上海市控江中学2018学年高二年级下学期数学期末考试卷（word版）

2018学年控江中学高二年级下学期期末卷
一、填空题
1．设直线l：x+y﹣2＝0的倾斜角为α，则α的大小为　 　
2．已知复数z满足（1+2i）?（1+z）＝﹣7+16i，则z的共轭复数　 　
3．在3男2女共5名学生中随机抽选3名学生参加某心理评测，则抽中的学生全是男生的概率为　 　（用最简分数作答）
4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为　 　

5．在半径为1的球面上，若A，B两点的球面距离为，则线段AB的长|AB|＝　 　
6．双曲线H的渐近线为x+2y＝0与x﹣2y＝0．若H经过点P（2，0），则双曲线H的方程为　 　
7．设圆x2+y2＝1上的动点P到直线3x+4y﹣10＝0的距离为d，则d的最大值为　 　．
8．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的总体方差为3，则另一组数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的总体方差为　 　
9．空间直角坐标系中，两平面α与β分别以（2，1，1）与（0，2，1）为其法向量，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为　 　（写出一个方向向量的坐标）
10．四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝AD＝BC＝BD＝4，则异面直线AB与CD的夹角为　 　
11．若复数z满足|1﹣z|?|1+z|＝2，则|z|的最小值为　 　
12．关于旋转体的体积，有如下的古尔丁（guldin）定理：“平面上一区域D绕区域外一直线（区域D的每个点在直线的同侧，含直线上）旋转一周所得的旋转体的体积，等于D的面积与D的几何中心（也称为重心）所经过的落程的乘积”．利用这一定理，可求得半圆盘，绕直线x旋转一周所形成的空间图形的体积为　 　

二、选择题
13．若一圆柱的侧面积等于其表面积的，则该圆柱的母线长与底面半径之比为（　　）
A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1
14．已知z1，x2∈C．“z1═z2＝0”是“|z1|+z22＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
15．参数方程（θ∈R）表示的曲线是（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
16．设（x1，x2，x3，x4，x5）是1，2，3，4，5的一个排列，若（xi﹣xi+1）（xi+1﹣xi+2）＜0对一切i∈{1，2，3}恒成立，就称该排列是“交替”的．“交替”的排列的数目是（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
三、解答题
17．已知m是实数，关于x的方程E：x2﹣mx+（2m+1）＝0．
（1）若m＝2，求方程E在复数范围内的解；
（2）若方程E有两个虚数根x1，x2，且满足|x1﹣x2|＝2，求m的值．
18．已知椭圆E的方程为y2＝1，其左焦点和右焦点分别为F1，F2，P是椭圆E上位于第一象限的一点
（1）若三角形PF1F2的面积为，求点P的坐标；
（2）设A（1，0），记线段PA的长度为d，求d的最小值．
19．设λ是正实数，（1+λx）20的二项展开式为a0+a1x+a2x2+……+a20x20，其中a0，a1，……，a20均为常数
（1）若a3＝12a2，求λ的值；
（2）若a5≥an对一切n∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范围．
20．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝m，点M是棱CD的中点．
（1）求异面直线B1C与AC1所成的角的大小；
（2）是否存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直？说明理由；
（3）设P是线段AC1上的一点（不含端点），满足λ，求λ的值，使得三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等．

21．设抛物线Γ的方程为y2＝4x，点P的坐标为（1，1）．
（1）过点P，斜率为﹣1的直线l交抛物线Γ于U，V两点，求线段UV的长；
（2）设Q是抛物线Γ上的动点，R是线段PQ上的一点，满足2，求动点R的轨迹方程；
（3）设AB，CD是抛物线Γ的两条经过点P的动弦，满足AB⊥CD．点M，N分别是弦AB与CD的中点，是否存在一个定点T，使得M，N，T三点总是共线？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．


一、填空题
1．．
2． 4﹣6i．
3． ．
4．arctan．
5． ．
6． 1．
7． 3．
8．12．
9．（，1，﹣2）．
10． ．
11．1．
12．显然半圆的几何中心在半圆与x轴的交线上，设几何中心到原点的距离为x，则由题意得：
2πx?（），解得x，
所以几何中心到直线x的距离为：，
所以得到的几何体的体积为：V＝（2π）?（）＝2π．
二、选择题
13．B
14．A
15．A
16．D
三、解答题
17．（1）当m＝2时，x2﹣mx+（2m+1）＝x2﹣2x+5＝0，
∴x，∴x＝1+2i，或x＝1﹣2i．
∴方程E在复数范围内的解为x＝1+2i，或x＝1﹣2i；
（2）方程E有两个虚数根x1，x2，
根据实系数多项式虚根成对定理，不妨设x1＝a+bi，则x2＝a﹣bi，
∴x1+x2＝2a＝m，，∴
∵|x1﹣x2|＝|2bi|＝2，∴b2＝1，∴，
∴m＝0，或m＝﹣8．
18．椭圆E的方程为y2＝1，其左焦点和右焦点分别为F1，F2，
所以：椭圆的顶点坐标（±2，0）；（0，±1），焦点：F1（，0），F2（，0），
|F1F2|＝2；
P是椭圆E上位于第一象限的一点，设P（x，y）；2≥x＞0，y＞0；
（1）若三角形PF1F2的面积为，即：S△PF1F2|F1F2|×y；
解得：y，
因为P是椭圆E上位于第一象限的一点，满足椭圆的方程，代入椭圆方程得：
x＝1，
所以：点P的坐标P（1，）；
（2）设A（1，0），记线段PA的长度为d，P是椭圆E上位于第一象限的一点，
设P（x0，y0）；2≥x0＞0，y0＞0；
所以：d．
当2≥x0＞0，x0时，d有最小值，
d的最小值d．
19．（1）通项公式为Tr+1＝Cλr?xr，r＝0，1，2，…，20．
∴由a3＝12a2得，Cλ3＝12Cλ2，解得λ＝2．
（2）假设第r+1项系数最大，依题意得，解得r，
∴∴，解得λ．
20．（1）连接BC1，由四边形BCC1B1为正方形，可得B1C⊥BC1，
又ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，
∴B1C⊥平面ABC1，而AC1?平面ABC1，∴B1C⊥AC1，
即异面直线B1C与AC1所成的角的大小为90°；
（2）存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直．
事实上，当m时，CM，
∵BC＝1，∴，则Rt△ABC∽Rt△BCM，
则∠CAB＝∠MBC，
∵∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠MBC+∠ACB＝90°，即AC⊥BM，
又CC1⊥BM，AC∩CC1＝C，∴BM⊥平面ACC1，则BM⊥AC1，
同理可证AC1⊥D1M，
又D1M∩BM＝M，∴直线AC1⊥平面BMD1；
（3）∵，
，
设AC1 与平面B1CD1 的斜足为O，则AO＝2OC1，
∴在线段AC1上取一点P，要使三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等，
则P为AO的中点，即λ．

21．（1）根据条件可知直线l方程为y＝﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2＝0，
联立，整理得x2﹣8x+4＝0，
则xU+xV＝8，xUxV＝4，
所以线段UV?|xU﹣xV|?4；
（2）设R（x0，y0），Q（x，y），则（x0﹣1，y0﹣1），（x﹣x0，y﹣y0），
根据2，则有2（x﹣x0）＝x0﹣1，2（y﹣y0）＝y0﹣1，所以x，y，
因为点Q在抛物线Γ上，所以（）2＝4?，整理得（3y0﹣1）2＝8（3x0﹣1），
即点R的运动轨迹方程为（3y﹣1）2＝8（3x﹣1）；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
根据题意直线AB，CD的斜率存在且不为0，不妨设AB的方程为y＝k（x﹣1）+1，
联立，整理得k2x2﹣2（k2﹣k+2）x+（1﹣k）2＝0，
则x1+x2，所以可得M（，），同理可得N（1+k+2k2，﹣k），
则kMN
所以直线MN的方程为y[x﹣（1+k+2k2）]﹣k（x﹣3），即直线MN必过点（3，0），
故存在一个定点T（3，0），使得M，N，T三点总是共线．