六年级数学下册教案- 4.2.1 正比例 人教版

人教版六数下册“正比例”教学设计

教学目标：
使学生经历从具体实例中认识成正比例的量的过程，理解正比例的意义，掌握成正比例的量的变化规律，能正确判断两种相关联的量是否成正比例关系。通过实际操作，使学生了解正比例图像的特征，并能根据图像解决相关问题。在合作探究中，通过观察、思考、操作、分析、归纳、交流等活动提高学生的抽象概括能力和分析判断能力。同时渗透函数思想和数形结合思想，感受正比例关系的生活应用。学习正比例为后面学习反比例，以及中学学习函数打下良好基础。
教学重点：
理解正比例的意义，能根据数量关系式或图象正确判断两种量是
否成正比例关系。
教学难点：
能根据数量关系式或图象正确判断成正比例的量，并能解决一些
实际问题。
教学过程：
创设情境，激趣导入
猜谜导入：请同学们看图来猜几个成语——第一个（水涨船高），第二个（风吹草动），第三个（水滴石穿），并说说这几个成语有什么共同特点？
根据学生的回答，教师归纳：像这样“一种事物变化，另一种事物也随着变化”，我们就说这两种事物是两种相关联的事物，在数学里，我们把它叫做两种相关联的量。
接下来师生共同找寻生活中两种相关联的量的例证。
教师抛砖引玉，出示表一：
一周天气变化情况统计
星 期
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
天气状况
晴
阴
阴
晴
阴
晴
晴
让学生判断表中星期和天气状况是不是两种相关联的量，学生观察得出：因为天气状况不受星期影响，天气状况不会随着星期几的变化而变化，所以它们不是两种相关联的量。
然后请学生自己列举出生活中两种相关联的量，教师加以肯定，并进一步强调两种相关联的量必须是：一种量变化，另一种量也随着变化。（投影出示）
【设计意图】正比例，讲的是一种量扩大或缩小，另一种量随之扩大或缩小，这不正是“水涨船高”的表现吗？于是，我就用几个类似成语激趣导入新课，激发学生学习兴趣。
二、小组合作，探究新知
1.分组探究
采取同桌合作方式来探究两种相关联的量之间的变化规律。各组拿到的是表二和表三这两张表格中的其中一张，让各组利用手中的表格，按照下面这个讨论提纲来进行探究。
表二：
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/m
1
2
3
4
5
6
7
8
...
总价/元
3.5
7
10.5
...
表三：
一辆汽车行驶的时间和路程如下表。
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
8
...
路程/km
80
160
240
...
讨论提纲：
（1）找一找：表中有哪两种量？它们是不是两种相关联的量？
（2）写一写：①请把表格填写完整。
②请写出几组两种量中相对应的两个数的比，并
求出比值，再写出一个式子表示它们的关系。
说一说：表中两种量的变化规律是怎样的？
【设计意图】以学生常见的数量关系入手，以表格并附思考问题的形式出现，激起学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲，让学生边填边思，为学生积极参与后面的学习活动打下基础。
逐一汇报
（1）先请研究表二中数量和总价两种相关联的量的变化规律的一个小组到前面来汇报他们发现的规律。
预设生1：我们研究的是表中有数量和总价两种相关联的量。总价随着数量的变化而变化。从左往右看，数量扩大，总价随着扩大；从右往左看，数量缩小，总价也随着缩小。
我们写了三组相对应的总价和数量的比，发现它们的比值都是3.5。

此时让这个学生讲明比值3.5的意义，预设得出：比值3.5，实际就是彩带的单价，接着进一步让该生解释关系式是怎么得到的？预设得出：根据这组相对应的总价与数量的比值都一样，得到。
生答后师归纳：相对应的总价与数量的比值都一样，在数学上叫做“一定”，所以必须在单价后面写上“一定”二字。
教师指着（） 提问：相对应的总价和数量的比还可以怎么写？
生答后进一步提问：28：6可以吗？为什么？
强调：必须是总价与数量两种量中相对应的两个数的比，才能保证比值都是3.5，也就是比值一定。
（2）核查各组研究情况，然后让研究表三中路程与时间的变化规律的小组到前面来汇报。
方法同研究表二中数量和总价两种相关联的量的变化规律。
预设生2：表中有时间和路程两种相关联的量。路程随着时间的变化而变化。从左往右看，时间扩大，路程随着扩大；从右往左看，时间缩小，路程也随着缩小。我们写了三组相对应的路程和时间的比，发现它们的比值都是80。

比值80实际就是速度。用式子表示它们的关系就是：

教师展示有的组写出的两种量中相对应的两个数的比是：
，让学生回答得到的这个比值表示什么意义，并展示关系式 ，说明这也是正确的。不过为了方便，告诉学生还是写成比较好。
3.对比探知
把刚才探究的两张表的结论放在一起，请前后四人对比一下它们有什么共同特点？（学生自由说，小组内总结。）
预设生答：每一组材料中的两种量都是两种相关联的量，一种量扩大（或缩小），另一种量也扩大（或缩小），而且两种量中相对应的两个数的比值都一样，也就是比值一定，这样我们就可以用数量关系式来表示：

【设计意图】通过上面两个例子，学生虽然不能用准确的数学语言进行描述,已经对正比例的意义有所感悟了，通过概括相同点，学生能够更清晰地看到了正比例意义中的变化与不变。
4.揭示概念：
教师引导学生得出：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。这就是我们今天要学习的内容——正比例（贴板书）
让学生从这段话中归纳出正比例有哪些特征？
根据学生的回答，教师归纳板书
两种变量
特征 同扩同缩
比值一定
掌握了正比例的意义，根据这个关系式，我们说彩带的单价一定，总价和数量就是成正比例的量，总价与数量成正比例关系。
让学生根据这个关系式，仿照上面说出：一辆汽车的速度一定，路程和时间是成正比例的量，路程与时间成正比例关系。
尝试练习
师：下面我们依据正比例的意义来填一填。 （投影出示）
（1）长沙造纸厂的生产情况如下表，根据表回答问题
时间/天
1
2
3
4
5
6
7
8
···
总产量/吨
70
140
210
280
350
420
490
560
···
表中总产量和时间是两种（ ）的量。它们的比的比值表示（　 　　），这个比值（ ）。所以，（　　 ）和（　 　）成（ ）关系。
圆的周长和它的直径的变化情况如下表。
圆的直径/厘米
1
2
3
4
···
圆的周长/厘米
∏
2∏
3∏
4∏
···
（ ）
因为 = （ ）（ ）
（ ）
所以 （　　 ）和（　 　）成正比例关系。
通过做题让学生看到：不仅总产量和时间这样的两种事物成正比例关系，圆的周长和它的直径也成正比例关系。接着请学生找找生活中、几何形体中、数学运算中正比例关系的例子，并通过举例，让学生知道判断两种相关联的量成不成正比例的关键是看这两种量的比值是不是一定。
6.认识字母表达式
像这样， 、...表示两种量的比值一定的关系式能写出很多很多，为了方便，我们可以用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：
（板书）
请学生一起来读一下这个表示正比例关系的字母表达式。
【设计意图】通过合作探究两例“正比例”意义教学素材的反馈，让学生感悟其基本特征，从而由两个具体数学现象归纳抽象出数学结论，让学生经历这个过程，丰富他们的数学体验，实现“用教材教”而不是“教教材”这一新课程理念的转变。
7.学习正比例图像 （课件出示完成后的表二）
数量/m
1
2
3
4
5
6
7
8
...
总价/元
3.5
7
10.5
14
17.5
21
24.5
28
...
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
（1）学生描点
师：同学们知道吗，正比例关系还可以用图像来表达。在方格图上所画的横轴表示购买彩带的数量,纵轴表示购买彩带的总价。
请大家拿出课前发的方格图，把表格中的两种量中相对应的两个数都看作一个数对，仿照以前所学制作折线统计图的描点方法，在方格图中找出相应的点，并依次描出这些点。
师投影演示描点过程。
（2）认识图像上的点：想一想，图中的各个点都表示什么？
强调每个点都表示购买彩带的总价和数量的一组对应数值。
（3）认识图像的形状
问：这个0点，可用数对（0,0）表示，（0,0）表示什么呢？
生：购买彩带数量为0，总价也是0
师：虽然数量和总价都为0，但这个关系是存在的，所以我们在顺次连接所描点时，要从（0,0）出发。请你们把所描点顺次连接起来，发现什么？
图中所描的点都在同一条线段上。
【设计意图】学生通过动手操作，一步步描出正比例图象，直观感受到它的图象是一条射线，而这条射线上的每一个点都对应着一组相关联的量，利用这种数形结合的方法可以让学生更直观地解决问题，并体会到函数的思想和数形结合的数学思想。
（4）引申意义
如果再增加两个点——把数对（10,35）和（12,42）所在的点描出来，并和上面的图像连起来并延长，你能发现什么？
生答后师小结：彩带数量没有最大值，所以这条线可无限伸长。?
概括正比例图像的特征
因此，正比例图像是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线。这条线上所有点所对应的两种量的比值都相等。

（6）应用图像练习
①不计算，根据图像判断，如果买9m彩带，总价是多少？49元能买多少米彩带？（投影演示）
提问：你是怎么找到的？
此题是让同学们学会根据其中一个量的值估计另一个量的值。
②小桐买的彩带的米数是小华的2倍，他花的钱是小华的几倍？
【设计意图】通过学生小组讨论、总结、汇报、师生交流后概括出的数学新知，再通过用图像直观表达正比例关系，进一步验证学习正比例关系的两个量用图像表示的情况，以帮助学生构建立体的概念模型。师生的平等交流与探讨，激起情感共鸣，增强课堂的活力。
三、分层训练，逐步提升
智力闯关第一关——缜密思考，准确判断
先用一个式子表达题意，再判断两个量是否成正比例关系
（1）每人植树棵数一定，参加植树人数和植数总棵数。?
（2）圆柱的体积一定，圆柱的底面积与高。
（3）书的总页数一定，未读的页数与已读的页数。
（4）分母一定，分子和分数值。
智力闯关第二关——反复比较，精心选择
（1）下列选项中的两个量成正比例的是（ ）。
A. 罗欣的身高和体重
B. 圆柱的侧面积一定，它的底面周长和高
C. 正方形的面积和它的边长
D. 出油率一定，花生油的质量与花生的质量
（2）表示x与y成正比例关系的式子是（ ）。
A. B. C. D. =
（3）下面的图像表示居民用水吨数及应交水费的情况。
根据图像中提供的数据，计算小刚家用9吨水，应交
水费（ ）元。
A. 35 B. 40 C. 45 D. 50
智力闯关第三关——细心研读，拓展填空
已知与成正比例关系，=3时，=7.5，那么=12.5
时，=( )。
（2）有、、是三个相关联的量，并有·=。?　　 当（ ）一定时，（ ）和（ ）成正比例。
当（ ）一定时，（ ）和（ ）成正比例。
一辆汽车行驶的时间和路程如下表。
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
8
...
路程/km
80
160
240
320
400
480
560
640
...
四、课堂总结，拓展延伸
师：今天你都学会了什么内容？
让学生根据板书内容归纳、总结所学内容，教师加以指导。
布置作业，课外延伸
请同学们利用课余时间继续寻找身边的两种相关联的量成正比例关系的例证，并编成相关练习题，下节课我们大家一起交流。
板书设计
正比例
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，
如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量
就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
两种变量
同扩同缩
比值一定