹣；
③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，
将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，
解得a＝﹣1．
综上所述，a≥或a＜﹣或a＝﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程，待定系数法求抛物线解析式．本题属于中档题，难度不大，但涉及知识点较多，需要对二次函数足够了解才能快捷的解决问题．
25．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．
（1）求a的值．
（2）若点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
【分析】（1）根据抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），可以求的a的值；
（2）根据（1）中a的值可以求得此函数的解析式，然后根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），
∴﹣2＝a（1﹣3）2+2，
∴a＝﹣1；
（2）∵y＝﹣（x﹣3）2+2，
∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，
∴y1＜y2．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2．
（1）求抛物线表达式和顶点坐标；
（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A，求点A的坐标；
（3）抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6与y轴交于点C，点A关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B，两条抛物线在点A、C和点A、B之间的部分（包含点A、B、C）记为图象M．将直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位，在平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，请你写出b的取值范围 0＜b≤ ．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求出m的值，进而求出抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）先求出平移后的抛物线解析式，然后求出交点坐标；
（3）根据图象即可写出b的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+（m+9）x﹣6的对称轴是x＝2，
∴．
∴m＝﹣1．
∴抛物线的表达式为y＝﹣2x2+8x﹣6．
∴y＝﹣2（x﹣2）2+2．
∴顶点坐标为（2，2）．
（2）由题意得，平移后抛物线表达式为y＝﹣2（x﹣3）2+2，
∵﹣2（x﹣2）2＝﹣2（x﹣3）2，
∴．
∴A（，）．
（3）点A坐标为（，），
则点B的坐标为（，），
设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点B，
则y＝2x﹣2﹣b，
故＝7﹣2﹣b，
解得b＝，
设直线y＝2x﹣2向下平移b（b＞0）个单位经过点A，
＝5﹣2﹣b，b＝，
由，消去y得到：2x2﹣10x+14﹣b＝0，
由题意：△＝0，
∴100﹣8（14﹣b）＝0，
∴b＝，
观察图象可知：平移过程中直线与图象M始终有两个公共点，则．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及函数图象的几何变换，解题的关键是熟练掌握抛物线对称轴的求法以及数形结合解题思想．
27．函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．
【分析】（1）根据二次函数的定义得到m+2≠0且m2+m﹣4＝2，然后解两个不等式即可得到满足条件的m的值为2或﹣3；
（2）根据二次函数的性质得当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m＝2，则y＝4x2，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；
（3）根据二次函数的性质得到当m＝﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值，则y＝﹣x2，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．
【解答】解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4＝2，
解得m1＝2，m2＝﹣3，
所以满足条件的m值为2或﹣3；
（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，
所以m＝2，
抛物线解析式为y＝4x2，
所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；
（3）当m＝﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值；
抛物线解析式为y＝﹣x2，
所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了二次函数的最值：先把二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）配成顶点式为y＝a（x+）2+，当a＞0，y最小值＝；当a＜0，y最，大值＝．也考查了二次函数的定义以及二次函数的性质．
28．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx，得出关于a、b的二元一次方程组，求得a、b即可；
（2）利用（1）中解析式配方求得对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx得
，
解得，
因此二次函数的关系式y＝2x2﹣4x；
（2）∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x的对称轴是直线x＝1，顶点坐标（1，﹣2）．
【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．