10.3 平行线的性质
1．经历探索直线平行的性质的过程，掌握平行线的三条性质，并能用它们进行简单的推理和计算．
2．能结合具体内容进行说理，初步养成言之有据的习惯．
重点：探索并掌握平行线的性质，能用平行线性质进行简单的推理和计算．
难点：能区分平行的性质和判定，正确利用平行线的性质解决有关问题．
一、情境引入
旧知回顾：
1．两直线平行的判定方法一共有哪几种？
答：判定1：同位角相等，两直线平行；
判定2：内错角相等，两直线平行；
判定3：同旁内角互补，两直线平行．
2．窗户的内窗的两条竖直的边是平行的，在推动过程中，两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1，∠2有什么数量关系？
解：∠1＝∠2.
二、新知探究
【探究一：平行线的性质】
阅读教材P129－130，完成下列问题：
平行线的性质有哪些？
答：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
范例1.如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，若∠BAD＝70°，那么∠ACD的度数为(A)
A．40° B．35° C．50° D．45°
变式练习1.如图所示，AB∥CD，∠D＝27°，∠E＝36°，则∠ABE的度数是__63°__．
(变式练习1图) (变式练习2图)
变式练习2.(河南中考)如图直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为(A)
A．55° B．60° C．70° D．75°
变式练习3.如图，直线l1∥l2，则∠α为(D)
A．150° B．140° C．130° D．120°
(变式练习3图) (变式练习4图)
变式练习4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是(C)
A．40° B．60° C．70° D．80°
【探究二：平行线的性质与判定的综合应用】
范例
2．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，FG⊥AC于点G，ED∥BC，试说明：∠1＝∠2.
3．
解：∵BD⊥AC，FG⊥AC，
∴BD∥FG，
∴∠2＝∠DBC，
∵ED∥BC，
∴∠1＝∠DBC，
∴∠1＝∠2.
变式练习5.
如图，点E为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D，试说明：AC∥DF，并在每步后面批注依据．
解：∵∠1＝∠2(已知)，
∠4＝∠2(对顶角相等)，
∴∠4＝∠1(等量代换)，
∴DB∥CE(同位角相等，两直线平行)，
∴∠C＝∠ABD(两直线平行，同位角相等)，
∵∠C＝∠D(已知)，
∴∠D＝∠ABD(等量代换)，
∴AC∥DF(内错角相等，两直线平行)．
课堂练习：完成教材P130练习1～3题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)平行线的性质．
(2)平行线的性质与判定的综合应用．
2．分层作业：
(1)教材P131习题10.3第1～4题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
平行线的性质是几何证明的基础，教学中注意基本的推理格式的书写，培养学生的逻辑思维能力，鼓励学生勇于尝试．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生在动口、动于、动脑中学数学．
10.4 平移
1．通过实例了解平移的概念．
2．理解并掌握平移的性质，并能按要求作出平移．
重点：理解平移的概念与性质，并会根据平移性质作图．
难点：对平移的性质理解与应用．
一、情境引入
如图，高铁在笔直的铁轨上向前运行，它的形状和大小发生了变化吗？
解：高铁的形状、大小没有发生变化．
二、新知探究
【探究一：平移的概念】
阅读教材P133－134，完成下列问题：
什么是平移？
答：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移．平移时，原图形上的所有点都沿同一个方向移动相同的距离，原图形上一点A平移后成为点A′，这样的两点叫做对应点．
范例1.有以下现象：①电梯的上下运动；②打气筒打气时，活塞的运动；③风扇叶的运动；④传送带上瓶装饮料的运动，其中属于平移的是__①②④__．(填序号)
变式练习1.将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是(A)
变式练习2.如图，②③④⑤⑥号中的第__⑥__号图案是通过第①号图案平移而得到的．
变式练习3.如图，图(2)是由图(1)平移得到的，它们分别有__3__对对应点，__3__对对应线段，其中点A对应点____D__，线段BC对应____EF__，∠BCA对应__∠EFD__.
变式练习4.平移方格纸中的图形(如图)，使点A平移到A′处，画出平移后的图形．
解：如图．
【探究二：平移的性质】
阅读教材P134，完成下列问题：
平移的性质是什么？
答：一个图形和它经过平移后所得的图形中，连接各组对应点的线段互相平行(或在同一条直线上)且相等，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
范例2.如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移2 cm得到，若AC＝3 cm，则A′C＝__1__cm__．
变式练习5.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4，△ABC的周长为14，将△ABC平移到△DEF的位置．
(1)指出平移的方向和平移的距离；
(2)求四边形ABFD的周长．
解：(1)平移的方向是沿AD(或者是沿BC)方向，平移的距离是4；
(2)根据平移的性质：
AD＝CF＝4，AC＝DF，
∵C△ABC＝AB＋BC＋AC＝14，
∴C四边形ABFD＝AB＋BF＋DF＋AD
＝AB＋BC＋CF＋AC＋AD
＝C△ABC＋CF＋AD
＝14＋4＋4
＝22.
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)平移的概念．
(2)平移的性质．
2．分层作业：
(1)教材P138习题10.4第1～2题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节课通过生活中的实例引入平移的概念，在学习中，引导学生分析、观察、概括得出平移的性质，并通过例题和练习加深对平移性质的理解．让学生作图，自主探究．平移的作图是本节课的重点，应让学生加强训练，结合解题中的错误分析原因，举一反三．
10.2 平行线的判定
第1课时 平行线的概念、基本事实及三线八角
1．了解平行线的定义，理解平行公理及推论．
2．正确认识同位角、内错角及同旁内角．
重点：应用平行公理与推论解决问题，辨别同位角、内错角及同旁内角．
难点：应用平行公理及推论解决实际问题．
一、情境引入
1．同一平面内，两条直线的位置关系有哪几种？
答：同一平面内，两条直线的位置关系为相交或平行．
2．数学来源于生活，生活中处处有数学，观察下面的图片，你发现了什么？
以上的图片中都有直线平行，这将是我们这节课学习的内容．
二、新知探究
【探究一：平行线的概念及其基本事实】
阅读教材P123－124，完成下列问题：
什么是平行线？关于平行线的基本事实有哪些？
答：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．关于平行线有如下基本事实：
1．经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线．
2．如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
范例1.在同一平面内(D)
A．不相交的两线段平行
B．不相交的两射线平行
C．线段与直线不平行就相交
D．不相交的两直线平行
变式练习1.三条直线a，b，c若a∥b，b∥c，则a__∥__c.
变式练习2.在同一平面内，不重合的3条直线的交点个数是(D)
A．1或3 B．0、1或3
C．0、2或3 D．0、1、2或3
【探究二：同位角、内错角、同旁内角】
1．阅读教材P124，完成下列问题：
同位角、内错角和同旁内角的特征是什么？
答：(1)同位角的特征是在两条被截直线的同侧，并且在截线的同旁．如图中∠1与∠2就是同位角；
(2)内错角的特征是在两条被截直线之内，并且在截线的两侧，如图中∠2和∠3就是内错角；
(3)同旁内角的特征是在两条被截直线之内，并且在截线的同侧，如图中∠2与∠4就是同旁内角．
2．应用：【例2】如图，直线AB，CD被DE所截，则∠1和__∠3__是同位角，∠1和__∠5__是内错角，∠1和__∠2__是同旁内角．
,(例2图)) ,(变式练习3图))
变式练习3.如图，图中各组角中判断错误的是(C)
A．∠1和∠2是同旁内角
B．∠3和∠4是内错角
C．∠5和∠6是同旁内角
D．∠5和∠8是同位角
变式练习4.如图，∠1和∠2是__同旁内角__．
,(变式练习4图)) ,(例3图))
【例3】如图所示，线段AD，BC，EF相交于点O.
(1)线段AB与CD被EF所截，∠OFD与∠AEF是__内错__角，∠CFO与∠BEO是__内错__角，∠OFD与∠BEO是__同旁内__角；
(2)线段AD与CD被EF所截，∠CFO与∠AOE是__同位__角，∠CFO与∠DOF是__内错__角．
3．课堂练习：完成教材P125练习1～3题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)平行线的概念和基本事实：
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．
经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线．
如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
(2)同位角、内错角和同旁内角的识别．
2．分层作业：
(1)教材P128习题10.2第1题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节课学习了两个内容：平行线的概念及基本事实和认识同位角、内错角、同旁内角．教学中可让学生自己画平行线，结合图形说出平行线的基本事实．“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角的识别是难点也是易错点，让学生在学习中不断纠错，不断进步．
第2课时 平行线的判定方法
【教学目标】
1．复习并巩固同位角、内错角及同旁内角的概念及辨别方法．
2．通过画平行线，理解平行线判定1、判定2、判定3，并进行应用．
重点：对平行线判定1、判定2、判定3的理解及应用．
难点：对平行线判定1、判定2、判定3的应用．
一、情境引入
用实际操作或多媒体课件演示画平行线的过程，想一想，在这个过程中，∠1与∠2的大小关系怎样，∠1与∠2是什么关系的角？
如图2，如果∠2＝∠3，能否得到a∥b；如果∠2＋∠4＝180°，能否得到a∥b?
学生讨论交流并展示．
二、新知探究
【探究一：两直线平行的判定方法1】
阅读教材P125－126，完成下列问题：
两直线平行的判定1是什么？
答：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行．
范例1.如图，已知∠3＝∠4，要得到AB∥CD，则需要的条件是(C)
A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠2 D．∠1＋∠2＝180°
,(范例1图) (变式练习1图)
变式练习1.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是(A)
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．两直线平行，同位角相等
【探究二：两直线平行的判定方法2】
阅读教材P126－127，完成下列问题：
1．两直线平行的判定2内容是什么？如何推导？
答：判定2内容：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行．
范例2.如图，能判定EB∥AC的条件是(D)
A．∠C＝∠ABE B．∠A＝∠EBD
C．∠C＝∠ABC D．∠A＝∠ABE
(范例2图) (变式练习2图)
变式练习2.如图：(1)若∠1＝∠2，则__AB__∥__EC__；
(2)若∠1＝∠3，则__AC__∥__ED__．
【探究三：两直线平行的判定方法3】
阅读教材P126～127，完成下列问题：
1．两直线平行的判定3内容是什么？如何推导？
答：判定3内容：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行．
2．如图，若∠3＋∠4＝180°，则a∥b吗？
解：∵∠3＋∠4＝180°，又∠1＋∠3＝180°，∴∠1＝∠4，∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．
范例3.如图，已知∠1＝70°，要使AB∥CD，则须具备的另一个条件是(C)
A．∠2＝70° B．∠2＝100°
C．∠2＝110° D．∠3＝110°
(范例3图) (变式练习3图)
变式练习3.如图，直线ED，AF交于点C，∠ECF＝138°，当∠A＝__42°__时，ED∥AB.
变式练习4.如图，推理填空：
(1)∵∠A＝∠__DEB__(已知)．
∴AC∥ED(__同位角相等，两直线平行__)；
(2)∵∠2＝∠__DFC__(已知)．
∴AC∥ED(__内错角相等，两直线平行__)；
(3)∵∠A＋∠__AFD__＝180°(已知)．
∴AE∥FD(__同旁内角互补，两直线平行__)；
(4)∵∠2＋∠__AFD__＝180°(已知)．
∴AC∥ED(__同旁内角互补，两直线平行__)．
3．课堂练习：完成教材P126练习1～3题，P127练习1～3题．
三、交流展示
略
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)同位角相等，两直线平行．
(2)内错角相等，两直线平行．
(3)同旁内角互补，两直线平行．
2．分层作业：
(1)教材P128习题10.2第2～4题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
解决几何题时，重在分析，应结合图形熟识题目给出的已知条件．本节课的易错点是学生容易混淆平行线的判定和性质，应着重强调：由角之间的关系得到平行，这是平行线的判定；由平行得到角之间的关系，这是平行线的性质．
第10章 相交线、平行线与平移
10．1 相交线
第1课时 对顶角及其性质
1．在具体情景中了解邻补角、对顶角，能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角．
2．理解对顶角相等，并能运用它解决一些问题．
重点：对顶角性质及其应用．
难点：对顶角性质的理解及应用．
一、情境引入
如图，若把剪刀的两部分看成是两条相交的直线，那么形成的角中小于平角的角有几个，你能发现它们之间的联系吗？
今天我们先来学习相交线的有关知识．
二、新知探究
【探究一：对顶角的概念】
阅读教材P116，完成下列问题：
如图，直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有什么关系？构成什么角？
解：∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边分别互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
范例1.下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是(C)
A B C D
变式练习1.下列说法中，正确的是(D)
A．有公共顶点，且方向相反的两个角是对顶角
B．有公共顶点，且又相等的角是对顶角
C．两条直线相交所成的角是对顶角
D．有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
变式练习2.如果三条直线AB，CD，EF相交于O点，图中∠COF的对顶角是__∠DOE__，∠COB的对顶角是__∠AOD__.
【探究二：对顶角的性质】
阅读教材P117，完成下列问题：
图中∠1和∠3的大小有什么关系？对顶角有什么性质？
解：由∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠2＝180°，得∠1＝∠3.由此可得对顶角的性质：对顶角相等．
范例2.如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝240°，则∠AOD＝__120°__．
,(变式练习1图)
变式练习1.如图，已知直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是(C)
A．20° B．40° C．50° D．80°
变式练习2.图中对顶角的组数为(A)
A．6 B．8 C．10 D．12
,(变式练习2图) ,(变式练习3图)
变式练习3.如图所示，直线AB、CD相交于点O.
(1)若∠1与∠2的差为20°，则∠AOC＝__80°__；
(2)若∠1∶∠2＝3∶2，则∠BOC＝__108°__．
变式练习4.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝40°，∠COF＝95°，则∠BOF＝__40°__，∠DOE＝__95°__，∠AOC＝__45°__；∠BOD＝__45°__.
课堂练习：完成教材P117练习1～2题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)对顶角的概念：两条直线相交，有公共顶点且两边分别互为反向延长线的两个角是对顶角．
(2)对顶角的性质：对顶角相等．
2．分层作业：
(1)教材P121习题10.1第1～2题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节课学习了对顶角及其性质．教学中可让学生自己画这些角，结合图形说出对顶角的特征．对顶角识别是易错点，可以结合例题进行练习，让学生在学习中不断纠错，不断进步．
第2课时 垂线及其性质
1．垂线的定义与垂线两个性质的理解和应用．
2．能画一点，作已知直线的垂线，利用垂线性质解决实际生活的应用．
重点：对垂线画法及垂线性质的应用．
难点：垂线性质在实际生活中的应用．
一、情境引入
将十字街口的两条道路看作两条直线，如图直线AB和CD相交于点O，形成4个角．如果∠AOC＝90°，那么其他3个角各是多少？为什么？
解：其他3个角均为90°，由对顶角相等，得∠AOC＝∠BOD＝90°，∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠AOD＝90°.
二、新知探究
【探究一：垂线的有关概念】
阅读教材P118，完成下列问题：
什么是两条直线互相垂直？什么是垂线？
答：在两条直线AB和CD相交所成的4个角中，如果有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作“AB⊥CD”，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
范例1.
如图所示，已知OA⊥OC于点O，∠AOB＝∠COD，试判断OB与OD的位置关系，并说明理由．
解：OB⊥OD，理由如下：因为OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°.因为∠AOB＝∠COD，所以∠COD＋∠BOC＝90°，所以∠BOD＝90°，所以OB⊥OD.
变式练习
如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为(C)
A．120° B．130°
C．135° D．140°
【探究二：垂线的画法】
1．阅读教材P118“操作”．
2．应用：
范例2.如图，平面上有三点A，B，C.
(1)画直线AB，画射线BC(不写作法，下同)；
(2)过点A画射线BC的垂线，垂足为G；过点A画直线AB的垂线，交射线BC于点H.
解析：根据垂线的画法“一落、二过、三画”画图即可．
解：如图所示．
方法归纳：“一落、二过、三画”：“一落”是指把三角板的一条直角边落在已知直线上；“二过”是指使三角板的另一条直角边过已知点；“三画”是指沿已知点所在的直角边画直线．
【探究三：垂线的性质和点到直线的距离】
1．阅读教材P119“观察”及P120，完成下列问题：
关于垂线的基本事实有哪些？什么叫点到直线的距离？
答：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
2．应用：
范例3.如图所示，修一条路从A村到B村，再到公路MN，怎样修才能使所修的路最短？画出线路图，并说明理由．
解析：连接AB，过点B作BC⊥MN即可．
解：连接AB，作BC⊥MN，C是垂足，线段AB和BC就是符合题意的线路图．因为从A到B，线段AB最短，从B到MN，垂线段BC最短，所以AB＋BC最短．
3．课堂练习：完成教材P120练习1～3题．
三、交流展示
1．组织学生以小组为单位进行有序展示(表演、口述讲解或板书)学习成果，并将疑难问题展示在黑板上，小组之间就上述问题“释疑”或“兵教兵”．
2．教师肯定点拨或矫正学生自学成果．
四、评价与反思
1．今天学习了什么？学到了什么？还有什么疑惑？有什么感受？
在学生回答的基础上，教师点评并板书：
(1)垂直的有关概念．
(2)垂线的画法，垂线的性质及应用．
(3)点到直线的距离．
2．分层作业：
(1)教材P121习题10.1第3～4题．
(2)完成“智慧学堂”相应训练．
五、教后反思
本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，一般都是垂直．垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性．对于垂线的概念和性质，要让学生理解记忆．
