2019-2020学年度第一学期高一自招班期末考试
数学答案
答案：1-5ADBDB
6-10CBBCB
11-12BD
14.(x+1)2＋(y－2)2＝5
15.6
16.［-+kπ,
+kπ］(k∈Z)
解：（1）由得，，
此时，解得；
（2）最小正周期，
由，解得，
所以单调递增区间
18.(1)因为，所以又
所以，所以所以
所以，即，故为等腰三角形.
（Ⅱ）因为，所以，设，因为
所以，所以，所以，，所以
19.解:(1)将的图象上所有点横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到
的图象,则,
又,则,
所以当,即时取得最小值,
当时即时取得最大值,
所以函数的值域为.
(2)因为,所以,
则,
又,
则,
所以.
20.（1）连结.
因为M，E分别为的中点，所以，且.
又因为N为的中点，所以.
由题设知，可得，故，
因此四边形MNDE为平行四边形，.
又平面，所以MN∥平面.
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得，，所以DE⊥平面，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面，故CH的长即为C到平面的距离，
由已知可得CE=1，C1C=4，所以，故.
从而点C到平面的距离为
点B到平面的距离为
∴sinθ=
21.解：（Ⅰ）l与m垂直，且，，又，
所以当l与m垂直时，l必过圆心.
（Ⅱ）①当直线与x轴垂直时,
易知符合题意
②当直线与x轴不垂直时,
设直线的方程为，即，
因为，所以，则由，得
直线：.
从而所求的直线的方程为或
（Ⅲ）因为CM⊥MN,
当与x轴垂直时，易得，则,又,
当的斜率存在时，设直线的方程为，
则由，得（）,则
=
综上，与直线l的斜率无关，且.
22.
(1)
a=1
f(x)=
∴
∵
∴①
2-x=(x-1)2
∴
或（舍去）
②
∴x2-3x+3=0
综上所述：
（2）ⅰ研究函数g(x)=与y=x-a的图像在（1，+∞）上的公共点
当a=0时，不合题意。
当a>0时，x
若直线y=x-a与g(x)=相切满足题意，所以即
所以
所以
若直线y=x-a与g(x)=,
经过点满足题意，所以
所以
当a<时，
此时直线y=x-a与g(x)=
有且只有一个交点题意不符
综上可知：或
ⅱ当时，所以
当时，所以2019-2020
学年度第一学期高一自招班期末考试
数学试题
（时间：120分钟
分值：150分
命题人：郭干军
审题人：付堂文）
A.
B.
一．选择题（60
分）
1.已知集合
A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（X-1）（x+2）＜0｝,则
A∩B=（
）
A.｛--1,0｝
B.｛0,1｝
C.｛-1,0,1｝
D.｛,0,，1，2｝
2.已知向量a
=
(1,m)，a=(3, 2)，且
(a+
b)
⊥
b，则
m=（
）
C.
D.
A.－8
B.－6
C.6
D.8
9.如图，已知矩形
中，
，
，该矩形所在的平面内一点
满足
，记
，
1
3.若将圆锥的高扩大到原来的
2
倍，底面半径缩短到原来的2，则圆锥的体积（
）
1
，
，则（
）
A．扩大到原来的
2
倍
B．缩小到原来的一半
C．不变
D．缩小到原来的6
4.直线
xcos
+
y
+
b
=
0的倾斜角的取值范围是
(
)
3
3
3
A．[0,
)
B．[
,
)
(
,
]
C．[
,
]
D．[0,
]
[
,
)
4
2
2
4
4
4
4
4
5.函数
的零点所在区间
A.
存在点
，使得
B.
存在点
，使得
A.
B.
C.
D.
C.
对任意的点
，有
D.
对任意的点
，有
2
6.
是第二象限角，
P
(x,
5
)为其终边上一点且cos
=
x，则
x的值为
(
)
4
10.存在函数
满足对任意
都有(
)
A.
3
B.
3
C.
3
D.
2
A.
B.
C.
D.
7.下列命题中错误的是
(
)
11.在棱长为
1
的正方体
ABCD
A1B1C1D1
中，E,
F
分别为棱
A1D1，C1D1的中点，N
为线段B1C
的中
点，若点P,
M
分别为线段D1B,
EF
上的动点，则PM
+PN
的最小值为（
）
A.
如果
⊥
，那么
内一定存在直线平行于平面
3
2
2
6
+
2
3
+1
A．1
B．
C．
D．
B.
如果
⊥
4
4
2，那么
内所有直线都垂直于平面
C.
如果平面
不垂直平面
，那么
内一定不存在直线垂直于平面
12.已知函数
若方程
有
5个解，则
的
D.
如果
⊥
，
⊥
，
=
l
，那么
l
⊥
取值范围是
(
)
8.函数
的一段图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
1
二．填空题（20
分）
（1）证明：MN∥平面
C1DE；
13.
函数
的对称中心的坐标为__________．
（2）求点
C1B
与平面
C1DE
所成的角的正弦值．
2
2
14.当
a
为任意实数时，直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点
C，则以
C为圆心，
5
为半径的圆的方程是___
21.（本题满分
12
分）已知圆C
：
x
+
(y
3)
=
4，一动直线
l
过
A( 1,
0)与圆C
相交于P,Q
.
15.
若曲线
y
=1+
9
x2
与直线
kx
y
3k
+
4
=
0有两个不同的交点时，则实数
k
的
两点，M
是PQ中点，l与直线
m：
x
+
3y
+
6
=
0
相交于
N
.
取值范围是
（Ⅰ）求证：当
l与
m
垂直时，l必过圆心C
；
16.已知函数
f(x)=sin(2x+φ
)(0<φ<
)，对任意实数
x
都有
f(x)≤|f(
)|，则
f(x)的单调增区间
2
6
是
.
（Ⅱ）当PQ
=
2
3
时，求直线
l的方程；
三．解答题（70
分）
（Ⅲ）探索
AM
AN
是否与直线
l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.
17.（本题满分
10分）已知函数
，（
）的最小值为
1.
y
（1）求
的值及取此最小值时的
值；
（2）求函数
的最小正周期和单调递增区间.
C
·
l
18.（12分）在 ABC中，设BC
CA
=
CA
AB．
M
Q
·
P
（Ⅰ）求证： ABC为等腰三角形；
·
A
O
x
2
（Ⅱ）若
|
BA+
BC
|=
2且
B [
,
]，求BA
BC
的取值范围．
N
3
3
m
l
19.（本题满分
12分）已知函数
．
（1）将
的图象上所有点的横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变），得到
的图象．若
，
1
22.已知函数
f(x)=
x
+
，其中
x
(1，+ )
求
的值域；
x
1
（2）若
，求
的值．
（1）若
=1，求函数
f(x)的零点；
20.（本题满分
12分）如图，直四棱柱
ABCD–A1B1C1D1
的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，
（2）若函数
f(x)恰好有两个零点
x1，x2
,（x1N
分别是
BC，BB1，A1D
的中点.
（ⅰ）求实数
的值；
（ⅱ）求
x1+x2的值.
2
2019-2020
学年度第一学期高一自招班期末考试
所以函数
的值域为
.
数学答案
(2)因为
,所以
,
答案：1-5ADBDB
6-10CBBCB
11-12BD
则
,
14.
14.(x+1)2＋(y－2)2＝5
15.6
16.［-
+kπ,
+kπ］(k∈Z)
又
,
3
6
解：（1）由
得，
，
则
,
此时
，解得
；
所以
.
（2）
最小正周期
，
20.（1）连结B1C,ME
.
由
，解得
，
1
因为M，E分别为BB1,
BC
的中点，所以ME
∥
B1C
，且ME
=
B1C
.
2
所以
单调递增区间
1
又因为N为
A1D的中点，所以
ND
=
A1D
.
2
18.(1)因为BC
CA=CA
AB
，所以CA
(BC
AB)=
0又
AB
+
BC
+CA
=
0
由题设知
A
B∥1
1=
DC
，可得B
C
∥
=
A
D
，故ME∥=
ND
，
1
1
2
2
所以CA
=
(AB
+
BC)，所以
(AB
+
BC)
(BC
AB)=
0所以
AB
BC
=
0
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED
.
2
2
所以
AB
=
BC
，即
AB
=
BC
，故 ABC为等腰三角形.
又MN
平面C1DE
，所以MN∥平面C1DE
.
2
1
1
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
（Ⅱ）因为
B
,
，所以，
cosB
,
设，
AB
=
BC
=
a
因为
BA
+
BC
=
2
所以
3
3
2
2
由已知可得DE
⊥
BC
，DE
⊥C1C
，所以DE⊥平面C1CE
，故DE⊥CH.
2
2
2
BA+
BC
=
4
，
所
以
a2
+
a2
+
2a2
cosB
=
4
，
所
以
，
a
=
，
所
以
1+
cosB
从而CH⊥平面C1DE
，故CH的长即为C到平面C1DE
的距离，
2cosB
2
2
BA BC
=
BA
BC
cosB
=
=
2
2,
4
17
1+
cosB
1+
cosB
3
由已知可得CE=1，C1C=4，所以C
E
=
17
，故CH
=
.
1
17
19.解:(1)将
的图象上所有点横坐标变为原来的
（纵坐标不变）得到
4
17
从而点C到平面C1DE
的距离为
的图象,则
,
17
4
17
又
,则
,
C
2
85
点
B
到平面
1
DE
的距离为
17
∴sinθ=
85
所以当
,即
时取得最小值
,
1
21.解：（Ⅰ） l与
m垂直，且
km
=
， k
l
=
3，又
kAC
=
3
，
3
当
时即
时取得最大值
,
所以当
l与
m垂直时，l必过圆心C
.
3
（Ⅱ）①当直线
l
与
x轴垂直时,
易知
x
=
1符合题意
1+
5
综上所述：
x
=
②当直线
l
与
x轴不垂直时,
设直线
l
的方程为
y
=
k(x
+1)，即
kx
y
+
k
=
0，
2
1
|
k
+
3
|
4
（2）ⅰ研究函数
g(x)=
a
与
y=x-a的图像在（1，+∞）上的公共点
因为PQ
=
2
3
，所以CM
=
4
3
=1，则由CM
=
=
1，得
k
=
x
1
k
2
+1
3
当
a=0时，不合题意。
直线
l
：4x
3y
+
4
=
0
.
从而所求的直线
l
的方程为
x
=
1或4x
3y
+
4
=
0
1
1
1
1
当
a>0时，x 1,1+
,
g(x)
=
a;
x 1+
,+ ,
g(x)
=
a
a
x
1
a
x
1
（Ⅲ）因为
CM⊥MN,
AM
AN
=
(AC
+CM
)
AN
=
AC
AN
+CM
AN
=
AC
AN
5
5
1
1
1
①
当
l
与
x轴垂直时，易得
N
( 1,
)，则
AN
=
(0,
)
,又
AC
=
(1,3)
,
若
直
线
y=x-a
与
g(x)=
a
,
x 1+
,+
相
切
满
足
题
意
，
所
以
a
=
x
a
即3
3
x
1
a
x
1
AM
AN
=
AC
AN
=
5
2
2x
(2a
+1)x
+
2a
+1=
0
所以
(2a
+1)2
4(2a
+1)
=
0
所以a
=
3
②
当
l
的斜率存在时，设直线
l
的方程为
y
=
k(x
+1)，
1
1
1
1
若直线
y=x-a与
g(x)=a
,
x
1+
,+ 经过点 1+
,0 满足题意，所以1+
a
=
0
所以
y
=
k(x
+1)
x
1
a
a
a
3k
6
5k
5
5k
则由
，得
N
（
,
）,则
AN
=
(
,
)
x
+
3y
+
6
=
0
1+
3k
1+
3k
1+
3k
1+
3k
5
+1
1
1
a
=
当
a<时，
x
(1,+ ),
g(x)
+
a
此时直线
y=x-a
与
g(x)=
a
有且只有一个
5
15k
x
1
AM
AN
=
AC
AN
2
x
1=
+
=
5
1+
3k
1+3k
交点题意不符
综上，
AM
AN
与直线
l
的斜率无关，且
AM
AN
=
5
.
2
5
+1
综上可知：a
=
或a
=
1
3
2
22.
(1)
a=1
f(x)=
1
+
x
1
=
0
x
1
2
5
+1
5
+5
ⅱ当a
=
时，
x1
=
,
x
2
=
2所以
x1
+
x2
=
2
x
3
2
2
∴
=
x
1
∵
x
(1,+ )
x
1
5
+1
5
+1
5
+
3
当
a
=
时，
x1
=
,
x2
=
所以
x1
+
x2
=
5
+
2
2
∴①
x
(1,2]
2-x=(x-1)
2
2
2
1+
5
1
5
∴
x
=
或
x
=
（舍去）
2
2
②
x
(2,+ ),
x
2
=
(x
1)2
∴x2-3x+3=0
0,
4
