人教版数学九年级下册?同步课时训练
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第5课时 直角三角形相似的判定
自主预习 教材感知
要点 直角三角形相似的判定
1. 有一锐角 的两个直角三角形相似；
2. 有两组直角边对应 的两直角三角形相似；
3. 有斜边与一直角边对应 的两直角三角形相似．
课后集训 巩固提升
1. 现有下列判断：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④有两边成比例的两个直角三角形相似．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，下列条件不能判断它们相似的是( )
A．∠A＝∠B′
B．AC＝BC，A′C′＝B′C′
C．AB＝3BC，A′B′＝3B′C′
D．△ABC中有两边长为3，4，△A′B′C′中有两边长为6，8
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝1，则AD的长是( )
A．1 B. C．2 D．4
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4.点P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，点D为线段PQ的中点．当BD平分∠ABC时，AP的长度为( )
A. B. C. D.
5. 如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为( )
A．18 B. C. D.
7. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是AC的中点，且AB＝5，AC＝4，过点E作EF⊥AB交AB于点F，则AF＝ ．
9. 如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED＝1，BD＝4，那么AB＝ .
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点P在DC上，当AP＝ 时，△ADP∽△ABC.
11. 如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10.四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D，E，F在三角形的边上)．则此正方形的面积是 ．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ ．
13. 如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，BC＝a，AC＝b.问当BD与a，b之间满足怎样的关系式时，△ABC∽△CDB.
14. 如图，在矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F.
(1)△ABE与△ADF相似吗？请说明理由．
(2)若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．
15. 如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找到点N(不与点A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似？若能，找到点N的位置；若不能，请说明理由．
16. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC边上一点，AD⊥DE，且DE交AB于点E，过C作CF⊥AB，交AD于点G，F为垂足．
(1)求证：△ACG∽△DBE；
(2)当CD＝BD，BC＝2AC时，求.
参 考 答 案
自主预习 教材感知
要点 1. 相等 2. 成比例 3. 成比例
课后集训 巩固提升
1. B 2. D 3. D 4. B 5. C 6. B 7. C
8.
9. 4
10.
11. 25
12. 3
13. 解：∵∠ABC＝∠CDB＝90°，∴当＝时，△ABC∽△CDB，即＝，BD＝.因此，当BD＝时，△ABC∽△CDB.
14. 解：(1)△ABE∽△DFA.理由如下：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DAF＝∠AEB，又DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B，∴△ABE∽△DFA.
(2)在Rt△ABE中，∵AB＝6，BE＝8，∴AE＝10.∵△ABE∽△DFA，＝，∴＝，∴DF＝7.2.
15. 解：能找到符合题意的点N的位置．证明如下：分两种情况讨论：①若△CDM∽△MAN，则＝.∵边长为a，M是AD的中点，∴DM＝MA＝a，AN＝，∴AN＝a. ②若△CDM∽△NAM，则＝.∵边长为a，M是AD的中点，∴AN＝a，即N点与B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N(不含A，B)，使得△CDM与△MAN相似．当AN＝a时，N点的位置满足条件．
16. (1)证明：∵AD⊥DE，CF⊥AB，∴∠ADE＝∠AFC＝90°.∵∠CAB＋∠B＝90°，∠CAF＋∠ACF＝90°，∴∠B＝∠ACG.∵∠BDE＋∠ADC＝90°，∠CAG＋∠ADC＝90°，∴∠BDE＝∠CAG，∴△ACG∽△DBE.
(2)解：∵CD＝BD，BC＝2AC，∴AC＝CD，∴∠ADC＝45°，∴∠BDE＝45°.作EH⊥BD于点H，设DH＝EH＝x，则DE＝x，设BD＝CD＝a，则AD＝a，BH＝a－x.由△ABC∽△EBH，得＝，即＝，解得x＝，∴DE＝，∴＝＝.
