人教版八年级下册数学专题系列：第19章 利用一次函数构建分段函数解决实际问题学案

第19章 利用一次函数构建分段函数解决实际问题

生活中许多函数问题在不同的自变量取值范围内对应着不同函数关系式。其图象常常是折线，这样的函数称为分段函数,如出租车的计费、水电的计费等，都是用分段函数来建立模型的实际问题，分段函数问题需转化为基本函数问题加以解决，常用到分类讨论的方法。
例1 在长方形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC,CD,DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积y,如果y关于x的函数图象如图②所,试回答下列问题:

(1)图①中AB= ，BC= 。
(2)图②中a= ，b= 。
3)求出y与x之间的函数关系式
思路点拔
根据图②提供的信息与图①点P的运动路线对照起来分析，不难发现图②中OE对应着点P从B运动到C，EF对应着点P从C运动到D，FG对应着点P从D运动到A，所以点P从B运动到点C的距离为4；从点C运动到点D的距离为9-4=5.
解：(1)AB=5，BC=4 (2)a=13，b=10
(3)由条件可得:O(0,0)，E(4,10)，F(9,10)，G(13,0)
设OE为y=kx(k1≠0),，则有10=4k1，k=5/2，故y=5x/2
9k2+b=I0 k2=-5/2
设FG为y=k2x+b(k2≠0),则有 解方程组得
13k2+b=0 b=65/2
则 y=-5x/2+65/2
5x (0≤x≤4),
那么y与x的函数关系式为y= 10 (4 -5x/2+65/2 (9≤x≤13)
思维拓展
解答本题，求出了AB=5，BC=4后，还可以这样思考：
（1）0≤x≤4时，点P 在BC上.

∴y=1/2·5·x=5x/2。
（2）4
∴y=1/2·5·4=10。
（3）9≤x≤13时，点P 在DA 上，

∴y=1/2·5·(13-x)=-5x/2+65/2
例2 如图①，某容器由A,B,C三个长方体组成，其中A,B,C的底面积分别为25cm2，10cm2，5cm2，C的容积是容器容积的1/4(容器各面的厚度忽略不计)。现以速度v(单位:cm3/s)均匀地向容器内注水,直到注满为止，图②是注水全过程中容器内的水面高度h(单位:m)与注水时间t(单位:s)的函数图象。

(1)在注水过程中注满A所用时间为 s，注满B用了 s；
(2)求A的高度hA及注水的速度v;
(3)求注容器所需时间及容器的高度。
思路点拨：由容器的形状可知，水面上升速度越来越快，但每一段都是匀速上升的，图象的“转折点”即对应容器的“转折点”。图②是一个分段函数的图象，对比图①，理解每段图象的意义是解题的基础。
解：(1)10，8
25hA=10v, hA= 4
(2)由题意,得 解得
10(12-hA)=8v, v=10
则A的高度hA为4cm，注水速度v为10cm3/s.
(3)5hC=(5hc+18×10)，得hc=12cm
从而知容器的高度为24cm，注满容器所需时间为(5×12+18×10)÷10=24s
思维拓展
1.弄清实物图与图象的对应关系：
A部分→线段OA；B部分→线段AB；C部分→线段BC
2.弄清特殊点的坐标的意义，提取解题的有效信息。
(1)A(10,hA)→注满A部分用了10秒，A容器的容积为10vcm3，故有25hA=10v(即注水的体积等于容器A的容积)。
(2)B(18,12)→注满到B部分用了18秒，其中注满B用时18-10=8秒，B容器的容积为8vcm3,由此,可得到10(12-hA)=8v。
3.在题干中提取关于容器C的有效信息，即C容器的容积是容器容积的1/4，依此可构建关于C容器的高度hc的方程,求解hC,这里总容积为(10×18+5hc)cm3.
例3某校部分住校生放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个水龙头，后来因故关闭一个水龙头，假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y(升)与接水时间x(分钟)的函数关系如图所示。

(1)根据图象中信息,请你写出一个结论；
(2)试写出y与x之间的函数关系式；
(3)问前15位同学接水结束共需要几分钟?
思路点拔：观察图象，分清锅炉中的水量与时间的关系，建立分段函数解析式求解。
解：(1)锅炉内原有水96升，接水2分钟，锅炉内的余水量为80升；接水4分钟后锅炉内的余水量为72升；前2分钟的水流量为每分钟8升。
(2)当0≤x≤2时,设函数解析式为y=k1x+b1(k1≠0)
b1=96
把x=0，y=96和x=2，y=80代入，得 2k1+b1= 80
解得：k1=-8，b1=96
则y=-8x+96
当x>2时,设函数解析式为y=k2x+b2(k2≠0)
2k2+b2=80
把x=2，y=80和x=4，y=72代人得，4k2+b2=72
解得：k2=-4，b2=88
则y=-4x+88.
-8x+96 (0≤x≤2),
那么y=
-4x+88 (x>2)
(3)因为前15位同学接完水时的余水量为96-15×2=66升，故接水的时间x>2，所以在y=-4x+88中,令y=66，得66=-4x+88，x=5.5
即前15位同学接完水需5.5分钟。
思维拓展
1.弄清特殊点的意义
(1)点A(0,96)——接水前,锅炉水量96升;
(2)点B(2,80)——2分钟后,锅炉有水80升,说明两个水龙头2分钟放掉水16升,每个水龙头每分钟放水4升;
(3)点C(4,72)——4分钟后,锅炉有水72升,说明一个水龙头2分钟放掉水8升,此时,一个水龙头每分钟放水4升;
2.函数图象是一条折线说明不能用一个式子来表示y与x之间的关系,应分两段来描述,第一段在0≤x≤2内,第二段在x>2内;
3.弄清15人接水后,余水总量在分段函数中的哪一段,从而可以计算出接水时间。

例4 (中考)为发展旅游经济，某景区采用灵活售票的方法吸引游客，门票定价为50元/人，非节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票。即m人以下(含m人)的团队按原价
售票；超过m人的团队。其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票。设某旅游团人数为x人，非节假日购票款为y1元)，节假日购票款为y2(元)，y1，y2与x之间的函数图象如图所示。

(1)观察图象可知:a= ，b= ，m= 。
2)直接写出y1,y2与x之间的函数关系式;
(3)某旅行社导游王娜于5月1日带A团,5月20日(非节假日)带B团都到该景区旅游,共付门票1900元,A,B两个团队合计50人,求A,B两个团队各有多少人?
思路点拨：本题应注意y2是一条折线，发映出的函数关系是分段函数关系。
解：（1）∵300/(50×10)=0.6，
∴非节假日打6折，a=6；
∵(900-500)/ [50×(20-10)]=0.8，
∴节假日打8折，b=8;
由图可知，10人以上开始打折，所以m=10.
（2）设y1=k1x，
∵函数图像经过点（0,0）和（10,300），
∴10 k1=300
∴k1=30，则y1=30x
0≤x≤10时，设y2=k2x，
∵函数图像经过点（0,0）和（10,500），
∴10 k2=500，
k2=50，则y2=50x
x＞10时，设y2=kx+b，
∵函数图像经过点（20,900）和（10,500），
∴ 10k+b=500
20k+b=900
解得：k=40，b=100
∴y2=40x+100；
∴y2= ；
（3）设A团有n人，则B团的人数为（50- n），
当0≤n≤10时，50n+30（50-n）=1900，
解得n=20(不符合题意舍去)，
当x＞10时，40n+100+30（50-n）=1900，
解得n=30，
∴50- n=20.
所以，A团有30人，B团有20人。
思维拓展
(1)根据函数图象,用购票款数除以定价的款数,计算即可求出a的值;用第11人到20人的购票款数除以定价的款数,计算即可求出b的值,由图可求m的值。
(2)利用待定系数法求正比例函数解析式求出y1,分ⅹ≤10与X>10,利用待定系数法求一次函数解析式求出y2与X的函数关系式即可;
(3)设A团有n人,表示出B团的人数为(50-n)，然后分0≤n≤10与n>10两种情况,根据(2)的函数关系式列出方程求解即可。