第8章 整式乘法与因式分解
8．1 幂的运算
1． 同底数幂的乘法
1．进一步理解幂的意义，掌握同底数幂的运算性质．
2．能进行同底数幂的运算，会利用同底数幂的乘法解决简单的实际问题．
重点：理解并掌握同底数幂的乘法法则．
难点：运用同底数幂的乘法法则进行相关运算．
一、情境引入
旧知回顾：
1．什么是乘方？指出an表示的意义．
答：求几个相同因数积的运算叫乘方．an表示n个a相乘，其中a叫底数，n叫指数．
2．我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”计算机每秒可进行2.57×1015次运算，问它工作1 h(3.6×103 s)可进行多少次运算？
解：2.57×1015×3.6×103＝？
以上计算需要通过今天学习来解答．
二、新知探究
【探究一：同底数幂的乘法】
1．阅读教材P45～46，并按下列方式探索：
(1)计算下列各式：
①102×103； ②105×108.
你发现了什么？(2)讨论交流：
观察上面的式子，你发现上述式子的指数和底数是怎样变化的？
(3)合作交流：am·an等于什么？(m，n都是正整数)
(4)引导学生剖析法则：
①等号左边是什么运算？
②等号两边的底数有什么关系？
③等号两边的指数有什么关系？
④你能总结同底数幂的乘法法则吗？
归纳：同底数幂的乘法法则：
am·an＝am＋n(m，n都是正整数)
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
2．应用：【类型一】底数为单项式的同底数幂的乘法
【例1】计算：(1)23×24×2；(2)－a3·(－a)2·(－a)3；(3)mn＋1·mn·m2·m.
解析：(1)根据同底数幂的来法法则进行计算即可；(2)先算乘方，再根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；(3)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
解：(1)原式＝23＋4＋1＝28；
(2)原式＝－a3·a2·(－a3)＝a3·a2·a3＝a8；
(3)原式＝mn＋1＋n＋2＋1＝m2n＋4.
变式练习1.计算(－x)3·x2所得结果为(C)
A．x5 B．x6 C．－x5 D．－x6
变式练习2.计算530×(－5)30可以得到的正确结果是(B)
A．－2×530 B．560 C．－560 D．－2560
【类型二】底数为多项式的同底数幂的乘法
【例2】计算：
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3·(2a＋b)n－4；
(2)(x－y)2·(y－x)5.
解析：将底数看成一个整体进行计算．
解：(1)原式＝(2a＋b)(2n＋1)＋3＋(n－4)＝(2a＋b)3n；
(2)原式＝－(x－y)2·(x－y)5＝－(x－y)7.
方法归纳：底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．
(a－b)n＝
变式练习3.计算(a－b)2n·(a－b)3－2n·(a－b)3的结果是(B)
A．(a－b)4n＋6 B．(a－b)6
C．a6－b6 D．以上都不对
【探究二：幂的运算性质1的应用】
【类型一】运用同底数幂的乘法法则求代数式的值
【例3】若82a＋3·8b－2＝810，求2a＋b的值．
解析：根据同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，可得a，b的关系，根据a，b的关系求解．
解：∵82a＋3·8b－2＝82a＋3＋b－2＝810，∴2a＋3＋b－2＝10，解得2a＋b＝9.
方法归纳：将等式两边化为同底数幂的形式，底数相同，那么指数也相同．
【类型二】同底数幂的乘法法则的逆用
【例4】已知am＝3，an＝21，求am＋n的值．
解析：把am＋n变成am·an，代入求值即可．
解：∵am＝3，an＝21，∴am＋n＝am·an＝3×21＝63.
方法归纳：逆用同底数幂的乘法法则把am＋n变成am·an.
变式练习4.已知2a＝5，2b＝7，求23＋2a＋b的值．
解：∵2a＝5，∴2a·2a＝5×5，即22a＝25，
∴23＋2a＋b＝23·22a·2b＝8×25×7＝1400.
课堂练习：完成教材P46练习1～2题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)同底数幂的来法．
(2)幂的运算性质1：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
2．分层作业：
(1)教材P54习题8.1第1题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本课我采用探究合作教学法进行教学，充分发挥了学生的主体作用，积极为学生创设一个和谐宽松的情境，学生在自主的空间里自由奔放地想象思维和学习取得较好的效果．在同底数幂乘法公式推导过程中学生经历了猜测、质疑和推理论证的科学发现过程，也渗透了转化和从特殊到一般的数学辩论思想，充分体现了自主探究的学习方式；而在巩固深化环节上精心设计开放式题目．通过学生独立思考，小组合作等手段，让学生个个动手、人人参与，充分调动学生学习数学的积极性，同时也使各层次的学生有不同的收获，特别是当时学生的兴奋与激情完全出乎我的预料．
2. 幂的乘方与积的乘方
1．理解幂的运算性质2，掌握幂的乘方的运算．
2．理解幂的运算性质3，掌握积的乘方的运算并能运用其解决实际问题．
重点：分辨幂的乘方和积的乘方，熟练进行相关计算．
难点：准确理解幂的运算性质，避免不同运算性质的混淆．
一、情境引入
1．同底数幂的乘法法则是什么？
答：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
2．计算：
(1)10m×10n＝__10m＋n__；(－3)7×(－3)6＝__－313__；
(2)a·a2·a3＝__a6__；
(3)根据乘方的意义计算：
(22)3＝22×22×22
＝26；
(24)3＝24×24×24
＝212；
(102)3＝102×102×102
＝106.
观察计算结果你能发现什么规律？你能推导一下(am)n的结果吗？请试一试．
二、新知探究
【探究一：幂的乘方】
1．阅读教材P47，完成下列问题：
幂的乘方的法则是什么？如何推导？
答：幂的运算性质2：(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
幂的乘方，底数不变，指数相乘，推导如下：
2．应用：【类型一】直接运用幂的运算性质2进行计算
【例1】计算：
(1)(a3)4；(2)(xm－1)2；(3)[(24)3]3；(4)[(m－n)3]4.
解析：直接运用(am)n＝amn计算即可．
解：(1)(a3)4＝a3×4＝a12；(2)(xm－1)2＝x2(m－1)＝x2m－2；(3)[(24)3]3＝24×3×3＝236；(4)[(m－n)3]4＝(m－n)12.
方法归纳：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
【类型二】方程与幂的乘方的应用
【例2】已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解析：由2x＋5y－3＝0得2x＋5y＝3，再把4x·32y统一为底数为2的乘方的形式，最后根据同底数幂的乘法法则即可得到结果．
解：∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，∴4x·32y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
方法归纳：本题考查了幂的乘方的逆用及同底数幂的乘法，整体代入求解也比较关键．
【类型三】根据幂的乘方的关系，求代数式的值
【例3】已知2x＝8y＋1，9y＝3x－9，则代数式x＋y的值为____________．
解析：由2x＝8y＋1，9y＝3x－9得2x＝23(y＋1)，32y＝3x－9，则x＝3(y＋1)，2y＝x－9，解得x＝21，y＝6，故代数式x＋y＝7＋3＝10.
3．课堂练习：完成教材P48练习1～2题．
方法归纳：运用幂的乘方法则进行计算时，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆，在幂的乘方中，底数可以是单项式，也可以是多项式．
【探究二：积的乘方】
1．阅读教材P48～49，完成下列问题：
积的乘方的法则是什么？如何推导？
答：幂的运算性质3：(ab)n＝anbn(n是正整数)．积的乘方等于多因式乘方的积，推导如下：(ab)n＝(ab)(ab)…(ab)＝
2．应用：【类型一】含积的乘方的混合运算
【例4】计算：
(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解析：(1)先进行积的乘方，然后根据同底数幂的乘法法则求解；(2)先进行积的乘方和幂的乘方，然后合并．
解：(1)原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9＝－8a9＋16a9－125a9＝－117a9；(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.
【类型二】积的乘方在实际中的应用
【例5】太阳可以近似地看作是球体，如果用V，R分别代表球的体积和半径，那么V＝πR3，太阳的半径约为6×105千米，它的体积大约是多少立方千米(π取3)?
解析：将R＝6×105千米代入V＝πR3，即可求得答案．
解：∵R＝6×105千米，∴V＝πR3＝×π×(6×105)3＝8.64×1017(立方千米)．
答：它的体积大约是8.64×1017立方千米．
【类型三】利用积的乘方比较数的大小
【例6】试比较大小：213×310与210×312.
解析：将213×310化为23×(2×3)10的形式，210×312化为32×(2×3)10的形式，比较即可得出答案．
解：∵213×310＝23×(2×3)10，210×312＝32×(2×3)10，23＜32，∴213×310＜210×312.
方法归纳：利用积的乘方，转化成同底数的同指数的幂是解答此类问题的关键．
3．课堂练习：完成教材P49练习1～4题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)幂的乘方
幂的运算性质2：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
(2)积的乘方
幂的运算性质3：积的乘方等于各因式乘方的积．
(ab)n＝anbn(n是正整数)．
2．分层作业：
(1)教材P54习题8.1第2～3题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
幂的乘方和积的乘方的探究方式与上一课时相似，因此在教学中可以就此展开教学．在探究问题的过程中，进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主探究，获得对新知识的感性认识，进而理解运用．
3. 同底数幂的乘方
第1课时 同底数幂的除法
1．理解并掌握幂的运算性质4，能直接运用其进行计算．
2．掌握同底数幂的除法运算法则，算并能运用其解决实际问题．
重点：掌握同底数幂除法运算法则，并熟练进行计算．
难点：利用同底数幂的除法解决实际问题．
一、情境引入
旧知回顾：
幂的运算性质1、性质2、性质3分别是什么？
答：幂的运算性质1：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
即am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
幂的运算性质2：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
幂的运算性质3：积的乘方等于各因式乘方的积．
(ab)n＝anbn(n是正整数)．
二、新知探究
【探究：用底数幂的除法】
1．阅读教材P50，完成下面的问题：
(1)计算下列各式：35÷32＝＝33
a4÷a2＝＝a2
am÷an＝＝am－n.
(2)由以上可得出，同底数幂相除如何进行？
答：幂的运算性质4：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)．
2．应用：【类型一】同底数幂的除法的直接应用
【例1】计算：
(1)(－xy)13÷(－xy)8；
(2)(x－2y)3÷(2y－x)2.
解：(1)原式＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；
(2)原式＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y.
方法归纳：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，再根据法则计算．
【类型二】逆用幂的运算性质4进行计算
【例2】已知am＝4，an＝2，a＝2，求am－n－1的值．
解析：先逆用同底数幂的除法，对am－n－1进行变形，再代入数值进行计算．
解：∵am＝4，an＝2，a＝2，∴am－n－1＝am÷an÷a＝4÷2÷2＝1.
方法归纳：解此题的关键是逆用同底数幂的除法得出am－n－1＝am÷an÷a.
变式练习1.若3x＝4，3y＝7，则32x－y的值为(C)
A. B. C. D．1
变式练习2.已知am＝12，an＝3，则am－n＝__4__．
变式练习3.已知xa＝4，xb＝9，则x3a－2b＝____．
【类型三】同底数幂的除法的实际应用
【例3】声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150分贝，求：
(1)汽车声音的强度是人声音强度的多少倍？
(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音强度的多少倍？
解析：(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度，再利用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音强度，再除以汽车声音的强度即可得到答案．
解：(1)因为1010÷105＝1010－5＝105，所以汽车声音的强度是人声音强度的105倍；
(2)因为人的声音是50分贝，强度是105，汽车的声音是100分贝，强度为1010，所以喷气式飞机的声音是150分贝，其强度为1015.所以1015÷1010＝1015－10＝105.所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音强度的105倍．
方法归纳：本题主要考查同底数幂除法的实际应用，熟练掌握其运算性质是解题的关键．
变式练习4.根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E与地震级数n的关系为E＝10n，那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的__100__倍．
3．课堂练习：完成教材P50练习1～2题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)同底数幂的除法；
(2)幂的运算性质4：同底数幂相除，底数不变，指数相减．am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)．
2．分层作业：
(1)教材P54习题8.1第4题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
从计算具体问题中同底数幂除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质．教学时多举几个例子，让学生从中总结出规律，体验自主探究的乐趣和数学学习的魅力，为以后的学习奠定基础．
第2课时 零次幂、负整数次幂及科学记数法
1．理解零指数幂的意义，并会进行相关运算．
2．理解负整数指数幂的意义，熟练进行整数指数幂的运算．会用科学记数法表示绝对值小于1的数．
重点：理解零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练进行整数指数幂的运算．会用科学记数法表示小于1的数．
难点：负整数指数幂的理解和计算．
一、情境引入
1．同底数幂的除法公式为am÷an＝am－n，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数．当被除数的指数不大于除数的指数，即m＝n或m＜n时，情况怎样呢？
2．试按约分或同底数幂相除两种方法计算，你有什么发现？
35÷35，解法一：35÷35＝1.
解法二：35÷35＝35－5＝30，30＝1.
二、新知探究
【探究一：零指数幂】
1．阅读教材P51，完成下列问题：
零指数幂的意义是什么？它是怎样得到的？
答：我们约定：a0＝1(a≠0)．即任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.
由被除式与除式相同，可得an÷an＝1.
另一方面，由同底数幂的除法性质可得an÷an＝a0，.a0＝1(a≠0)．
2．应用：【例1】填空：
(1)52x－3＝1，则x＝____；
(2)若(x＋b)0＝1成立，则x的取值范围是__x≠－b__．
变式练习1.计算：20190－|2|＝__－1__．若0.0001x＝1，则x＝__0__．
【探究二：负整数指数幂】
1．阅读教材P52，完成下列问题：
负整数指数幂的意义是什么？如何得到？
答：我们约定：a－p＝1(a≠0，p是正整数)．
任何一个不等于零的数的p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数．
由分数约分：am÷an＝＝＝(p＝n－m)．
仿照同底数幂的除法性质进行计算，得am÷an＝am－n＝a－p(p＝n－m)．
2．应用：【例2】若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是(B)
A．x＞3 B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2 D．x＜2
方法归纳：任意非零数的零次幂为1，底数不能为零．
变式练习2.计算：－22＋(－)－2＋(2015－π)0－|2－|.
解：－22＋(－)－2＋(2015－π)0－|2－|＝－4＋4＋1－2＋＝－1.
【探究三：用科学记数法表示绝对值小于1的数】
1．阅读教材P53～54，完成下列问题：
我们知道0.01＝＝＝10－2.同样：
0．00001＝____＝____＝__＝10－5 __；
0．000000001＝____＝____＝__10－9 __；
并且0.0035＝__3.5×0.001__＝__3.5×10－3__．
归纳总结：绝对值小于1的数可记成±a×10－n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法．
2．应用：【例3】中商网报道，一种重量为0.000106千克，机身由碳纤维制成，且只有昆虫大小的机器人是全球最小的机器人，0.000106用科学记数法可表示为(A)
A．1.06×10－4 B．1.06×10－5
C．10.6×10－5 D．106×10－6
解析：0.000106＝1.06×10－4故选A.
变式练习3.已知空气的单位体积质量为1.24×10－3 g/cm3，1.24×10－3用小数表示为__0.00124__．
变式练习4.自从扫描隧道显微镜发明后，世界上诞生了一门学科，这就是纳米技术．已知52 nm长为0.000000052 m，用科学记数表示此数为__5.2×10－8__m__．
变式练习5.用小数表示下列各数：
(1)2×10－7；(2)3.14×10－5；(3)7.08×10－3；(4)2.17×10－1.
解析：小数点向左移动相应的位数即可．
解：(1)2×10－7＝0.0000002；(2)3.14×10－5＝0.0000314；(3)7.08×10－3＝0.00708；(4)2.17×10－1＝0.217.
3．课堂练习：完成教材P53练习1～3题，P54练习1～3题．
三、交流展示
略．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)零次幂
任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即a0＝1(a≠0)．
(2)负整数次幂
任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数p次幂的倒数．即a－p＝1(a≠0，p是正整数)．
(3)用科学记数法表示绝对值小于1的数
2．分层作业：
(1)教材P54习题8.1第5～9题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
从本节课的教学过程来看，结合了多种教学方法，既有教师主导课堂的例题讲解，又有学生主导课堂的自主探究．课堂上学习气氛活跃，学生的学习积极性被充分调动，在拓展学生的学习空间的同时，又有效地保证了课堂学习质量．
3.多项式与多项式相乘
1．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．
2．掌握多项式与多项式的乘法法则的应用．
重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用．
难点：多项式与多项式乘法法则的应用．
一、情境引入
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．
学生积极思考，教师引导学生分析，学生发现：
这块林区现在长为(m＋n)米，宽为(a＋b)米，因而面积为(m＋n)(a＋b)平方米．
另外：如图，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma平方米，mb平方米，na平方米，nb平方米，故这块地的面积为(ma＋mb＋na＋nb)平方米．
由此可得(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.今天我们就学习多项式乘以多项式．
二、新知探究
【探究一：多项式与多项式相乘】
1．阅读教材P63～64，完成下列问题：
多项式与多项式的乘法法则是什么？如何推导？
答：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
对于(a＋b)(m＋n)，把(a＋b)看作一个整体，利用乘法分配律，再根据单项式与多项式的乘法法则，得：
(a＋b)(m＋n)＝(a＋b)m＋(a＋b)n＝am＋bm＋an＋bn.
2．应用：【例1】计算：(1)(3x＋2)(x＋2)；(2)(4y－1)(5－y)．
解：(1)原式＝3x2＋6x＋2x＋4＝3x2＋8x＋4；
(2)原式＝20y－4y2－5＋y＝－4y2＋21y－5.
变式练习1.下列计算正确的是(C)
A．－4x·(2x2＋3x－1)＝－8x3－12x2－4x
B．(x＋y)(x2＋y2)＝x3＋y3
C．(－4a－1)(4a－1)＝1－16a2
D．(x－2y)2＝x2－2xy＋4y2
变式练习2.计算：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)．
解析：根据整式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再把所得结果合并即可．
解：(3a＋1)(2a－3)－(6a－5)(a－4)＝6a2－9a＋2a－3－6a2＋24a＋5a－20＝22a－23.
方法归纳：在计算时要注意混合运算的顺序和法则以及运算结果的符号．
【探究二：多项式与多项式相乘的化简求值及应用】
【类型一】多项式乘以多项式的化简求值
【例2】先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
解析：先将式子利用整式乘法展开，合并同类项化简，再代入计算．
解：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2＝－8b3＋2a2b＋15ab2.当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21.
方法归纳：化简求值是整式运算中常见的题型，一定要注意先化简，再求值，不能先代值，再计算．
【类型二】多项式乘以多项式与方程的综合
【例3】解方程：(x－3)(x－2)＝(x＋9)(x＋1)＋4.
解析：方程两边利用多项式乘以多项式法则计算，移项合并同类项，将x系数化为1，即可求出解．
解：去括号，得x2－5x＋6＝x2＋10x＋9＋4，移项，合并同类项，得－15x＝7，解得x＝－.
方法归纳：解答本题就是利用多项式的乘法，将原方程转化为已学过的方程，即可求出解．
【类型三】多项式乘以多项式的实际应用
【例4】千年古镇杨家滩的某小区的内坝是一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分)，中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形)，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
解析：根据长方形的面积公式，可得内坝、景色的面积，根据面积的和差，可得答案．
解：由题意，得(3a＋b)(2a＋b)－(a＋b)2＝6a2＋5ab＋b2－a2－2ab－b2＝5a2＋3ab，当a＝3，b＝2时，5a2＋3ab＝5×3＋2＋3×3×2＝63.故绿化的面积是63m2.
【类型四】根据多项式乘以多项式求待定系数的值
【例5】已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a，b的值．
解析：首先利用多项式乘法法则计算出(ax2＋bx＋1)(3x－2)，再根据积不含x2项，也不含x项，可得含x2项和含x项的系数等于零，即可求出a与b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)＝3ax3－2ax2＋3bx2－2bx＋3x－2.∵积不含x2项，也不含x项，∴－2a＋3b＝0，－2b＋3＝0，解得b＝，a＝.系数a，b的值分别是，.
课堂练习：完成教材P64练习1～3题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)多项式与多项式的乘法法则
多项式和多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
(2)多项式与多项式乘法的应用
2．分层作业：
(1)教材P65习题8.2第5、11、12题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础．
8.2 整式乘法
1． 单项式与单项式相乘
第1课时 单项式乘以单项式
1．在具体情景中，了解单项式和单项式相乘的意义．
2．在通过学生活动中，理解单项式相乘的法则，会用它们进行计算．
重点：单项式相乘的法则．
难点：对法则的理解和应用．
一、情境引入
旧知回顾：
1．幂的运算性质1、性质2、性质3分别是什么？
答：幂的运算性质1：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
即am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
幂的运算性质2：幂的乘方，底数不变，指数相乘．
(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
幂的运算性质3：积的乘方等于各因式乘方的积．
(ab)n＝anbn(n是正整数)．
2．根据乘法的运算规律计算：
(1)2x·3y；(2)5a2b·(－2ab2)．
解：(1)2x·3y＝(2×3)·(x·y)＝6xy；
(2)5a2b·(－2ab2)＝5×(－2)·(a2·a)·(b·b2)＝－10a3b3.
3．观察上述运算，你能归纳出单项式乘法的运算法则吗？
答：系数相乘，同底数幂相乘．
二、新知探究
【探究一：单项式乘以单项式】
1．阅读教材P56～57，完成下列问题：
计算：4x2y·3xy2＝(4×3)·(x2·x)(y·y2)＝12x3y3；
5abc·(－3ab)＝[5×(－3)]·(a·a)(b·b)c＝－15a2b2c.
归纳：单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2．应用：【例1】计算：
(1)(－a2b)·ac2；
(2)6ab3·(－a2b5c4)；
(3)3x2y2·(－2x2)4·(－y2)3.
解：(1)原式＝(－×)a3bc2＝－a3bc2；
(2)原式＝[6×(－)]·a·a2·b3·b5·c4＝－2a3b8c4；
(3)原式＝3x2y2·16x8·(－y6)＝－48x10y8.
解析：运用幂的运算法则和单项式乘以单项式的法则计算即可．
方法归纳：(1)在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；(2)注意按顺序运算；(3)不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；(4)此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
变式练习1.计算(－xy2z3)2·(－x2y)3＝__－x8y7z6__.
变式练习2.下列计算中，错误的是(B)
A．(a2)3·(－a3)2＝a12
B．(－ab2)2·(－a2b3)＝a4b7
C．(2xyn)·(－3xny)2＝18x2n＋1yn＋2
D．(－xy2)(－yz2)(－zx2)＝－x3y3z3
【探究二：单项式乘以单项式的应用】
【例2】已知－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
解：∵－2x3m＋1y2n与7xn－6y－3－m的积与x4y是同类项，∴解得∴m2＋n＝7.
变式练习3.如果单项式－3x2a－by2与x5y5m＋8n是同类项，那么这两个单项式的积是__－x10y4__．
变式练习4.有一块长为xm，宽为ym的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长xm，宽为ym的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
解：长方形空地的面积是xy(m2)，长方形空地绿化的面积是x·y＝xy(m2)，则剩下的面积是xy－xy＝xy(m2)．
课堂练习：完成教材P57～58练习1～4题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)单项式乘以单项式的运算法则
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．(2)单项式乘以单项式的应用
2．分层作业：
(1)教材P65习题8.2第1～3题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本课时的重点是让学生理解单项式乘法的法则并能熟练应用．要求学生在乘法的运算律以及幂的运算律的基础上进行探究．教师在课堂上应该处于引导位置，鼓励学生“试一试”，学生通过动手操作，能够更为直接的理解和应用．
2.单项式与多项式相乘
第1课时 单项式乘以多项式
1．在具体情景中，了解单项式和多项式相乘的意义．
2．在通过学生活动中，理解单项式和多项式相乘的法则，会用它们进行计算．
重点：掌握单项式与多项式相乘的法则，并会运用．
难点：对单项式与多项式相乘的法则的理解．
一、情境引入
1．单项式乘以单项式的法则是什么？
答：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2．计算：
(1)3a2b·2abc·abc2＝__2a4b3c3__；
(2)(－m3n)3·(－2m2n)4＝__－2m17n7__．
3．计算(－12)×(－－)我们可以根据有理数乘法的分配律进行计算．那么怎样计算2x·(2x2－2x＋1)呢？
二、新知探究
【探究一：单项式乘以多项式】
1．阅读教材P60～61，完成下列问题：
(1)探究：怎样计算单项式2x与多项式3x2－x－5的积？
可以利用乘法的分配律进行计算．
2x·(3x2－x－5)
＝2x·3x2＋2x·(－x)＋2x·(－5)
＝6x3－2x2－10x.
(2)通过上面的计算，你能总结出单项式与多项式相乘的运算规律吗？思考单项式与多项式乘法法则是什么？其依据是什么？
归纳：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘．再把所得的积相加．其依据是乘法分配律，把单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘．
2．应用：【例1】计算：
(1)(ab2－2ab)·ab；(2)－2x·(x2y＋3y－1)．
解：(1)原式＝ab2·ab－2ab·ab＝a2b3－a2b2；
(2)原式＝－2x·x2y＋(－2x)·3y－(－2x)·1＝－x3y＋(－6xy)－(－2x)＝－x3y－6xy＋2x.
变式练习1.计算：
(1)(x2y－2xy＋y2)·(－4xy)；
(2)3a(2a－5)－2a(1－3a)．
解：(1)原式＝－2x3y2＋8x2y2－4xy3；
(2)原式＝6a2－15a－2a＋6a2＝12a2－17a.
归纳：单项式乘以多项式，根据乘法分配律计算，去掉括号时，应注意符号的变化，有同类项的应注意合并同类项．
【探究二：单项式乘以多项式的应用】
【例2】设－x2y＝2，则－xy(x5y2－x3y＋2x)的值为(A)
A．16 B．0 C．8 D．12
【例3】若m(1－m2)＋m(m2－2)＋2019≥0，则m的取值范围是__m≤2019__．
变式练习2.先化简，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中a＝2.
解析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．
解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2＝－28a2＋15a，当a＝2时，原式＝－82.
变式练习3.化简求值．
(1)x2(3－x)＋x(x2－2x)＋1，其中x＝；
解：原式＝3x2－x3＋x3－2x2＋1
＝x2＋1.
当x＝时，
原式＝()2＋1＝4；
(2)[xy(x2－3y)＋3xy2](－2xy)＋x3y2·(2x－y)，其中x＝－，y＝－5.
解：原式＝(x3y－3xy2＋3xy2)·(－2xy)＋2x4y2－x3y3
＝－2x4y2＋2x4y2－x3y3
＝－x3y3，
当x＝－，y＝－5时，原式＝－.
课堂练习：完成教材P61练习1～3题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)单项式与多项式的乘法法则
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
(2)单项式与多项式的乘法的应用
2．分层作业：
(1)教材P65习题8.2第4题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节课在已学过的单项式乘单项式的基础上，学习单项式乘多项式．教学中注意发挥学生的主体作用，让学生积极参与课堂活动，并通过不断纠错而提高自主学习能力．
第2课时 单项式除以单项式
1．复习单项式乘以单项式的运算，探究单项式除以单项式的运算规律．
2．能运用单项式除以单项式进行计算并解决问题．
重点：对单项式除以单项式法则的理解及应用．
难点：利用单项式除以单项式解决实际问题．
一、情境引入
旧知回顾：
1．同底数幂的除法法则是什么？
答：同底数幂相除，底数不变，指数相减，am÷an＝am－n(a≠0，m、n为正整数且m＞n)．
2．一颗人造地球卫星的速度为2.88×107 m/h，一架喷气式飞机的速度为1.8×106 m/h，则这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍？
解：(2.88×107)÷(1.8×106)
＝(2.88÷1.8)×(107÷106)
＝1.6×10
＝16.
二、新知探究
【探究一：单项式除以单项式】
1．阅读教材P58～59，完成下列问题：
怎样计算15a4b3x2÷3a2b3?
解：计算15a4b3x2÷3a2b3，就是要求一个单项式，使它与3a2b3相乘的积等于15a4b3x2.
∵(5a2x2)·(3a2b3)＝15a4b3x2，∴15a4b3x2÷3a2b3＝5a2x2.
归纳：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
2．应用：【例1】计算：
(1)12a4b3c2÷(－3a2bc2)；
(2)(－a3b2)÷(－a2b)；
(3)(7.2×1012)÷(－3.6×109)；
(4)(6x2y3)2÷(－3xy2)2.
解：(1)原式＝－4a2b2；
(2)原式＝3ab；
(3)原式＝[7.2÷(－3.6)]×(1012÷109)＝－2×103；
(4)原式＝36x4y6÷9x2y4＝(36÷9)x4－2·y6－4＝4x2y2.
变式练习1.下列各题中计算正确的是(B)
A．－2a2b3÷(－2ab)＝a2b3
B．2ab2c÷ab2＝4c
C．2a2b4÷(－2ab3)＝a2b2
D.a2b3c2÷(－5abc)2＝bc
变式练习2.计算：(1)3x(x3)2(y2)3÷(x3y3)＝__9x4y3__；
(2)12a8b5÷(6a6b2÷a5b)＝__a7b4__．
【探究二：单项式除以单项式的应用】
【例2】已知8a3bm÷4anb2＝2ab2，那么m，n的值为(B)
A．m＝4，n＝1 B．m＝4，n＝2
C．m＝1，n＝3 D．m＝2，n＝3
【例3】与xny2相乘的积为3x3n＋2y2n＋2的单项式是__3x2n＋2y2n__．
变式练习3.我国发射的海洋1号气象卫星进入预定轨道后2×102s走的路程是1.58×106m，那么该卫星绕地球运行的速度是多少米/秒？
解：由题意得：(1.58×106)÷(2×102)＝7.9×103(m/s)．
答：该卫星绕地球运行的速度是7.9×103m/s.
变式练习4.若a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，求a，m，n的值．
解析：利用积的来方的运算法则以及整式的除法运算得出即可．
解：∵a(xmy4)3÷(3x2yn)2＝4x2y2，∴ax3my12÷9x4y2n＝4x2y2，∴a÷9＝4，3m－4＝2，12－2n＝2，解得a＝36，m＝2，n＝5.
课堂练习：完成教材P59练习．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)单项式除以单项式的运算法则
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
(2)单项式除以单项式的相关计算．
2．分层作业：
(1)教材P65习题8.2第6题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
在教学过程中，通过生活中的情境引入，引导学生根据单项式乘以单项式的乘法运算推导出其逆运算的规律，在探究的过程中经历数学概念的生成过程，从而加深印象．
第2课时 多项式除以单项式
1．复习单项式来以多项式的运算，探究多项式除以单项式的运算规律．
2．能运用多项式除以单项式进行计算并解决问题．
重点：多项式除以单项式的运算法则的推导以及法则的正确使用．
难点：多项式除以单项式的运算法则的熟练应用．
一、情境引入
1．单项式除以单项式的法则是什么？
答：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
2．单项式乘以多项式的法则是什么？
单项式与多项式相乘就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得积相加，即m(a＋b＋c＋)＝ma＋mb＋mc.
二、新知探究
【探究一：多项式除以单项式】
1．阅读教材P61～62，完成下列问题：
你能根据单项式乘以多项式的运算归纳出多项式除以单项式的运算法则吗？
答：计算(a＋b－c)÷m，根据a÷b＝a×，可把除法转化为乘法，由此得到：
(a＋b－c)÷m
＝(a＋b－c)×
＝a×＋b×－c×
＝a÷m＋b÷m－c÷m
归纳：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
2．应用：【例1】计算：(72x3y4－36x2y3＋9xy2)÷(－9xy2)．
解析：根据多项式除以单项式，先用多项式的每一项分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．
解：原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)＝－8x2y2＋4xy－1.
方法归纳：多项式除以单项式的实质是单项式除以单项式，计算时先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．
变式练习1.计算(6xy2－3x2y＋2xy)÷2xy的结果是(A)
A．3y－x＋1 B．3y＋x
C．3y－x D．3y－x＋2
变式练习2.计算：
(1)(－25x4＋15x3－5x)÷(－5x)；
(2)[x(x＋2)＋(x＋2)－2]÷x.
解：(1)原式＝5x3－3x2＋1；
(2)原式＝(x2＋3x)÷x＝x＋3.
【探究二：多项式除以单项式的应用】
【例2】已知一个多项式除以2x2，所得的商是2x2＋1，余式是3x－2，请求出这个多项式．
解：根据题意得2x2(2x2＋1)＋3x－2＝4x4＋2x2＋3x－2，则这个多项式为4x4＋2x2＋3x－2.
方法归纳：“被除式＝商×除式＋余式”是解题的关键．
变式练习3.先化简，再求值．
(4ab3－8a2b2)÷4ab＋(4a2b2－b4)÷b2，其中a＝2，b＝1.
解：原式＝b2－2ab＋4a2－b2＝4a2－2ab.
当a＝2，b＝1时，
原式＝4×4－2×2×1＝12.
变式练习4.已知：2x－y＝2020，求式子[(x2＋y2)－(x2－2xy＋y2)＋2y(x－y)]÷4y的值．
解：[(x2＋y2)－(x2－2xy＋y2)＋2y(x－y)]÷4y＝(x2＋y2－x2＋2xy－y2＋2xy－2y2)÷4y
＝(4xy－2y2)÷4y＝x－y.
因为2x－y＝2020，所以x－y＝1010，
故原式的值为1010.
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)多项式除以单项式的运算法则
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
(2)多项式除以单项式的计算
2．分层作业：
(1)教材P65习题8.2第7～9题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
在教学过程中，通过类比单项式除以单项式的学习，引导学生归纳多项式除以单项式的运算法则，通过练习加深学生的理解，并及时反馈信息．教师可引导学生解决问题，培养学生的思维能力．
8.3 完全平方公式与平方差公式
第1课时 完全平方公式
1．能根据多项式乘法推导出完全平方公式．
2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．
重点：完全平方公式的推导及应用．
难点：完全平方公式的应用．
一、情境引入
1．多项式乘以多项式的法则是什么？
答：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
2．计算：
(1)(x＋1)2；(2)(x－1)2；(3)(a＋b)2；(4)(a－b)2.
解：(1)(x＋1)2＝(x＋1)(x＋1)＝x2＋x＋x＋1＝x2＋2x＋1；
(2)(x－1)2＝(x－1)(x－1)＝x2－x－x＋1＝x2－2x＋1；
(3)(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2；
(4)(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.
由上述计算，你发现了什么结论？
二、新知探究
【探究：完全平方公式】
1．阅读教材P68～69，完成下列问题：
什么是完全平方公式？如何叙述？
答：由多项式乘法可得乘法公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
以上两个公式，可以直接用于计算，称为完全平方公式，用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
2．应用：【类型一】直接运用完全平方公式进行计算
【例1】利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
方法归纳：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
变式练习1.填空：
(1)(－3x＋1)2＝__9x2－6x＋1__；
(2)(x－y)2＝__x2－xy＋y2__；
(3)(2m＋__3__)2＝4m2＋12m＋9.
变式练习2.化简(a＋1)2－(a－1)2等于(C)
A．2 B．4 C．4a D．2a2＋2
变式练习3.下列等式成立的是(A)
A．(x－y)2＝(y－x)2
B．(－x－y)2＝－(x＋y)2
C．(x＋y)2＝(x2＋y2)
D．(x－y)3＝(y－x)3
【类型二】构造完全平方公式
【例2】如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．
解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．
解：36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，(m＋1)xy＝±2·6x·5y，m＋1＝±60，m＝59或－61.
方法归纳：两个数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
【类型三】运用完全平方公式进行简便计算
【例3】利用完全平方公式计算：
(1)992；(2)1022.
解析：(1)把99写成(100－1)的形式，然后利用完全平方公式展开计算．
(2)可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．
解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；
(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.
【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值
【例4】若(x＋y)2＝9，且(x－y)2＝1.
(1)求＋的值；
(2)求(x2＋1)(y2＋1)的值．
解析：(1)先去括号，再整体代入即可求出答案；(2)先变形，再整体代入，即可求出答案．
解：(1)∵(x＋y)2＝9，(x－y)2＝1，∴x2＋2xy＋y2＝9，x2－2xy＋y2＝1，4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，∴＋＝＝＝＝；
(2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.
【类型五】完全平方公式的几何背景
【例5】我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是(C)
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
3．课堂练习：完成教材p69练习1～2题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)完全平方公式两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)完全平方公式的应用．
2．分层作业：
(1)教材P71习题8.3第1、7题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆．
第2课时 平方差公式
1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解．
2．掌握平方差公式的应用．
重点：运用平方差公式进行整式的运算．
难点：准确把握运用平方差公式的特征．
一、情境引入
1．什么是完全平方公式？用语言如何叙述？
答：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
2．计算：(1)(x＋2)(x－2)；(2)(3m＋1)(3m－1)．观察计算结果有什么规律？
解：(1)(x＋2)(x－2)＝x2－2x＋2x－4＝x2－4；
(2)(3m＋1)(3m－1)＝9m2－3m＋3m－1＝9m2－1.
结果为两个数的平方差．
二、新知探究
【探究一：平方差公式】
1．阅读教材P70，完成下列问题：
计算：(1)(x－2y)(x＋2y)；(2)(a＋b)(a－b)．归纳算式与结果有什么规律？
解：(1)(x－2y)(x＋2y)＝x2＋2xy－2xy－(2y)2＝x2－4y2；
(2)(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2.
以上算式可看成两个数和与差的积，结果为这两个数的平方差．
归纳：平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
语言叙述为：两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差．
2．应用：【类型一】直接运用平方差公式进行计算
【例1】利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)；
(2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25；
(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2；
(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
方法归纳：运用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
变式练习1.对于任意的整数n，能整除代数式(n＋3)(n－3)－(n＋2)(n－2)的整数是(C)
A．4 B．3 C．－5 D．2
变式练习2.填空：(1)(x＋1)(x－1)＝__x2－1__，(x＋2y)(－x＋2y)＝__4y2－x2__；
(2)98×102＝__9996__；
(3)当x＝3，y＝1时，代数式(x＋y)(x－y)＋y2＝__9__．
【类型二】运用平方差公式进行简便运算
【例2】利用平方差公式计算：
(1)20×19；
(2)13.2×12.8.
解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399；
(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)(13－0.2)＝169－0.04＝168.96.
【类型三】运用平方差公式进行化简求值
【例3】先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.
【类型四】平方差公式的几何背景
【例4】如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是__(a＋b)(a－b)＝a2－b2__．
解析：∵左图中阴影部分的面积是a2－b2，右图中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可以验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
【探究二：乘法公式的应用】
【例5】利用乘法公式计算：
(1)(x－y＋z)(x＋y－z)；(2)(a－b＋c)2.
解：(1)原式＝[x－(y－z)][x＋(y－z)]＝x2－(y－z)2＝x2－y2＋2yz－z2；
(2)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋2(a－b)·c＋c2＝a2－2ab＋b2＋2ac－2bc＋c2.
变式练习3.计算：
(1)(a＋1)2(a－1)2；(2)(x－3)3.
解：(1)原式＝[(a＋1)(a－1)]2＝(a2－1)2＝a4－2a2＋1；
(2)原式＝(x－3)(x－3)2＝(x－3)(x2－6x＋9)＝x3－6x2＋9x－3x2＋18x－27＝x3－9x2＋27x－27.
3．课堂练习：完成教材P70练习1～2题，P71练习1～2题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思：
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)平方差公式两个数和与这两个数差的积，等于它们的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
(2)平方差公式的应用
2．分层作业：
(1)教材P71习题8.3第2～6题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成．
8.4 因式分解
1． 提公因式法
1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系，会用提取公因式的方法分解因式．
2．会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
重点：理解因式分解的意义，会用提公因式法分解因式．
难点：熟练利用提公因式法分解因式．
一、情境引入
填空：(a＋b)2＝__a2＋2ab＋b2__；(a－b)2＝__a2－2ab＋b2__；(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__；n(a＋b＋c)＝__na＋nb＋nc__．
将前面的公式反过来：
a2＋2ab＋b2＝__(a＋b)2__；a2－2ab＋b2＝__(a－b)2__；a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；na＋nb＋nc＝__n(a＋b＋c)__．
你认为这种变形是什么？
答：将多项式化为整式积的形式．
二、新知探究
【探究一：因式分解的概念】
1．阅读教材P73，完成下列问题：什么是因式分解？
答：把一个多项式化为几个整式积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
2．应用：【例1】下列从左到右的变形中是因式分解的有(B)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式练习1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(D)
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3
D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)
【探究二：公因式的确定】
阅读教材P74例1前，思考确定公因式的方法，试取最低次幂的积．
【例2】多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是(D)
A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab
解析：∵系数的最大公约数是3，相同字母的指数的最低次幂是ab，∴公因式为3ab.故选D.
方法归纳：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．
【探究三：提公因式分解因式】
1．阅读教材P74，完成下列问题：什么是公因式？什么是提公因式法？
答：多项式的各项中都含有的相同因式，叫做公因式．
如果把一个多项式的公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做提公因式法，即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
2．应用：【类型一】直接用提公因式法进行因式分解
【例3】因式分解：
(1)8a3b2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．
解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；
(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
方法归纳：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．
变式练习2.分解因式：
(1)10a2＋25ab－5；(2)9m2＋18mn－27mn2；
(3)a(x＋y)＋b(x＋y)；(4)m(a－b)－n(b－a)．
解：(1)原式＝5(2a2＋5ab－1)；
(2)原式＝9m(m＋2n－3n2)；
(3)原式＝(x＋y)(a＋b)；
(4)原式＝(a－b)(m＋n)．
【类型二】利用提公因式法简便运算
【例4】计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14.
解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可．
解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；
(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015.
变式练习3.计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.
解：原式＝(23＋59＋18)×2.718
＝100×2.718
＝271.8.
变式练习4.解方程组求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值．
解：7y(x－3y)2－2(3y－x)3
＝7y(x－3y)2＋2(x－3y)3
＝(x－3y)2(2x＋y)．
则上式＝12×6＝6.
3．课堂练习：完成教材P75练习1～3题．
三、交流展示
略．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)因式分解的概念．
(2)公因式．
(3)提公因式法分解因式：
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
2．分层作业：
(1)教材P78习题8.4第1～3题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节中要给学生留出自主学习的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果．
2 公式法
第1课时 公式法
1．熟悉完全平方公式的特征，利用完全平方公式分解因式．
2．熟悉平方差公式的特征，熟练利用平方差公式分解因式．
重点：理解并掌握完全平方公式和平方差公式分解因式的方法．
难点：正确运用公式法分解因式．
一、情境引入
1．写出乘法公式中的完全平方公式和平方差公式．
答：完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
2．什么是提公因式法？
答：把一个多项式的公因式提到括号外面，这种因式分解的方法叫做提公因式法．即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
我们已经学习了完全平方公式和平方差公式，对下面的多项式进行因式分解，试着发现其中的规律．
(1)x2－6xy＋9y2；
(2)x4－2x2＋1；
(3)x2－9y2.
二、新知探究
【探究一：运用公式法分解因式】
1．阅读教材P75，完成下列问题：什么是公式法？
答：运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫做公式法．
完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
2．应用：【例1】分解因式：
(1)x2－9y2；
解：原式＝(x＋3y)(x－3y)；
(2)x2＋6x＋9；
解：原式＝(x＋3)2；
(3)(3m＋2n)2－(m－n)2；
解：原式＝(3m＋2n＋m－n)(3m＋2n－m＋n)＝(4m＋n)(2m＋3n)；
(4)(x＋y)2＋2(x＋y)＋1.
解：原式＝(x＋y＋1)2.
变式练习1.在多项式①－m2＋9；②－m2－9；③2ab－a2－b2；④a2－b2＋2ab；⑤(a＋b)2－10(a＋b)＋25中，能用平方差公式分解因式的有__①__，能用完全平方公式分解因式的有__③⑤__．(填序号)
变式练习2.分解因式：
(1)4x2－y2；
解：原式＝(2x＋y)(2x－y)；
(2)9－12a＋4a2；
解：原式＝(3－2a)2；
(3)3m2－6mn＋3n2.
解：原式＝3(m2－2mn＋n2)＝3(m－n)2.
【探究二：综合运用提公因式法与公式法分解因式】
1．阅读教材P76例4，并思考因式分解应注意的问题．
2．应用：【类型一】综合运用提公因式法和公式法分解因式
【例2】分解因式：
(1)x5－x3；(2)2x2－8y2；(3)x2(x－y)＋(y－x)．
解：(1)x5－x3＝x3(x2－1)＝x3(x＋1)(x－1)；
(2)2x2－8y2＝2(x2－4y2)＝2(x＋2y)(x－2y)；
(3)x2(x－y)＋(y－x)＝x2(x－y)－(x－y)＝(x－y)(x2－1)＝(x－y)(x－1)(x＋1)．
方法归纳：一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再考虑运用公式进行因式分解；同时因式分解要彻底，直到每一个因式都不能再分解为止．
变式练习3.计算1.992－1.98×1.99＋0.992的结果是(B)
A．0 B．1
C．8.8804 D．3.9601
变式练习4.填空：(1)把多项式a3－8a2＋16a因式分解，最后结果为__a(a－4)2__；
(2)因式分解：9bx2y－by3＝__by·(3x＋y)(3x－y)__；
(3)因式分解：x2(x－2)－16(x－2)＝__(x－2)(x＋4)(x－4)__．
【类型二】利用公式法分解因式简化计算
【例3】利用因式分解计算：
(1)342＋34×32＋162；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.
解析：利用完全平方公式转化为(a±b)2的形式后计算即可．
解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；
(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.
3．课堂练习：完成教材P76练习1～2题及P76下面练习．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)公式法分解因式．
(2)综合运用提公因式法分解因式．
2．分层作业：
(1)教材P78习题第8.4第4～5题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节课学习了利用公式法进行因式分解，通过独立思考，小组合作交流等方法，归纳出适用公式法进行因式分解的多项式特点以及运用公式法进行因式分解的一般步骤，通过例题与练习，巩固相关知识，同时充分发挥学生的主体作用，鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的数学学习兴趣．
第2课时 分组分解法
1．综合运用提取公因式法和利用公式法分解因式．
2．理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤．
重点：理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤．
难点：能熟练运用分组分解法进行因式分解并解决问题．
一、情境引入
1．因式分解：
(1)a4－18a2＋81；
(2)a3＋6a2＋9a.
2．根据1中得到的式子尝试因式分解：a4－a3－12a2＋9a＋81.
学习了本课就可以解决．
二、新知探究
【探究一：提公因式法与公式法的综合应用】
1．阅读教材P76，完成下列问题：因式分解的一般步骤是什么？
答：因式分解的一般步骤为：一提、二套、三分组，即首先考虑提公因式，再看能不能用公式，若前两者都不行，再考虑能不能用分组法分解因式，要分解到每一因式都不能再分解为止．
2．应用：【例1】分解因式：
(1)ax4－ay4；
解：原式＝a(x4－y4)＝a(x2＋y2)(x2－y2)＝a(x2＋y2)(x＋y)(x－y)；
(2)x3y3－2x2y2＋xy；
解：原式＝xy(x2y2－2xy＋1)＝xy(xy－1)2；
(3)(x2＋4y2)2－16x2y2.
解：原式＝(x2＋4y2－4xy)(x2＋4y2＋4xy)＝(x－2y)2(x＋2y)2.
变式练习 分解因式：
(1)9a3b3－ab；(2)x4＋256；(3)－a＋2a2－a3.
解：(1)9a3b3－ab＝ab(9a2b2－1)＝ab(3ab＋1)(3ab－1)；
(2)－x4＋256＝(16＋x2)(16－x2)＝(16＋x2)(4＋x)(4－x)；
(3)－a＋2a2－a3＝－a(1－2a＋a2)＝－a(1－a)2.
【探究二：分组分解法】
1．阅读教材P77，完成下列问题：
什么是分组分解法？
答：因式分解有时无法直接用提公因式法或公式法分解因式，需先分组，分组后利用提公因式法或运用公式法继续分解，这种方法叫做分组分解法．
2．应用：【类型一】运用分组法分解因式
【例2】分解因式：
(1)a2＋4ab＋4b2－2a－4b；(2)x3＋16x2＋11x＋6.
解析：(1)前三项是完全平方形式，与－2(a＋2b)再提取公因式，分解因式即可；(2)把式子化成x3＋6x2＋9x＋2x＋6的形式，前三项首先提公因式x，即可利用完全平方公式分解，后边的两项可以提公因式，然后利用提公因式法分解，最后利用十字分解法分解即可．
解：(1)原式＝(a＋2b)2－2(a＋2b)＝(a＋2b)(a＋2b－2)；
(2)原式＝x3＋6x2＋9x＋2x＋6＝x(x＋3)2＋2(x＋3)＝(x＋3)[x(x＋3)＋2]＝(x＋3)(x2＋3x＋2)＝(x＋3)(x＋1)(x＋2)．
【类型二】运用分组法分解因式判定三角形的形状
【例3】已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可．
解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b) 2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．
【类型三】整体代入求值
【例4】已知x＋y＝7，x－y＝5，求x2－y2－2y＋2x的值．
解析：首先将前两项分组利用平方差公式分解因式，进而再提取公因式得出即可．
解：x2－y2－2y＋2x＝(x＋y)(x－y)＋2(x－y)＝(x－y)(x＋y＋2)，将x＋y＝7，x－y＝5代入上式得原式＝(x－y)(x＋y＋2)＝5×9＝45.
【类型四】分组分解法的综合应用
【例5】若m，n满足＋(n－4)2＝0，分解因式：(x2＋y2)－(mxy＋n)．
解析：首先根据非负数的性质求出m，n的值，代入式子，然后利用分组分解法进行分解．
解：由题意，得m＋2＝0，n－4＝0，解得m＝－2，n＝4.∴(x2＋y2)－(mxy＋n)＝x2＋y2－(－2xy＋4)＝x2＋y2＋2xy－4＝(x＋y)2－4＝(x＋y＋2)(x＋y－2)．
3．课堂练习：完成教材P77练习．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)分组分解法分解因式
某些多项式整体没有公式，也不符合公式，可将多项式进行分组，使各组符合提公因式或可以使用公式分解因式，且各组之间有公因式或符合公式从而将多项式因式分解．
(2)分组分解法分解因式的应用．
2．分层作业：
(1)教材P87复习题C组第2～3题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领．
